2.4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
选题明细表
知识点、方法
题号
圆的标准方程
1,2,3,4,6,7,10,11,12,13
点与圆的位置关系
5,8
与圆有关的最值问题
9,14
基础巩固
1.圆x2+y2=1的圆心到直线3x+4y-25=0的距离是( A )
(A)5
(B)3
(C)4
(D)2
解析:圆心坐标为(0,0),所以圆心到直线的距离为d==5.
2.已知两点P1(2,7),P2(6,5),则以线段P1P2为直径的圆的标准方程是( A )
(A)(x-4)2+(y-6)2=5
(B)(x-4)2+(y-6)2=10
(C)(x-2)2+(y-1)2=5
(D)(x-6)2+(y-4)2=25
解析:设线段P1P2的中点为M,
因为P1(2,7),P2(6,5),所以圆心M(4,6),
又|P1P2|==2,
所以圆的半径为|P1P2|=,
则所求圆的方程为(x-4)2+(y-6)2=5.
3.(2019·广西钦州市期末)圆(x-2)2+(y+1)2=5关于原点对称的圆的方程为( D )
(A)(x-2)2+(y-1)2=5
(B)(x+1)2+(y-2)2=5
(C)(x-1)2+(y+2)2=5
(D)(x+2)2+(y-1)2=5
解析:圆(x-2)2+(y+1)2=5的圆心坐标为(2,-1),半径为,
圆心关于原点的对称点为(-2,1),
则圆关于原点对称的圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5.
故选D.
4.圆(x-1)2+(y-1)2=2关于直线y=kx+3对称,则k的值为( B )
(A)2
(B)-2
(C)1
(D)-1
解析:由题意知圆心(1,1)在直线y=kx+3上,
所以k=-2.
5.点P(1,-1)在圆x2+y2=r的外部,则实数r的取值范围是 .?
解析:由题意得12+(-1)2>r,即r<2,又r>0,故r的取值范围是(0,2).
答案:(0,2)
6.与圆(x-2)2+(y+3)2=16同心,且过点P(-1,1)的圆的方程是 ;
此圆的面积为
.?
解析:由已知得,所求圆的圆心为(2,-3).
又该圆过点P(-1,1),
则所求圆的半径r==5.
所以,所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.
面积为S=πr2=25π.
答案:(x-2)2+(y+3)2=25 25π
综合运用
7.(2019·浙江东阳市期中)圆心在点C(-2,1),并经过点A(2,-2)的圆的方程是( D )
(A)(x-2)2+(y+1)2=5
(B)(x-2)2+(y+1)2=25
(C)(x+2)2+(y-1)2=5
(D)(x+2)2+(y-1)2=25
解析:设圆C的方程为(x+2)2+(y-1)2=r2,又该圆经过点A(2,-2),
所以(2+2)2+(-2-1)2=r2,
即r2=25,
则圆C的方程为(x+2)2+(y-1)2=25.
8.若点(2a,a-1)在圆x2+(y+1)2=5的内部,则a的取值范围是( B )
(A)(-∞,1]
(B)(-1,1)
(C)(2,5)
(D)(1,+∞)
解析:点(2a,a-1)在圆x2+(y+1)2=5的内部,则(2a)2+a2<5,解得-1
9.已知圆O:x2+y2=1,点A(-2,0)及点B(2,a),从A点观察B点,要使视线不被圆C挡住,则实数a的取值范围是( D )
(A)(-∞,-2)
(B)(2,+∞)
(C)(-∞,-)
(D)(-∞,-)∪(,+∞)
解析:法一 (直接法)过A,B两点的直线方程为y=x+,即ax-4y+2a=0,令d==1,
化简后,得3a2=16,解得a=±.
再进一步判断便可得到正确答案为D.
法二 (数形结合法)
如图,在Rt△AOC中,由|OC|=1,
|AO|=2,可求出∠CAO=30°.
在Rt△BAD中,由|AD|=4,
∠BAD=30°,可求得BD=,
再由图直观判断,故选D.
10.已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则圆C的方程为 .?
解析:设圆心坐标为(a,0),
易知=,
解得a=2.
所以圆心为(2,0),半径长为,
所以圆C的方程为(x-2)2+y2=10.
答案:(x-2)2+y2=10
11.直线l:+=1与x轴,y轴分别相交于点A,B,O为坐标原点,则
△AOB内切圆的方程为
;此圆的面积为 .?
解析:设△AOB内切圆的圆心为M(m,m),则半径为m,
直线l的方程+=1可化为3x+4y-12=0,
由题意得=m,得m=1或m=6(舍去).
所以△AOB内切圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1.S=πr2=π.
