题型分类教案：基本不等式2.2（高三复习）

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高一新教材2.2：基本不等式
【知识讲解】
要点一：基本不等式
1.对公式及的理解.
（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=”
的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.
2.由公式和可以引申出常用的常用结论
①（同号）；
②（异号）；
③或
要点二：基本不等式的证明
方法一：几何面积法
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.
得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）
特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：
如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）
方法二：代数法
∵，
当时，；
当时，.
所以，（当且仅当时取等号“=”）.
要点诠释：
特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：
如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：
如果，,，（当且仅当时取等号“=”）.
要点三：基本不等式的几何意义
如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.
易证，那么，即.
这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.
要点四：用基本不等式求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.
①
一正：函数的解析式中，各项均为正数；
②
二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③
三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.
【一正二定三相等】，，给出下列推导，其中正确的有
.
（1）的最小值为；
（2）的最小值为；
（3）的最小值为.
【思路点拨】
利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵，，∴（当且仅当时取等号）.
（2）∵，，∴（当且仅当时取等号）.
（3）∵，∴，
（当且仅当即时取等号）
∵，与矛盾，∴上式不能取等号，即
【一正二定三相等2】下列不等式中恒成立的是（
）
A.
B．
C．
D．
A
【应用技巧1-凑数法】（1）已知，求证:
【思路点拨】
对于“和”式求最小值时，要设法配凑得“积”为定值，常采用“配分母”的办法.
【解析】
（当且仅当即,等号成立）.
（2）求函数()的最小值.
【思路点拨】
本题采用“配分母”的办法，所以整式部分一定应为（x-5）的倍数.
【解析】∵，∴
∴
（当且仅当即时，取等号）
故当时，函数()的最小值为32.
（3）设，求函数的最小值为_______________
思路：考虑将分式进行分离常数，，使用均值不等式可得：，等号成立条件为，所以最小值为
答案：
【应用技巧2-变形法】已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值.
【思路点拨】
要求的最小值，根据基本不等式，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请认真体会.
【解析】
由，得
∵x＞0，y＞0，∴y＞9
∵y＞9，∴y－9＞0，
∴
（当且仅当，即y=12时，取等号，此时x=4）
∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16.
【应用技巧3-妙用特殊值】已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值.
∵，∴
∵x＞0，y＞0，∴
（当且仅当，即y=3x时，取等号）
又，∴x=4，y=12
∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16.
【应用技巧4-直接套公式】（1）已知，，，求的最大值.
∵，，，
即，可得，（当且仅当时，等号成立）
故当时，的最大值为16.
（2）已知，求的最小值
解：
所以
即，可解得，即
（3）已知，且，则的最大值是________
思路：本题观察到所求与的联系，从而想到调和平均数与算术平均数的关系，即，代入方程中可得：
，解得：，所以最大值为4
【应用技巧5-构造法】已知，则的最小值为______________
思路一：所求表达式为和式，故考虑构造乘积为定值以便于利用均值不等式，分母为，所以可将构造为，从而三项使用均值不等式即可求出最小值：
【应用技巧6-换元法】若都是正数，且，则的最小值为__________．
【答案】.
【解析】设都是正数，且，则
，当且仅当时取等号，故答案为.[来源:]
【提升训练】
1.知，则的最大值为
.
答案：6；
2.已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　
　)
A．3
B．4
C.
D.
答案：B；
解析　∵8－(x＋2y)＝2xy＝x·(2y)≤()2.∴原式可化为(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0.
∵x>0，y>0，∴x＋2y≥4.当x＝2，y＝1时取等号．
3.已知正数a，b满足a＋b－ab＋3＝0，则ab的最小值是________．
答案　9；
解析　∵a＋b－ab＋3＝0，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3.令＝t，则t2≥2t＋3.
解得t≥3(t≤－1舍)．即≥3.∴ab≥9.当且仅当a＝b＝3时，取等号．
4.若，且，则xy有
（
）
Ａ．最大值64
Ｂ．最小值
Ｃ．最小值
Ｄ．最小值64
答案：D；
5.若实数满足，则的最大值是______________。
答案：；
6.若对任意x＞0，恒成立，则a的取值范围是________．
答案:
【解析】　
又
∴
∴
7.已知正数a，b，c满足，则的最大值为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用求根公式得到，表示目标，借助均值不等式求最值.
【详解】
∵
∴，
∴，
，当且仅当a=c时取等号.
8.已知正实数满足，则的最小值为________．
【答案】
【解析】[]
【分析】
构造与已知条件有关的等式关系．x+y=，利用基本不等式的性质即
可解决．
【详解】
∵x＞0，y＞0，∴2x+y＞0，2x+3y＞0，x+y＞0，
+=1，x+y=，
那么：x+y=（x+y）×1=×（+）
=（1+）
=
∵=1，当且仅当2x=y=时取等号．
所以：x+y≥．
故x+y的最小值为．
故答案为：
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