3.3 抛物线
3.3.1 抛物线及其标准方程
选题明细表
知识点、方法
题号
抛物线的定义及其应用
3,4,8,10
抛物线标准方程及应用
1,2,5,6,14
抛物线的实际应用
11
抛物线的综合应用
7,9,12,13
基础巩固
1.(多选题)顶点在原点,且过点(-4,4)的抛物线的标准方程是( BC )
(A)y2=4x
(B)x2=4y
(C)y2=-4x
(D)x2=-4y
解析:设抛物线方程为y2=-2p1x或x2=2p2y,
把(-4,4)代入得16=8p1或16=8p2,
即p1=2或p2=2.
故抛物线的标准方程为y2=-4x或x2=4y.
故选BC.
2.(2019·江西临川十中期中)若抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y-8=0上,则该抛物线的准线方程为( A )
(A)x=-4
(B)x=-3
(C)x=-2
(D)x=-1
解析:把y=0代入2x+3y-8=0得2x-8=0,
解得x=4,
所以抛物线的焦点坐标为(4,0),
所以抛物线的准线方程为x=-4,故选A.
3.若设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则C的圆心轨迹为( A )
(A)抛物线
(B)双曲线
(C)椭圆
(D)圆
解析:由题意知,圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1,即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义可知,所求轨迹是一条抛物线.故选A.
4.(2019·合肥高二月考)已知P为抛物线y2=4x上一个动点,直线l1:x=-1,l2:x+y+3=0,则P到直线l1,l2的距离之和的最小值为( A )
(A)2
(B)4
(C)
(D)+1
解析:将P点到直线l1:x=-1的距离转化为P到焦点F(1,0)的距离,过点F作直线l2的垂线,交抛物线于点P,此即为所求最小值点,所以P到两直线的距离之和的最小值为=2,故选A.
5.抛物线x=y2的焦点坐标是 .?
解析:方程改写成y2=4mx,得2p=4m,
所以p=2m,即焦点坐标为(m,0).
答案:(m,0)
6.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则抛物线方程为 ,焦点坐标为 .?
解析:抛物线准线方程为x=-,圆心坐标为(3,0),半径为4,依题意3-(-)=4,所以p=2.
所以抛物线方程为y2=4x,焦点坐标为(1,0).
答案:y2=4x (1,0)
综合运用
7.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上一点,若·=-4,则点A的坐标为( B )
(A)(2,2±)
(B)(1,±2)
(C)(1,2)
(D)(2,2)
解析:由题意知F(1,0),设A(x0,y0),
=(1-x0,-y0).·=-+x0-=-4,
即+-x0-4=0,①
又因为点A在抛物线上,x0>0,
所以=4x0.②
由①②联立得A(1,±2).故选B.
8.已知点P是抛物线y2=4x上一点,设点P到此抛物线准线的距离是d1,到直线x+2y-12=0的距离为d2,则d1+d2的最小值是( C )
(A)5
(B)4
(C)
(D)
解析:设抛物线y2=4x的焦点为F,F到直线x+2y-12=0的距离为d,则d1+d2≥d==.
故选C.
9.(多选题)抛物线E:x2=4y与圆M:x2+(y-1)2=16交于A,B两点,圆心M(0,1),点P为劣弧上不同于A,B的一个动点,平行于y轴的直线PN交抛物线于点N,则△PMN的周长的可能取值是( BC )
(A)8
(B)8.5
(C)9
(D)10
解析:
如图,可得圆心M(0,1)也是抛物线的焦点,
过P作准线的垂线,垂足为H,根据抛物线的定义,
可得MN=NH,
故△PMN的周长l=NH+NP+MP=PH+4,
由得B(2,3).
所以PH的取值范围为(4,6).
所以△PMN的周长PH+4的取值范围为(8,10).
故B,C满足条件.故选BC.
10.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+
|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为
.?
解析:因为|AF|+|BF|=xA+xB+=3,
所以xA+xB=.
所以线段AB的中点到y轴的距离为=.
