2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标
选题明细表
知识点、方法
题号
两条直线的交点问题
2,4,5,9,12,13,14
过两直线交点的直线系方程
1,8
对称问题
3,6,7,10,11
基础巩固
1.不论a为何实数,直线(a-3)x+2ay+6=0恒过( )
(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限
2.直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0的交点,则直线l的方程为( )
(A)2x+y=0
(B)2x-y=0
x+2y=0
(D)x-2y=0
3.(2019·张家口市期末)如果平面直角坐标系内的两点A(a-1,a+1),B(a,a)关于直线l对称,那么直线l的方程为( )
(A)x-y+1=0
(B)x+y+1=0
(C)x-y-1=0
(D)x+y-1=0
4.当0(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限
5.(2020·上海市闵行区月考)关于x,y的二元一次方程组无解,则m=
.?
6.(2020·丽水市莲都区月考)直线l:2x-y+1=0,则直线l斜率是
,关于直线x=1对称的直线方程是 .?
综合运用
7.(2020·忻州市期中)在平面直角坐标系中,点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称,则直线l的方程为( )
(A)x+2y-4=0
(B)x-2y=0
(C)2x-y-3=0
(D)2x-y+3=0
8.(2019·福州市期末)已知直线(3-2k)x-y-6=0不经过第一象限,则k的取值范围为( )
(A)(-∞,)
(B)(-∞,]
(C)(,+∞)
(D)[,+∞)
9.(多选题)直线x+ky=0,2x+3y+8=0和x-y-1=0交于一点,则k的值不可能是( )
(A)
(B)-
(C)2
(D)-2
10.(2020·钟祥市月考)一条光线沿直线2x-y+2=0入射到直线x+y-5=0后反射,则反射光线所在直线方程为 .?
11.(2019·金华市金东区期中)已知过原点的直线l1和l2关于直线y=x对称,若直线l1的斜率为,则直线l2的斜率为 ;倾斜角为 .?
12.求过两条直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点,并且与直线2x+3y+5=0垂直的直线方程.
素养培优
13.直线l过直线l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交点,且与直线l3:4x+3y-2=0平行,求直线l的方程.
14.(2019·宁德市期末)在△ABC中,已知点A(3,2),AC边上的中线BM所在直线的方程为x-3y-4=0,AB边上的高所在直线的方程为
y=(x-7).
(1)求直线AB的方程;
(2)求点B的坐标.2.3.2 两点间的距离公式
选题明细表
知识点、方法
题号
两点间的距离
1,2,4,6,7,9,10,12
点的坐标
3,5,8,11,13
基础巩固
1.已知△ABC的顶点A(2,3),B(-1,0),C(2,0),则△ABC的周长是( )
(A)2
(B)3+2
(C)6+3
(D)6+
2.(2020·都匀市期中)已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(-2,
-3),则点P(x,y)到原点的距离是( )
(A)2
(B)4
(C)5
(D)
3.(多选题)已知点M(1,4)到直线l:mx+y-1=0的距离为3,则实数m可以是( )
(A)0
(B)
(C)3
(D)2
4.(2020·柳州市鱼峰区期中)已知A(1,4),B(8,3),点P在x轴上,则使|AP|+|BP|取得最小值的点P的坐标是( )
(A)(4,0)
(B)(5,0)
(C)(-5,0)
(D)(-4,0)
5.(2019·闵行区期中)已知点A(1,2)关于点M(0,-1)的对称点为A′,则|AA′|=
.?
6.已知M(1,0),N(-1,0),点P在直线2x-y-1=0上移动,则|PM|2+|PN|2的最小值为
.?
综合运用
7.以A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是( )
(A)直角三角形
(B)等腰三角形
(C)等边三角形
(D)等腰直角三角形
8.到A(1,3),B(-5,1)的距离相等的动点P满足的方程是( )
(A)3x-y-8=0
(B)3x+y+4=0
(C)3x-y+6=0
(D)3x+y+2=0
9.(2020·南充市顺庆区月考)点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点M的坐标是(3,4),则AB的长为( )
(A)10
(B)5
(C)8
(D)6
若动点P的坐标为(x,1-x),x∈R,则动点P到原点距离的最小值是
.?
11.点P在直线2x-y=0上,到点M(5,8)的距离为5,则P点坐标为 .?
12.已知△ABC的三个顶点坐标是A(1,-1),B(-1,3),C(3,0).
(1)判断△ABC的形状;
(2)求△ABC的面积.
