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第24章圆24.1圆的有关的性质（填空题专练）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．如图，点I为△ABC的内心，连AI交△ABC的外接圆于点D，若，点E为弦AC的中点，连接EI，IC，若，，则IE的长为__．
2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为_____．
3．的半径是3cm，P是内一点，，则点P到上各点的最小距离是_____cm，最大距离是_____cm.
4．已知正方形边长为8，黑色部分是以正方形边长为直径的两个半圆，则图中白色部分的面积为_____（结果保留π）．
5．如图，在ABC中，A=60°，BC=5cm，ABC的外接圆为，则该的直径是_______cm.
6．如图，在⊙O中，弧AB=弧ACAB=2，则AC=________．
7．一个圆的半径为2，弦长是2，求这条弦所对的圆周角是_____．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，点D是边BC上的一动点，连接AD，作CE⊥AD于点E，连接BE，则BE的最小值为_____．
9．如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,∠BAC=∠BOD,则⊙O的半径为___.
10．如图，若点O为的外心，，则________，若，则________.
11．如图,☉O中,点A,O,D以及点B,O,C分别在一直线上,图中弦的条数为_____.
12．⊙O的半径为1，弦AB=
，C是在异于A、B圆上的点，则∠ACB的度数为________．
13．如图：∠AOB＝2∠COD，则______2．
14．如图，弧的度数为40°，则∠A+∠C＝______．
15．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=74°，则∠E=__________．
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第24章圆24.1圆的有关的性质（填空题专练）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．如图，点I为△ABC的内心，连AI交△ABC的外接圆于点D，若，点E为弦AC的中点，连接EI，IC，若，，则IE的长为__．
【答案】4
【解析】
【分析】
由已知条件可得到ID=BD=DC,可得I、B、C三点在以D点位圆心的圆上，过点D做DF⊥IC与点F，可得四边形EIDF为平行四边形，可得IE=DF,即可求出IE的长.
【详解】
解：
如图：I为△ABC的内心,可得∠BAD=∠CAD,BD=CD,
又∠DIC=∠DAC+∠ACI,∠ICD=∠ICB+∠BCD
其中∠DAC=∠BAD=∠BCD，∠ACI=∠ICB，
∠DIC=∠ICD
ID=CD,
ID=BD=DC=5,
可得AI=2CD=10
可得I、B、C三点在以D点位圆心的圆上，过点D做DF⊥IC与点F,
可得IF=FC(垂经定理)，
在RT△IFD中，,
又在△AIC中，AE=EC,
IF=FC,
EF为△AIC的中位线，
EF∥AD,即EF∥ID,
且EF==5=ID,
四边形EIDF为平行四边形，可得IE=DF=4,
故答案：4.
【点评】
本题主要考查圆的垂经定理，圆周角定理及平行四边形相关知识，难度较大，需综合运用各知识求解.
2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为_____．
【答案】5
【解析】
【分析】
连接OA,连接OB交PA于点D,可得∠BAP=∠BPA=∠ACB=,而∠AOB=2∠ACB=,所以∠OAP=，在RT△OAD中可求得AD的长，继而求出PA的长.
【详解】
解：如图,
连接OA,连接OB交PA于点D,
因为PB=AB,
所以由垂径定理,
OB⊥AP,∠BAP=∠BPA=∠ACB=,而∠AOB=2∠ACB=,所以∠OAP=，
OA为圆的半径,即OA=5,所以
AD
=
cos
∠OAP
xOA
=
以AP=2AD=.
故答案：.
【点评】
本题主要考查圆中的计算问题和三角函数.
3．的半径是3cm，P是内一点，，则点P到上各点的最小距离是_____cm，最大距离是_____cm.
【答案】2
4
【解析】
【分析】
先由PO=1cm＜⊙O的半径为3cm，得出点P在⊙O内，进而得到点P到⊙O上各点的最小距离为2cm．
【详解】
解：∵⊙O的半径为3cm，平面上有一点P，PO=1cm，
∴点P在⊙O内，
∴点P到⊙O上各点的最小距离为3-1=2（cm），
点P到⊙O上各点的最大距离为3+1=4（cm）．
故（1）答案：2．
（2）答案：4
【点评】
本题主要考查了点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
①点P在圆外?d＞r；
②点P在圆上?d=r；
③点P在圆内?d＜r．
4．已知正方形边长为8，黑色部分是以正方形边长为直径的两个半圆，则图中白色部分的面积为_____（结果保留π）．
【答案】
【解析】
【分析】
白色部分的面积=正方形面积-黑色部分面积.
【详解】
解：白色部分的面积=82-π×42=64-16π.
故答案为64-16π.
【点评】
本题考查了运用正方形和圆形面积公式列代数式.
5．如图，在ABC中，A=60°，BC=5cm，ABC的外接圆为，则该的直径是_______cm.
【答案】
【解析】
【分析】
作直径BD，连接CD，根据圆周角定理得到∠D=60°，∠BCD=90°，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解：作直径BD，连接CD．
∵∠A=60°，∴∠D=60°．
∵BD是直径，∴∠BCD=90°，∴sinD=，∴BD==．
故答案为．
【点评】
本题重点考查了圆周角定理、直径所对的圆周角为直角及解直角三角形的知识．
6．如图，在⊙O中，弧AB=弧ACAB=2，则AC=________．
【答案】2
【解析】
【分析】
由于在⊙O中，=,AB=2，根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论可得AC=AB=2．
【详解】
∵在⊙O中,=,AB=2，
∴AC=AB=2.
故答案为:2.
【点评】
考查圆心角、弧、弦的关系，正确理解圆心角、弧、弦的关系是解题的关键.