答案:(x-1)2+(y-1)2=1 π
12.求过三点O(0,0),M(1,1),N(4,2)的圆的方程,并求出这个圆的半径长和圆心坐标.
解:设圆的圆心为P,OM中点E(,),
MN中点F(,),
OM的垂直平分线l1的方程为
y-=-(x-),
①
MN的垂直平分线l2的方程为
y-=-3(x-),②
l1与l2相交于点P,
联立①②,得
解得
则点P(4,-3),即为圆心,|OP|=5,即为圆的半径.
所以圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=25.
所以所求圆的圆心坐标为(4,-3),半径长为5.
素养培优
13.(2019·江西玉山县期末)已知直线l:(k-1)x-2y+5-3k=0(k∈R)恒过定点P,圆C经过点A(5,-1)和点P,且圆心在直线x-2y+2=0上.
(1)求定点P的坐标;
(2)求圆C的方程.
解:(1)直线l:(k-1)x-2y+5-3k=0(k∈R)可化为(x-3)k-x-2y+5=0,
令得P点坐标为(3,1).
(2)易得圆心在AP的垂直平分线上,
设AP垂直平分线上的点为(x,y),
则=,
化简得x-y-4=0,
又因为圆心在直线x-2y+2=0上,
所以
所以圆心坐标为(10,6),
半径r==,
所以圆的方程为(x-10)2+(y-6)2=74.
14.若圆C经过坐标原点,且圆心在直线y=-2x+3上运动,求当半径最小时圆的方程.
解:法一 设圆心坐标为(a,-2a+3),
则圆的半径r=
=
=.
当a=时,rmin=.
故所求圆的方程为(x-)2+(y-)2=.
法二 易知,圆的半径的最小值就是原点O到直线y=-2x+3的距离.
如图,此时r==.
设圆心为(a,-2a+3),
则=,
解得a=,从而圆心坐标为(,).
故所求圆的方程为+=.2.4.2 圆的一般方程
选题明细表
知识点、方法
题号
圆的一般方程的概念
1,2,4,7,8,9,10
求圆的一般方程
6,11,12,13
求动点的轨迹方程
3,5,14
基础巩固
1.(2020·辽宁葫芦岛市月考)圆C:x2-y2-2x-4y-6=0的半径为( D )
(A)4
(B)
(C)11
(D)
解析:圆C:x2-y2-2x-4y-6=0可化为(x-1)2+(y-2)2=11,则半径为.故选D.
2.若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为( B )
(A)-1
(B)1
(C)3
(D)-3
解析:将圆x2+y2+2x-4y=0化为标准方程(x+1)2+(y-2)2=5,可得圆心(-1,2).
因为直线3x+y+a=0过圆心,
所以将(-1,2)代入直线3x+y+a=0,可得a=1.
3.当点P在圆x2+y2=1上移动时,它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是( C )
(A)(x+3)2+y2=4
(B)(x-3)2+y2=1
(C)(2x-3)2+4y2=1
(D)(2x+3)2+4y2=1
解析:设P(x0,y0),PQ的中点为(x,y),由题意得
得
又(x0,y0)在x2+y2=1上,
所以(2x-3)2+(2y)2=1.
4.(多选题)已知方程x2+y2-ax+2ay+2a2+a-1=0,则下列选项中a的值能满足方程表示圆的有( ABC )
(A)-1
(B)0
(C)
(D)-2
解析:x2+y2-ax+2ay+2a2+a-1=0即方程(x-)2+(y+a)2=1-a-a2,方程表示圆的条件是1-a-a2>0,即-25.设圆x2+y2-4x+2y-11=0的圆心为A,点P在圆上,则PA的中点M的轨迹方程是 .?
解析:设M的坐标为(x,y),
由题意可知圆心A为(2,-1),P(2x-2,2y+1)在圆上,
故(2x-2)2+(2y+1)2-4(2x-2)+2(2y+1)-11=0,即x2+y2-4x+2y+1=0.
答案:x2+y2-4x+2y+1=0
6.(2020·浙江慈溪市期中)圆C:x2+y2-8x-2y=0的圆心坐标是
;关于直线l:y=x-1对称的圆
C′的方程为
.?
解析:根据题意,圆C:x2+y2-8x-2y=0的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=17,
其圆心的坐标为(4,1).
设圆C′的圆心为(m,n),则有
解得圆C′的半径r=,
则圆C′的方程为(x-2)2+(y-3)2=17.
