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第24章圆24.3正多边形和圆（填空题专练）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于________．(结果保留根号)
【答案】1＋
【解析】
【分析】把正八边形的四条不相邻的边延长，得到的四边形就是满足条件的正方形，则三角形BDE是等腰直角三角形；正方形的边长等于正八边形的边长1加上DB的2倍，根据三角函数求得DE的长即可求解．
【详解】∵△BDE是等腰直角三角形，BE=1．
∴BD=BE?=．
∴正方形的边长等于AB+2BD=1+．
故答案为1＋
【点评】正确作出满足条件的正方形，理解所作正方形与已知正八边形之间的关系是解题的关键．
2．如图，AB为半圆O的直径，C、D是半圆上的三等分点，若⊙O的半径为1，E为线段AB上任意一点，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据同底同高的三角形面积相等，可知点E无论在哪一点都与在点O时的面积相等，根据C、D是半圆上的三等分点，可知△OCD是等边三角形，即阴影部分的面积就是一个圆心角为60度的扇形的面积．
【详解】
连接CO，DO．
∵C、D是半圆上的三等分点，∴△OCD是等边三角形，∴阴影部分的面积=扇形COD的面积=．
【点评】
本题的关键是看出阴影部分的面积就是一个圆心角为60度的扇形的面积．
3．如图，在扇形MON中，圆心角∠MON=60°，边长为2的菱形OABC的顶点A，C，B分别在ON，OM和上，且ND∥AB，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积是_____．
【答案】6﹣2
【解析】
【分析】
由扇形的面积计算公式结合三角形、平行四边形的面积计算公式计算即可.
【详解】
解：如图
连接OB,过C点做OB的垂线，垂足为E点，
由四边形OABC为菱形，∠MON=60°，可得∠COB=∠BOA=∠COA=，
可得,,
在RT△OCE中，OC=2,
∠COB=,可得CE=1,OE=,则OB=,即圆的半径为，
可得：==，
=，
,
,
阴影部分的面积即为四边形ABDN的面积，
由BD∥AN,AB∥DN,
可得四边形ABDN为平行四边形，
过点B做BF⊥AN,可得BF=，
,
故阴影部分的面积为.
【点评】
本题主要考查扇形的计算公式、三角形和平行四边形的面积公式，综合性较强，需综合运用所学知识求解.
4．一个扇形的面积是πcm，半径是3cm，则此扇形的弧长是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据扇形面积公式求解即可
【详解】
根据扇形面积公式.
可得：，
，
故答案：.
【点评】
本题主要考查了扇形的面积和弧长之间的关系,
利用扇形弧长和半径代入公式即可求解,
正确理解公式是解题的关键.
注意在求扇形面积时,
要根据条件选择扇形面积公式.
5．如图，⊙O与正六边形的边分别交于点，点在上，则圆周角的大小为_______度．
【答案】120
【解析】
【分析】
在优弧FG上取一点T，连接TF，TG．利用圆内接四边形对角互补解决问题即可．
【详解】
在优弧FG上取一点T，连接TF，TG．
∵ABCDEF是正六边形，
∴∠AOE=120°，
∵∠T=∠FOG=60°，
∵∠FMG+∠T=180°，
∴∠FMG=120°，
故答案为：120．
【点评】
本题考查了正多边形与圆，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造圆内接四边形解决问题．
6．同圆的内接正n边形与外切正n边形边长之比是______________.
【答案】cos.
【解析】
【分析】
先根据题意画出图形，再设圆的半径为R，由垂径定理及锐角三角函数的定义即可求解．
【详解】
解：如图所示，设圆的半径为R，
∵∠AOF=
∴AB=2AF=2Rsin；
同理，∵∠DOF=，
∴CD=2DE=2Rtg，
∴AB：CD=2Rsin：2Rtg＝cos．
同圆的内接正n边形与外切正n边形边长之比是cos．
故答案为cos．
【点评】
本题考查的是正多边形和圆、垂径定理及勾股定理，根据题意画出图形，利用数形结合是解答此题的关键．
7．如图，两个同心圆的半径分别为1和2，，则阴影部分面积是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
阴影部分的面积=大扇形-小扇形，所以依面积公式计算即可．
【详解】
阴影部分的面积==π．
【点评】
根据扇形面积公式计算即可．
8．正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为___________.
【答案】1：2：3.
【解析】
【分析】
画出图形，连接OB，连接AO并延长交BC于点D，得到直角三角形BOD，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，得到R=2r，然后求出h与r的关系，计算r，R与h的比．
【详解】
解：如图：
在直角三角形BOD中，∠OBD=30°，
∴R=2r，
AD是BC边上的高h，OA=OB，∴h=R+r=3r．
∴r：R：h=r：2r：3r=1：2：3．
即正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为1：2：3．
【点评】
本题考查的是正多边形和圆，连接OB，连接AO并延长得到直角三角形，利用直角三角形求出R，r和h的比值．
9．如图，将一块正六边形硬纸片，做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA/H，那么∠GA/H的大小是________度．
【答案】60°
【解析】
【分析】
利用正六边形的每个内角等于120度，A′H⊥AH，A′G⊥AG，可得∠GA′H＝360°?120°?90°?90°．
【详解】
解：因为正六边形的每个内角等于120度，A′H⊥AH，A′G⊥AG，
所以∠A＝120°，∠AHA′＝∠AGA′＝90°，
所以∠GA′H＝360°?120°?90°?90°＝60°
【点评】
此题主要考查了多边形内角和定理，本题需仔细分析题意，利用多边形的内角和解决问题．
10．半径为3且圆心角为的扇形的面积为________.
