题型分类教案：不等式与二次不等式题型2.1-2.3(高三复习)

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一元二次方程、函数和不等式
【一元二次方程】
1.解法：（1）直接开平方法（2）配方法（3）因式分解法
（4）公式法：一元二次方程的求根公式
.
2.根与系数关系:判别式为.
3.韦达定理：，.
【一元二次函数】
1.概念表示：二次函数与
2.性质：对称轴、开口、交点、顶点、增减性
【一元二次不等式】
二次函数与一元二次不等式之间的关系
若，的解集为；
的解集为。
若，的解集为；
的无解。
若，的解集为x可取任意实数。
的无解。
【等式与不等式性质】
要点一、符号法则与比较大小
实数的符号：
任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立.
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：
①两个同号实数相加，和的符号不变
符号语言：；
②两个同号实数相乘，积是正数
符号语言：；
③两个异号实数相乘，积是负数
符号语言：
④任何实数的平方为非负数，0的平方为0
符号语言：，.
比较两个实数大小的法则：
对任意两个实数、
①；
②；
③.
对于任意实数、,,,三种关系有且只有一种成立.
要点二、不等式的性质
不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分
基本性质有：
　　(1)
对称性：
　　(2)
传递性：
　　(3)
可加性：
(c∈R)
　　(4)
可乘性：a>b，
　　运算性质有：
　
(1)
可加法则：
(2)
可乘法则：
(3)
可乘方性：
(4)
可开方性：
要点三、比较两代数式大小的方法
作差法：
任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小.
①；
②；
③.
作商法：
任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小.
①；
②；
③.
中间量法：
若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.
【不等式运算1】已知，求，的取值范围．
【解析】　因为，所以，.
两式相加，得.
因为，所以，
则.
又α＜β，所以，
则.
【不等式运算2】已知，求（1）?(2)的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【不等式判断1】对于实数a,b,c判断以下命题的真假
（１）若a>b,
则ac（２）若ac2>bc2，则a>b;
（３）若a则a2>ab>b2;
（４）若a则|a|>|b|;
（５）若a>b,
>,
则a>0,
b<0．
【思路点拨】本类题一般采用不等式性质法或者比差法。
【解析】
（１）因为c的符号不定，所以无法判定ac和bc的大小，故原命题为假命题.
（２）因为ac2>bc2,
所以c≠0,
从而c2>0，故原命题为真命题.
（３）因为，所以a2>ab
①
又，所以ab>b2
②
综合①②得a2>ab>b2
，故原命题为真命题．
（４）两个负实数，绝对值大的反而小，故原命题为真命题．
（５）因为
，所以
所以
，从而ab<0
又因a>b，所以a>0,
b<0，故原命题为真命题．
【不等式判断2】若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列命题中能成立的是(　
　)．
A.ad＞bc
B.
C.a－c＞b－d；
D.a·(d－c)＞b(d－c)
【答案】ACD；
【不等式判断3】下列命题中的真命题为
（１）若a>b,
则ac2>bc2；
（２）若a（３）若a；
（４）若a（５）若c>a>b>0，则＞．
【答案】（4）（5）【解析】
（１）∵c2≥0，当c=0时ac2=bc2=0，故原命题为假命题。
（２）举特例-2<-1<0但->-1，故原命题为假命题。
（３）由于a（４）∵a|b|>0，∴＜１，∴＜１，故原命题为真命题．
（５）∵c>a>b>0，∴，∴c-b>c-a>0，∴＞＞0，
又∵a>b>0
，∴＞，故原命题为真命题．
【二次不等式的解法1】
解下列一元二次不等式
（1）；
（2）；
（3）
【二次不等式的解法2】解下列关于x的不等式
（1）x2-2ax≤-a2+1；
（2）x2-ax+1>0；
（3）x2-(a+1)x+a<0；
【思路点拨】
解不等式时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；
【解析】
(1)
∴原不等式的解集为.
(2)
Δ=a2-4
当Δ>0，即a>2或a<-2时，原不等式的解集为
当Δ=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为.
当Δ<0，即-2（3）(x-1)(x-a)<0
当a>1时，原不等式的解集为{x|1当a<1时，原不等式的解集为{x|a当a=1时，原不等式的解集为.
【二次不等式的解法3】解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)≥0；
【答案】当a=0时，x∈(-,2].
当a≠0时，方程(ax-1)(x-2)=0两根为
①当a>0时，
若，
即时，；
若，
即时，x∈R；
若，
即时，.
②当a<0时，则有：，
∴
.
【二次不等式逆向求解1】不等式的解集为，求关于的不等式的解集.
【思路点拨】
由二次不等式的解集为可知：4、5是方程的二根，故由韦达定理可求出、的值，从而解得.
【解析】由题意可知方程的两根为和
由韦达定理有，
∴，
∴化为，即
，解得，
故不等式的解集为.
【二次不等式逆向求解2】不等式ax2+bx+12>0的解集为{x|-3b=________.
【答案】由不等式的解集为{x|-3由根与系数关系得
解得a=-2,
b=-2.
【二次不等式逆向求解3】已知的解为,试求、,并解不等式.
【答案】由韦达定理有：，，∴,.
∴代入不等式得，
即，，解得，
故不等式的解集为：.
【二次不等式逆向求解4】已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.
【答案】由韦达定理有：，解得,
代入不等式得
，即，解得或.
∴的解集为：.
【二次不等式恒成立问题1】已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.
【思路点拨】
不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。
【解析】
(1)当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5
若m=1，则不等式化为3>0,
对一切实数x成立，符合题意.
若m=-5，则不等式为24x+3>0，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去.
(2)当m2+4m-5≠0即
m≠1且m≠-5时，
由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点，
所以，
即，
∴
1综上所述，实数m的取值范围是{m|1≤m<19}.
【二次不等式恒成立问题2】若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围.
【答案】关于的不等式的解集为空集
即的解集为R
当时，原不等式为：，即，不符合题意，舍去.
当时，原不等式为一元二次不等式，只需且，
即，解得，
综上，的取值范围为：.
【二次不等式恒成立问题3】已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，
求实数a的取值范围．
【答案】原不等式等价于(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0对一切实数恒成立，
显然a＝－2时，解集不是R，因此a≠－2，
从而有
整理，得
解得a＞2.
故a的取值范围是(2，＋∞)．
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