3.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
选题明细表
知识点、方法
题号
椭圆的简单几何性质
1,5,10
由性质求椭圆的标准方程
2,7,11,12
离心率问题
3,6,8,14
综合应用
4,9,13
基础巩固
1.(2019·聊城期中)椭圆+=1的一个焦点坐标为( D )
(A)(7,0)
(B)(0,7)
(C)(1,0)
(D)(0,1)
解析:椭圆+=1的焦点在y轴上,a=5,b=2.c=1.
椭圆的焦点坐标是(0,±1).
故选D.
2.(2019·常熟市期中)中心在原点,焦距为2,离心率为的椭圆标准方程为( A )
(A)+=1或+=1
(B)+=1
(C)+y2=1
(D)x2+=1
解析:根据题意,要求椭圆的焦距为2,
即2c=2,则c=1.
又由椭圆的离心率为,
即e==,解得a=2.
则b==,
若椭圆的焦点在x轴上,则其标准方程为+=1,
若椭圆的焦点在y轴上,则其标准方程为+=1,
所要求椭圆的标准方程为+=1或+=1.
故选A.
3.(2019·聊城期中)从椭圆的长轴的一个端点看短轴的两个端点的视角为60°,那么此椭圆的离心率为( B )
(A)
(B)
(C)
(D)
解析:因为椭圆的长轴为A1A2,B为短轴一端点,
所以∠CA2B=60°,
所以b=a,即3b2=a2,
又a2-c2=b2,
所以2a2=3c2,
解得e==.
故选B.
4.(多选题)(2019·葫芦岛月考)椭圆C:+=1的右焦点为F,点P是椭圆C上的动点,则|PF|的值可能是( BC )
(A)1
(B)3
(C)4
(D)8
解析:椭圆C:+=1,可得a=4,b=2,c=2,
所以椭圆C:+=1的右焦点为F,点P是椭圆C上的动点,
则2=a-c≤|PF|≤a+c=6,|PF|的值可能是3,4.
故选BC.
5.(2019·越城区校级月考)椭圆+=1的半焦距是 ,离心率是 .?
解析:由椭圆+=1,得a2=9,b2=4,
所以c2=a2-b2=5,则c=,
所以e==.
答案:
6.(2019·宣城期中)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左顶点为A,上顶点为B.若BF1是△BAF2的中线,则该椭圆的离心率为 .?
解析:根据题意a-c=2c,即a=3c,
e===.
答案:
综合运用
7.如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-2,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=4,则椭圆C的方程为( B )
(A)+=1
(B)+=1
(C)+=1
(D)+=1
解析:设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),焦距为2c,右焦点为F′,连接PF′,如图所示.
因为F(-2,0)为C的左焦点,
所以c=2.
由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠FPF′=90°,即FP⊥PF′.
在Rt△PFF′中,由勾股定理,得
|PF′|===8.
由椭圆定义,得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12,
所以a=6,a2=36,
于是b2=a2-c2=36-(2)2=16,
所以椭圆C的方程为+=1.
故选B.
8.已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若=2,则椭圆的离心率是( D )
(A)
(B)
(C)
(D)
解析:因为=2,所以||=2||.
又因为PO∥BF,
所以==,
即=,
所以e==.故选D.
9.
(多选题)如图,两个椭圆+=1,+=1内部重叠区域的边界记为曲线C,P是曲线C上的任意一点,下列四个判断中正确命题为( BC )
(A)P到F1(-4,0),F2(4,0),E1(0,-4),E2(0,4)四点的距离之和为定值
(B)曲线C关于直线y=x,y=-x均对称
(C)曲线C所围区域面积必小于36
(D)曲线C总长度不大于6π
解析:
逐一考查所给的说法:
考虑点P不是交点的情况,若点P在椭圆+=1上,P到F1(-4,0),
F2(4,0)两点的距离之和为定值,到E1(0,-4),E2(0,4)两点的距离之和不为定值,故A错;两个椭圆关于直线y=x,y=-x均对称,曲线C关于直线y=x,y=-x均对称,故B正确;曲线C所围区域在边长为6的正方形内部,所以面积必小于36,故C正确;曲线C所围区域在半径为3的圆外部,所以曲线的总长度大于圆的周长6π,故D错误.
