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第24章圆24.1圆的有关的性质（中考真题专练）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2019·辽宁葫芦岛·中考真题）如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（ ）
A．70°
B．55°
C．45°
D．35°
2．（2019·山东滨州·中考真题）如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（ ）．
A．60°
B．50°
C．40°
D．20°
3．（2013·宁夏中考真题）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（
）
A．2cm
B．cm
C．
D．
4．（2018·四川遂宁·中考真题）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是
A．5
B．6
C．7
D．8
5．（2019·四川乐山·中考真题）如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
6．（2019·广西防城港·中考真题）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为______寸．
7．（2019·江苏盐城·中考真题）如图，点、、、、在上，且弧为，则________．
8．（2019·黑龙江伊春·中考真题）如图，在⊙中，半径垂直于弦，点在圆上且，则的度数为_____．
9．（2019·宁夏中考真题）如图，是圆的弦，，垂足为点，将劣弧沿弦折叠交于的中点，若，则圆的半径为_____．
10．（2019·贵州贵阳·中考真题）如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是________．
三、解答题
11．（2019·黑龙江中考真题）图1.2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上；
（1）在图1中画出以为底边的等腰直角，点在小正方形顶点上；（2）在图2中画出以为腰的等腰，点在小正方形的顶点上，且的面积为8.
12．（2019·广西河池·中考真题）如图，为的直径，点在上．
（1）尺规作图：作的平分线，与交于点；连接，交于点
（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；
（2）探究与的位置及数量关系，并证明你的结论．
13．（2018·广西河池·中考真题）如图，在中，．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作的垂直平分线，垂足为；
②以为圆心，长为半径作圆，交于（异于），连接；
（2）探究与的位置关系，并证明你的结论．
14．（2018·广西河池·中考真题）如图1，抛物线的顶点在轴上，交轴于，将该抛物线向上平移，平移后的抛物线与轴交于，顶点为．
（1）求点的坐标和平移后抛物线的解析式；
（2）点在原抛物线上，平移后的对应点为，若，求点的坐标；
（3）如图2，直线与平移后的抛物线交于．在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2019·富顺县赵化中学校中考真题）如图，⊙中，弦与相交于点,,连接.
求证：⑴；
⑵.
16．（2019·江苏淮安·中考真题）如图①，在中，，，D是BC的中点．
小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB，将线段PB绕点P按逆时针方向旋转，点B的对应点是点E，连接BE，得到．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：
（1）当点E在直线AD上时，如图②所示．
①
；②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是
．
（2）请在图③中画出，使点E在直线AD的右侧，连接CE，试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．
（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值．
17．（2015·甘肃兰州·中考真题）如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）
18．（2019·河南中考真题）如图，在中，，，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．
（1）求证：；
（2）填空：
①若，且点E是的中点，则DF的长为
；
②取的中点H，当的度数为
时，四边形OBEH为菱形．
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第24章圆24.1圆的有关的性质（中考真题专练）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2019·辽宁葫芦岛·中考真题）如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（ ）
A．70°
B．55°
C．45°
D．35°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆周角定理可得出∠AOB的度数，再由OA=OB，可求出∠ABO的度数
【详解】
连接OA、OC，
∵∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，
∴∠AOB＝2（∠ADC+∠BAC）＝70°，
∵OA＝OB（都是半径），
∴∠ABO＝∠OAB＝
（180°﹣∠AOB）＝55°．
故选B．
【点评】
本题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
2．（2019·山东滨州·中考真题）如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（ ）．
A．60°
B．50°
C．40°
D．20°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意连接AD，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的的大小.
【详解】
解：连接，
∵为的直径，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选B．
【点评】
本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握.
