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第24章圆24.2点和圆、直线和圆的位置关系（简答题专练）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．如图1，为半圆的直径，点为圆心，为半圆的切线，过半圆上的点作交于点，连接．
（1）连接，若，求证：是半圆的切线；
（2）如图2，当线段与半圆交于点时，连接，，判断和的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接，根据切线的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，于是得到结论；
（2）如图2，连接，根据圆周角定理得到，求得，证得，等量代换即可得到结论．
【详解】
（1）证明：连接，
为半圆的切线，为半圆的直径，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
是半圆的切线；
（2）解：，
理由：如图2，连接，
为半圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】
本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
2．如图所示，的底边BC的长为10cm，，，求它外接圆的直径.
【答案】
【解析】
【分析】
连接OA交BC于D，根据三线合一定理得出BD=DC，∠OAC=∠BAC，得出等边三角形OAC，推出∠AOC=60°，在△ODC中根据勾股定理求出即可半径，进而求得直径．
【详解】
解：如图所示，是的外接圆，连接OA交BC于D，
∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，
∴∠AOC=∠BOA，
∵OB=OC，
∴BD=DC，OA⊥BC，
∴由垂径定理得：BD=DC=5cm，
∠OAC=∠BAC=×120°=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∴∠DCO=90°-60°=30°
∴OC=2OD，
设OD=a，OC=2a，由勾股定理得：a2+52=（2a）2，
a=，
∴OC=2a=，
∴外接圆的直径=2OC=（cm）．
【点评】
本题考查等腰三角形的性质，三角形的外接圆和外心，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，此题有一定的难度，注意：此等腰三角形的外心在三角形外部．
3．的斜边，直角边，圆心为C，半径为2cm和3cm的两个圆和与直线AB有怎样的位置关系？半径为多少时，AB与相切？
【答案】与AB相离；与AB相交；当半径为时，AB与相切.
【解析】
【分析】
过点C作于点D，利用勾股定理求得BC的长，再利用三角形的面积公式求得CD的长，进而判定圆和与AB的位置关系，根据切线的判定得到的半径.
【详解】
解：如图，过点C作于点D.
在中，
，
，
由面积公式，得，
，
，
与AB相离；
，
与AB相交；
当半径为时，AB与相切.
【点评】
本题主要考查圆与直线的位置关系，切线的判定，勾股定理等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
4．如图，已知过点P的直线AB交⊙O于A，B两点，PO与⊙O交于点C，且PA＝AB＝6cm，PO＝12cm.
求⊙O的半径；
【答案】⊙O的半径为6cm.
【解析】
【分析】
过点O作OD⊥AB于点D，易得到PD=9cm，再利用勾股定理解题即可
【详解】
如图所示，过点O作OD⊥AB于点D，则BD＝AD＝3
cm，
∴PD＝PA＋AD＝6＋3＝9(cm)，
在Rt△POD中，OD＝cm
在Rt△OBD中，OB＝cm
∴⊙O的半径为6cm.
【点评】
考查圆内中勾股定理的运用，能够做出垂线是解题关键
5．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，，M为AB的中点，以CD为直径画圆P．
（1）当点M在圆P外时，求CD的长的取值范围；
（2）当点M在圆P上时，求CD的长；
（3）当点M在圆P内时，求CD的长的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）取CD的中点P，连接MP，则MP是梯形ABCD的中位线．求出MP长，由于点M在圆P外，则MP>PC，即可得出答案；
（2）根据点M在圆P上，则MP=PC，即可得出答案；
（3）根据点M在圆P内，则MP<
PC，即可得出答案.
【详解】
（1）取CD的中点P，连接MP，
∵M为AB的中点，
∴MP是梯形ABCD的中位线．
∵，，
∴，
∵点M在圆P外，
∴，即，
∴；
（2）∵点M在圆P上，
∴，即，
∴；
（3）∵点M在圆P内，
∴，即，
∴．
【点评】
本题考查了点与圆的位置关系.求出梯形的中位线的长是解题的关键.
6．已知△ABC,求作☉O,使☉O经过△ABC的三个顶点.(不写作法,保留作图痕迹)
【答案】详见解析.