答案:
11.学完解析几何和立体几何后,某同学发现自己家碗的侧面可以看作抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成,他很想知道抛物线的方程,决定把抛物线的顶点确定为原点,对称轴确定为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,但是他无法确定碗底中心到原点的距离,请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算,帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是碗底的直径2m,碗口的直径2n,碗的高度h(所有测量数据用小写英文字母表示),算出的抛物线标准方程为
.?
解析:设碗底中心到原点的距离为a,碗底的直径2m,碗口的直径2n,碗的高度h;
设方程为y2=2px(p>0),
则将点(a,m),(a+h,n),
代入抛物线方程可得m2=2pa,n2=2p(a+h),
可得2p=,
所以抛物线方程为y2=x.
答案:y2=x
素养培优
12.抛物线y2=8x的焦点F是双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,A(m,n)(n>0)为抛物线上一点,直线AF与双曲线有且只有一个交点,若|AF|=8,则该双曲线的离心率为( C )
(A)
(B)
(C)2
(D)
解析:抛物线y2=8x的焦点F(2,0),
即双曲线的右焦点为(2,0),
双曲线-=1的渐近线方程分别为bx-ay=0,
bx+ay=0,
抛物线的准线方程为x=-2,
由A(m,n)(n>0)为抛物线上一点,
可得m>0,且|AF|=m+2=8,
解得m=6,n=4,
即A(6,4),由直线AF与双曲线有且只有一个交点,可得直线AF与渐近线bx-ay=0平行,
可得kAF===,
则双曲线的离心率为e====2.
故选C.
13.已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为 .?
解析:设C(m,m2),由题意可知A(-,a),B(,a),
所以=(m+,m2-a),=(m-,m2-a),
因为该抛物线上存在点C使∠ACB为直角,
所以·=(m+)(m-)+(m2-a)2=0,
所以m2-a+(m2-a)2=0,
即(m2-a)(m2-a+1)=0,
因为m≠,
所以m2-a+1=0,
所以a=m2+1≥1,
所以a的取值范围为[1,+∞).
答案:[1,+∞)
14.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点M(m,-3)到焦点的距离为5,求m的值、抛物线方程和准线方程.
解:法一
如图所示,设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),
则焦点F(0,-),
准线l:y=.作MN⊥l,垂足为N,
则|MN|=|MF|=5,而|MN|=3+,3+=5,
即p=4.
所以抛物线方程为x2=-8y,准线方程为y=2.
由m2=-8×(-3)=24,得m=±2.
法二 设所求抛物线方程为x2=-2py(p>0),
则焦点为F(0,-).
因为M(m,-3)在抛物线上,且|MF|=5,
故
解得
所以抛物线方程为x2=-8y,m=±2,
准线方程为y=2.3.3.2 抛物线的简单几何性质
选题明细表
知识点、方法
题号
抛物线的几何性质
1,3,8,9
抛物线的焦点弦问题
4,7,10
直线与抛物线的位置关系
2,5,11,12
抛物线中的最值及综合问题
6,13
基础巩固
1.(2019·四川省攀枝花高二调研)抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,点(-5,2)到焦点的距离为6,则抛物线方程为( D )
(A)y2=-2x
(B)y2=-4x
(C)y2=2x
(D)y2=-4x或y2=-36x
解析:因为抛物线顶点在原点,对称轴是x轴,
设y2=2px,则焦点坐标为(,0),
因为点(-5,2)到焦点的距离为6,
所以(-5-)2+(2-0)2=62,
即(5+)2=16,
所以5+=4或5+=-4,
解得p=-2或p=-18,
所以y2=-4x或y2=-36x,
故选D.
2.(2019·大理高二检测)过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有( C )
(A)1条
(B)2条
(C)3条
(D)0条
解析:易知过点(0,1),斜率不存在的直线为x=0,满足与抛物线y2=4x只有一个公共点.当斜率存在时,设直线方程为y=kx+1,再与y2=4x联立整理得k2x2+(2k-4)x+1=0,当k=0时,方程是一次方程,有一个解,满足一个交点;当k≠0时,由Δ=0可得k值有一个,即有一个公共点,所以满足题意的直线有3条,故选C.