故选BC.
10.(2019·诸暨市校级月考)已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长是短轴长的2倍.则该椭圆的长轴长为 ,其标准方程是
.?
解析:已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长是短轴长的2倍.
可得
所以
可得a=4,2a=8.
所以+=1为椭圆的标准方程.
答案:8 +=1
11.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且过点P(-5,4),则椭圆的方程为 .?
解析:因为e==,
所以==,
所以5a2-5b2=a2,即4a2=5b2.
设椭圆的标准方程为+=1(a>0).
因为椭圆过点P(-5,4),所以+=1,
解得a2=45，b2=36，所以椭圆的方程为+=1.
答案:+=1
12.(1)求与椭圆+=1有相同的焦点,且离心率为的椭圆的标准方程;
(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8,两个顶点坐标分别是(-6,0),(6,0),求焦点在x轴上的椭圆的标准方程.
解:(1)因为c==,
所以所求椭圆的焦点为(-,0),(,0).
设所求椭圆的方程为+=1(a>b>0).
因为e==,c=,所以a=5,b2=a2-c2=20,
所以所求椭圆的方程为+=1.
(2)因椭圆的焦点在x轴上,
设它的标准方程为+=1(a>b>0),
因为2c=8,所以c=4,
又a=6,所以b2=a2-c2=20.
所以椭圆的方程为+=1.
素养培优
13.已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;
(2)若椭圆的焦距为2,且=2,求椭圆的方程.
解:(1)由∠F1AB=90°及椭圆的对称性知b=c,则e====.
(2)由已知a2-b2=1,设B(x,y),A(0,b),则=(1,-b),=(x-1,y),由=2,即(1,-b)=2(x-1,y),解得x=,y=-,则+=1,得a2=3,因此b2=2,方程为+=1.
14.椭圆+=1(a>b>0)的右顶点是A(a,0),其上存在一点P,使
∠APO=90°,求椭圆离心率的取值范围.
解:设P(x,y),由∠APO=90°知,点P在以OA为直径的圆上,圆的方程是(x-)2+y2=()2,
所以y2=ax-x2.①
又因为P点在椭圆上,故+=1.②
把①代入②化简,得(a2-b2)x2-a3x+a2b2=0,
即(x-a)[(a2-b2)x-ab2]=0.
因为x≠a,x≠0,
所以x=,又0
所以0<由b2=a2-c2,得a2<2c2,
所以e>.
又因为0即椭圆离心率的取值范围是(,1).第2课时 直线与椭圆的位置关系
选题明细表
知识点、方法
题号
点、直线与椭圆的位置关系
1,2,11
与弦有关的问题
3,4,6,8
最值问题
5,9,12
综合问题
7,10,13
基础巩固
1.(2019·衡水高二检测)若点P(a,1)在椭圆+=1的外部,则a的取值范围为( )
(A)(-,)
(B)(-∞,-)∪(,+∞)
(C)(,+∞)
(D)(-∞,-)
2.已知直线l:x+y-3=0,椭圆+y2=1,则直线与椭圆的位置关系是( )
(A)相交
(B)相切
(C)相离
(D)相切或相交
3.过椭圆x2+2y2=4的左焦点作倾斜角为的弦AB,则弦AB的长为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
4.直线l交椭圆+=1于A,B两点,AB的中点为
M(2,1),则l的方程为 .?
5.(2019·葫芦岛月考)若点P是椭圆E:+y2=1上的动点,则点P到直线l:x-y-3=0的距离的最小值是 ,此时P的坐标为 .?
