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第24章圆24.3正多边形和圆（选择题专练）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．如图，边长为3的正五边形ABCDE，顶点A、B在半径为3的圆上，其他各点在圆内，将正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为（ ）
A．12°
B．16°
C．20°
D．24°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据点E旋转的角度和点C旋转的角度相等,所以求出点E旋转的角度即可.
【详解】
解:
如图
设圆心为O,连接OA,
OB,点E落在圆上的点E'处.
AB=OA=OB,
∠OAB=,同理∠OAE'=,
∠EAB=,
∠EAO=∠EAB-∠OAB=,
∠EAE'=∠OAE'-∠EAO=-=
点E旋转的角度和点C旋转的角度相等,
点C旋转的角度为,
故选A.
【点评】
本题主要考查旋转的性质，注意与圆的性质的综合.
2．下列属于正多边形的特征的有（
）
（1）各边相等
（2）各个内角相等
（3）各个外角相等
（4）各条对角线都相等
（5）从一个顶点引出的对角线将正n边形分成面积相等的（n-2）个三角形
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】B
【解析】
①各边相等是正确的；
②各个内角相等是正确的；
③各个外角相等是正确的；
④各条对角线不一定相等，原来的说法是错误的；
⑤从一个顶点引出的对角线将n边形分成面积不一定相等的(n?2)个三角形，原来的说法是错误的.
故选B.
3．如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
图中阴影部分面积等于6个小半圆的面积和﹣（大圆的面积﹣正六边形的面积）即可得到结果．
【详解】
解：6个月牙形的面积之和，
故选A．
【点评】
本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正六边形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
4．如图，⊙O是边长为1的正方形ABCD的外接圆，P为弧AD上的不同于A、D的任意一点，则PA2+PB2+PC2+PD2的值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
连接AC、
BD,先由正方形的性质得出∠ADC=∠BCD=,再根据90度的圆周角所对的弦是直径得出AC与BD是直径,由直径所对的圆周角是直角得出∠APC=∠BPD=,然后根据勾股定理得出,,从而求出结果.
【详解】
解:
如图，连接AC,BD.ABCD是正方形,
∠ADC=∠BCD=,
AC与BD是直径,
∠APC=∠BPD=,
,,
又正方形ABCD的边长为1,
AC=BD=,
.
所以B选项是正确的.
【点评】
本题主要考查了正多边形与圆,勾股定理,圆周角定理,综合性较强,难度中等.根据圆周角定理得∠APC=∠BPD=是解题的关键.
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=110°，∠BAC=20°，则∠E的度数为（ ）
A．60°
B．55°
C．50°
D．45°
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数,
再由圆周角定理得出∠DCE的度数,根据三角形外角的性质即可得出结论.
【详解】
解:四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=110°,
∠ADC=-
∠ABC=，
,
∠BAC=,
∠DCE=∠BAC=,
∠E=∠ADC
-
∠DCE=70
-
=.
故选C.
【点评】
本题主要考查圆内接四边形的性质及
圆心角、
弧、
弦的关系，需灵活运用各知识求解.
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CM切⊙O于点C，∠BCM=60°，则∠B的正切值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
连接BD．AB是直径，则∠ADB=90°，由弦切角定理知∠CDB=∠BCM=60°，∠CDA=150°．
再由圆内接四边形的对角互补可求∠CBA=30°，根据三角函数的求法可知tan∠ABC=．
解：连接BD．
AB是直径，则∠ADB=90°，
∴∠CDB=∠BCM=60°．
∴∠CDA=∠CDB+∠ADB=150°．
∵∠CBA=180°-∠CDA=30°，
∴tan∠ABC=tan30°=．
故选B．
本题利用了直径对的圆周角是直角，弦切角定理，圆内接四边形的性质求解．
7．对于以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三角形是正三角形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形．正确的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
①没有边相等的信息不能判定其是正多边形；②符合正三角形的定义；③仅有各角相等没有边相等的信息不能判定其是圆内正多边形；④符合圆内接多边形的定义．
【详解】
①错误，如矩形，满足条件，却不是正多边形；②正确；③错误，如圆内接矩形，满足条件，却不是正多边形；④正确．共有2个正确．
故选B
【点评】
本题考查正多边形的定义、性质、圆与正多边形的关系，掌握正多边形的性质、圆的内接正多边形的性质是解题关键.
8．在半径为1的⊙O中，120°的圆心角所对的弧长是
（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
试题分析：根据弧长公式可知弧长．
l=.
故选B．
考点:
弧长的计算．
9．如图，O是的外心，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】
如图，
，
，
同理，，，
，
，
故选C．
【点评】
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外接圆的概念，三角形内角和定理是解题的关键．
10．下列说法中，正确的有（
）
（1）长度相等的弧是等弧；
（2）三点确定一个圆；
（3）平分弦的直径垂直于弦；
（4）三角形的内心到三角形三边的距离相等
A．4
个
B．3
个
C．2
个
D．1
个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等弧的定义对
(1)
进行判断;根据确定圆的条件对(2)进行判断;
根据垂径定理的推论对
(3)
进行判断;根据三角形的内切圆与内心对(4)进行判断.