7．一个圆的半径为2，弦长是2，求这条弦所对的圆周角是_____．
【答案】60°或120°
【解析】
【分析】
首先根据题意画出图形,过点O作OD⊥AB于点D,
通过垂径定理,
即可推出∠AOD的度数,
求得∠AOB的度数,
然后根据圆周角定理,即可推出∠AMB和∠ANB的度数.
【详解】
解：如图：
连接OA,过点O作OD⊥AB
于点D,
OA=2,AB=,AD=BD=,
AD:OA=:2,
∠AOD=,∠
AOB=,
∠AMB=,∠ANB=.
故答案为:
或.
【点评】
本题主要考查垂径定理与圆周角定理，注意弦所对的圆周角有两个，他们互为补角.
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，点D是边BC上的一动点，连接AD，作CE⊥AD于点E，连接BE，则BE的最小值为_____．
【答案】﹣6
【解析】
【分析】
取AC的中点O,连接0E、OB,由CE⊥AD于点E，可得E点在以O为圆心，半径为OA的圆上运动，当O、E、B三点在同一直线上时，BE最短，即可求出BE.
【详解】
如图，取AC的中点O,连接0E、OB,由CE⊥AD于点E，可得E点在以O为圆心，半径为OA的圆上运动，当O、E、B三点在同一直线上时，BE最短，
可得此时OE=OC=OA=6,在RT△OCB中，,
故BE的最短值为：OB-OE=-6,
故答案：-6.
【点评】
本题考查了圆的直径所对的圆周角为直角，及最短路径问题，难度较大，灵活运用所学知识能顺利求出答案.
9．如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,∠BAC=∠BOD,则⊙O的半径为___.
【答案】5
【解析】
【分析】
先根据∠BAC=∠BOD可得出弧BC=弧BD，故可得出AB⊥CD，由垂径定理即可求出DE的长，再根据勾股定理即可得出结论．
【详解】
∵∠BAC=∠BOD，
∴弧BC=弧BD，
∴AB⊥CD，
∵AE=CD=8，
∴DE=CD=4，
设OD=r，则OE=AE?r=8?r，
在Rt△ODE中，OD=r，DE=4，OE=8?r，
∵OD=DE+OE,即r=4+(8?r)
，解得r=5.
故答案为5.
【点评】
此题考查垂径定理，勾股定理，圆周角定理，解题关键在于得出AB⊥CD.
10．如图，若点O为的外心，，则________，若，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
已知点O是△ABC的外心，那么∠A、∠BOC即为同弧所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理即可得到∠BOC的度数．
【详解】
解：由于点O是△ABC的外心，所以在△ABC的外接圆⊙O中，
∠A、∠BOC同对着弧BC；
由圆周角定理得：，则2∠A=140°，
若，则．
故答案为140°，．
【点评】
本题考查三角形外心的有关知识以及圆周角定理的相关知识，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
11．如图,☉O中,点A,O,D以及点B,O,C分别在一直线上,图中弦的条数为_____.
【答案】2
【解析】
弦是连接圆上任意两点的线段，由图可知，点A.
B.
E.?C是⊙O上的点，图中的弦有AB、BC、CE，一共3条.
故答案为2.
12．⊙O的半径为1，弦AB=
，C是在异于A、B圆上的点，则∠ACB的度数为________．
【答案】45°或135°
【解析】
【分析】
根据题意画出图形,先判断出∠AOB=90,再分两种情况用同弧所对的圆心角和圆周角的关系确定和圆的内接四边形的性质即可.
【详解】
解:OA=OB=1,AB=,
OA+OB=AB,△AOB是直角三角形,
∠AOB=90,
当点C在优弧AB上时,
∠ACB=∠AOB=45
当点C在劣弧AB上时,
∠AC'B+∠ACB=180,
∠AC'B=180-45=135,
∠ACB=45或135,
故答案为:45或135.
【点评】
此题主要考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
13．如图：∠AOB＝2∠COD，则______2．
【答案】=
【解析】
【分析】
根据圆心角与弦的关系可直接求解
【详解】
∵∠AOB=2∠COD，
∴=2．
故答案为=
【点评】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，即在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
14．如图，弧的度数为40°，则∠A+∠C＝______．
【答案】160°
【解析】
【分析】
如图，连接OD、OE、OB，由的度数为40°可得∠EOB=40°，根据周角的定义可求出∠1+∠2的度数，根据圆周角定理即可求出∠A+∠C的度数.
【详解】
如图，连接OD、OE、OB．
∵的度数为40°，
∴∠EOB=40°，
∴∠1+∠2=360°-∠EOB=320°，
∵∠A=∠2，∠C=∠1，
∴∠A+∠C=（∠1+∠2）＝160°，
故答案为160°．
【点评】
本题考查圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.熟练掌握圆周角定理是解题关键.
15．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=74°，则∠E=__________．
【答案】
【解析】
【分析】
连接OD,则OD=OB=OC，由DE=OB,得OD=OB=OC=
DE，所以，∠E=∠DOE,
∠C=∠CDO，再证∠CDO=2∠E,∠C=2∠E,可得∠AOC=∠C+∠E=3∠E=74°.
【详解】
连接OD,则OD=OB=OC
因为，DE=OB,
所以，OD=OB=OC=
DE
所以，∠E=∠DOE,
∠C=∠CDO
所以，∠CDO=2∠E,
所以，∠C=2∠E,
所以，∠AOC=∠C+∠E=3∠E=74°，
所以，∠E=
故答案为
【点评】
本题考核知识点：圆半径的性质，等腰三角形性质,三角形外角性质.解题关键点：利用三角形的外角和等腰三角形性质得到角的关系.
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