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第24章圆24.1圆的有关的性质（简答题专练）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
求证：AC=BD．
2．已知：不在同一直线上的三个点A，B，C（如图所示），求作，使它经过点A，B，C．
3．如图，内接于.，D是上任一点，.求证：DA平分.
4．如图，在⊙O中，，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD．
5．已知：线段AB
=
4
cm，画图说明：和点A、B的距离都不大于3
cm的所有点组成的图形.
6．用两根长度都是12厘米的细铁丝，分别围成一个正方形和一个圆.
（1）请你猜一猜，哪一个图形的面积最大？
（2）试用你学过的知识验证你的猜想.
7．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE＝OF．
（1）求证：△AFO≌△CEB；
（2）若BE＝4，CD＝8，求：
①⊙O的半径；
②求图中阴影部分的面积．
8．如图，点A，B，C表示三个村庄，现要建一座深井水泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管长度相同，水泵站应建在何处？请画出示意图，并说明理由．
9．（1）从A地到B地，某甲走直径AB上方的半圆途径；乙先走直径AC上方半圆的途径，再走直径CB下方半圆的途径，如图1，已知AB=40米，AC=30米，计算个人所走的路程，并比较两人所走路程的远近；
（2）如果甲.乙走的路程图改成图2，两人走的路程远近相同吗？
10．一辆高为2.5m，宽为1.6m的卡车，要经过如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆直径为2m，长方形另一边长为2.3m.
（1）此卡车能否通过桥洞？请说明理由；
（2）如图，若想把桥洞改为双行道且使宽1.2m，高2.8m的卡车安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？
11．如图，在半径为5
cm的⊙O中，AB为直径，∠ACD＝30°，求弦BD的长．
12．如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）求圆心O到BC的距离OD．
13．若☉O的半径是12cm,OP=8cm,求点P到圆上各点的距离中最短距离和最长距离.
14．如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
求证：四边形ADOE是正方形．
15．如图所示，是一个圆柱形输油管的横截面，如果油面宽，油面最大深度为100mm，求该管道的直径.
16．已知：如图所示，AB，CD是的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且，求证：.
17．已知：如图，在中，CD是直径，AB是弦，，垂足为E.求证：，，.
18．某处靠近海岸的海域有一片暗礁，当地海洋管理部门在海岸上建造了两座灯塔，，通告所有船只不要进入以为弦的弓形区域（阴影部分）内（含边界）以免触礁，如图所示.现有一艘货轮正向暗礁区域靠近，当多大时，才能避开暗礁？
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第24章圆24.1圆的有关的性质（简答题专练）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
求证：AC=BD．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
过圆心O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理得到AE=BE，同理得到CE=DE，又因为AE-CE=BE-DE，进而求证出AC=BD．
【详解】
过O作OE⊥AB于点E，
则CE=DE，AE=BE，
∴BE-DE=AE-CE.
即AC=BD.
【点评】
本题考查垂径定理的实际应用．
2．已知：不在同一直线上的三个点A，B，C（如图所示），求作，使它经过点A，B，C．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
连接AB，BC.，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出边AB、BC的垂直平分线相交于点O，以O为圆心，以OA为半径，作出圆即可．
【详解】
解：如图，（1）连接AB，BC.
（2）分别作线段AB，BC的垂直平分线DE，GF，DE与GF相交于点O，
（3）以点O为圆心，·以OA长为半径作圆.即为所要求作的圆
【点评】
本题考查基本作图，主要是线段垂直平分线的作法，需熟练掌握．
3．如图，内接于.，D是上任一点，.求证：DA平分.
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
根据同弧所对的圆周角相等可得∠ADC=∠ABC，由得∠ACB=∠ABC，等量代换得∠ADC=∠ACB，再由已知可得∠ADC=∠ADE，即DA平分．
【详解】
证明：，
.
，
.
，
，
即DA平分.
【点评】
本题考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4．如图，在⊙O中，，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
延长AD交⊙
O于E,可得、AB=AE，可得出结论.
【详解】
延长AD交⊙O于E，
∵OC⊥AD，
∴，AE=2AD，
∵，
∴，
∴AB=AE，
∴AB=2AD．
【点评】
本题主要考查垂径定理及弧、弦、圆心角之间的关系，灵活做辅助线是解本题的关键.
5．已知：线段AB
=
4
cm，画图说明：和点A、B的距离都不大于3
cm的所有点组成的图形.
【答案】所求图形为阴影部分（包括阴影的边界）.
【解析】
【分析】
以A，B点为圆心，半径为3作圆，重叠的部分即为所求.
【详解】
如图所示，以点A，B为圆心，3cm为半径画圆，两个圆相交的部分为阴影部分，图中阴影部分就是到点A和点B的距离都不大于3
cm的所有点组成的图形.
【点评】
此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据题意画出图形，根据所学的点与圆的位置关系的判断方法来解答.
6．用两根长度都是12厘米的细铁丝，分别围成一个正方形和一个圆.