素养培优
13.在x轴上求一点P,使得
(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大,并求出最大值;
(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小,并求出最小值.2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标
选题明细表
知识点、方法
题号
两条直线的交点问题
2,4,5,9,12,13,14
过两直线交点的直线系方程
1,8
对称问题
3,6,7,10,11
基础巩固
1.不论a为何实数,直线(a-3)x+2ay+6=0恒过( D )
(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限
解析:直线(a-3)x+2ay+6=0可变形为a(x+2y)+(6-3x)=0,
由得
故直线(a-3)x+2ay+6=0恒过定点(2,-1),
又点(2,-1)在第四象限,故该直线恒过第四象限,选D.
2.直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0的交点,则直线l的方程为( B )
(A)2x+y=0
(B)2x-y=0
(C)x+2y=0
(D)x-2y=0
解析:法一 解方程组得交点为(-1,-2),又直线l经过原点,由两点式得其方程为=,即2x-y=0.故选B.
法二 设直线l的方程为2x+3y+8+λ(x-y-1)=0,因其过原点,所以8+(-λ)=0,λ=8,直线方程为2x-y=0.故选B.
3.(2019·张家口市期末)如果平面直角坐标系内的两点A(a-1,a+1),B(a,a)关于直线l对称,那么直线l的方程为( A )
(A)x-y+1=0
(B)x+y+1=0
(C)x-y-1=0
(D)x+y-1=0
解析:因为kAB==-1,
线段AB的中点为(,),
两点A(a-1,a+1),B(a,a)关于直线l对称,
所以kl=1,直线l方程为y-=x-,
化为x-y+1=0.故选A.
4.当0(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限
解析:由得
当00,
所以交点在第二象限.故选B.
5.(2020·上海市闵行区月考)关于x,y的二元一次方程组无解,则m=
.?
解析:m=0时,方程组化为无解,
m≠0时,两条直线平行时,可得=≠,无解.
综上可得,m=0.
答案:0
6.(2020·丽水市莲都区月考)直线l:2x-y+1=0,则直线l斜率是
,关于直线x=1对称的直线方程是 .?
解析:直线l:2x-y+1=0,化为y=2x+1,则直线l斜率是2,
设关于直线x=1对称的直线上的点为(x,y),则(2-x,y)在直线2x-y+1=0上,
所以2(2-x)-y+1=0,化为2x+y-5=0.
答案:2 2x+y-5=0
综合运用
7.(2020·忻州市期中)在平面直角坐标系中,点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称,则直线l的方程为( C )
(A)x+2y-4=0
(B)x-2y=0
(C)2x-y-3=0
(D)2x-y+3=0
解析:根据点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称,可得直线l的斜率为=2,且直线l经过点(0,2)与点(4,0)构成的线段的中点(2,1),故直线l的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0,故选C.
8.(2019·福州市期末)已知直线(3-2k)x-y-6=0不经过第一象限,则k的取值范围为( D )
(A)(-∞,)
(B)(-∞,]
(C)(,+∞)
(D)[,+∞)
解析:因为直线(3-2k)x-y-6=0,即y=(3-2k)x-6,它经过定点(0,-6),不经过第一象限,则它的斜率3-2k≤0,求得k≥,故选D.
9.(多选题)直线x+ky=0,2x+3y+8=0和x-y-1=0交于一点,则k的值不可能是( ACD )
(A)
(B)-
(C)2
(D)-2
解析:由方程组得直线2x+3y+8=0与x-y-1=0的交点坐标为(-1,-2),代入直线x+ky=0得k=-.故选ACD.
10.(2020·钟祥市月考)一条光线沿直线2x-y+2=0入射到直线x+y-5=0后反射,则反射光线所在直线方程为 .?
解析:在直线2x-y+2=0上取点A(-1,0),A关于直线x+y-5=0的对称点为A′,
设A′(m,n),则
解之得A′(5,6),
又因为直线2x-y+2=0与直线x+y-5=0的交点为B(1,4),
所以直线A′B方程为=,
化简得x-2y+7=0,
即为反射光线所在直线的方程.
答案:x-2y+7=0
11.(2019·金华市金东区期中)已知过原点的直线l1和l2关于直线y=x对称,若直线l1的斜率为,则直线l2的斜率为 ;倾斜角为 .?
解析:如图,过原点的直线l1和l2关于直线y=x对称,
所以直线l1和直线l的夹角与直线l2和直线l的夹角相等,直线l的倾斜角为45°,
因为直线l1的斜率为,
所以直线l1的倾斜角为60°,
所以直线l2的倾斜角为30°,
所以直线l2的斜率为.
答案: 30°
12.求过两条直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点,并且与直线2x+3y+5=0垂直的直线方程.