3.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为1的直线与C交于A,B两点,若|AB|=8,则p等于( C )
(A)
(B)1
(C)2
(D)4
解析:由题可知F(,0),则该直线AB的方程为:y=x-,
联立y2=2px,可得x2-3px+=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=3p.
因为|AB|=8,
所以有x1+x2+p=8,
即4p=8,解得p=2,故选C.
4.(多选题)(2019·烟台期末)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过点F的直线与抛物线交于两点P(x1,y1),Q(x2,y2),点P在l上的射影为P1,则( ABC )
(A)若x1+x2=6,则|PQ|=8
(B)以PQ为直径的圆与准线l相切
(C)设M(0,1),则|PM|+|PP1|≥
(D)过点M(0,1)与抛物线C有且只有一个公共点的直线至多有2条
解析:若直线的斜率存在,设y=k(x-1),
由
得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
x1+x2=,x1x2=1,
对于A,若x1+x2=6,
则k2=1,故k=1或-1,
|PQ|==·4=8,故A正确;
对于B,取PQ中点N,N在l上的投影为N′,Q在l上的投影为Q′,
根据抛物线的定义,|PP1|=|PF|,|QQ′|=|QF|,N,N′为梯形的中点,
故|NN′|=(|PP1|+|QQ′|)=|PQ|,故B成立;
对于C,M(0,1),
|PM|+|PP1|=|MP|+|PF|≥|MF|=,
对于D,过M(0,1)与抛物线C相切的直线有2条,与x轴平行且与抛物线相交且有一个交点的直线有一条,所以最多有三条.
故选ABC.
5.直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与抛物线C相交于A,B两点,若AB的中点的纵坐标为2,则p= ,直线l的方程为 .?
解析:由题意得:=1,
所以p=2,所以抛物线方程为:y2=4x,
由题意知直线l的斜率不为零,
设直线l的方程:x=my+1,A(x,y),B(x′,y′),
由题意得由中点的纵坐标为2,得y+y′=2×2=4,
与抛物线的方程联立整理得y2-4my-4=0,y+y′=4m,
所以4m=4,所以m=1.
所以直线l的方程为x-y-1=0.
答案:2 x-y-1=0
6.(2019·阜阳期末)过抛物线C:x2=4y的准线上任意一点P作抛物线的切线PA,PB,切点分别为A,B,则A点到准线的距离与B点到准线的距离之和的最小值是 .?
解析:显然直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为:y=kx+b,设A(x,y),B(x′,y′),
由题意知焦点F(0,1),
与抛物线的方程联立得
x2-4kx-4b=0,x+x′=4k,xx′=-4b,
Δ=16k2+16b>0,b>-k2,
AB=
=
=4,
A点到准线的距离与B点到准线的距离之和为AF+BF,当A,F,B三点共线时最小,这时b=1,
所以AF+BF=AB=4·
=4(1+k2)≥4,
当且仅当k=0,即直线AB平行于x轴时,取得最小值.
答案:4
综合运用
7.抛物线y2=4x的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分,则m与n的关系是( A )
(A)m+n=mn
(B)m+n=4
(C)mn=4
(D)无法确定
解析:设抛物线焦点弦AB,A(x1,y1),B(x2,y2).
抛物线y2=4x的焦点为(1,0),
当焦点弦与抛物线的对称轴垂直时,m=2,n=2,
所以m+n=mn.
当焦点弦与抛物线的对称轴不垂直时,
设焦点弦所在直线方程为y=k(x-1)(k≠0).
把y=k(x-1)代入y2=4x并整理
得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,
所以x1x2=1.
因为m=x1+1,n=x2+1,所以x1=m-1,x2=n-1,
代入x1x2=1,得(m-1)(n-1)=1,
即m+n=mn.
故选A.
8.设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是( C )
(A)(0,2)
(B)[0,2]
(C)(2,+∞)
(D)[2,+∞)
解析:设圆的半径为r,因为F(0,2)是圆心,抛物线C的准线方程为y=-2,
由圆与准线相交知4因为点M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,
所以=8y0,又点M(x0,y0)在圆x2+(y-2)2=r2上,
所以+(y0-2)2=r2>16,
所以8y0+(y0-2)2>16,
即有+4y0-12>0,
解得y0>2或y0<-6,
又因为y0≥0,
所以y0>2,故选C.