综合运用
6.椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M,N两点,过原点与线段MN中点所在直线的斜率为,则的值是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
7.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,则C的离心率为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
8.椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在椭圆C上且直线PA2的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1的斜率的取值范围是( )
(A)[,]
(B)[,]
(C)[,1]
(D)[,1]
.
9.已知动点P(x,y)在椭圆+=1上,若A点坐标为(3,0),||=1,且·=0,则||的最小值是 .?
10.(2019·哈尔滨高二检测)已知椭圆C:2x2+y2=1,直线l不过原点O且不垂直于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M,则kOM·kl=
,若M的坐标为M(,),则直线l的方程为 .?
11.已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.
(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.
素养培优
12.(2019·河南月考)已知椭圆+=1(a>b>0)的长轴长与焦距分别为方程x2-6x+8=0的两个实数根.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线l过点M(-4,0)且与椭圆相交于A,B两点,F是椭圆的左焦点,当△ABF面积最大时,求直线l的斜率.
13.(2019·石家庄月考)已知点M(,)在椭圆C:+=1(a>b>0)上,且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2),求△PAB的面积.第2课时 直线与椭圆的位置关系
选题明细表
知识点、方法
题号
点、直线与椭圆的位置关系
1,2,11
与弦有关的问题
3,4,6,8
最值问题
5,9,12
综合问题
7,10,13
基础巩固
1.(2019·衡水高二检测)若点P(a,1)在椭圆+=1的外部,则a的取值范围为( B )
(A)(-,)
(B)(-∞,-)∪(,+∞)
(C)(,+∞)
(D)(-∞,-)
解析:因为点P在椭圆+=1的外部,
所以+>1,
解得a>或a<-,故选B.
2.已知直线l:x+y-3=0,椭圆+y2=1,则直线与椭圆的位置关系是( C )
(A)相交
(B)相切
(C)相离
(D)相切或相交
解析:把x+y-3=0代入+y2=1,
得+(3-x)2=1,
即5x2-24x+32=0.
因为Δ=(-24)2-4×5×32=-64<0,
所以直线与椭圆相离.
3.过椭圆x2+2y2=4的左焦点作倾斜角为的弦AB,则弦AB的长为( B )
(A)
(B)
(C)
(D)
解析:由
消去y整理得7x2+12x+8=0,
由弦长公式得
|AB|=×=.
4.直线l交椭圆+=1于A,B两点,AB的中点为
M(2,1),则l的方程为 .?
解析:由点差法求出kAB=-,
所以l的方程为y-1=-(x-2).
化简得:3x+2y-8=0.
答案:3x+2y-8=0
5.(2019·葫芦岛月考)若点P是椭圆E:+y2=1上的动点,则点P到直线l:x-y-3=0的距离的最小值是 ,此时P的坐标为 .?
解析:设直线l1:x-y+m=0,
联立整理得5x2+8mx+4m2-4=0,
则Δ=64m2-4×5(4m2-4)=0,
解得m=±,
当m=-时,直线l与直线l1之间的距离
d==,
即点P到直线l的最小距离是,
此时5x2-8x+16=0,解得x=,
将x=代入x-y-=0,得y=-,
则点P的坐标为(,-).
答案: (,-)
综合运用
6.椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M,N两点,过原点与线段MN中点所在直线的斜率为,则的值是( A )
(A)
(B)
(C)
(D)
解析:联立方程组
得(m+n)x2-2nx+n-1=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点P(x0,y0),
则x0==,
y0=1-x0=1-=.
所以kOP===.
故选A.
7.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,则C的离心率为( B )
(A)
(B)
(C)
(D)
解析:在△ABF中,|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB|·|BF|·cos∠ABF=
102+82-2×10×8×=36,
则|AF|=6.由|AB|2=|AF|2+|BF|2可知,
△ABF是直角三角形,OF为斜边AB的中线,
c=|OF|==5.
设椭圆的另一焦点为F1,
因为点O平分AB,且平分FF1,
所以四边形AFBF1为平行四边形,
所以|BF|=|AF1|=8.