答案:(4,1) (x-2)2+(y-3)2=17
综合运用
7.方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0表示的曲线为圆,则有( C )
(A)A=C≠0且D2+E2-4A>0
(B)D2+E2-4F>0
(C)A=C≠0且D2+E2-4AF>0
(D)A=C≠0且D2+E2-4AF≥0
解析:由题意A=C≠0,方程化为x2+y2+x+y+=0,则()2+()2-4>0,即D2+E2-4AF>0,故选C.
8.(2020·江苏连云港市期末)已知圆C1:x2+y2=a关于直线l对称的圆为圆C2:x2+y2+2x-2ay+3=0,则直线l的方程为( A )
(A)2x-4y+5=0
(B)2x+4y+5=0
(C)2x-4y-5=0
(D)2x+4y-5=0
解析:圆C1:x2+y2=a的圆心坐标为(0,0),半径为r1=,
圆C2:x2+y2+2x-2ay+3=0,
即(x+1)2+(y-a)2=a2-2,
其圆心坐标为(-1,a),半径为.
由题意,=,解得a=2.
所以圆C2的圆心为(-1,2),
则(0,0)与(-1,2)的中点为(-,1),直线l的斜率为,所以直线l的方程为y-1=(x+),
即2x-4y+5=0.故选A.
9.(2020·江苏江阴市期中)方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆,则实数m的取值范围为( D )
(A)(-∞,)
(B)(,1)
(C)(1,+∞)
(D)(-∞,)∪(1,+∞)
解析:根据题意,方程x2+y2+4mx-2y+5m=0变形为(x+2m)2+(y-1)2=4m2+1-5m,
若其表示圆,则有4m2+1-5m>0,
解得m<或m>1,
即实数m的取值范围为(-∞,)∪(1,+∞).
故选D.
10.已知圆C:x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任意一点关于直线l:x-y+2=0的对称点都在圆C上,则a= .?
解析:由题意可得圆C的圆心(-1,-)在直线x-y+2=0上,将(-1,-)代入直线方程得-1-(-)+2=0,解得a=-2.
答案:-2
11.由方程x2+y2+x+(m-1)y+m2=0所确定的圆中,面积最大的圆为
;最大面积是 .?
解析:所给圆的半径长为r==.所以当m=-1时,半径r取最大值,此圆为x2+y2+x-2y+=0,最大面积是.
答案:x2+y2+x-2y+=0
12.圆C过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线l:2x-7y+8=0上.
(1)求圆C的方程;
(2)P为圆C上的任意一点,定点Q(8,0),求线段PQ中点M的轨迹方程.
解:(1)法一 直线AB的斜率k==-1,
所以线段AB的垂直平分线m的斜率为1.
线段AB的中点的横坐标和纵坐标分别为
x==,y==.
因此,直线m的方程为y-=x-,
即x-y-1=0.
又圆心在直线l上,
所以圆心是直线m与直线l的交点.
联立方程组解得
所以圆心坐标为C(3,2).
又半径r=|CA|=,
则所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=13.
法二 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
由题意得
解得
所以所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=13.
(2)设线段PQ的中点M(x,y),P(x0,y0),
则解得
将P(2x-8,2y)代入圆C中,得(2x-8-3)2+(2y-2)2=13,
即线段PQ中点M的轨迹方程为+(y-1)2=.
素养培优
13.(2020·江苏无锡市期末)已知点A(4,1),B(-6,3),C(3,0).
(1)求△ABC中BC边上的高所在直线的方程;
(2)求过A,B,C三点的圆的方程.
解:(1)因为B(-6,3),C(3,0),
所以kBC==-,
则BC边上的高所在直线的斜率为3.
又A(4,1),所以BC边上的高所在直线的方程为y-1=3(x-4),即3x-y-11=0.
(2)设过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
则解得
所以所求圆的方程为x2+y2+x-9y-12=0.
14.如图所示,自A(4,0)引圆x2+y2=4的割线ABC,求弦BC中点P的轨迹方程.
解:因为P为BC中点,O为圆心,
所以OP⊥BC.
设P(x,y),当x≠0时,kOP·kAP=-1,
即·=-1,即x2+y2-4x=0(0当x=0时,P点坐标为(0,0)是方程①的解,
所以BC中点P的轨迹方程为x2+y2-4x=0(0≤x<1).2.4.2 圆的一般方程
选题明细表
知识点、方法
题号
圆的一般方程的概念
1,2,4,7,8,9,10
求圆的一般方程
6,11,12,13
求动点的轨迹方程
3,5,14
基础巩固
1.(2020·辽宁葫芦岛市月考)圆C:x2-y2-2x-4y-6=0的半径为( D )
(A)4
(B)
(C)11
(D)
解析:圆C:x2-y2-2x-4y-6=0可化为(x-1)2+(y-2)2=11,则半径为.故选D.