9.(多选题)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F.点M在y轴上,若线段FM的中点B在抛物线上,且点B到抛物线准线的距离为,则点M的坐标为( BC )
(A)(0,-4)
(B)(0,-2)
(C)(0,2)
(D)(0,4)
解析:根据题意,抛物线y2=2px的焦点为F(,0),
准线l方程为x=-,
设B的坐标为(m,n),
若B为FM的中点,则m==,
又由点B到抛物线准线的距离为,
则-(-)=,解可得p=,
则抛物线的方程为y2=2x,且m=,
B在抛物线上,则n2=2×=1,解可得n=±1,
则B的坐标为(,±1),
则点M的坐标为(0,2)或(0,-2).故选BC.
10.过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线,与抛物线分别交于A,B两点(点A在y轴左侧),则= .?
解析:由题意可得焦点F(0,),
故直线AB的方程为y=x+,
与x2=2py联立得x2-px-p2=0,
因为A,B为两交点,
所以A,B两点的横坐标为xA=-p,xB=p,
故A(-p,p),B(p,p).
所以|AF|=yA+=p,|BF|=yB+=2p,
所以=.
答案:
11.如图,过抛物线y2=4x的焦点F作直线,与抛物线及其准线分别交于A,B,C三点,若=4,则直线AB的方程为
,线段|AB|= .?
解析:由题意得F(1,0),准线方程为x=-1.
过点B作准线的垂线,垂足为E,
则|BE|=|FB|,
因为=4,
所以|BC|=3|BE|,
由勾股定理得|CE|=2|BE|,
所以直线AB的斜率k=2,
所以直线AB的方程为y=2(x-1),
由及图象可得
A(2,2),B(,-),
所以|AB|=.
答案:y=2(x-1)
12.已知抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为4的点A到焦点F的距离为,直线y=k(x+1)与抛物线有两个不同交点.
(1)求抛物线的方程;
(2)求k的取值范围.
解:(1)由|AF|=xA+,得=4+,解得p=1,
所以抛物线的方程为y2=2x.
(2)由得y2-y+k=0;
因为直线与抛物线有两个不同交点,
所以
解得-所以k的取值范围是(-,0)∪(0,).
素养培优
13.如图,已知直线l:y=2x-4交抛物线y2=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积.
解:由
解得或
由图象知A(4,4),B(1,-2),
所以|AB|=3.
设P(x0,y0)为抛物线AOB这段曲线上一点,d为点P到直线AB的距离,
则有d=
=|-y0-4|
=|(y0-1)2-9|.
因为-2所以(y0-1)2-9<0.
所以d=[9-(y0-1)2].
从而当y0=1时,dmax=,
Smax=×|AB|×dmax
=××3
=.
因此,当P为(,1)时,△PAB的面积取得最大值,最大值为.3.3.2 抛物线的简单几何性质
选题明细表
知识点、方法
题号
抛物线的几何性质
1,3,8,9
抛物线的焦点弦问题
4,7,10
直线与抛物线的位置关系
2,5,11,12
抛物线中的最值及综合问题
6,13
基础巩固
1.(2019·四川省攀枝花高二调研)抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,点(-5,2)到焦点的距离为6,则抛物线方程为( )
(A)y2=-2x
(B)y2=-4x
(C)y2=2x
(D)y2=-4x或y2=-36x
2.(2019·大理高二检测)过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有( )
(A)1条
(B)2条
(C)3条
(D)0条
3.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为1的直线与C交于A,B两点,若|AB|=8,则p等于( )
(A)
(B)1
(C)2
(D)4
4.(多选题)(2019·烟台期末)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过点F的直线与抛物线交于两点P(x1,y1),Q(x2,y2),点P在l上的射影为P1,则( )
(A)若x1+x2=6,则|PQ|=8
(B)以PQ为直径的圆与准线l相切
(C)设M(0,1),则|PM|+|PP1|≥
(D)过点M(0,1)与抛物线C有且只有一个公共点的直线至多有2条
5.直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与抛物线C相交于A,B两点,若AB的中点的纵坐标为2,则p= ,直线l的方程为 .?
