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第24章圆24.2点和圆、直线和圆的位置关系（填空题专练）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．如图，为的直径，为上一点，过点的切线交的延长线于点，为弦的中点，，，若点为直径上的一个动点，连接，当是直角三角形时，的长为__________．
2．如图，是的一条弦，点是上一动点，且，点、分别是、的中点，直线与交于、两点.若的半径为7，则GE+FH的最大值为______.
3．已知Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为_____．
4．如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上，那么△ABC的外接圆半径是_____．
5．已知：如图，⊙O的半径是5cm，PA、PB切⊙O于点A、B两点，∠PAB=60°．求AB的长．
6．已知⊙O的半径为7cm，直线l1∥l2，且l1与⊙O相切，圆心O到l2的距高为8cm，则l1与l2的距离为____cm．
7．在中，，，，则外接圆半径是________；内切圆半径是________．
8．直线l与⊙O有两个公共点A，B，O到直线l的距离为5cm，AB=24cm，则⊙O的半径是______cm．
9．若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，则△ABC的面积为_________________.
10．如图，已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC=60°，则∠BOC=______．
11．圆心O到直线l的距离为d，的半径为R，若d，R是方程的两个根，则直线和圆的位置关系是________；若d，R是方程的两个根，则________时，直线与圆相切.
12．如图，P为正比例函数y＝x图像上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为(x，y)．当⊙P与直线x＝2相交时x的取值范围为______．
13．若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，则△ABC的面积为_________________.
14．如图所示，外接圆的圆心坐标是________.
15．已知⊙O的面积为9π，若PO=4，则点P在圆__．
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第24章圆24.2点和圆、直线和圆的位置关系（填空题专练）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．如图，为的直径，为上一点，过点的切线交的延长线于点，为弦的中点，，，若点为直径上的一个动点，连接，当是直角三角形时，的长为__________．
【答案】4或2.56．
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出AB，由△BCD∽△ABD得到比例式求出CD的长，当是直角三角形时，分∠AEP=90°和∠APE=90°两种情况进行讨论,可求出AP长有2种情况.
【详解】
解：连接BC
过点的切线交的延长线于点，
，
，
当时，，
经过圆心，
；
当时，则，
，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°.
∴∠BCD＝90°.
∵∠BCD
＝∠ABD，∠D是公共角，
∴△BCD∽△ABD.
∴
，
，
，
，
，
．
综上的长为4或2.56．
故答案为4或2.56．
【点评】
本题考查的是切线的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键.
2．如图，是的一条弦，点是上一动点，且，点、分别是、的中点，直线与交于、两点.若的半径为7，则GE+FH的最大值为______.
【答案】10.5
【解析】
【分析】
根据连结、，可得是等边三角形，因此可得当为直径时，的取最大值.
【详解】
连结、，
易得是等边三角形.可得，
故当为直径时，的最大值为.
【点评】
本题主要考查圆的综合知识，关键在于分析当为直径时，取的最大值.
3．已知Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为_____．
【答案】3＜r≤4或r＝．
【解析】
【分析】
根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．
【详解】
解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝3，BC＝4．∴AB＝5，
如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，
当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，
∴CD×AB＝AC×BC，
∴CD＝r＝，
当直线与圆如图所示也可以有一个交点，
∴3＜r≤4，
故答案为3＜r≤4或r＝．
【点评】
此题主要考查了直线与圆的位置关系，结合题意画出符合题意的图形，从而得出答案，此题比较容易漏解．
4．如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上，那么△ABC的外接圆半径是_____．
【答案】
【解析】
如图，
根据三角形的外心是它的三边垂直平分线的交点．结合图形发现其外心的位置，再根据勾股定理得外接圆的半径==．
故答案为.
点评：此题能够结合图形确定其外接圆的圆心，再根据勾股定理计算其外接圆的半径．
5．已知：如图，⊙O的半径是5cm，PA、PB切⊙O于点A、B两点，∠PAB=60°．求AB的长．
【答案】5．
【解析】
【分析】
连接AO,
可得△ABP是等边三角形，∠APO=30°可求得PA即AB的长.
【详解】
解：连接AO，
∵PA、PB分别与相切⊙O于点A、B，
∴PA=PB，∠APO=
∠APB，
∵∠PAB=60°，
∴△ABP是等边三角形，
∴∠APO=30°，
∵∠PAO=90°，
∴PO=10，PA=5
，
∴PA=AB=5
．
【点评】
此题考查了切线的性质以及等边三角形的判定与性质.
注意准确作出辅助线是解此题的关键.
6．已知⊙O的半径为7cm，直线l1∥l2，且l1与⊙O相切，圆心O到l2的距高为8cm，则l1与l2的距离为____cm．
【答案】1或15
【解析】
【分析】
观察题目信息,
题目只说明了两条直线之间的位置关系,
没有说明两条直线在圆的同侧还是异侧，分两种情况讨论即可.
【详解】
解：当两条直线在圆的同侧时,
两条直线的距离为8
-
7
=1;
当两条直线在圆的异侧时,
两条直线的距离为8+7=15.
故两条直线之间的距离为1cm或15cm.
【点评】
本题考查圆与直线的位置关系,
需分同侧和异侧讨论.