3．（2013·宁夏中考真题）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（
）
A．2cm
B．cm
C．
D．
【答案】C
【解析】
试题分析：先过点O作OD⊥AB，垂足为D，连接OA，由题意求得OD=OB=1cm，由勾股定理求得AD=cm，再由垂径定理求得AB=2cm．
故选C
考点：勾股定理，垂径定理
4．（2018·四川遂宁·中考真题）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径
，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】
解：∵半径OC垂直于弦AB，
∴AD=DB=
AB=
在Rt△AOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+(
)2，
解得，OA=4
∴OD=OC-CD=3，
∵AO=OE,AD=DB,
∴BE=2OD=6
故选B
【点评】
本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键
5．（2019·四川乐山·中考真题）如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线解析式可求得点A（-4,0），B（4,0），故O点为AB的中点，又Q是AP上的中点可知OQ=BP，故OQ最大即为BP最大，即连接BC并延长BC交圆于点P时BP最大，进而即可求得OQ的最大值.
【详解】
∵抛物线与轴交于、两点
∴A（-4,0），B（4,0），即OA=4.
在直角三角形COB中
BC=
∵Q是AP上的中点，O是AB的中点
∴OQ为△ABP中位线，即OQ=BP
又∵P在圆C上，且半径为2，
∴当B、C、P共线时BP最大，即OQ最大
此时BP=BC+CP=7
OQ=BP=.
【点评】
本题考查了勾股定理求长度，二次函数解析式求点的坐标及线段长度，中位线，与圆相离的点到圆上最长的距离，解本题的关键是将求OQ最大转化为求BP最长时的情况.
二、填空题
6．（2019·广西防城港·中考真题）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为______寸．
【答案】26．
【解析】
【分析】
设的半径为，在中，，则有，解方程即可.
【详解】
设的半径为．
在中，，
则有，
解得，
∴的直径为26寸，
故答案为26．
【点评】
本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.
7．（2019·江苏盐城·中考真题）如图，点、、、、在上，且弧为，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据弧的度数与它所对应的圆心角的度数的关系，求得弧对应的圆心角的度数，再根据圆周角与圆心角的关系，则可求得.
【详解】
弧的度数等于它所对应的圆心角的度数，由于弧为，所以
.
顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角，而一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以：
,
，
.
【点评】
本题考查弧、圆周角、圆心角的概念，及它们之间的关系.
8．（2019·黑龙江伊春·中考真题）如图，在⊙中，半径垂直于弦，点在圆上且，则的度数为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用圆周角与圆心角的关系即可求解．
【详解】
，
，
，
，
，
故答案为．
【点评】
此题考查圆周角与圆心角，解题关键在于求出
9．（2019·宁夏中考真题）如图，是圆的弦，，垂足为点，将劣弧沿弦折叠交于的中点，若，则圆的半径为_____．
【答案】．
【解析】
【分析】
连接OA，设半径为x，用x表示OC，根据勾股定理建立x的方程，便可求得结果．
【详解】
解：解：连接OA，设半径为x，
将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，
，，
，
，
，
解得，．
故答案为．
【点评】
本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程．
10．（2019·贵州贵阳·中考真题）如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是________．
【答案】π．
【解析】
【分析】
由题意得出：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长=2个圆的周长，求出圆的半径，由圆的周长公式即可得出结果．
【详解】
由题意得：
四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长＝2个圆的周长，
∴四叶幸运草的周长＝2π×2＝π；
故答案为π．
【点评】
本题考查了正多边形和圆、正方形的性质以及圆周长公式；由题意得出四叶幸运草的周长=2个圆的周长是解题的关键．
三、解答题
11．（2019·黑龙江中考真题）图1.2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上；
（1）在图1中画出以为底边的等腰直角，点在小正方形顶点上；（2）在图2中画出以为腰的等腰，点在小正方形的顶点上，且的面积为8.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；
【解析】
【分析】
（1）由题可知，点B满足这两个条件，说明点B在AC的垂直平分线上，说明点B在以AC为直径的圆上，故可作的垂直平分线及以为直径的圆，其交点即为所求；（2）由题可知，点D满足CA=CD，故可以为圆心，为半径作圆，交于一格点D，经计算的面积为8，故点D即为所求.
