3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
选题明细表
知识点、方法
题号
双曲线定义及其应用
1,3,5,12
双曲线的标准方程及应用
4,6,11
双曲线方程的理解
2,7,9
综合应用
8,10,13
基础巩固
1.平面内有两个定点F1,F2和一动点M,设命题甲,||MF1|-|MF2||是定值,命题乙:点M的轨迹是双曲线,则命题甲是命题乙的( B )
(A)充分条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:命题甲:||MF1|-|MF2||是定值可得到动点M的轨迹不一定是双曲线,不能推出命题乙,故不充分.
命题乙:点M的轨迹是双曲线,则可得到M到两定点的距离的差的绝对值等于一常数,即可推出命题甲,故必要.所以命题甲是命题乙的必要不充分条件.故选B.
2.方程-=1表示双曲线,则m的取值范围为( A )
(A)(-2,2)
(B)(0,+∞)
(C)[0,+∞)
(D)(-∞,-2]∪[2,+∞)
解析:因为已知方程表示双曲线,
所以(2+m)(2-m)>0.
所以-23.已知双曲线的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),M是此双曲线上的一点,且满足·=0,||·||=2,则该双曲线的方程是( A )
(A)-y2=1
(B)x2-=1
(C)-=1
(D)-=1
解析:由·=0可得|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2=40,又由||·
||=2可得||MF1|-|MF2||==6,得a=3,b=1,故选A.
4.(多选题)(2019·日照高二月考)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则( BC )
(A)|PF1|·|PF2|=2
(B)|PF1|·|PF2|=4
(C)=
(D)=2
解析:不妨设点P在双曲线的右支上,
所以|PF1|-|PF2|=2a=2,|F1F2|=2c=2,
又因为∠F1PF2=60°,
所以在△F1PF2中利用余弦定理可知:
|F1F2|2=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,
所以|PF1|·|PF2|=4,
=|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2
=×4×sin
60°
=.
故选BC.
5.设点P是双曲线-=1上任意一点,F1,F2分别是其左、右焦点,若|PF1|=10,则|PF2|= .?
解析:由双曲线的标准方程得,a=3,b=4.
于是c==5.
(1)若点P在双曲线的左支上,
则|PF2|-|PF1|=2a=6,
所以|PF2|=6+|PF1|=16.
(2)若点P在双曲线的右支上,
则|PF1|-|PF2|=6,
所以|PF2|=|PF1|-6=10-6=4.
综上,|PF2|=16或4.
答案:16或4
6.经过点P(-3,2)和Q(-6,-7),且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是 ;焦点坐标是 .?
解析:设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),
则解得
故双曲线的标准方程为-=1.
c2=25+75=100,c=10,焦点坐标为F1(0,-10),F2(0,10)
答案:-=1 F1(0,-10),F2(0,10)
综合运用
7.在方程mx2-my2=n中,若mn<0,则方程表示的曲线是( D )
(A)焦点在x轴上的椭圆
(B)焦点在x轴上的双曲线
(C)焦点在y轴上的椭圆
(D)焦点在y轴上的双曲线
解析:方程mx2-my2=n可化为-=1.
因为mn<0,所以<0,->0.
方程又可化为-=1,
所以方程表示焦点在y轴上的双曲线.故选D.
8.已知椭圆+=1与双曲线-=1有共同的焦点F1,F2,两曲线的一个交点为P,则·的值为( C )
(A)3
(B)7
(C)11
(D)21
解析:椭圆与双曲线同焦点,解得m=4,
设r1=|PF1|>r2=|PF2|,根据圆锥曲线定义
得r1+r2=10,r1-r2=4,
解得r1=7,r2=3,而焦距为6,由余弦定理得
cos
∠F1PF2==,
因此·=7×3×=11.故选C.
9.(多选题)方程+=1表示的曲线为C,则( CD )
(A)曲线C不可能是圆
(B)若1(C)若曲线C为双曲线,则k<1或k>4
(D)若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则1解析:当4-k=k-1>0时,即k=时,曲线C是圆,所以A错.
