题型分类教案：集合题型1.1-1.3（高三复习）

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高中第一册单元一：集合
（1.1-1.3）
【基础梳理】
一、集合的基本概念
【集合的表示1】写出两种下列集合的表示：
（1）不等式的解集；
（2）函数的自变量的取值范围。
答案：或
或
【集合的表示2】将集合表示成列举法，正确的是（
）
A.{2，3}
　
B.{（2，3）}
　
C.{x=2，y=3}
　
D.（2，3）
【答案】B
【集合的表示3】已知集合?∣为实数，且，为实数，且，则的元素个数为
（
）
Ａ．0　　　　Ｂ．1　　　　Ｃ．2　　　　　Ｄ．3
【答案】Ｃ
【集合的表示4】分别用列举法和描述法表示方程组的解集M，并判断3与M的关系．
【方法指导】集合M中的代表元素为方程组的解，因此须表示为点集的形式，然后判断3是否具备M的特征．
【解析】∵的解是
用描述法表示该集合M为{(x，y)|}．
用列举法表示该集合M为{(3，－7)}．显然3?M.
【知识点理解】有下列命题：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若??A，则A≠?；
⑤集合A?B，就是集合A中的元素都是集合B中的元素，集合B中的元素也都是集合A中的元素．
其中正确的是
【答案】B
【集合的确定性】下面各组对象能构成集合的是(　　)．
A．个子很高的同学
B．π的近似值
C．很小的数
D．不超过30的非负数
【答案】D
【集合的互异性1】若含有三个元素的集合可表示为，也可以表示为，求的值。
【思路点拨】由集合中元素的确定性和互异性可解得。
【答案】
【解析】
由，可得且，
则有或解得或（舍去）
故
【集合的互异性2】若。求实数的值。
【答案】
【解析】
由，可知或或，且。
（1）若，则，此时，
与集合中元素的互异性相矛盾，故舍去。
（2）若，则，此时，符合集合的特性。
（3）若，则方程无解。
综上可得的值为。
二、集合的基本关系
【包含关系1】用适当的符号填空：
(1)
{x||x|≤1}
{x|x2≤1}；
(2){y|y=2x2}
{y|y=3x2-1}；
(3){x||x|>1}
{x|x>1}；
(4){(x，y)|-2≤x≤2}
{(x，y)|-1【答案】
(1)=
(2)
(3)
(4)
【包含关系2】已知，则这样的集合有
个.
【答案】7个
【包含关系3】同时满足：①；②，则的非空集合有（
）
A.
16个
B.
15个
C.
7个
D.
6个
【答案】C
【解析】时，；时，；时，；时，；时，；非空集合可能是：，共7个.故选C.
三、集合的运算
【简单交并集1】（1）已知集合M={y|y=x2-4x+3，xR}，N={y|y=-x2+2x+8，xR}，则M∩N等于(
)．
A.
B.
R
C.
{-1，9}
D.
{y|-1≤y≤9}
（2）设集合M={3，a}，N={x|x2-2x<0，xZ}，M∩N={1}，则M∪N为(
)．
A.
{1，2，a}
B.
{1，2，3，a}
C.
{1，2，3}
　D.
{1，3}
【思路点拨】（1）先把集合M、N进行化简，在利用数轴进行相应的集合运算．（2）先把集合N化简，然后再利用集合中元素的互异性解题．
【答案】（1）D
（2）D
【解析】（1）集合M、N均表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：M={y|y≥-1}，N={y|y≤9}，所以M∩N={y|-1≤y≤9}，选D.
（2）由N={x|x2-2x<0，xZ}可得：N={x|0【简单交并集2】设A、B分别是一元二次方程2x2+px+q=0与6x2+(2-p)x+5+q=0的解集，且A∩B={}，求A∪B.
【答案】{，
，-4}
【解析】∵A∩B={}，
∴是方程2x2+px+q=0的解，则有：
(1)，同理有：6()2+(2-p)·+5+q=0(2)
联立方程(1)(2)得到：
∴方程(1)为2x2+7x-4=0，
∴方程的解为：x1=，
x2=-4，
∴
，
由方程(2)
6x2-5x+1=0，解得：x3=，
x4=，
∴B={，
}，则A∪B={，
，-4}.
【简单交并集3】设全集为U，集合A＝{1，3，x}，B＝{1，x2}，若(UA)∩B＝{9}，求x的值．
【解析】∵(UA)∩B＝{9}，∴9?A，9∈B，∴x2＝9，
∴x＝±3.
由题意解得x＝±3，代入验证可知当x＝3时，A中元素不满足元素的互异性，故舍去；－3代入满足．∴x＝－3.
【veen图的应用1】设全集U={xN+|x≤8}，若A∩(CuB)={1，8}，(CuA)∩B={2，6}，(CuA)∩(CuB)={4，7}，求集合A，B.
【答案】A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}
【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}
由A∩(CuB)={1，8}知，在A中且不在B中的元素有1，8；由(CuA)∩B={2，6}，知不在A中且在B中的元素有2，6；由(CuA)∩(CuB)={4，7}，知不在A中且不在B中的元素有4，7，则元素3，5必在A∩B中.
由集合的图示可得
A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}.