7．在中，，，，则外接圆半径是________；内切圆半径是________．
【答案】
【解析】
【分析】
直角三角形的斜边是外接圆的直径，则外接圆的半径即可求解；根据根据内切圆的半径到三角形的三边的距离相等，依据三角形的面积公式求解．
【详解】
外接圆半径是AB=5，在直角△ABC中，BC===8，设内切圆的半径是r，则AB?r+AC?r+BC?r=BC?AC，即5r+3r+4r=24，解得：r=2．
故答案为5；2．
【点评】
本题考查了直角三角形的外接圆与内切圆，理解外接圆的圆心是斜边的中点，以及内切圆的性质是关键．
8．直线l与⊙O有两个公共点A，B，O到直线l的距离为5cm，AB=24cm，则⊙O的半径是______cm．
【答案】13
【解析】
【分析】
先作出图形，利用垂径定理构造自己三角形，然后利用勾股定理即可解答．
【详解】
如图，
∵AB=24cm，OD⊥AB，
∴AD=BD=24×=12cm，
又∵O到直线l的距离OD=5cm，
根据勾股定理，OA==13cm．
故答案为13．
【点评】
本题涉及到垂径定理和勾股定理，解答此类题目时一般要构造直角三角形来解答．
9．若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，则△ABC的面积为_________________.
【答案】或
【解析】
【分析】
分两种情形讨论：①当圆心O在△ABC内部时．②当点O在△ABC外时．分别求解即可．
【详解】
①当圆心O在△ABC内部时，作AE⊥BC于E．
∵OB=OC，∠BOC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=OC=BC=2，
∴AE=OA+OE=2+，
∴S△ABC=?BC?AE=×2×（2+）=2+．
②当点O在△ABC外时，连接OA交BC于E．
S△ABC=?BC?AE=×2×（2-）=2-，
故答案为2+或2-．
【点评】
本题考查三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考常考题型．
10．如图，已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC=60°，则∠BOC=______．
【答案】120°
【解析】
【分析】
由点O为三边垂直平分线交点，得到点O为△ABC的外心，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到结果．
【详解】
解：∵已知点O为三边垂直平分线交点，
∴点O为△ABC的外心，
∴∠BOC=2∠BAC，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
故答案为120°．
【点评】
本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的外心的性质，解答本题关键熟练掌握圆周中同一弧线所对应的圆周角是圆心角的一半．
11．圆心O到直线l的距离为d，的半径为R，若d，R是方程的两个根，则直线和圆的位置关系是________；若d，R是方程的两个根，则________时，直线与圆相切.
【答案】相离或相交
【解析】
【分析】
（1）先求解方程得到两个根，然后分情况讨论即可；
（2）根据切线的判定可得d=R，然后根据根的判别式△=0即可求得m的值.
【详解】
解：（1）∵，
∴，
解得：x1=4，x2=5，
∵d，R是方程的两个根，
当d=4，R=5时，直线和圆的位置关系是相交；
当d=5，R=4时，直线和圆的位置关系是相离；
（2）∵直线与圆相切，
∴d=R，
∵d，R是方程的两个根，
∴△=m2﹣4×2=0，
解得，
∵d，R均为正数，
∴m=.
故答案为(1).
相离或相交；(2).
.
【点评】
本题主要考查圆和直线的位置关系，切线的判定，解一元二次方程及其根的判别式，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
12．如图，P为正比例函数y＝x图像上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为(x，y)．当⊙P与直线x＝2相交时x的取值范围为______．
【答案】－1＜x＜5
【解析】
【分析】
根据直线和圆相切应满足圆心到直线的距离等于半径，首先求得点P的横坐标，然后可求出相交时x的取值范围．
【详解】
设P点的横坐标为x，过P作直线x=2的垂线，垂足为A；
当点P在直线x=2右侧时，AP=x-2=3，得x=5；
当点P在直线x=2左侧时，PA=2-x=3，得x=-1，
∴当⊙P与直线x=2相交时x的取值范围为－1＜x＜5.
故答案是：－1＜x＜5．
【点评】
本题考查了直线与圆的位置关系的知识，若圆心到直线的距离d，圆的半径r，①当d＞r时，直线与圆相离，此时直线与圆没有公共点；②当d=r时，直线与圆相切，此时直线与圆有一个公共点；③当d＜r时，直线与圆相交，此时直线与圆有两个公共点.
13．若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，则△ABC的面积为_________________.
【答案】或
【解析】
【分析】
分两种情形讨论：①当圆心O在△ABC内部时．②当点O在△ABC外时．分别求解即可．
【详解】
①当圆心O在△ABC内部时，作AE⊥BC于E．
∵OB=OC，∠BOC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=OC=BC=2，
∴AE=OA+OE=2+，
∴S△ABC=?BC?AE=×2×（2+）=2+．
②当点O在△ABC外时，连接OA交BC于E．
S△ABC=?BC?AE=×2×（2-）=2-，
故答案为2+或2-．
【点评】
本题考查三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考常考题型．
14．如图所示，外接圆的圆心坐标是________.
【答案】
【解析】
【分析】
作AB和BC的垂直平分线，它们的交点P为△ABC外接圆圆心，然后写出P点坐标即可．
【详解】
解：作AB和BC的垂直平分线，它们的交点P为△ABC外接圆圆心，
∵
P点坐标是P（5，2），
∴
外接圆的圆心坐标是（5，2）．
故答案为（5，2）．
【点评】
本题考查三角形外接圆．解此类题目时要注意运用三角形的外接圆圆心到三角形三点的距离相等这一性质．
15．已知⊙O的面积为9π，若PO=4，则点P在圆__．
【答案】外
【解析】
【分析】
先求出圆的半径，再根据点和圆的位置关系进行判断即可.
【详解】
解：设⊙O的半径为r，
∵⊙O的面积为9π，
∴，解得r=3.
∵PO=4＞3，
∴点P在圆外.
【点评】
本题考查了点与圆的位置关系，判断点和圆的位置关系时，关键是比较点到圆心的距离与圆的半径的大小，再根据大小关系进行作答.
若点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则d＞r时，点在圆外，当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内.
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