对于B,当1根据双曲线定义与标准方程,C,D是真命题.
故选CD.
10.(2019·浙江衢州高三模拟)F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,P为双曲线右支上的一点,☉A是△PF1F2的内切圆,☉A与x轴相切于点M(m,0),则m的值为 .?
解析:
如图所示,
易知|PB|=|PC|,
|BF1|=|MF1|,
|CF2|=|MF2|,
|PF1|-|PF2|=|BF1|-|CF2|=|MF1|-|MF2|=2a,
所以点M在双曲线上,
因为a=4,
所以M(4,0),即m=4.
答案:4
11.已知与双曲线-=1共焦点的双曲线过点P(-,-),求该双曲线的标准方程.
解:在双曲线-=1中,
c=5.
设双曲线方程为-=1.
因为点P(-,-)在双曲线上,
所以-=1.
化简,得4a4-129a2+125=0,
解得a2=1或a2=.
又当a2=时,b2=25-a2=25-=-<0,不合题意,舍去,故a2=1,b2=24.
所以所求双曲线的标准方程为x2-=1.
素养培优
12.如图所示,已知定圆F1:x2+y2+10x+24=0,定圆F2:x2+y2-10x+9=0,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
解:圆F1:(x+5)2+y2=1,
所以圆心F1(-5,0),半径r1=1.
圆F2:(x-5)2+y2=42,
所以圆心F2(5,0),半径r2=4.
设动圆M的半径为R,则有
|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,
所以|MF2|-|MF1|=3<|F1F2|.
所以点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线(左支),
且a=,c=5,b2=c2-a2=.
所以双曲线方程为x2-y2=1(x≤-).
13.已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若点M在双曲线上,F1,F2分别为左、右焦点,且|MF1|=2|MF2|,试求△MF1F2的面积.
解:(1)椭圆方程可化为+=1,焦点在x轴上,且c=,
故设双曲线方程为-=1,则
解得
所以双曲线的标准方程为-=1.
(2)因为点M在双曲线上,又|MF1|=2|MF2|,
所以点M在双曲线的右支上,
则有|MF1|-|MF2|=2,
故解得|MF1|=4,|MF2|=2,
又|F1F2|=2,
因此在△MF1F2中,
cos
∠F1MF2==,
所以sin
∠F1MF2=,
所以=|MF1|·|MF2|·sin
∠F1MF2
=×4×2×
=2.3.2.2 双曲线的简单几何性质
选题明细表
知识点、方法
题号
双曲线的几何性质
2,4,6
利用几何性质求双曲线方程
3,7,10
双曲线的离心率
1,5,11
直线与双曲线的位置关系
8,9,12,13
基础巩固
1.(2019·吉林期末)双曲线-y2=1的离心率为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
2.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,实轴长为4,则双曲线C的渐近线方程为( )
(A)x±2y=0
(B)2x±y=0
(C)2x±3y=0
(D)3x±2y=0
3.(2019·浙江月考)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,且其右焦点为F2(2,0),则双曲线C的方程为( )
(A)-=1
(B)-=1
(C)-=1
(D)-=1
4.(多选题)在平面直角坐标系xOy中,双曲线的中心在坐标原点,焦点在y轴上,一条渐近线的方程为x-2y=0,则它的( )
(A)离心率为
(B)离心率为
(C)两渐近线的夹角为60°
(D)两渐近线的夹角的正切值为
5.(2019·江苏月考)若双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为-,则此双曲线的离心率为 .?
6.若双曲线mx2-y2=1的渐近线为y=±2x,则m= ;焦点F到渐近线的距离为 .?