解:由解得
则两直线交点为(2,1).
直线2x+3y+5=0的斜率为-,则所求直线的斜率为,
故所求直线的方程为y-1=(x-2),
即3x-2y-4=0.
素养培优
13.直线l过直线l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交点,且与直线l3:4x+3y-2=0平行,求直线l的方程.
解:解方程组
得l1与l2的交点(-2,2).
又直线l3的斜率为-,l∥l3,
所以直线l的斜率为k=-.
故直线l的方程为y-2=-(x+2).
即4x+3y+2=0.
14.(2019·宁德市期末)在△ABC中,已知点A(3,2),AC边上的中线BM所在直线的方程为x-3y-4=0,AB边上的高所在直线的方程为
y=(x-7).
(1)求直线AB的方程;
(2)求点B的坐标.
解:(1)由AB边上的高所在直线方程为y=(x-7)得k=,则kAB=-=-2.
又因为A(3,2),
所以直线AB的方程为y-2=-2(x-3),
即2x+y-8=0.
(2)因为AC边上的中线过点B,
则联立直线方程组
解得即点B坐标为(4,0).2.3.2 两点间的距离公式
选题明细表
知识点、方法
题号
两点间的距离
1,2,4,6,7,9,10,12
点的坐标
3,5,8,11,13
基础巩固
1.已知△ABC的顶点A(2,3),B(-1,0),C(2,0),则△ABC的周长是( C )
(A)2
(B)3+2
(C)6+3
(D)6+
解析:|AB|==3,|BC|=3,|AC|=
=3.
所以△ABC的周长为6+3.故选C.
2.(2020·都匀市期中)已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(-2,
-3),则点P(x,y)到原点的距离是( D )
(A)2
(B)4
(C)5
(D)
解析:根据中点坐标公式,得=1,且=y.
解得x=4,y=1,
所以点P的坐标为(4,1),
则点P(x,y)到原点的距离d==.故选D.
3.(多选题)已知点M(1,4)到直线l:mx+y-1=0的距离为3,则实数m可以是( AB )
(A)0
(B)
(C)3
(D)2
解析:点M到直线l的距离d==,所以=3,解得m=0或m=,选AB.
4.(2020·柳州市鱼峰区期中)已知A(1,4),B(8,3),点P在x轴上,则使|AP|+|BP|取得最小值的点P的坐标是( B )
(A)(4,0)
(B)(5,0)
(C)(-5,0)
(D)(-4,0)
解析:由题意,点A(1,4)关于x轴的对称点为A′(1,-4),
连接A′B,交x轴于点P,此时|AP|+|BP|取得最小值,如图所示.
设点P(x,0),则=(x-1,4),=(8-x,3),
与共线,
则3(x-1)-4(8-x)=0,解得x=5,
所以点P的坐标是(5,0).故选B.
5.(2019·闵行区期中)已知点A(1,2)关于点M(0,-1)的对称点为A′,则|AA′|=
.?
解析:|AA′|=2|AM|=2=2.
答案:2
6.已知M(1,0),N(-1,0),点P在直线2x-y-1=0上移动,则|PM|2+|PN|2的最小值为
.?
解析:因为点P在直线2x-y-1=0上,可设P的坐标为(a,2a-1),
所以|PM|2+|PN|2=(a-1)2+(2a-1)2+(a+1)2+(2a-1)2=10a2-8a+4.
所以最小值为=2.4.
答案:2.4
综合运用
7.以A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是( B )
(A)直角三角形
(B)等腰三角形
(C)等边三角形
(D)等腰直角三角形
解析:因为|AB|=,|AC|=,|BC|=3,
所以三角形为等腰三角形.故选B.
8.到A(1,3),B(-5,1)的距离相等的动点P满足的方程是( B )
(A)3x-y-8=0
(B)3x+y+4=0
(C)3x-y+6=0
(D)3x+y+2=0
解析:设P(x,y),则=,即3x+y+4=0.故选B.
9.(2020·南充市顺庆区月考)点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点M的坐标是(3,4),则AB的长为( A )
(A)10
(B)5
(C)8
(D)6
解析:设A(a,0),B(0,b),
又中点M(3,4),则=3,=4,
所以a=6,b=8.
所以A(6,0),B(0,8),
所以|AB|==10.故选A.
10.若动点P的坐标为(x,1-x),x∈R,则动点P到原点距离的最小值是
.?
解析:|PO|===≥.
答案:
11.点P在直线2x-y=0上,到点M(5,8)的距离为5,则P点坐标为 .?
解析:因为点P在直线2x-y=0上,
所以可设P(a,2a).