（1）请你猜一猜，哪一个图形的面积最大？
（2）试用你学过的知识验证你的猜想.
【答案】（1）圆的面积大；（2）见解析.
【解析】
【分析】
根据正方形和圆的周长相等，分别求出正方形的边长与圆的半径，再按照面积公式去计算，发现圆的面积大于正方形面积.
【详解】
∵正方形和圆的周长都是12，
∴正方形的边长为3，则面积为9，
∴圆的半径为，则面积为，
∵9
∴圆的面积大
【点评】
此题主要考查正方形与圆的周长与面积求法，解题的关键是求出边长与半径，再求出面积即可比较.
7．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE＝OF．
（1）求证：△AFO≌△CEB；
（2）若BE＝4，CD＝8，求：
①⊙O的半径；
②求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）①8；②
【解析】
【分析】
（1）根据垂径定理知BC＝BD，再利用圆周角定理知∠A＝∠DCB，而∠AFO＝∠CEB，故可证明△AFO≌△CEB；（2）①利用垂径定理得出CE=4，设
OC＝r，则
OE＝r﹣4，根据勾股定理可得r2＝（r﹣4）2+（4）2，即可求出r；②根据阴影部分等于扇形OABD的面积减去△CDO的面积即可求出.
【详解】
（1）证明：∵AB
为⊙O
的直径，AB⊥CD，
∴BC＝BD，
∴∠A＝∠DCB，
∴OF⊥AC，
∴∠AFO＝∠CEB，
∵BE＝OF，
∴△AFO≌△CEB（AAS）．
（2）①∵AB
为⊙O
的直径，AB⊥CD，
∴CE＝CD＝4
设
OC＝r，则
OE＝r﹣4，
∴r2＝（r﹣4）2+（4）2
∴r＝8．
②连结
OD．
∵OE＝4＝OC，
∴∠OCE＝30°，∠COB＝60°，
∴∠COD＝120°，
∵△AFO≌△CEB，
∴S△AFO＝S△BCE，
∴S阴＝S扇形OCD﹣S△OCD
＝﹣
＝﹣16.
【点评】
此题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟知垂径定理、圆周角定理、扇形面积求法及圆内的勾股定理的使用.
8．如图，点A，B，C表示三个村庄，现要建一座深井水泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管长度相同，水泵站应建在何处？请画出示意图，并说明理由．
【答案】见解析
【解析】
分析：因为向三个村庄分别送水，三条输水管长度相同，所以水泵站应在AB、BC的中垂线的交点处．
本题解析：
连接AB、BC，分别作AB、BC的中垂线，两线交于点O，点O就是所求．
点评：本题需仔细分析题意，结合图形，利用中垂线的性质即可解决问题．
9．（1）从A地到B地，某甲走直径AB上方的半圆途径；乙先走直径AC上方半圆的途径，再走直径CB下方半圆的途径，如图1，已知AB=40米，AC=30米，计算个人所走的路程，并比较两人所走路程的远近；
（2）如果甲.乙走的路程图改成图2，两人走的路程远近相同吗？
【答案】（1）相等；（2）相等.
【解析】
试题分析：
（1）甲所走的路径长为以AB为直径的半圆长，乙所走的路径长为以AC和BC为直径的两个半圆长的和，然后根据圆的周长公式进行计算，再比较大小即可；
（2）甲所走的路径长为以AB为直径的半圆长，乙所走的路径长为以AC、CD和DB为直径的三个半圆长的和，然后根据圆的周长公式分别计算他们所走的路径，再比较大小即可.
试题解析：
（1）BC=AB-AC=10，
甲所走的路径长=?2?π?=?2?π?=20π（m），
乙所走的路径长=?2?π?+?2?π?=?2?π?+?π?=20π（m），
所以两人所走路程的相等；
（2）两人走的路程远近相同．理由如下：甲所走的路径长=?2?π?=π?AB，
乙所走的路径长=?2?π?+?2?π?+?π?=π（AC+CD+DB）=π?AB，
即两人走的路程远近相同．
10．一辆高为2.5m，宽为1.6m的卡车，要经过如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆直径为2m，长方形另一边长为2.3m.
（1）此卡车能否通过桥洞？请说明理由；
（2）如图，若想把桥洞改为双行道且使宽1.2m，高2.8m的卡车安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？
【答案】（1）能通过；理由见解析；（2）2.6m.
【解析】
【分析】
对于（1），过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，根据卡车的宽和半圆的直径和勾股定理求出OE的长，再根据长方形的一边长和卡车的高即可得出答案；
对于（2），如图，根据已知条件求出BF的长，再根据勾股定理求出OA的长，从而得出答案.