综合运用
7.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为( )
(A)-y2=1
(B)x2-=1
(C)-=1
(D)-=1
8.已知双曲线-=1的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线斜率的取值范围是( )
(A)(-,)
(B)(-,)
(C)[-,]
(D)[-,]
9.(2019·安徽合肥高二检测)过双曲线-=1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为,这样的直线有 条.?
10.设双曲线-=1(b>a>0)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点.已知原点到直线l的距离为c,求双曲线的离心率.
素养培优
11.过双曲线-=1的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,F1为左焦点.
(1)求|AB|;
(2)求△AOB的面积.
12.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,且=.
(1)求双曲线C的方程;
(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值.3.2.2 双曲线的简单几何性质
选题明细表
知识点、方法
题号
双曲线的几何性质
2,4,6
利用几何性质求双曲线方程
3,7,10
双曲线的离心率
1,5,11
直线与双曲线的位置关系
8,9,12,13
基础巩固
1.(2019·吉林期末)双曲线-y2=1的离心率为( D )
(A)
(B)
(C)
(D)
解析:根据题意得a==2,b=1,
故c==,
e==.
故选D.
2.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,实轴长为4,则双曲线C的渐近线方程为( A )
(A)x±2y=0
(B)2x±y=0
(C)2x±3y=0
(D)3x±2y=0
解析:依题意得2a=4,a=2,离心率为=,
所以c=3,
所以b2=c2-a2=5,
所以双曲线的渐近线方程为y=±x.
故选A.
3.(2019·浙江月考)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,且其右焦点为F2(2,0),则双曲线C的方程为( A )
(A)-=1
(B)-=1
(C)-=1
(D)-=1
解析:双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,且其右焦点为F2(2,0),
可得c=2,a=,所以b=3,
所以双曲线方程为-=1.故选A.
4.(多选题)在平面直角坐标系xOy中,双曲线的中心在坐标原点,焦点在y轴上,一条渐近线的方程为x-2y=0,则它的( AD )
(A)离心率为
(B)离心率为
(C)两渐近线的夹角为60°
(D)两渐近线的夹角的正切值为
解析:由题意知,这条渐近线的斜率为,
即=,而e====.
渐近线的倾斜角α的正切值为tan
α=,故两渐近线夹角的正切值为tan
2α==.故选AD.
5.(2019·江苏月考)若双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为-,则此双曲线的离心率为 .?
解析:双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为-,
可得=,所以=,
所以=,所以e==.
答案:
6.若双曲线mx2-y2=1的渐近线为y=±2x,则m= ;焦点F到渐近线的距离为 .?
解析:由双曲线的方程知m>0,
由mx2-y2=0得y=±x,
因为双曲线的渐近线方程为y=±2x,
所以=2,得m=4,
双曲线的焦点F的坐标为(±,0),
焦点F到渐近线的距离为=1.
答案:4 1
综合运用
7.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为( A )
(A)-y2=1
(B)x2-=1
(C)-=1
(D)-=1
解析:由焦距为2,得c=.因为双曲线的一条渐近线与直线2x+
y=0垂直,所以=.又c2=a2+b2,解得a=2,b=1,所以双曲线的方程为-y2=1.
故选A.
8.已知双曲线-=1的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线斜率的取值范围是( C )
(A)(-,)
(B)(-,)
(C)[-,]
(D)[-,]
解析:由题意知,F(4,0),双曲线的两条渐近线方程为y=±x,当过F点的直线与渐近线平行时,满足与右支只有一个交点,画出图形(图略),通过图形可知应选C.
故选C.
9.(2019·安徽合肥高二检测)过双曲线-=1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为,这样的直线有 条.?
解析:依题意得右焦点F(5,0),
所以过F且垂直于x轴的直线是x=5,
代入-=1,得y=±,
所以此时弦长为×2=.
当直线不垂直x轴时,如果直线与双曲线有两个交点,则弦长一定比长.因为两顶点间距离为4,
即左右两支上的点的最短距离是4,所以如果交于两支的话,弦长不可能为,故只有一条.