根据两点的距离公式得|PM|2=(a-5)2+(2a-8)2=52,即5a2-42a+64=0,
解得a=2或a=,
所以P(2,4)或(,).
答案:(2,4)或(,)
12.已知△ABC的三个顶点坐标是A(1,-1),B(-1,3),C(3,0).
(1)判断△ABC的形状;
(2)求△ABC的面积.
解:(1)如图,
因为|AB|===2,
|AC|==,
|BC|===5,
所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,
即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形.
(2)由于△ABC是以A为直角顶点的直角三角形,
所以S△ABC=|AB||AC|=5.
素养培优
13.在x轴上求一点P,使得
(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大,并求出最大值;
(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小,并求出最小值.
解:如图,
(1)直线BA与x轴交于点P,此时P为所求点,
且|PB|-|PA|=|AB|==5.
因为直线BA的斜率kBA==-,
所以直线BA的方程为y=-x+4.
令y=0得x=,即P(,0).
故距离之差最大值为5,此时P点的坐标为(,0).
(2)作A关于x轴的对称点A′,则A′(4,-1),连接CA′,则|CA′|为所求最小值,直线CA′与x轴交点为所求点.
又|CA′|==,
直线CA′的斜率==-5,则直线CA′的方程为y-4=-5(x-3).
令y=0得x=,即P(,0).故距离之和最小值为,此时P点的坐标为(,0).2.3.3 点到直线的距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
选题明细表
知识点、方法
题号
点到直线距离公式的应用
1,3,4,5,6,7,10,11,14
两平行直线间距离公式的应用
2,8,9,12,13
基础巩固
1.点(0,5)到直线y=2x的距离是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
2.到直线3x-4y-11=0的距离为2的直线方程为( )
(A)3x-4y-1=0
(B)3x-4y-1=0或3x-4y-21=0
(C)3x-4y+1=0
(D)3x-4y-21=0
3.(多选题)已知点P为x轴上一点,点P到直线3x-4y+6=0的距离为6,则点P的坐标为( )
(A)(8,0)
(B)(-12,0)
(C)(2,0)
(D)(0,0)
4.(2020·琼海市月考)已知点(-2,1)到直线ax+(a-2)y+5=0的距离为,则a的值为( )
(A)3
(B)1
(C)-
(D)1或-
5.点(2,1)到x轴的距离为
,到直线y=x的距离为
.?
6.若A(3,2)和B(-1,4)到直线l:mx+y+3=0的距离相等,则m的值等于
.?
综合运用
7.若点(4,a)到直线4x-3y=1的距离不大于3,则a的取值范围是( )
(A)(0,10)
(B)[0,10]
(C)[-5,5]
(D)(-5,5)
8.(2020·泰安市期中)l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程为( )
(A)x+2y-3=0
(B)x-2y-3=0
(C)2x-y-1=0
(D)2x-y-3=0
9.(多选题)与直线2x+y-1=0的距离等于的直线方程为( )
(A)2x+y=0
(B)2x+y-2=0
(C)2x-y=0
(D)2x+y+2=0
10.已知直线l在x轴上的截距为1,又有两点A(-2,-1),B(4,5)到l的距离相等,则l的方程为 .?
11.(2020·厦门市思明区月考)若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB中点到原点距离的最小值为 .?
12.已知直线l1:3x+4y-12=0与直线l2:ax+8y+11=0平行.
(1)求实数a的值;
(2)求直线l1与l2之间的距离.
素养培优
13.直线l1过点A(0,1),l2过点B(5,0),如果l1∥l2,且l1与l2的距离为5,求l1,l2的方程.
14.已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且点P(2,3)到直线l的距离为2,求直线l的方程.2.3.3 点到直线的距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
选题明细表
知识点、方法
题号
点到直线距离公式的应用
1,3,4,5,6,7,10,11,14
两平行直线间距离公式的应用
2,8,9,12,13
基础巩固
1.点(0,5)到直线y=2x的距离是( B )
(A)
(B)
(C)
(D)
解析:y=2x化为一般式为2x-y=0,点(0,5)到直线y=2x的距离d===.故选B.
2.到直线3x-4y-11=0的距离为2的直线方程为( B )
(A)3x-4y-1=0
(B)3x-4y-1=0或3x-4y-21=0
(C)3x-4y+1=0
(D)3x-4y-21=0
解析:设所求的直线方程为3x-4y+c=0.由题意=2,解得c=-1或c=-21.故选B.