【详解】
（1）如图，M，N为卡车的宽度，
过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，
CD=MN=1.6米，AB=2米，
由作法得，CE=DE=0.8米，
又∵OC=OA=1米，
在Rt△OCE中，OE=
≈0.6（米），
∴CM=2.3+0.6=2.9＞2.5．
∴这辆卡车能通过．
（2）如图：根据题意可知：CG=BE=2.8米，BG=OF=1.2米，EF=AD=2.3米，
∴BF=0.5米，
∴根据勾股定理有：OA=OB=BF+OF=0.5+1.2=1.69（米），
∴OA=1.3米，
∴桥洞的宽至少增加到1.3×2=2.6（米）.
【点评】
此题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是根据题意画出图形，把实际问题转化为数学问题.
11．如图，在半径为5
cm的⊙O中，AB为直径，∠ACD＝30°，求弦BD的长．
【答案】5
【解析】
由图得∠B＝∠C＝30°．
∵AB为直径，∴∠ADB＝90°．
∴BD＝AB·cos∠B＝10×＝
（cm）
12．如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）求圆心O到BC的距离OD．
【答案】（1）证明见解析（2）4
【解析】
解：（1）证明：∵∠APC和∠ABC是同弧所对的圆周角，∴∠APC=∠ABC．
又∵在△ABC中，∠BAC=∠APC=60°，∴∠ABC=60°．
∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°．
∴△ABC是等边三角形．
（2）连接OB，
∵△ABC为等边三角形，⊙O为其外接圆，
∴O为△ABC的外心．
∴BO平分∠ABC．∴∠OBD=30°.∴OD=8×=4．
（1）根据同弧所对的圆周角相等的性质和已知∠BAC=∠APC=60°可得△ABC的每一个内角都等于600，从而得证．
（2）根据等边三角形三线合一的性质，得含30度角直角三角形OBD，从而根据30度角所对边是斜边一半的性质，得OD=8×=4
13．若☉O的半径是12cm,OP=8cm,求点P到圆上各点的距离中最短距离和最长距离.
【答案】4cm，20cm.
【解析】
试题分析：依据题意画出图形，则到圆上点的最短距离和最长距离即可确定.
试题解析：如图，
点P到圆上各点的距离中最短距离为:12-8=4(cm);
最长距离为:12+8=20(cm).
点评：本题考查了点与圆的位置关系，正确进行讨论是关键.
14．如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
求证：四边形ADOE是正方形．
【答案】证明见解析.
【解析】
试题分析:
先根据垂径定理，由OD⊥AB，OE⊥AC得到AD=AB，AE=AC，且∠ADO=∠AEO=90°，加上∠DAE=90°，则可判断四边形ADOE是矩形，由于AB=AC，所以AD=AE，于是可判断四边形ADOE是正方形．
试题解析:
证明：∵OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
∵AD=AB，AE=AC，∠ADO=∠AEO=90°，
∵AB⊥AC，
∴∠DAE=90°，
∴四边形ADOE是矩形，
∵AB=AC，
∴AD=AE，
∴四边形ADOE是正方形．
15．如图所示，是一个圆柱形输油管的横截面，如果油面宽，油面最大深度为100mm，求该管道的直径.
【答案】该管道的直径是1000mm.
【解析】
【分析】
过点O作交AB于点C，连接OB，利用垂径定理求出BC,
设半径为xmm，再根据勾股定理列出方程，即可解答.
【详解】
解：如图，过点O作交AB于点C，连接OB，则.
是半径，，.
在中，设半径为xmm，
由勾股定理，得.
，解得.
该管道的直径是1000mm.
【点评】
此题考查垂径定理的应用，勾股定理，解题关键在于作辅助线利用勾股定理进行计算.
16．已知：如图所示，AB，CD是的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且，求证：.
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
过点O作于点M.由等腰三角形的性质可证，，从而可得，然后根据相等的圆心角所对的弧相等即可求得结论.
【详解】
证明：如图，过点O作于点M.
，
.
同理，.
.
.
【点评】
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.也考查了等腰三角形三线合一的性质.
17．已知：如图，在中，CD是直径，AB是弦，，垂足为E.求证：，，.
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
连接OA，OB，则.然后根据轴对称的性质解答即可.
【详解】
证明：如图，连接OA，OB，则.
又，
直线CD是等腰的对称轴，又是的对称轴.
沿着直径CD所在直线折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，和，和分别重合.
，，
【点评】
本题考查了垂径定理的应用，解此题的关键是能正确理解定理的内容，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的每一条弧．
18．某处靠近海岸的海域有一片暗礁，当地海洋管理部门在海岸上建造了两座灯塔，，通告所有船只不要进入以为弦的弓形区域（阴影部分）内（含边界）以免触礁，如图所示.现有一艘货轮正向暗礁区域靠近，当多大时，才能避开暗礁？
【答案】使∠APB<55°，即在外行驶，就能避开暗礁.
【解析】
【分析】
利用极限法，找出恰好不能避开暗礁的两个位置，即可确定答案.
【详解】
解：货轮P在航行时，只要使∠APB<55°，即在外行驶，就能避开暗礁.
【点评】
本题考查了圆心角和极限思维的相关知识，特别极限思维是解答本题的关键.
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