6.(2019·阜阳期末)过抛物线C:x2=4y的准线上任意一点P作抛物线的切线PA,PB,切点分别为A,B,则A点到准线的距离与B点到准线的距离之和的最小值是 .?
综合运用
7.抛物线y2=4x的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分,则m与n的关系是( )
(A)m+n=mn
(B)m+n=4
(C)mn=4
(D)无法确定
8.设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是( )
(A)(0,2)
(B)[0,2]
(C)(2,+∞)
(D)[2,+∞)
9.(多选题)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F.点M在y轴上,若线段FM的中点B在抛物线上,且点B到抛物线准线的距离为,则点M的坐标为( )
(A)(0,-4)
(B)(0,-2)(C)(0,2)
(D)(0,4)
10.过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线,与抛物线分别交于A,B两点(点A在y轴左侧),则= .?
11.如图,过抛物线y2=4x的焦点F作直线,与抛物线及其准线分别交于A,B,C三点,若=4,则直线AB的方程为
,线段|AB|= .?
12.已知抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为4的点A到焦点F的距离为,直线y=k(x+1)与抛物线有两个不同交点.
(1)求抛物线的方程;
(2)求k的取值范围.
素养培优
13.如图,已知直线l:y=2x-4交抛物线y2=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积.3.3 抛物线
3.3.1 抛物线及其标准方程
选题明细表
知识点、方法
题号
抛物线的定义及其应用
3,4,8,10
抛物线标准方程及应用
1,2,5,6,14
抛物线的实际应用
11
抛物线的综合应用
7,9,12,13
基础巩固
1.(多选题)顶点在原点,且过点(-4,4)的抛物线的标准方程是( )
(A)y2=4x
(B)x2=4y
(C)y2=-4x
(D)x2=-4y
2.(2019·江西临川十中期中)若抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y-8=0上,则该抛物线的准线方程为( )
(A)x=-4
(B)x=-3
(C)x=-2
(D)x=-1
3.若设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则C的圆心轨迹为( )
(A)抛物线
(B)双曲线
(C)椭圆
(D)圆
4.(2019·合肥高二月考)已知P为抛物线y2=4x上一个动点,直线l1:x=-1,l2:x+y+3=0,则P到直线l1,l2的距离之和的最小值为( )
(A)2
(B)4
(C)
(D)+1
5.抛物线x=y2的焦点坐标是 .?
6.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则抛物线方程为 ,焦点坐标为 .?
综合运用
7.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上一点,若·=-4,则点A的坐标为( )
(A)(2,2±)
(B)(1,±2)
(C)(1,2)
(D)(2,2)
8.已知点P是抛物线y2=4x上一点,设点P到此抛物线准线的距离是d1,到直线x+2y-12=0的距离为d2,则d1+d2的最小值是( )
(A)5
(B)4
(C)
(D)
9.(多选题)抛物线E:x2=4y与圆M:x2+(y-1)2=16交于A,B两点,圆心M(0,1),点P为劣弧上不同于A,B的一个动点,平行于y轴的直线PN交抛物线于点N,则△PMN的周长的可能取值是( )
(A)8
(B)8.5
(C)9
(D)10
10.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+
|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为
.?
11.学完解析几何和立体几何后,某同学发现自己家碗的侧面可以看作抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成,他很想知道抛物线的方程,决定把抛物线的顶点确定为原点,对称轴确定为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,但是他无法确定碗底中心到原点的距离,请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算,帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是碗底的直径2m,碗口的直径2n,碗的高度h(所有测量数据用小写英文字母表示),算出的抛物线标准方程为
.?
素养培优
12.抛物线y2=8x的焦点F是双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,A(m,n)(n>0)为抛物线上一点,直线AF与双曲线有且只有一个交点,若|AF|=8,则该双曲线的离心率为( )
(A)
(B)
(C)2
(D)
13.已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为 .?
14.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点M(m,-3)到焦点的距离为5,求m的值、抛物线方程和准线方程.