由椭圆的性质可知|AF|+|AF1|=14=2a?a=7,
则e==.
8.椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在椭圆C上且直线PA2的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1的斜率的取值范围是( B )
(A)[,]
(B)[,]
(C)[,1]
(D)[,1]
解析:设PA2的斜率为k2,PA1的斜率为k1,
则k1·k2=-=-.
又k2∈[-2,-1],所以k1∈[,].
故选B.
9.已知动点P(x,y)在椭圆+=1上,若A点坐标为(3,0),||=1,且·=0,则||的最小值是 .?
解析:易知点A(3,0)是椭圆的右焦点.
因为·=0,所以⊥.
所以||2=||2-||2=||2-1,
因为椭圆右顶点到右焦点A的距离最小,
所以||min=2,所以||min=.
答案:
10.(2019·哈尔滨高二检测)已知椭圆C:2x2+y2=1,直线l不过原点O且不垂直于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M,则kOM·kl=
,若M的坐标为M(,),则直线l的方程为 .?
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(,),
直线OM的斜率kOM=,l的斜率kl=,
两式相减可得:2(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0,
即·=-2.
所以kOM·kl=-2,
因为M(,),
所以kOM=1,所以kl=-2,
所以直线l的方程为y-=-2(x-),
即4x+2y-3=0.
答案:-2 4x+2y-3=0
11.已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.
(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.
解:(1)由题意得消y整理得:
5x2+2mx+m2-1=0.
因为直线与椭圆有公共点,
所以Δ=4m2-20(m2-1)=20-16m2≥0,
所以-≤m≤.
(2)设直线与椭圆交点A(x1,y1),B(x2,y2),
则由(1)得
所以|AB|=|x1-x2|
=·
=·
=.
因为-≤m≤,
所以0≤m2≤,
所以当m=0时,|AB|取得最大值,此时直线方程为y=x,即x-y=0.
素养培优
12.(2019·河南月考)已知椭圆+=1(a>b>0)的长轴长与焦距分别为方程x2-6x+8=0的两个实数根.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线l过点M(-4,0)且与椭圆相交于A,B两点,F是椭圆的左焦点,当△ABF面积最大时,求直线l的斜率.
解:(1)解方程x2-6x+8=0的两个实数根分别为2,4.
由题意得,2a=4,2c=2.
所以a=2,c=1,b2=a2-c2=3.
所以椭圆的标准方程为+=1.
(2)由题意得直线l的斜率不为零,
设直线l的方程:x=my-4,A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意F为(-1,0),
联立直线与椭圆方程
整理得(3m2+4)y2-24my+36=0,Δ>0得m2>4,
y1+y2=,y1y2=,
所以|AB|=|y1-y2|
=
=·12·,
F到直线AB的距离d=,
所以S△ABF=|AB|·d
=18·
=18·,
当且仅当3=时,面积S最大,
即m2=,
所以m=±,
所以直线l的斜率为±.
13.(2019·石家庄月考)已知点M(,)在椭圆C:+=1(a>b>0)上,且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2),求△PAB的面积.
解:(1)由已知得
解得
故椭圆C的方程为+=1.
(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为D(x0,y0).
由
消去y整理得4x2+6mx+3m2-12=0,
由根与系数的关系得
x1+x2=-,x1x2=,
由Δ=36m2-16(3m2-12)>0得m2<16,
则x0==-m,y0=x0+m=m,
即D(-m,m).
因为AB是等腰△PAB的底边,
所以PD⊥AB,
即PD的斜率k==-1,
解得m=2,满足m2<16.