【解析】
【分析】
根据题意，作三角形ABC的外接圆，作任意两边的垂直平分线，交点即为圆心，作圆即可．
【详解】
解:如图所示.
【点评】
本题考查了作三角形的外接圆，外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等．
7．菱形各边的中点是否在同一个圆上？为什么？
【答案】在同一个圆上（提示：证这四个中点到菱形对角线交点的距离相等）.
【解析】
【分析】
如图，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，又因为菱形的边长都相等，所以EO=HO=GO=FO,即可知这四个点在同一个圆上.
【详解】
根据题意作图，在菱形ABCD中，E,H,G,F分别是AB、AD、CD、BC的中点，
∵AC⊥BD，
∴在Rt△ABO中，EO=AB，
同理知HO=AD,
GO=CD,
FO=BC,
又∵AB=AD=CD=BC,
∴EO=HO=GO=FO,
∴菱形各边的中点是否在同一个圆上.
【点评】
此题主要考查点与圆的位置，解题的关键是根据题意作出图形，再进行求解.
8．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D．
(1)若∠BAC=70°，求∠CBD的度数；
(2)求证：DE=DB．
【答案】（1）35°；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由点E是△ABC的内心，∠BAC=70°，易得∠CAD=，进而得出∠CBD=∠CAD=35°；
(2)
由点E是△ABC的内心，可得E点为△ABC角平分线的交点，可得∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD，可推导出∠DBE=∠BED，可得DE=DB.
【详解】
（1）∵点E是△ABC的内心，∠BAC=70°，
∴∠CAD=，
∵，
∴∠CBD=∠CAD=35°；
（2）∵E是内心，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD．
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠CBD=∠BAD，
∵∠BAD+∠ABE=∠BED，∠CBE+∠CBD=∠DBE，
∴∠DBE=∠BED，
∴DE=DB.
【点评】
此题考查了圆的内心的性质以及角平分线的性质等知识．
此题综合性较强,
注意数形结合思想的应用.
9．如图，⊙O的半径为6，点A，B，C为⊙O上三点，BA平分∠OBC，过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）当sin∠OBC=时，求BC的长；
（3）连结AC，当AC∥OB时，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根据切线的判定证明即可；
（2）过O点作OE⊥BC于点E，利用勾股定理和三角函数解答；
（3）连结OC，利用菱形的性质和直角三角形的性质解答即可．
【详解】
（1）∵BA平分∠OBC，∴∠OBA=∠CBA．
∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB，∴∠OAB=∠CBA，∴AO∥BC．
∵AD⊥BC，∴AD⊥AO，∴直线AD是⊙O切线；
（2）过O点作OE⊥BC于点E，得BC=2BE．在Rt△OBE中，∵sin∠OBC=，∴，OB=6，∴OE=4，∴BE=，∴；
（3）连结OC．
∵AO∥BC，AC∥OB，OA=OB，∴四边形OACB是菱形，∴OA=AC=OC=6，∴∠AOC=∠OAC=60°，∴∠DAC=30°，∴在Rt△ADC中，CD=6sin30°=3，∴AD=，∴．
【点评】
本题考查了切线的判定，勾股定理，菱形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解答本题的关键．
10．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D．若PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0的两个根，求△PCD的周长．
【答案】2
【解析】
【分析】
由PA、PB切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,根据切线长定理,可得PA=PB,又由PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0的两个根,根据根与系数的关系,可求得PA与PB的长,又由CD切⊙0于点E,即可得△PCD的周长等于PA+PB.
【详解】
解：∵PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0的两个根，
∴PA+PB=m，PA?PB=m﹣1，
∵PA、PB切⊙O于A、B两点，
∴PA=PB=，
即?=m﹣1，
即m2﹣4m+4=0，
解得：m=2，
∴PA=PB=1，
∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，
∴AD=ED，BC=EC，
∴△PCD的周长为：PD+CD+PC=PD+DE+EC+PC=PD+AD+BC+PC=PA+PB=2．
【点评】
此题考查了切线长定理以及一元二次方程根与系数的关系.此题难度适中,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
11．如图，在一块三角形的废料上，要裁下一个半圆形的材料，并且要使半圆的直径在边AC上，且充分利用原三角形废料，试画出你的设计方案.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
如图作∠ABC的平分线BE交AC于O，作OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径画半圆即可．
【详解】
解：如图所示.