【答案】3π．
【解析】
【分析】
直接利用扇形的面积公式S=，进而求出即可．
【详解】
解：∵半径为3，圆心角为120°的扇形，
∴S扇形===3π．
故答案为3π．
【点评】
此题主要考查了扇形面积公式应用，熟练记忆扇形面积公式是解题关键．
11．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝30°，则∠B+∠E＝_____．
【答案】210°.
【解析】
【分析】
连接CE，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD，然后求解即可．
【详解】
解析：连接CE.∵五边形ABCDE是⊙O的内接五边形，∴四边形ABCE是⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠AEC＝180°.∵∠CED＝∠CAD＝30°，∴∠B＋∠E＝180°＋30°＝210°.
故答案为:
210°.
【点评】
本题考查圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题关键．
12．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S=_____．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
分析：根据正多边形的定义可得出△ABO为等边三角形，根据等边三角形的性质结合OM的长度可求出AB的长度，再利用三角形的面积公式即可求出S的值．
详解：依照题意画出图象，如图所示．
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴△ABO为等边三角形，
∵⊙O的半径为1，
∴OM=1，
∴BM=AM=，
∴AB=，
∴S=6S△ABO=6×××1=2．
故答案为2.
点评：本题考查了正多边形和圆、三角形的面积以及数学常识，根据等边三角形的性质求出正六边形的边长是解题的关键．
13．如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而=45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．
图2中的图案外轮廓周长是_____；
在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是_____．
【答案】14
21
【解析】
【分析】根据图2将外围长相加可得图案外轮廓周长；设∠BPC=2x，先表示中间正多边形的边数：外角为180°﹣2x，根据外角和可得边数=，同理可得两边正多边形的外角为x，可得边数为，计算其周长可得结论．
【详解】图2中的图案外轮廓周长是：8﹣2+2+8﹣2=14；
设∠BPC=2x，
∴以∠BPC为内角的正多边形的边数为：，
以∠APB为内角的正多边形的边数为：，
∴图案外轮廓周长是=﹣2+﹣2+﹣2=+﹣6，
根据题意可知：2x的值只能为60°，90°，120°，144°，
当x越小时，周长越大，
∴当x=30时，周长最大，此时图案定为会标，
则则会标的外轮廓周长是=﹣6=21，
故答案为14，21．
【点评】本题考查了阅读理解问题和正多边形的边数与内角、外角的关系，明确正多边形的各内角相等，各外角相等，且外角和为360°是关键，并利用数形结合的思想解决问题．
14．如图，已知边长为的正方形ABCD内有一边长为的内接正方形EFGH，则△EBF的内切圆半径是______.
【答案】
【解析】
【分析】
首先利用正方形的性质得出△AEH≌△BFE（AAS），再利用直角三角形内切圆半径求法得出即可．
【详解】
∵边长为m的正方形ABCD内有一边长为n的内接正方形EFGH，
∴∠AEH+∠FEB=90°,∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠AHE=∠BEF，
在△AEH和△BFE中，
∠A=∠B,∠AHE=∠FEB,EH=EF，
∴△AEH≌△BFE(AAS)，
∴AE=BF，
∴BE+BF=AB=m，
故△EBF的内切圆半径是.
故答案为
【点评】
本题考查的是三角形的内切圆与内心，熟练掌握两者的性质是解题的关键.
15．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为__．
【答案】3
【解析】
连接OB，
∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，∴∠BOM=
=30°，
∴OM=OB?cos∠BOM=6×
=3，
故答案为3.
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第24章圆24.3正多边形和圆（填空题专练）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于________．(结果保留根号)
2．如图，AB为半圆O的直径，C、D是半圆上的三等分点，若⊙O的半径为1，E为线段AB上任意一点，则图中阴影部分的面积为_____．
3．如图，在扇形MON中，圆心角∠MON=60°，边长为2的菱形OABC的顶点A，C，B分别在ON，OM和上，且ND∥AB，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积是_____．
4．一个扇形的面积是πcm，半径是3cm，则此扇形的弧长是_____．
5．如图，⊙O与正六边形的边分别交于点，点在上，则圆周角的大小为_______度．
6．同圆的内接正n边形与外切正n边形边长之比是______________.
7．如图，两个同心圆的半径分别为1和2，，则阴影部分面积是_______.
8．正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为___________.
9．如图，将一块正六边形硬纸片，做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA/H，那么∠GA/H的大小是________度．
10．半径为3且圆心角为的扇形的面积为________.
11．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝30°，则∠B+∠E＝_____．
12．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S=_____．（结果保留根号）
13．如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而=45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．
图2中的图案外轮廓周长是_____；
在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是_____．
14．如图，已知边长为的正方形ABCD内有一边长为的内接正方形EFGH，则△EBF的内切圆半径是______.
15．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为__．
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