【详解】
解：（1）两条能完全重合的弧叫等弧，故（1）错误;
（2）经过平面内不共线的三点确定一个圆,
所以(2)
错误;
（3）平分弦(非直径)的直径垂直于弦,所以(3)错误;
（4）三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以(4)正确.
故选D.
【点评】
本题主要考查圆的相关性质、垂径定理、三角形的内切圆与内心等.
11．边长为的正三角形的外接圆的半径为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据题意画出图形，再根据正三角形的特点求出∠BOC的度数，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质解答即可．
【详解】
如图所示，连接OB，OC，过O作OD⊥BC；
∵BC=1,
∴BD=,
∵△ABC是正三角形，
∴∠BOC==120°，
∵OB=OC，
∴∠BOD==60°，
∴∠OBD=30°，OB=．
故选C．
【点评】
解决本题的关键是构造与外接圆半径相关的直角三角形．
12．如图，四边形内接于⊙O
，，那么等于（
）
A．110°
B．135°
C．55°
D．125°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件可知，，根据圆内接四边形的对角互补可知，由此即可解答．
【详解】
解：．
∵四边形内接于⊙O
．
，
故选：D．
【点评】
本题主要考查了圆心角、圆周角、弦的关系以及圆的内接四边形的性质，掌握相关知识点，得到、是关键．
13．如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，…，重复上述过程，经过2020次后，所得到的正六边形的边长是原正六边形边长的（
）
A．倍
B．倍
C．倍
D．倍
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据正六边形的性质得出∠1的度数，再根据AD=CD=BC判断出△ABC的形状及∠2的度数，求出AB的长，进而可得出，经过2020次后，即可得出所得到的正六边形的边长．
【详解】
∵此六边形是正六边形，
∴∠1=180°-120°=60°，
∵AD=CD=BC，
∴△BCD为等边三角形，
∴BD=AC，
∴△ABC是直角三角形
又∵BC=AC，
∴∠2=30°，
∴AB=BC=CD，
同理可得，经过2次后，所得到的正六边形是原正六边形边长的倍，
，
∴经过2020次后，所得到的正六边形的边长是原正六边形边长的倍．
【点评】
本题考查了正多边形和圆，正多边形内角的性质，直角三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质等，能总结出规律是解此题的关键．
14．正五边形的画法通常是先把圆分成五等份，然后连接五等分点而得，这种画法的理论依据应（
）
A．把圆等分，顺次连接各分点得到的多边形是圆的内接正边形
B．把圆等分，依次过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正边形
C．各边相等，并且各角也相等的多边形是正多边形
D．用量角器等分圆是一种简单而常用的方法
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆的内接正多边形的定义即可得答案．
【详解】
正五边形的画法通常是先把圆分成五等份，然后连接五等分点而得，这种画法的理论依据是把圆等分，顺次连接各分点得到的多边形是圆的内接正边形．
故选A．
【点评】
本题考查圆的内接正多边形的定义，把圆等分，顺次连接各分点得到的多边形是圆的内接正边形．
15．如图，正五边形内接于⊙，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆周角的性质即可求解.
【详解】
连接CO、DO，正五边形内心与相邻两点的夹角为72°，即∠COD=72°，
同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半，
故∠CPD=,
故选B.
【点评】
此题主要考查圆内接多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理的应用.
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第24章圆24.3正多边形和圆（选择题专练）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．如图，边长为3的正五边形ABCDE，顶点A、B在半径为3的圆上，其他各点在圆内，将正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为（ ）
A．12°
B．16°
C．20°
D．24°
2．下列属于正多边形的特征的有（
）
（1）各边相等
（2）各个内角相等
（3）各个外角相等
（4）各条对角线都相等
（5）从一个顶点引出的对角线将正n边形分成面积相等的（n-2）个三角形
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
3．如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，⊙O是边长为1的正方形ABCD的外接圆，P为弧AD上的不同于A、D的任意一点，则PA2+PB2+PC2+PD2的值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=110°，∠BAC=20°，则∠E的度数为（ ）
A．60°
B．55°
C．50°
D．45°
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CM切⊙O于点C，∠BCM=60°，则∠B的正切值是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．对于以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三角形是正三角形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形．正确的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．在半径为1的⊙O中，120°的圆心角所对的弧长是
（）
A．
B．
C．
D．
9．如图，O是的外心，则
A．
B．
C．
D．
10．下列说法中，正确的有（
）
（1）长度相等的弧是等弧；
（2）三点确定一个圆；
（3）平分弦的直径垂直于弦；
（4）三角形的内心到三角形三边的距离相等
A．4
个
B．3
个
C．2
个
D．1
个
11．边长为的正三角形的外接圆的半径为
A．
B．
C．
D．
12．如图，四边形内接于⊙O
，，那么等于（
）
A．110°
B．135°
C．55°
D．125°
13．如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，…，重复上述过程，经过2020次后，所得到的正六边形的边长是原正六边形边长的（
）
A．倍
B．倍
C．倍
D．倍
14．正五边形的画法通常是先把圆分成五等份，然后连接五等分点而得，这种画法的理论依据应（
）
A．把圆等分，顺次连接各分点得到的多边形是圆的内接正边形
B．把圆等分，依次过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正边形
C．各边相等，并且各角也相等的多边形是正多边形
D．用量角器等分圆是一种简单而常用的方法
15．如图，正五边形内接于⊙，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
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