2.若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为( B )
(A)-1
(B)1
(C)3
(D)-3
解析:将圆x2+y2+2x-4y=0化为标准方程(x+1)2+(y-2)2=5,可得圆心(-1,2).
因为直线3x+y+a=0过圆心,
所以将(-1,2)代入直线3x+y+a=0,可得a=1.
3.当点P在圆x2+y2=1上移动时,它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是( C )
(A)(x+3)2+y2=4
(B)(x-3)2+y2=1
(C)(2x-3)2+4y2=1
(D)(2x+3)2+4y2=1
解析:设P(x0,y0),PQ的中点为(x,y),由题意得
得
又(x0,y0)在x2+y2=1上,
所以(2x-3)2+(2y)2=1.
4.(多选题)已知方程x2+y2-ax+2ay+2a2+a-1=0,则下列选项中a的值能满足方程表示圆的有( ABC )
(A)-1
(B)0
(C)
(D)-2
解析:x2+y2-ax+2ay+2a2+a-1=0即方程(x-)2+(y+a)2=1-a-a2,方程表示圆的条件是1-a-a2>0,即-25.设圆x2+y2-4x+2y-11=0的圆心为A,点P在圆上,则PA的中点M的轨迹方程是 .?
解析:设M的坐标为(x,y),
由题意可知圆心A为(2,-1),P(2x-2,2y+1)在圆上,
故(2x-2)2+(2y+1)2-4(2x-2)+2(2y+1)-11=0,即x2+y2-4x+2y+1=0.
答案:x2+y2-4x+2y+1=0
6.(2020·浙江慈溪市期中)圆C:x2+y2-8x-2y=0的圆心坐标是
;关于直线l:y=x-1对称的圆
C′的方程为
.?
解析:根据题意,圆C:x2+y2-8x-2y=0的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=17,
其圆心的坐标为(4,1).
设圆C′的圆心为(m,n),则有
解得圆C′的半径r=,
则圆C′的方程为(x-2)2+(y-3)2=17.
答案:(4,1) (x-2)2+(y-3)2=17
综合运用
7.方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0表示的曲线为圆,则有( C )
(A)A=C≠0且D2+E2-4A>0
(B)D2+E2-4F>0
(C)A=C≠0且D2+E2-4AF>0
(D)A=C≠0且D2+E2-4AF≥0
解析:由题意A=C≠0,方程化为x2+y2+x+y+=0,则()2+()2-4>0,即D2+E2-4AF>0,故选C.
8.(2020·江苏连云港市期末)已知圆C1:x2+y2=a关于直线l对称的圆为圆C2:x2+y2+2x-2ay+3=0,则直线l的方程为( A )
(A)2x-4y+5=0
(B)2x+4y+5=0
(C)2x-4y-5=0
(D)2x+4y-5=0
解析:圆C1:x2+y2=a的圆心坐标为(0,0),半径为r1=,
圆C2:x2+y2+2x-2ay+3=0,
即(x+1)2+(y-a)2=a2-2,
其圆心坐标为(-1,a),半径为.
由题意,=,解得a=2.
所以圆C2的圆心为(-1,2),
则(0,0)与(-1,2)的中点为(-,1),直线l的斜率为,所以直线l的方程为y-1=(x+),
即2x-4y+5=0.故选A.
9.(2020·江苏江阴市期中)方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆,则实数m的取值范围为( D )
(A)(-∞,)
(B)(,1)
(C)(1,+∞)
(D)(-∞,)∪(1,+∞)
解析:根据题意,方程x2+y2+4mx-2y+5m=0变形为(x+2m)2+(y-1)2=4m2+1-5m,
若其表示圆,则有4m2+1-5m>0,
解得m<或m>1,
即实数m的取值范围为(-∞,)∪(1,+∞).
故选D.
10.已知圆C:x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任意一点关于直线l:x-y+2=0的对称点都在圆C上,则a= .?
解析:由题意可得圆C的圆心(-1,-)在直线x-y+2=0上,将(-1,-)代入直线方程得-1-(-)+2=0,解得a=-2.
答案:-2
11.由方程x2+y2+x+(m-1)y+m2=0所确定的圆中,面积最大的圆为
;最大面积是 .?
解析:所给圆的半径长为r==.所以当m=-1时,半径r取最大值,此圆为x2+y2+x-2y+=0,最大面积是.
答案:x2+y2+x-2y+=0
12.圆C过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线l:2x-7y+8=0上.
(1)求圆C的方程;
(2)P为圆C上的任意一点,定点Q(8,0),求线段PQ中点M的轨迹方程.