此时x1+x2=-3,x1x2=0,
则|AB|=|x1-x2|
=·
=3,
又点P到直线l:x-y+2=0的距离为d=,
所以△PAB的面积为S=|AB|·d=.3.1
椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
选题明细表
知识点、方法
题号
椭圆的定义及应用
1,3,8，9
椭圆的标准方程
2,4,5
轨迹问题
10,11,12,
综合运用
6,7,13
基础巩固
1.(2019·商丘高二检测)设F1(-4,0),F2(4,0)为定点,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点M的轨迹是( D )
(A)椭圆
(B)直线
(C)圆
(D)线段
解析:若点M与F1,F2可以构成一个三角形,
则|MF1|+|MF2|>|F1F2|,
因为|F1F2|=8,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,
所以点M在线段F1F2上.故选D.
2.(2019·潍坊高二检测)如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是( D )
(A)(3,+∞)
(B)(-∞,-2)
(C)(3,+∞)∪(-∞,-2)
(D)(3,+∞)∪(-6,-2)
解析:由于椭圆的焦点在x轴上,所以即解得a>3或-63.(2019·合肥高二月考)设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△F1PF2的面积等于( B )
(A)5
(B)4
(C)3
(D)1
解析:由椭圆方程,得a=3,b=2,c=,
所以|PF1|+|PF2|=2a=6,
又|PF1|∶|PF2|=2∶1,
所以|PF1|=4,|PF2|=2,
由22+42=(2)2可知,△F1PF2是直角三角形,
故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|=×4×2=4,
故选B.
4.(多选题)已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且|F1F2|=2,若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|,则椭圆C的标准方程可能为( AC )
(A)+=1
(B)+=1
(C)+=1
(D)+=1
解析:由已知2c=|F1F2|=2,
所以c=.
因为2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,
所以a=2.所以b2=a2-c2=9.
故椭圆C的标准方程是+=1或+=1.
故选AC.
5.(2019·杭州高二期中)经过点(0,2),(-3,0)的椭圆方程是
,
其焦距是
.?
解析:经过点(0,2),(-3,0)的椭圆,
可得a=3,b=2,焦点在x轴,
所以椭圆的方程是+=1.
椭圆的焦距为2c=2=2.
答案:+=1 2
综合运用
6.命题甲:动点P到两定点A,B的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0,常数);命题乙:P点轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的( B )
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分又不必要条件
解析:利用椭圆定义.若P点轨迹是椭圆,则|PA|+|PB|=2a(a>0,常数),所以甲是乙的必要条件.
反过来,若|PA|+|PB|=2a(a>0,常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的.
这是因为:仅当2a>|AB|时,P点轨迹才是椭圆;而当2a=|AB|时,P点轨迹是线段AB;当2a<|AB|时,P点无轨迹,所以甲不是乙的充分条件.
综上,甲是乙的必要不充分条件.故选B.
7.已知椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,点M在该椭圆上,且·=0,则点M到x轴的距离为( C )
(A)
(B)
(C)
(D)
解析:由·=0,得MF1⊥MF2,
可设||=m,||=n,
在△F1MF2中,由m2+n2=4c2得
(m+n)2-2mn=4c2,
根据椭圆的定义有m+n=2a,
所以2mn=4a2-4c2,
所以mn=2b2,即mn=2,
所以=mn=1.
设点M到x轴的距离为h,
则×|F1F2|×h=1,
又|F1F2|=2,
所以h=.故选C.
8.(多选题)(2019·长春高二期中)已知平面内动点P到两定点F1,F2的距离的和等于常数2a,关于动点P的轨迹说法正确的是( BC )
(A)点P的轨迹一定是椭圆
(B)2a>|F1F2|时,点P的轨迹是椭圆
(C)2a=|F1F2|时,点P的轨迹是线段F1F2
(D)点P的轨迹一定存在
解析:由平面内动点P到两定点F1,F2的距离的和等于常数2a,可知:
当2a>|F1F2|时,点P的轨迹是椭圆;
当2a=|F1F2|时,点P的轨迹是线段F1F2;
当2a<|F1F2|时,动点P的轨迹不存在.
故选BC.
9.已知|AB|=4,点P在A,B所在的平面内运动且|PA|+|PB|=6,则|PA|的最大值是 ,最小值是 . ?