【详解】
解；（1）作的垂直平分线，作以为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点；
（2）以为圆心，为半径作圆，格点即为点；
【点评】
本题主要考查了利用线段垂直平分线的性质及圆的性质作图，正确理解题意并知晓作图依据是解题的关键.
12．（2019·广西河池·中考真题）如图，为的直径，点在上．
（1）尺规作图：作的平分线，与交于点；连接，交于点
（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；
（2）探究与的位置及数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）如图所示；见解析；（2），．理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用基本作图作AD平分∠BAC，然后连接OD得到点E；
（2）由AD平分∠BAC得到∠BAD=∠BAC，由圆周角定理得到∠BAD=∠BOD，则∠BOD=∠BAC，再证明OE为△ABC的中位线，从而得到OE∥AC，OE=AC．
【详解】
解：（1）如图所示；
（2），．
理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为的中位线，
∴，．
【点评】
本题考查了作图——基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了圆周角定理．
13．（2018·广西河池·中考真题）如图，在中，．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作的垂直平分线，垂足为；
②以为圆心，长为半径作圆，交于（异于），连接；
（2）探究与的位置关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）（或垂直），理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）①根据尺规作垂直平分线即可求解；②根据题意即可作圆；
（2）根据圆周角定理即可得到．
【详解】
（1）解：如图，①作出的垂直平分线
②以点为圆心，长为半径作圆，连接
（2）（或垂直），理由如下:
∵是的直径
∴
∴．
【点评】
此题主要考查尺规作图与圆周角定理，解题的关键是熟知直径所对的圆周角为90°．
14．（2018·广西河池·中考真题）如图1，抛物线的顶点在轴上，交轴于，将该抛物线向上平移，平移后的抛物线与轴交于，顶点为．
（1）求点的坐标和平移后抛物线的解析式；
（2）点在原抛物线上，平移后的对应点为，若，求点的坐标；
（3）如图2，直线与平移后的抛物线交于．在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）B点坐标(0，-1)，平移后的抛物线为；（2）点M的坐标为或；（3）存在，，，，，详解见解析．
【解析】
【分析】
（1）将x=0代入抛物线公式求出y值，即可得到抛物线与y轴交点B的坐标，平移后的抛物线的顶点为E(1,4)，可根据顶点式求出平移后抛物线的解析式；
（2）因为抛物线向上平移4个单位，所以MN=4，又因为OM=ON，可知点M的纵坐标为-2，将y=-2代入原抛物线，即可求出x值，点M的坐标就可以表示出来．
（3）要使C、F、P为顶点的三角形为直角三角形，可以画一个以C、F为直径的圆（直径对应圆周角为直角），交抛物线对称轴x=-1可得点、的坐标解，另外可以使∠PCF=90°或∠CFP=90°，可分别得出点、的坐标解．
【详解】
解：（1）抛物线与y轴相交于点B，将x=0代入，求得y=-1，
∴B点坐标(0，-1)．
∵设平移后的抛物线为，顶点为E(1,4)，即h=1，k=4，
∴，
即平移后的抛物线为．
（2）
如上图所示，∵原坐标顶点A(1，0)，平移后抛物线顶点为E(1,4)，
∴抛物线向上平移了4个单位，即MNy轴，MNx轴，
又∵OM=ON，MN=4，
∴点O在垂直平分线上，点M、N关于x轴对称，
∴M点的纵坐标为–2，
将代入，得：
解得：，
∴点M的坐标为或．
（3）存在，且，，，．
如图所示，点P一共有四种结果，
∵C点为平移后的解析式与x轴的左交点，将y=0代入，得，
∴C(-1，0)，且点B(0，-1)，将点B(0，-1)、C(-1，0)代入直线BC解析式为：，
∴，解得：，即直线BC解析式：，
根据题意可知，直线BC与平移后的解析式相交于点F，
∴，解得：x=-1（舍）或4，y=-5，即F(4，-5)，
∵要使C、F、P为顶点的三角形为直角三角形，可以画一个以C、F为直径的圆，该圆与抛物线对称轴x=-1交点即为点P（因为圆的直径对应的圆周角为90°，即∠CPF=90°）
∴以C、F为直径的圆，圆心为线段CF的中点(，)，直径为线段CF的长，
∴圆的方程为：，将x=1代入圆的方程，得：y=1或-6，
即，，
∵直线CF解析式：，即斜率k=-1，即直线CF与x轴夹角为45°，要使C、F、P为顶点的三角形为直角三角形，则使∠PCF=90°，直线CP与x轴夹角也为45°，即直线CP斜率为1，直线CP的解析式为：，此时该直线与抛物线对称轴x=1的交点为，