答案:1
10.设双曲线-=1(b>a>0)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点.已知原点到直线l的距离为c,求双曲线的离心率.
解:直线l的方程为+=1,
即bx+ay-ab=0,
于是有=c,
即4ab=c2,
两边平方得16a2b2=3c4,
所以16a2(c2-a2)=3c4,
3c4-16a2c2+16a4=0,
即3e4-16e2+16=0,
解得e2=4或e2=,
因为b>a>0,所以>1,
e2==1+>2,故e2=4,
所以e=2.
素养培优
11.过双曲线-=1的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,F1为左焦点.
(1)求|AB|;
(2)求△AOB的面积.
解:(1)由双曲线的方程得a=,b=,
所以c==3,F1(-3,0),F2(3,0).
直线AB的方程为y=(x-3).
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由
得5x2+6x-27=0
所以x1+x2=-,x1x2=-,
所以|AB|=|x1-x2|=×=×=.
(2)直线AB方程变形为x-3y-3=0
所以原点O到直线AB的距离为
d==.
所以S△AOB=|AB|·d=××=.
12.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,且=.
(1)求双曲线C的方程;
(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值.
解:(1)由题意得
解得
所以b2=c2-a2=2.
所以双曲线C的方程为x2-=1.
(2)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0).
由
得x2-2mx-m2-2=0(判别式Δ>0).
所以x0==m,y0=x0+m=2m.
因为点M(x0,y0)在圆x2+y2=5上,
所以m2+(2m)2=5.故m=±1.3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
选题明细表
知识点、方法
题号
双曲线定义及其应用
1,3,5,12
双曲线的标准方程及应用
4,6,11
双曲线方程的理解
2,7,9
综合应用
8,10,13
基础巩固
1.平面内有两个定点F1,F2和一动点M,设命题甲,||MF1|-|MF2||是定值,命题乙:点M的轨迹是双曲线,则命题甲是命题乙的( )
(A)充分条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
2.方程-=1表示双曲线,则m的取值范围为( )
(A)(-2,2)
(B)(0,+∞)
(C)[0,+∞)
(D)(-∞,-2]∪[2,+∞)
3.已知双曲线的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),M是此双曲线上的一点,且满足·=0,||·||=2,则该双曲线的方程是( )
(A)-y2=1
(B)x2-=1
(C)-=1
(D)-=1
4.(多选题)(2019·日照高二月考)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则( )
(A)|PF1|·|PF2|=2
(B)|PF1|·|PF2|=4
(C)=
(D)=2
5.设点P是双曲线-=1上任意一点,F1,F2分别是其左、右焦点,若|PF1|=10,则|PF2|= .?
6.经过点P(-3,2)和Q(-6,-7),且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是 ;焦点坐标是 .?
综合运用
7.在方程mx2-my2=n中,若mn<0,则方程表示的曲线是( )
(A)焦点在x轴上的椭圆
(B)焦点在x轴上的双曲线
(C)焦点在y轴上的椭圆
(D)焦点在y轴上的双曲线
8.已知椭圆+=1与双曲线-=1有共同的焦点F1,F2,两曲线的一个交点为P,则·的值为( )
(A)3
(B)7
(C)11
(D)21
9.(多选题)方程+=1表示的曲线为C,则( )
(A)曲线C不可能是圆
(B)若1(C)若曲线C为双曲线,则k<1或k>4
10.(2019·浙江衢州高三模拟)F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,P为双曲线右支上的一点,☉A是△PF1F2的内切圆,☉A与x轴相切于点M(m,0),则m的值为 .?
11.已知与双曲线-=1共焦点的双曲线过点P(-,-),求该双曲线的标准方程.
素养培优
12.如图所示,已知定圆F1:x2+y2+10x+24=0,定圆F2:x2+y2-10x+9=0,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
13.已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若点M在双曲线上,F1,F2分别为左、右焦点,且|MF1|=2|MF2|,试求△MF1F2的面积.