【veen图的应用2】若集合B={1，2，3，4，5}，C={小于10的正奇数}，且集合A满足AB，AC，则集合A的个数是________。
【思路点拨】
由题设，C={1，3，5，7，9}。因为AB，AC，可用Venn图发现集合B与C的公共元素为1，3，5，则集合A可能含有1，3，5三个数中的0个，1个，2个，或3个。故集合A的个数即为{1，3，5}的子集的个数。
【解析】由已知作Venn图
{1，3，5}的子集中含0个元素的有1个：；
{1，3，5}的子集中含1个元素的有3个：{1}，{3}，{5}；
{1，3，5}的子集中含2个元素的有3个：{1，3}，{1，5}，{3，5}；
{1，3，5}的子集中含3个元素的有1个：{1，3，5}。
由上述分析知集合A的个数为{1，3，5}的子集的个数：1+3+3+1=8个。
【veen图的应用3】已知全集U=R，集合M={x|－2≤x－1≤2}和N={x|x=2k－1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn）图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素区有（
）
A．3个
B．2个
C．1个
D．无穷多个
【答案】B
【解析】
∵阴影部分为M∩N={x|－2≤x－1≤2}∩{x|x=2k―1，k=1，2，…}={x|―1≤x≤3}∩{x|x=2k－1，k=1，2，…}={1，3}，∴阴影部分所示的集合的元素区有2个，故选B项．
【veen图的应用4】已知全集U=R，则正确表示集合M=｛—1，0，1｝和N=｛x关系的韦恩图是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【综合技巧】
【含参包含关系1】设集合A={x｜1≤x≤3}，B={x｜x－a≥0}，或AB，则a的取值范围是________。
【思路点拨】
此题考查判断两个集合的包含关系。由于题中所给集合为含不等式的描述法形式，可以借助数轴进行直观的分析。
【解析】AB={x｜x≥a}，利用数轴作图如下：
由此可知：a≤1。
【含参包含关系2】已知集合A={x｜x≥1或x＜－1}，B={x｜2a＜x＜a+1}，若BA，求a的取值范围。
【解析】
（1）当B是空集，需要2a≥a+1，得到a≥1
（2）当B不是空集且B的上限小于等于-1，即a＜1且a+1≤-1，得到a≤-2
（3）当B不是空集且B的下限大于等于1，即a＜1且2a≥1，得到1/2≤a＜1
综上，a≤-2或a≥1/2
【含参包含关系3】已知集合A={x｜－2≤x≤5}，B={x｜k+1≤x≤2k－1}，若A∩B=，求实数k的取值范围。
【解析】
A∩B=，
当时，2k－1当时，k+1>5或2k－1<－2
，即k>4或
综上知。
【含参包含关系4】设集合A={x｜1＜x＜5}，B={x｜x＜a或x≥a+2}，若，则a的取值范围是________。
【思路点拨】
此题考查两个集合交集、补集的运算，由于题中所给集合为含不等式的描述法形式，可以借助数轴进行直观的分析。
【解析】
，先求出，利用数轴作图如下，有两种情况：
①
②
则a≥5，即{a｜a≤－1或a≥5}。
【表达式理解型1】设集合，，则(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】
B
【解析】
；，整数的范围大于奇数的范围.
【表达式理解型2】若集合，则下列各项中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
答案：C；
由可知：，当时，则，
当时，则，。所以选C
【阅读理解型1】某班有学生55人,其中音乐爱好者34人,体育爱好者43人,还有4人既不爱好体育也不爱好音乐,则班级中即爱好体育又爱好音乐的有
人.
答案：26；
【阅读理解型3】在某次数学竞赛中共有甲、乙、丙三题，共25人参加竞赛，每个同学至少选作一题。在所有没解出甲题的同学中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的2倍；解出甲题的人数比余下的人数多1人；只解出一题的同学中，有一半没解出甲题，问共有多少同学解出乙题？
分析：利用文氏图，见右图；
可得如下等式
；
；；
；联立可得。
【复杂veen图1】如图所示，阴影部分表示的集合是(　　)．
A．A∩(B∩C)
B．(UA)∩(B∩C)
C．C∩U(A∪B)
D．C∩U(A∩B)
【解析】由于阴影部分在C中，均不在A、B中，则阴影部分表示的集合是C的子集，也是U(A∪B)的子集，即是C∩U(A∪B)．
【答案】C
【复杂veen图2】已知全集U＝{x|x取不大于30的质数}，A、B是U的两个子集，且A∩(UB)＝{5，13，23}，(UA)∩B＝{11，19，29}，(UA)∩(UB)＝{3，7}，求A，B.
【复杂veen图3】已知全集U＝A∪B中有m个元素，(?UA)∪(?UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为(
　)
A．mn
　　　
B．m＋n　　　C．n－m
　　　D．m－n
答案：D；
解析：选D.U＝A∪B中有m个元素，∵(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)中有n个元素，
∴A∩B中有m－n个元素，故选D.
【复杂veen图4】已知：如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是（　
　）
A．?U（A∩B）∩C
B．?U（B∩C）∩A
C．A∩?U（B∪C）
D．?U（A∪B）∩C
答案：C；
【解答】解：阴影部分所表示的为在集合A中但不在集合B，C中的元素构成的，
故阴影部分所表示的集合可表示为A∩?U（B∪C），
故选：C．
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