中小学教育资源及组卷应用平台
第24章圆24.3正多边形和圆（简答题专练）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．已知△ABC,求作☉O,使☉O经过△ABC的三个顶点.(不写作法,保留作图痕迹)
2．如图所示，的底边BC的长为10cm，，，求它外接圆的直径.
3．如图，是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．
正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为______；
连接BE，BE是否为的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由．
4．如图所示，已知△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB．求证：五边形AEBCD是正五边形．
5．已如：⊙O与⊙O上的一点A
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（
要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）
（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由．
6．如图，四边形内接于，点在对角线上，.
（1）若，求的度数；
（2）求证：
7．如图，已知等腰△ABC，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，请用圆规和直尺作出△ABC的外接圆．并计算此外接圆的半径．
8．如图，分别是正方形、正五边形和正六边形，
（1）试分别计算这三种正多边形的相邻两条对角线的夹角的度数；
（2）探究正n边形相邻两条对角线的夹角满足的规律．
9．如图五边形ABCDE内接于⊙O,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E．
求证：五边形ABCDE是正五边形
10．已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．
(1)若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；
(2)若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．
11．已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．
12．如图，⊙O外接于正方形为弧上一点，且，求正方形的边长和的长．
13．如图，已知正五边形ABCDE，M是CD的中点，连接AC，BE，AM.
求证：(1)AC＝BE；
(2)AM⊥CD.
14．如图，⊙O的半径为，其内接正六边形，点同时分别从两点出发，以的速度沿向终点运动，连接．设运动时间为．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）填空：
①当________时，四边形为菱形；
②当_________时，四边形为矩形．
15．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
(1)试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
(2)若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第24章圆24.3正多边形和圆（简答题专练）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．已知△ABC,求作☉O,使☉O经过△ABC的三个顶点.(不写作法,保留作图痕迹)
【答案】详见解析.
【解析】
【分析】
根据题意，作三角形ABC的外接圆，作任意两边的垂直平分线，交点即为圆心，作圆即可．
【详解】
解:如图所示.
【点评】
本题考查了作三角形的外接圆，外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等．
2．如图所示，的底边BC的长为10cm，，，求它外接圆的直径.
【答案】
【解析】
【分析】
连接OA交BC于D，根据三线合一定理得出BD=DC，∠OAC=∠BAC，得出等边三角形OAC，推出∠AOC=60°，在△ODC中根据勾股定理求出即可半径，进而求得直径．
【详解】
解：如图所示，是的外接圆，连接OA交BC于D，
∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，
∴∠AOC=∠BOA，
∵OB=OC，
∴BD=DC，OA⊥BC，
∴由垂径定理得：BD=DC=5cm，
∠OAC=∠BAC=×120°=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∴∠DCO=90°-60°=30°
∴OC=2OD，
设OD=a，OC=2a，由勾股定理得：a2+52=（2a）2，
a=，
∴OC=2a=，
∴外接圆的直径=2OC=（cm）．
【点评】
本题考查等腰三角形的性质，三角形的外接圆和外心，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，此题有一定的难度，注意：此等腰三角形的外心在三角形外部．
3．如图，是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．
正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为______；
连接BE，BE是否为的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）是，n=12.
【解析】
试题分析：（1）连接、、，设半径为，根据中心角的度数可知正六边形的相邻两半径与边构成等边三角形，从而可用含r的式子表示边长，同理也用含r的式子表示正方形的边长，即可得；
（2）求出∠BOE的度数，然后去除360°，根据所得的商即可得.
试题解析：（）连接、、，
设半径为，
，，
是等腰直角三角形，，
是等边三角形，，
∴．
（）若是，则，
又∵，∴，，
故是⊙内接正十二边形．
4．如图所示，已知△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB．求证：五边形AEBCD是正五边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】求证五边形AEBCD是正五边形，就是证明这个五边形的五条边所对的弧相等．
【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°.
又∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE＝36°，
即∠BAC＝∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE，
∴
，
∴A，E，B，C，D是⊙O的五等分点，
∴五边形AEBCD是正五边形．
【点评】本题考核知识点：本题主要考查了连接圆的等分点所得到的多边形是正多边形这一结论．
5．已如：⊙O与⊙O上的一点A
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（
要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）
（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）如图，在⊙O上依次截取六段弦，使它们都等于OA，从而得到正六边形ABCDEF；
（2）连接BE，如图，利用正六边形的性质得AB=BC=CD=DE=EF=FA，，则判断BE为直径，所以∠BFE=∠BCE=90°，同理可得∠FBC=∠CEF=90°，然后判断四边形BCEF为矩形．
【详解】
解:（1）如图，正六边形ABCDEF为所作；
（2）四边形BCEF为矩形．理由如下：
连接BE，如图，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，
∴，
∴，
∴，
∴BE为直径，
∴∠BFE=∠BCE=90°，
同理可得∠FBC=∠CEF=90°，
∴四边形BCEF为矩形．
【点评】
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的判定与正六边形的性质．
6．如图，四边形内接于，点在对角线上，.
（1）若，求的度数；
（2）求证：
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理可得：∠BAD=∠BAC+∠CAD；（2）由，及，可得；
【详解】
(1)∵BC=DC,
∴∠CBD=∠CDB=39°,
∵∠BAC=∠CDB=39°,∠CAD=∠CBD=39°,
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°;?
（2）证明：∵，∴，.
又∵，∴
【点评】
考核知识点：圆的内接四边形.掌握圆周角定理是关键.
7．如图，已知等腰△ABC，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，请用圆规和直尺作出△ABC的外接圆．并计算此外接圆的半径．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
作出AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是圆心，以交点为圆心，交点到三角形的顶点为半径画圆可得△ABC的外接圆；再根据垂径定理得出∠BAO=60°，得出△ABO为等边三角形，从而求得外接圆的半径．
【详解】
作出AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是圆心，以交点为圆心，交点到三角形的顶点为半径画圆，画图如下：
∵AB=AC=8，
∴弧AB=弧AC
∵∠BAC=120°，AO⊥BC，
∴∠BAO=60°，
∵OA=OB
∴△ABO为等边三角形，
∴OA=OB
=AB=8
∴△ABC的外接圆的半径为8．
【点评】
本题考查三角形外接圆的确定及垂径定理的应用、等边三角形的判定和性质和尺规作图，解题的关键是掌握三角形外接圆的确定及垂径定理的应用、等边三角形的判定和性质和尺规作图.
8．如图，分别是正方形、正五边形和正六边形，
（1）试分别计算这三种正多边形的相邻两条对角线的夹角的度数；
（2）探究正n边形相邻两条对角线的夹角满足的规律．
【答案】（1），，；（2）.
【解析】
【分析】
对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．
【详解】
解：（1）解：由正方形ABCD，
可得：AC⊥BD，
∴＝90°；
由正五边形ABCDE，
可得：AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108°，
∴∠DBC＝∠ACB＝，
∴＝180°?∠DBC?∠ACB＝108°；
同理：＝120°；
（2）．
【点评】
本题主要考查了正多边形和圆的知识，学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．
9．如图五边形ABCDE内接于⊙O,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E．
求证：五边形ABCDE是正五边形
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
根据同弧所对的圆周角相等，得出，利用等式的性质，两边同时减去，即可得到，根据同弧所对的弦相等，得出BC＝AE．
【详解】
证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，∠A对着，∠B对着，
∴，
∴
，即，
∴BC＝AE．
同理可证其余各边都相等，
∴五边形ABCDE是正五边形．
【点评】
此题考查了正多边形和圆的关系，在图形中找到圆的弧、弦等，利用同弧所对的圆周角相等、所对的弦相等解答．
10．已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．
(1)若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；
(2)若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．
【答案】（1）r=3cm.
(2)
r=（a+b-c）．
【解析】
【分析】
首先设AC、AB、BC与⊙O的切点分别为D、E、F；易证得四边形OFCD是正方形；那么根据切线长定理可得：
CD=CF=（AC+BC-AB），由此可求出r的长．
【详解】
（1）如图,连接OD，OF；
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=9cm；
根据勾股定理AB==15cm；
四边形OFCD中，OD=OF，∠ODC=∠OFC=∠C=90°；
则四边形OFCD是正方形；由切线长定理，得：AD=AE，CD=CF，BE=BF；
则CD=CF=（AC+BC-AB）；
即：r=（12+9-15）=3cm．
（2）当AC=b，BC=a，AB=c，由以上可得：
CD=CF=（AC+BC-AB）；
即：r=（a+b-c）．则⊙O的半径r为：（a+b-c）．
【点评】
此题主要考查直角三角形内切圆的性质及半径的求法．利用切线长定理得出四边形OFCD是正方形是解题关键．
11．已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．
【答案】S=(a+b+c)r
【解析】
【分析】
设△ABC与⊙O相切与点D、E、F．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，根据S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，即可求解
【详解】
如图，设△ABC与⊙O相切与点D、E、F．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．
则OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC．
∵S△AOB=AB?OD=cr，同理，S△OBC=ar，S△OAC=br．
∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，即S=cr+ar+br=(a+b+c)r
【点评】
本题考查了三角形的内切圆的计算，正确作出辅助线，把△ABC的面积的计算分解成几个三角形的面积的计算是关键.
