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第24章圆24.4弧长和扇形面积（简答题专练）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．如图，在中，，，分别以点A，B，C为圆心，以为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是多少？
【答案】
【解析】
【分析】
由于三条弧所对的圆心角的和为180°，根据扇形的面积公式可计算出三个扇形的面积和，而三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC-三个扇形的面积和，再利用三角形的面积公式计算出S△ABC=×4×4=8，然后代入即可得到答案．
【详解】
∵∠C=90°，CA=CB=4，
∴AC=2，S△ABC=×4×4=8，
∵三条弧所对的圆心角的和为180°，
三个扇形的面积和=×π×22=2π，
∴三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC-三个扇形的面积和=8-2π．
故答案为8-2π．
【点评】
本题考查了等腰直角三角形的性质，得出阴影部分的面积=S△ABC-三个扇形的面积和是解题关键．
2．如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）求圆心O到BC的距离OD．
【答案】（1）证明见解析（2）4
【解析】
解：（1）证明：∵∠APC和∠ABC是同弧所对的圆周角，∴∠APC=∠ABC．
又∵在△ABC中，∠BAC=∠APC=60°，∴∠ABC=60°．
∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°．
∴△ABC是等边三角形．
（2）连接OB，
∵△ABC为等边三角形，⊙O为其外接圆，
∴O为△ABC的外心．
∴BO平分∠ABC．∴∠OBD=30°.∴OD=8×=4．
（1）根据同弧所对的圆周角相等的性质和已知∠BAC=∠APC=60°可得△ABC的每一个内角都等于600，从而得证．
（2）根据等边三角形三线合一的性质，得含30度角直角三角形OBD，从而根据30度角所对边是斜边一半的性质，得OD=8×=4
3．如图，从一个直径为2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为60°的扇形ABC，将剪下来的扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面圆半径．
【答案】
【解析】
【分析】
连接BC、OB，作OH⊥BC于H，如图，利用等边三角形的性质计算出BC＝2BH，则AB，设圆锥的底面圆半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长得到2πr，然后解关于r的方程即可．
【详解】
连接BC、OB，作OH⊥BC于H，如图，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠OBH＝30°，∴OHOB，∴BHOH．
∵OH⊥BC，∴BC＝2BH，∴AB．
设圆锥的底面圆半径为r，根据题意得：2πr，解得：r．
答：圆锥的底面圆半径为．
【点评】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等边三角形的性质．
4．在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别是（﹣1，0）和（2，0），以OC为直径作圆⊙P，AB切⊙P于点B，交y轴于点E．点M是劣弧上一动点，CM交BP于点N，BM交x轴于点D．
（1）求点E的坐标；
（2）当点M在弧BO上运动时，PD﹣PN的值是否变化？为什么？
【答案】（1）E（0，）；（2）PD﹣PN
值不变，理由见解析
【解析】
【分析】
(1)
根据切线的性质和直角三角形的边关系解答即可;
(2)
连接OB,根据等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质得出OD=PN,
进而解答即可.
【详解】
（1）∵A（﹣1，0），C（2，0），
∴OA=1，OC=2，
∵以OC为直径作⊙P，
∴OP=PC=OC=1=OA，
∴AP=2，
∵AB切⊙P于点B，
∴∠APB=90°，BP=OP=1，
∴BP=AP，
则在直角△ABP中，∠BAP=30°，
∴直角△AEO中，OE=，
∴E（0，）
（2）判断：PD﹣PN
值不变，
理由：连接OB，由（1）可知∠APB=90°，BP=AP，则∠BAP=30°，∠APB=60°，
∵BP=OP，
∴△OBP为等边三角形，
∴OB=BP=PC，∠BOP=∠BPO=60°，
∵∠BOD+∠BOP=∠BPO+∠CPN，
∴∠BOD=∠CPN，
∵∠OBM与∠OCM为同所对的圆周角，
∴∠OBM=∠OCM，
在△OBD与△PCN中，，
∴△OBD≌△PCN（ASA），
∴OD=PN，
∴PD﹣PN=PD﹣OD=PO=1，
∴PD﹣PN
值不变．
【点评】
本题考查了圆的综合题:
熟练掌握圆周角定理、切线的性质和直线与圆的位置关系的判定方法;
理解坐标与图形性质;
会运用勾股定理和三角形全等进行几何计算.