【点评】
本题主要考察根据要求作圆，本题作图用到了作角平分线和过一点作已知直线的垂线.理解角平行线上的点到角两边距离相等和点到直线的距离即为这一点到这条直线的垂线段非常重要.
12．如图，AB为半⊙O的直径，弦AC的延长线与过点B的切线交于点D，E为BD的中点，连接CE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）过点C作CF⊥AB，垂足为点F，AC＝5，CF＝3，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
(1)
连接CO、EO、BC,可证的△EBOP≌△ECO，可得∠ECO=∠EBO=90°，所以CE为⊙O的切线；
（2）设：BF=x，利用勾股定理BC2+AC2=AB2可求出x的值，可得圆的半径.
【详解】
(1)连接CO、EO、BC
∵AB是直径
∴∠BCA=∠BCD=90°
∵RtABCD中E为BD中点
∴CE=BE=ED
则△EBOP≌△ECO(SSS)
∠ECO=∠EBO=90°
∵点C在圆上
∴CE为⊙O的切线
（2）由题意得：AF=4
设：BF=x
利用勾股定理BC2=x2+32
BC2+AC2=AB2
x2+32+52=(x+4)2
解得：
则
则⊙O的半径为
【点评】
本题主要考查圆的切线的证明及圆中利用勾股定理求圆的半径，需注意计算的准确性.
13．如图是一块含（即）角的直角三角板和一个量角器拼在一起，三角板斜边与量角器所在半圆的直径重合，量角器最外缘的读数从点开始（即点的读数为），现有射线绕着点从顺时针以每秒的速度旋转到与的外接圆相切为止.在旋转过程中，射线与量角器的半圆弧交于点.
（1）当射线与的外接圆相切时，求射线旋转的角度是多少？
（2）当射线分别经过的外心、内心时，点处的读数分别是多少？
（3）当旋转秒时，连接，求证：.
【答案】(1)射线CP旋转度数是120°；(2)E处的读数为90；(3)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)
连接OC.
根据切线的性质,
得∠OCP=,
根据等腰三角形的性质,得∠ACO=∠A,
从而求得射线CP旋转度数；
(2)
当CP过△ABC外心时
(即过O点)时,∠BCE=,
根据圆周角定理,
则点E处的读数是;当CP过△ABC的内心时,
即CP平分∠ACB,
则∠BCE=,
根据圆周角定理,则点E处的读数是.
(3)
根据已知,
知旋转了,
即可求得∠EBC=∠BCE=,
从而证明结论.
【详解】
(1)连接OC．
∵射线CP与△ABC的外接圆相切，
∴∠OCP=90°，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴射线CP旋转度数是120°；
(2)
∵∠BCA=90°，
∴△ABC的外接圆就是量角器所在的圆．
当CP过△ABC外心时（即过O点），∠BCE=60°，
∴∠BOE=120°，即E处的读数为120，
当CP过△ABC的内心时，∠BCE=45°，∠EOB=90°，
∴E处的读数为90．
(3)在图2中，
∵∠PCA=2×7.5°=15°，∠BCE=75°，∠ECA=∠EBA=15°，
∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=∠BCE=75°，
∴BE=EC．
【点评】
此题综合运用了切线的性质、
圆周角定理和等腰三角形的判定和性质.
14．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
(1)试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
(2)若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．
【答案】（1）AB＝AC（2）≤r<5
【解析】
【分析】
（1）连接，根据切线的性质和垂直得出，推出，求出，根据等腰三角形的判定推出即可；
（2）根据已知得出在的垂直平分线上，作出线段的垂直平分线，作，求出，求出范围，再根据相离得出，即可得出答案.
【详解】
(1)AB＝AC，理由如下：
如图1，连结OB.
∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，
∴∠OBA＝∠OAC＝90°，
∴∠OBP＋∠ABP＝90°，∠ACP＋∠APC＝90°，
∵OP＝OB，
∴∠OBP＝∠OPB，
∵∠OPB＝∠APC，
∴∠ACP＝∠ABC，
∴AB＝AC；
(2)如图2，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，则可以推出；
又∵圆O与直线MN有交点，
∴，
，
，
r2≥5，
∴，
又∵圆O与直线l相离，
∴r<5，
即.