解析:依题意知,点P是以A,B为焦点,长轴为6的椭圆,
所以2a=6,2c=4,
所以a=3,c=2.
所以|PA|max=a+c=3+2=5.
|PA|min=a-c=3-2=1.
答案:5 1
10.(2019·衡水高二检测)已知P是椭圆+=1上的一动点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹方程是 .?
解析:依题意,|PF1|+|PF2|=2a(a是常数且a>0).
又|PQ|=|PF2|,
所以|PF1|+|PQ|=2a,
即|QF1|=2a.
由题意知,a=2,b=,c===1.
所以|QF1|=4,F1(-1,0),
所以动点Q的轨迹是以F1为圆心,4为半径的圆,
所以动点Q的轨迹方程是(x+1)2+y2=16.
答案:(x+1)2+y2=16
11.一个动圆与已知圆Q1:(x+3)2+y2=1外切,与圆Q2:(x-3)2+y2=81内切,试求这个动圆圆心的轨迹方程.
解:两定圆的圆心和半径分别为Q1(-3,0),r1=1;Q2(3,0),r2=9.
设动圆圆心为M(x,y),半径为R,如图所示,
由题意有|MQ1|=1+R,|MQ2|=9-R,
所以|MQ1|+|MQ2|=10>|Q1Q2|=6.
由椭圆的定义可知点M在以Q1,Q2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3,所以b2=a2-c2=25-9=16.
故动圆圆心的轨迹方程为+=1.
素养培优
12.(2019·温州高二月考)在△ABC中,BC=4,且sin
B,sin
A,sin
C成等差数列,建立适当的直角坐标系,求点A的轨迹方程.
解:以BC边所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,则B(-2,0),C(2,0).
因为BC=4,且sin
B,sin
A,sin
C成等差数列,
所以2sin
A=sin
B+sin
C,
由正弦定理可得AC+AB=2BC=8>BC=4,
所以点A的轨迹是以B,C为焦点,8为长轴的椭圆,除去椭圆与x轴的两个交点.
设要求的椭圆标准方程为+=1(y≠0),
因为c=2,a=4,所以b2=a2-c2=12.
所以点A的轨迹方程为+=1(y≠0).
13.已知椭圆的焦点在x轴上,且焦距为4,P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.
(1)求椭圆的方程;
(2)若△PF1F2的面积为2,求P点坐标.
解:(1)由题意知,2c=4,c=2.
且|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,
即2a=8,所以a=4.
所以b2=a2-c2=16-4=12.
又椭圆的焦点在x轴上,
所以椭圆的方程为+=1.
(2)设P点坐标为(x0,y0),
依题意知,|F1F2||y0|=2,
所以|y0|=,y0=±,
代入椭圆方程+=1,
得x0=±2,
所以P点坐标为(2,)或(2,-)或(-2,)或(-2,-).3.1
椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
选题明细表
知识点、方法
题号
椭圆的定义及应用
1,3,8，9
椭圆的标准方程
2,4,5
轨迹问题
10,11,12,
综合运用
6,7,13
基础巩固
1.(2019·商丘高二检测)设F1(-4,0),F2(4,0)为定点,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点M的轨迹是( )
(A)椭圆
(B)直线
(C)圆
(D)线段
2.(2019·潍坊高二检测)如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是( )
(A)(3,+∞)
(B)(-∞,-2)
(C)(3,+∞)∪(-∞,-2)
(D)(3,+∞)∪(-6,-2)
3.(2019·合肥高二月考)设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△F1PF2的面积等于( )
(A)5
(B)4
(C)3
(D)1
4.(多选题)已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且|F1F2|=2,若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|,则椭圆C的标准方程可能为( )
(A)+=1
(B)+=1
(C)+=1
(D)+=1
5.(2019·杭州高二期中)经过点(0,2),(-3,0)的椭圆方程是
,
其焦距是
.?