12．如图，⊙O外接于正方形为弧上一点，且，求正方形的边长和的长．
【答案】，
【解析】
【分析】
连接AC，作AE⊥PB于E，由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠D=∠BCD=90°，∠ACB=45°，由圆周角定理得出AC是⊙O的直径，△ABC是等腰直角三角形，得出∠APC=90°，AC=AB，由勾股定理得出AC=，得出AB=，由圆周角定理得出∠APB=∠ACB=45°，证出△APE是等腰直角三角形，得出PE=AE=
AP=，再由勾股定理得出BE=，即可得出PB的长．
【详解】
解：连接，作于点，
如图所示．
∵四边形是正方形，
，
是的直径，是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
，
．
正方形的边长为的长为．
【点评】
本题考查了正多边形和圆、正方形的性质、圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
13．如图，已知正五边形ABCDE，M是CD的中点，连接AC，BE，AM.
求证：(1)AC＝BE；
(2)AM⊥CD.
【答案】见解析
【解析】
【分析】（1）先证明△ABC≌△EAB：AB=BC,AE=BA,∠ABC=∠EAB,所以全等,所以AC=BE；（2）连接AD,易证AC=AD（三角形ABC全等于三角形AED）,所以三角形ACD为等腰三角形,又M为CD中点,所以AM垂直于CD
【详解】解：(1)由五边形ABCDE是正五边形，得AB＝AE，∠ABC＝∠BAE，AB＝BC，
∴△ABC≌△EAB，∴AC＝BE.
(2)连接AD，由五边形ABCDE是正五边形，得AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，
∴△ABC≌△AED，
∴AC＝AD.
又∵M是CD的中点，
∴AM⊥CD.
【点评】本题考核知识点：正多边形.
解题关键点：证三角形全等.
14．如图，⊙O的半径为，其内接正六边形，点同时分别从两点出发，以的速度沿向终点运动，连接．设运动时间为．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）填空：
①当________时，四边形为菱形；
②当_________时，四边形为矩形．
【答案】（1）见解析；（2）①2；②0或4
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得，，然后证明，由此可得、，进而可证结论．
（2）①根据菱形的性质，，时，四边形是菱形，由此可知t=2；
②根据矩形的性质，当有三个角是直角时，四边形是矩形，由此可知t=4或0．
【详解】
（1）∵正六边形内接于的半径为4，
，
∵点同时分别从两点出发，以的速度沿向终点运动，．
在和中，
同理可证．
∴四边形是平行四边形．
（2）①2；②0或4
，
①由对称性可知，当，时，四边形是菱形，此时．
②当时，点在点处，
，，此时四边形是矩形．
当时，点在点处，同理可得，此时四边形是矩形．综上所述，当或时，四边形是矩形．
【点评】
本题主要考查平行四边形、菱形、矩形的性质与判定，涉及动点问题，掌握各图形的性质及判定方法是解题关键．
15．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
(1)试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
(2)若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．
【答案】（1）AB＝AC（2）≤r<5
【解析】
【分析】
（1）连接，根据切线的性质和垂直得出，推出，求出，根据等腰三角形的判定推出即可；
（2）根据已知得出在的垂直平分线上，作出线段的垂直平分线，作，求出，求出范围，再根据相离得出，即可得出答案.
【详解】
(1)AB＝AC，理由如下：
如图1，连结OB.
∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，
∴∠OBA＝∠OAC＝90°，
∴∠OBP＋∠ABP＝90°，∠ACP＋∠APC＝90°，
∵OP＝OB，
∴∠OBP＝∠OPB，
∵∠OPB＝∠APC，
∴∠ACP＝∠ABC，
∴AB＝AC；
(2)如图2，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，则可以推出；
又∵圆O与直线MN有交点，
∴，
，
，
r2≥5，
∴，
又∵圆O与直线l相离，
∴r<5，
即.
图1
图2
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力.本题综合性比较强，有一定的难度.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