图1
图2
【点评】
本题考查了等腰三角形的性质和判定、直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力.本题综合性比较强，有一定的难度.
15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点C的切线交AB的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连接BC，若∠BCF=30°，BF=2，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）2.
【解析】
【分析】
(1)
连接OD,
直径AB⊥弦CD，可得CE=ED，即OF为CD的垂直平分线，可得DF是⊙O的切线；
(2)
由∠BCF=30°，BF=2，可得△OCB为等边三角形，在Rt△OCE中可求得CE的长进而求得CD的长.
【详解】
（1）证明：连接OD，如图，
∵CF是⊙O的切线
∴∠OCF=90°，
∴∠OCD+∠DCF=90°
∵直径AB⊥弦CD，
∴CE=ED，即OF为CD的垂直平分线
∴CF=DF，
∴∠CDF=∠DCF，
∵OC=OD，
∴∠CDO=∠OCD
∴∠CDO+∠CDB=∠OCD+∠DCF=90°，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵∠OCF=90°，∠BCF=30°，
∴∠OCB=60°，
∵OC=OB，
∴△OCB为等边三角形，
∴∠COB=60°，
∴∠CFO=30°
∴FO=2OC=2OB，
∴FB=OB=OC=2，
在Rt△OCE中，∵∠COE=60°，
∴OE=OC=1，
∴CE=OE=，
∴CD=2CE=．
【点评】
本题主要考查圆中切线的证明，垂经定理等，注意与直角三角形的综合.
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第24章圆24.2点和圆、直线和圆的位置关系（简答题专练）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．如图1，为半圆的直径，点为圆心，为半圆的切线，过半圆上的点作交于点，连接．
（1）连接，若，求证：是半圆的切线；
（2）如图2，当线段与半圆交于点时，连接，，判断和的数量关系，并证明你的结论．
2．如图所示，的底边BC的长为10cm，，，求它外接圆的直径.
3．的斜边，直角边，圆心为C，半径为2cm和3cm的两个圆和与直线AB有怎样的位置关系？半径为多少时，AB与相切？
4．如图，已知过点P的直线AB交⊙O于A，B两点，PO与⊙O交于点C，且PA＝AB＝6cm，PO＝12cm.
求⊙O的半径；
5．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，，M为AB的中点，以CD为直径画圆P．
（1）当点M在圆P外时，求CD的长的取值范围；
（2）当点M在圆P上时，求CD的长；
（3）当点M在圆P内时，求CD的长的取值范围．
6．已知△ABC,求作☉O,使☉O经过△ABC的三个顶点.(不写作法,保留作图痕迹)
7．菱形各边的中点是否在同一个圆上？为什么？
8．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D．
(1)若∠BAC=70°，求∠CBD的度数；
(2)求证：DE=DB．
9．如图，⊙O的半径为6，点A，B，C为⊙O上三点，BA平分∠OBC，过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）当sin∠OBC=时，求BC的长；
（3）连结AC，当AC∥OB时，求图中阴影部分的面积．
10．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D．若PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0的两个根，求△PCD的周长．
11．如图，在一块三角形的废料上，要裁下一个半圆形的材料，并且要使半圆的直径在边AC上，且充分利用原三角形废料，试画出你的设计方案.
12．如图，AB为半⊙O的直径，弦AC的延长线与过点B的切线交于点D，E为BD的中点，连接CE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）过点C作CF⊥AB，垂足为点F，AC＝5，CF＝3，求⊙O的半径．
13．如图是一块含（即）角的直角三角板和一个量角器拼在一起，三角板斜边与量角器所在半圆的直径重合，量角器最外缘的读数从点开始（即点的读数为），现有射线绕着点从顺时针以每秒的速度旋转到与的外接圆相切为止.在旋转过程中，射线与量角器的半圆弧交于点.
（1）当射线与的外接圆相切时，求射线旋转的角度是多少？
（2）当射线分别经过的外心、内心时，点处的读数分别是多少？
（3）当旋转秒时，连接，求证：.
14．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
(1)试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
(2)若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．
15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点C的切线交AB的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连接BC，若∠BCF=30°，BF=2，求CD的长．
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