又∵直线CF解析式：，即斜率k=-1，即直线CF与x轴夹角为45°，要使C、F、P为顶点的三角形为直角三角形，则使∠CFP=90°，直线FP与x轴夹角也为45°，即直线FP斜率为1，直线FP的解析式为：，此时该直线与抛物线对称轴x=1的交点为．
【点评】
本题考查了一元二次函数与坐标轴、直线的交点，一元二次函数的平移及应用，圆的直径所对应的圆周角为直角等知识点，该题有一定的难度，所以一定要结合图形进行分析，这样才不会把解遗漏．
15．（2019·富顺县赵化中学校中考真题）如图，⊙中，弦与相交于点,,连接.
求证：⑴；
⑵.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由AB=CD知，即，据此可得答案；
（2）由知AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．
【详解】
证明（1）∵AB=CD，
∴，即，
∴；
（2）∵，
∴AD=BC，
又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE．
【点评】
本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
16．（2019·江苏淮安·中考真题）如图①，在中，，，D是BC的中点．
小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB，将线段PB绕点P按逆时针方向旋转，点B的对应点是点E，连接BE，得到．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：
（1）当点E在直线AD上时，如图②所示．
①
；②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是
．
（2）请在图③中画出，使点E在直线AD的右侧，连接CE，试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．
（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值．
【答案】（1）①50；②；（2）；（3）AE的最小值．
【解析】
【分析】
（1）①利用等腰三角形的性质即可解决问题．②证明，，推出即可．
（2）如图③中，以P为圆心，PB为半径作⊙P．利用圆周角定理证明即可解决问题．
（3）因为点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，所以当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值．
【详解】
（1）①如图②中，
∵，，
∴，
②结论：．
理由：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵AE垂直平分线段BC，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为50，．
（2）如图③中，以P为圆心，PB为半径作⊙P．
∵AD垂直平分线段BC，
∴，
∴，
∵，
∴
．
（3）如图④中，作于H，
∵点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，
∴当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值．
【点评】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．
17．（2015·甘肃兰州·中考真题）如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）
【答案】见解析．
【解析】
试题分析：先做出∠AOB的角平分线，再求出线段MN的垂直平分线就得到点P．
试题解析：
考点：尺规作图角平分线和线段的垂直平分线、圆的性质．
18．（2019·河南中考真题）如图，在中，，，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．
（1）求证：；
（2）填空：
①若，且点E是的中点，则DF的长为
；
②取的中点H，当的度数为
时，四边形OBEH为菱形．
【答案】（1）见解析（2）①②30°
【解析】
【分析】
（1）利用直径所对的圆周角是直角，可得，再应用同角的余角相等可得，易得，得证；
（2）作，应用等弧所对的圆周角相等得，再应用角平分线性质可得结论；由菱形的性质可得，结合三角函数特殊值可得．
【详解】
解：（1）证明：如图1，，，
AB是的直径，
，
；
（2）①如图2，过F作于H，点E是的中点，
，
，
，即
，
，即，
故答案为．
②连接OE，EH，点H是的中点，
，
四边形OBEH为菱形，
．
故答案为
【点评】
本题主要考查了圆的性质，垂径定理，等腰直角三角形的性质，菱形的性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值等，关键在灵活应用性质定理．
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