5．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米，
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，求它的跨度A′B′．
【答案】(1)
r=34；(2)
A′B′=32
【解析】
【分析】
(1)连结OA,利用r表示出OD的长,在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可;
(2)连结OA',在Rt△A'EO中,由勾股定理得出A'E的长,进而可得出A'B'的长.
【详解】
（1）
连接OA，
由题意得：AD=AB=30，OD=（r﹣18）
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2=302+（r﹣18）2，
解得，r=34；
（2）连接OA′，
∵OE=OP﹣PE=30，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2=A′O2﹣OE2，即：A′E2=342﹣302，
解得：A′E=16．
∴A′B′=32．
【点评】
本题主要圆的垂经定理的应用，注意与勾股定理相结合求解.
6．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在格点上，点，，的坐标分别为，，请解答下列问题：
（1）与△关于原点成中心对称，画出△并直接写出点的对应点的坐标；
（2）画出绕点顺时针旋转后得到的△，并求出线段旋转时扫过的面积．
【答案】（1）见解析；
；（2）见解析；．
【解析】
【分析】
（1）根据关于原点对称的点的坐标特征即可得到、、的坐标，然后描点连线即可；
（2）利用旋转的性质和格点的特征分别画出点A、B、C的对应点、、C，然后利用扇形面积公式进行计算可得线段AC旋转时扫过的面积．
【详解】
（1）如图所示，△即为所求，点的对应点的坐标为；
（2）如图所示，△即为所求，线段旋转时扫过的面积为：．
【点评】
本题考查了利用旋转变换作图以及扇形面积的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题的关键．
7．已知正方形的边长为2，求右图中阴影部分的面积．
【答案】2.28
【解析】
【分析】
先求出弓形的面积，然后即可求出阴影部分的面积．
【详解】
解：根据题意，则
．
【点评】
本题考查了扇形的面积公式，以及求弓形的面积，解题的关键是熟练掌握间接法求阴影部分图形的面积．
8．下列每个正方形的边长为2，求下图中阴影部分的面积．
【答案】2.28
【解析】
【分析】
由图形可知阴影面积=半圆面积-两个小三角形面积和，根据公式计算即可．
【详解】
πr2÷2-2×2÷2×2
=3.14×2×2÷2-4
=2.28．
【点评】
本题考查了圆的面积公式，解题的关键是熟练掌握间接法求阴影部分图形的面积．
9．半径为6cm的扇形面积为18.84cm2，它的圆心角是多少度？
【答案】60度
【解析】
【分析】
可先求出圆的面积，然后根据扇形面积与圆面积的关系求出圆心角度数即可．
【详解】
S=πr2=3.14×6×6=113.04（平方厘米），
（平方厘米），
所以n=60（度），
所以半径为6cm的扇形面积为18.84cm2，它的圆心角是60度．
【点评】
本题主要考查了扇形面积与圆面积的关系，熟练掌握公式是解题的关键．
10．直径为18cm的圆中，圆心角40°的扇形面积是多少？
【答案】28.26平方厘米
【解析】
【分析】
可先求出圆的面积，然后根据圆心角度数再求扇形面积．
【详解】
S=πr2=π（d÷2）2=3.14×9×9=254.34（平方厘米），
（平方厘米），
所以直径为18cm的圆中，圆心角40°的扇形面积是28.26平方厘米．
【点评】
本题考查了扇形面积问题，熟练掌握扇形面积公式和求法是解题的关键．
11．半径为15cm，圆心角为72°的扇形面积是多少？
【答案】141.3平方厘米
【解析】
【分析】
根据扇形的面积公式，在公式中代入圆心角和半径，计算即得结果．
【详解】
解：由题意知扇形的圆心角是72°，半径为15cm，
∴扇形的面积是：（cm2）；
∴半径为15㎝，圆心角为72°的扇形面积是141.3平方厘米．
【点评】
本题考查了扇形的面积公式的应用．解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式进行解题．
12．求下列阴影部分的周长：（单位：dm）
【答案】21.45dm．
【解析】
【分析】
根据题意及图形可知阴影部分的周长是等于两个弧长加两个半径的差，然后列式直接求解即可．
【详解】
由题意及图形可得：
阴影部分的周长为两个弧长加两个半径差
【点评】
本题主要考查弧长计算，由图形分析计算阴影部分周长的方法及熟记弧长公式是解题的关键．