3.(多选题)已知点P为x轴上一点,点P到直线3x-4y+6=0的距离为6,则点P的坐标为( AB )
(A)(8,0)
(B)(-12,0)
(C)(2,0)
(D)(0,0)
解析:设P(a,0),则=6,解得a=8或a=-12,故点P的坐标为(8,0)或(-12,0).故选AB.
4.(2020·琼海市月考)已知点(-2,1)到直线ax+(a-2)y+5=0的距离为,则a的值为( D )
(A)3
(B)1
(C)-
(D)1或-
解析:依题意,=,
即3a2-2a-1=0,
解得a=1或a=-,故选D.
5.点(2,1)到x轴的距离为
,到直线y=x的距离为
.?
解析:点(2,1)到x轴的距离为1,到直线x-y=0的距离为=.
答案:1
6.若A(3,2)和B(-1,4)到直线l:mx+y+3=0的距离相等,则m的值等于
.?
解析:因为A,B两点到直线l的距离相等,
所以AB∥l或l过AB的中点,
所以=-m或m+3+3=0,
所以m=或m=-6.
答案:或-6
综合运用
7.若点(4,a)到直线4x-3y=1的距离不大于3,则a的取值范围是( B )
(A)(0,10)
(B)[0,10]
(C)[-5,5]
(D)(-5,5)
解析:由题意得≤3,得0≤a≤10.故选B.
8.(2020·泰安市期中)l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程为( A )
(A)x+2y-3=0
(B)x-2y-3=0
(C)2x-y-1=0
(D)2x-y-3=0
解析:当两条平行直线与AB垂直时,两条平行直线的距离最大,又kAB==2,
所以=-,
所以l1的方程为y-1=-(x-1),
即x+2y-3=0.故选A.
9.(多选题)与直线2x+y-1=0的距离等于的直线方程为( AB )
(A)2x+y=0
(B)2x+y-2=0
(C)2x-y=0
(D)2x+y+2=0
解析:设与直线2x+y-1=0的距离等于的直线方程为2x+y+m=0,
所以=,解得m=0,或m=-2.
所以与直线2x+y-1=0的距离等于的直线方程为2x+y=0,2x+y-2=0,
故选AB.
10.已知直线l在x轴上的截距为1,又有两点A(-2,-1),B(4,5)到l的距离相等,则l的方程为 .?
解析:显然l⊥x轴时符合要求,此时l的方程为x=1;
当l的斜率存在时,设l的斜率为k,则l的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.
因为点A,B到l的距离相等,
所以=,
所以|1-3k|=|3k-5|,
解得k=1,
所以l的方程为x-y-1=0.
综上,l的方程为x=1或x-y-1=0.
答案:x=1或x-y-1=0
11.(2020·厦门市思明区月考)若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB中点到原点距离的最小值为 .?
解析:原点O到直线l1的距离
d1==,
原点O到直线l2的距离
d2==,
所以AB的中点到原点的距离的最小值为
+=+=3.
答案:3
12.已知直线l1:3x+4y-12=0与直线l2:ax+8y+11=0平行.
(1)求实数a的值;
(2)求直线l1与l2之间的距离.
解:(1)由3×8=4a,解得a=6.
此时,l2的方程为6x+8y+11=0,适合题意.
所以a=6.
(2)把直线l1的方程化为6x+8y-24=0,
根据两条平行线间的距离公式可得,
l1与l2之间的距离为d==.
素养培优
13.直线l1过点A(0,1),l2过点B(5,0),如果l1∥l2,且l1与l2的距离为5,求l1,l2的方程.
解:若l1,l2的斜率存在,
因为l1∥l2,所以设两直线的斜率为k.
由斜截式得l1的方程y=kx+1,即kx-y+1=0.
由点斜式得l2的方程y=k(x-5),即kx-y-5k=0.
由两平行线间的距离公式得=5,
解得k=,
所以l1的方程为12x-5y+5=0,l2的方程为
12x-5y-60=0.
若l1,l2的斜率不存在,则l1的方程为x=0,l2的方程为x=5,它们之间的距离为5,同样满足条件.
则满足条件的直线方程有以下两组:
l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0;或l1:x=0,l2:x=5.
14.已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且点P(2,3)到直线l的距离为2,求直线l的方程.
解:由题意知
①当截距为0时,可设直线l的方程为y=kx,
由题意知=2,解得k=,
所以直线l的方程为y=x,
即5x-12y=0,
②当截距不为0,设所求直线l的方程为x+y-a=0.
由题意知=2,
解得a=5-2或a=5+2,
所以直线l的方程为x+y-5+2=0,或x+y-5-2=0,
故所求直线l的方程为5x-12y=0,x+y-5+2=0或x+y-5-2=0.