综合运用
6.命题甲:动点P到两定点A,B的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0,常数);命题乙:P点轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的( )
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分又不必要条件
7.已知椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,点M在该椭圆上,且·=0,则点M到x轴的距离为( C )
(A)
(B)
(C)
(D)
8.(多选题)(2019·长春高二期中)已知平面内动点P到两定点F1,F2的距离的和等于常数2a,关于动点P的轨迹说法正确的是( )
(A)点P的轨迹一定是椭圆
(B)2a>|F1F2|时,点P的轨迹是椭圆
(C)2a=|F1F2|时,点P的轨迹是线段F1F2
(D)点P的轨迹一定存在
9.已知|AB|=4,点P在A,B所在的平面内运动且|PA|+|PB|=6,则|PA|的最大值是 ,最小值是 . ?
10.(2019·衡水高二检测)已知P是椭圆+=1上的一动点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹方程是 .?
11.一个动圆与已知圆Q1:(x+3)2+y2=1外切,与圆Q2:(x-3)2+y2=81内切,试求这个动圆圆心的轨迹方程.
素养培优
12.(2019·温州高二月考)在△ABC中,BC=4,且sin
B,sin
A,sin
C成等差数列,建立适当的直角坐标系,求点A的轨迹方程.
13.已知椭圆的焦点在x轴上,且焦距为4,P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.
(1)求椭圆的方程;
(2)若△PF1F2的面积为2,求P点坐标.3.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
选题明细表
知识点、方法
题号
椭圆的简单几何性质
1,5,10
由性质求椭圆的标准方程
2,7,11,12
离心率问题
3,6,8,14
综合应用
4,9,13
基础巩固
1.(2019·聊城期中)椭圆+=1的一个焦点坐标为( )
(A)(7,0)
(B)(0,7)
(C)(1,0)
(D)(0,1)
2.(2019·常熟市期中)中心在原点,焦距为2,离心率为的椭圆标准方程为( A )
(A)+=1或+=1
(B)+=1
(C)+y2=1
(D)x2+=1
3.(2019·聊城期中)从椭圆的长轴的一个端点看短轴的两个端点的视角为60°,那么此椭圆的离心率为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
4.(多选题)(2019·葫芦岛月考)椭圆C:+=1的右焦点为F,点P是椭圆C上的动点,则|PF|的值可能是( )
(A)1
(B)3
(C)4
(D)8
5.(2019·越城区校级月考)椭圆+=1的半焦距是 ,离心率是 .?
6.(2019·宣城期中)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左顶点为A,上顶点为B.若BF1是△BAF2的中线,则该椭圆的离心率为 .?
综合运用
7.如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-2,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=4,则椭圆C的方程为( )
(A)+=1
(B)+=1
(C)+=1
(D)+=1
8.已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若=2,则椭圆的离心率是( D )
(A)
(B)
(C)
(D)
9.
(多选题)如图,两个椭圆+=1,+=1内部重叠区域的边界记为曲线C,P是曲线C上的任意一点,下列四个判断中正确命题为( )
(A)P到F1(-4,0),F2(4,0),E1(0,-4),E2(0,4)四点的距离之和为定值
(B)曲线C关于直线y=x,y=-x均对称
(C)曲线C所围区域面积必小于36
(D)曲线C总长度不大于6π
10.(2019·诸暨市校级月考)已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长是短轴长的2倍.则该椭圆的长轴长为 ,其标准方程是
.?
11.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且过点P(-5,4),则椭圆的方程为 .?
12.(1)求与椭圆+=1有相同的焦点,且离心率为的椭圆的标准方程;
(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8,两个顶点坐标分别是(-6,0),(6,0),求焦点在x轴上的椭圆的标准方程.
素养培优
13.已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;
(2)若椭圆的焦距为2,且=2,求椭圆的方程.
14.椭圆+=1(a>b>0)的右顶点是A(a,0),其上存在一点P,使
∠APO=90°,求椭圆离心率的取值范围.