13．直径为9㎝的圆，圆心角40°的弧长是多少？
【答案】πcm．
【解析】
【分析】
根据弧长公式计算即可．
【详解】
解：，
所以直径为9㎝的圆，圆心角40°的弧长是πcm．
【点评】
本题考查了弧长的计算，如果弧长所对的圆心角为n°，则弧长计算公式为．
14．上海外滩海关大钟时针长约为6米，从上午9时到当天下午6时，时针的针尖走过的路程是多少米？（取π=3.14)
【答案】28.26m．
【解析】
【分析】
先计算从上午9时到下午6时时针走过的圆心角度数，再由弧长公式求得圆弧的长．
【详解】
钟时针长为半径，从上午9时到当天下午6时指针走过270度．
所以时针的针尖走过的路程是28．26m．
【点评】
本题考查圆心角、弧长公式等知识，是重要考点，熟记公式、掌握相关知识是解题关键．
15．在⊙O中，弦所对的圆周角为30°，且，求的长．
嘉琪的解法如下：∵弦所对的圆周角是30°，
的长为．
请问嘉琪的解法正确吗？如果不正确，请给出理由．
【答案】嘉琪的解法不正确，见解析
【解析】
【分析】
连接，，根据圆周角定理可得，进而得到是等边三角形，然后根据弧长计算公式可得答案．
【详解】
解：嘉琪的解法不正确，理由如下：
如图，连接，，
所对的圆周角为，
，
，
是等边三角形，
，
的长为：．
【点评】
此题主要考查了圆周角定理和弧长计算公式，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．注意：弧长公式中中是指圆心角的度数，而题干中给的是圆周角的度数，不能直接代入公式计算，要先求出圆心角的度数，再代入公式计算．
16．半径为5㎝，圆心角为72°的弧长是多少？
【答案】6.28cm．
【解析】
【分析】根据弧长公式求解即可．
【详解】
，
所以半径为5㎝，圆心角为72°的弧长是6.28cm．
【点评】本题考查了弧长问题，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
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第24章圆24.4弧长和扇形面积（简答题专练）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．如图，在中，，，分别以点A，B，C为圆心，以为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是多少？
2．如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）求圆心O到BC的距离OD．
3．如图，从一个直径为2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为60°的扇形ABC，将剪下来的扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面圆半径．
4．在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别是（﹣1，0）和（2，0），以OC为直径作圆⊙P，AB切⊙P于点B，交y轴于点E．点M是劣弧上一动点，CM交BP于点N，BM交x轴于点D．
（1）求点E的坐标；
（2）当点M在弧BO上运动时，PD﹣PN的值是否变化？为什么？
5．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米，
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，求它的跨度A′B′．
6．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在格点上，点，，的坐标分别为，，请解答下列问题：
（1）与△关于原点成中心对称，画出△并直接写出点的对应点的坐标；
（2）画出绕点顺时针旋转后得到的△，并求出线段旋转时扫过的面积．
7．已知正方形的边长为2，求右图中阴影部分的面积．
8．下列每个正方形的边长为2，求下图中阴影部分的面积．
9．半径为6cm的扇形面积为18.84cm2，它的圆心角是多少度？
10．直径为18cm的圆中，圆心角40°的扇形面积是多少？
11．半径为15cm，圆心角为72°的扇形面积是多少？
12．求下列阴影部分的周长：（单位：dm）
13．直径为9㎝的圆，圆心角40°的弧长是多少？
14．上海外滩海关大钟时针长约为6米，从上午9时到当天下午6时，时针的针尖走过的路程是多少米？（取π=3.14)
15．在⊙O中，弦所对的圆周角为30°，且，求的长．
嘉琪的解法如下：∵弦所对的圆周角是30°，
的长为．
请问嘉琪的解法正确吗？如果不正确，请给出理由．
16．半径为5㎝，圆心角为72°的弧长是多少？
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