解:(1)法一 直线AB的斜率k==-1,
所以线段AB的垂直平分线m的斜率为1.
线段AB的中点的横坐标和纵坐标分别为
x==,y==.
因此,直线m的方程为y-=x-,
即x-y-1=0.
又圆心在直线l上,
所以圆心是直线m与直线l的交点.
联立方程组解得
所以圆心坐标为C(3,2).
又半径r=|CA|=,
则所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=13.
法二 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
由题意得
解得
所以所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=13.
(2)设线段PQ的中点M(x,y),P(x0,y0),
则解得
将P(2x-8,2y)代入圆C中,得(2x-8-3)2+(2y-2)2=13,
即线段PQ中点M的轨迹方程为+(y-1)2=.
素养培优
13.(2020·江苏无锡市期末)已知点A(4,1),B(-6,3),C(3,0).
(1)求△ABC中BC边上的高所在直线的方程;
(2)求过A,B,C三点的圆的方程.
解:(1)因为B(-6,3),C(3,0),
所以kBC==-,
则BC边上的高所在直线的斜率为3.
又A(4,1),所以BC边上的高所在直线的方程为y-1=3(x-4),即3x-y-11=0.
(2)设过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
则解得
所以所求圆的方程为x2+y2+x-9y-12=0.
14.如图所示,自A(4,0)引圆x2+y2=4的割线ABC,求弦BC中点P的轨迹方程.
解:因为P为BC中点,O为圆心,
所以OP⊥BC.
设P(x,y),当x≠0时,kOP·kAP=-1,
即·=-1,即x2+y2-4x=0(0当x=0时,P点坐标为(0,0)是方程①的解,
所以BC中点P的轨迹方程为x2+y2-4x=0(0≤x<1).2.4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
选题明细表
知识点、方法
题号
圆的标准方程
1,2,3,4,6,7,10,11,12,13
点与圆的位置关系
5,8
与圆有关的最值问题
9,14
基础巩固
1.圆x2+y2=1的圆心到直线3x+4y-25=0的距离是( )
(A)5
(B)3
(C)4
(D)2
2.已知两点P1(2,7),P2(6,5),则以线段P1P2为直径的圆的标准方程是( )
(A)(x-4)2+(y-6)2=5
(B)(x-4)2+(y-6)2=10
(C)(x-2)2+(y-1)2=5
(D)(x-6)2+(y-4)2=25
3.(2019·广西钦州市期末)圆(x-2)2+(y+1)2=5关于原点对称的圆的方程为( )
(A)(x-2)2+(y-1)2=5
(B)(x+1)2+(y-2)2=5
(C)(x-1)2+(y+2)2=5
(D)(x+2)2+(y-1)2=5
4.圆(x-1)2+(y-1)2=2关于直线y=kx+3对称,则k的值为( )
(A)2
(B)-2
(C)1
(D)-1
5.点P(1,-1)在圆x2+y2=r的外部,则实数r的取值范围是 .?
6.与圆(x-2)2+(y+3)2=16同心,且过点P(-1,1)的圆的方程是 ;
此圆的面积为
.?
综合运用
7.(2019·浙江东阳市期中)圆心在点C(-2,1),并经过点A(2,-2)的圆的方程是( )
(A)(x-2)2+(y+1)2=5
(B)(x-2)2+(y+1)2=25
(C)(x+2)2+(y-1)2=5
(D)(x+2)2+(y-1)2=25
8.若点(2a,a-1)在圆x2+(y+1)2=5的内部,则a的取值范围是( )
(A)(-∞,1]
(B)(-1,1)
(C)(2,5)
(D)(1,+∞)
9.已知圆O:x2+y2=1,点A(-2,0)及点B(2,a),从A点观察B点,要使视线不被圆C挡住,则实数a的取值范围是( )
(A)(-∞,-2)
(B)(2,+∞)
(C)(-∞,-)
(D)(-∞,-)∪(,+∞)
10.已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则圆C的方程为 .?
11.直线l:+=1与x轴,y轴分别相交于点A,B,O为坐标原点,则
△AOB内切圆的方程为
;此圆的面积为 .?
12.求过三点O(0,0),M(1,1),N(4,2)的圆的方程,并求出这个圆的半径长和圆心坐标.
素养培优
13.(2019·江西玉山县期末)已知直线l:(k-1)x-2y+5-3k=0(k∈R)恒过定点P,圆C经过点A(5,-1)和点P,且圆心在直线x-2y+2=0上.
(1)求定点P的坐标;
(2)求圆C的方程.
14.若圆C经过坐标原点,且圆心在直线y=-2x+3上运动,求当半径最小时圆的方程.