人教版八年级上数学课件： 13.3.2 第1课时 等边三角形的性质与判定 (共28张PPT)

(共29张PPT)
13.3.2
等边三角形
第1课时
等边三角形的性质与判定
葫芦岛第六初级中学
A
B
C
A
B
C
等边三角形的三个内角之间有什么关系？
等腰三角形
AB=AC
∠B=∠C
等边三角形
AB=AC=BC
AC=BC
∠A=∠B
∠A=∠B=∠C
内角和为180°
=60°
性质
结论：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一
个角都等于60°.
已知：AB=AC=BC
，
求证：∠A=
∠
B=∠C=
60°.
证明：
∵AB=AC.
∴∠B=∠C
.(等边对等角)
同理
∠A=∠C
.
∴∠A=∠B=∠C.
∵
∠A+∠B+∠C=180°,
∴
∠A=
∠B=
∠C=60
°.
A
B
C
A
B
C
等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？
结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”.
顶角的平分线、底边的高
底边的中线
三线合一
一条对称轴
三条对称轴
图形
等腰三角形
　性
质
每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合
三个角都相等，
对称轴（3条）
等边三角形
对称轴（1条）
两个底角相等
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合
且都是60?
两条边相等
三条边都相等
如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连结BE、DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.
∵BE＝DE，
∴∠D＝∠EBC＝20°，
∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
例1
方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质.
【变式】如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）．
△ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？
解：∵△ABC为正三角形，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.
又∵BM＝CN，
∴△AMB≌△BNC(SAS)，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM
＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.
例2
方法总结：此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.
图形
等腰三角形
判
定
三个角都相等的三角形是等边三角形
等边三角形
从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形
从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形
三条边都相等的三角形是等边三角形
小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？
★等边三角形的判定方法：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
等边三角形的判定
辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
（1）
（2）
（6）
（5）
不
是
是
是
是
是
（4）
（3）
不一定
是
如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC,
求证：△ADE是等边三角形.
A
C
B
D
E
证明：
∵
△ABC是等边三角形，
∴
∠A=
∠B=
∠C.
∵
DE//BC,
∴
∠ADE=
∠B,
∠
AED=
∠C,
∴
∠A=
∠ADE=
∠
AED,
∴
△ADE是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
例3
　证明：∵　△ABC
是等边三角形，
∴　∠A
=∠ABC
=∠ACB
=60°．
∵　DE∥BC，
∴　∠ABC
=∠ADE，
∠ACB
=∠AED,
∴　∠A
=∠ADE
=∠AED,
∴　△ADE
是等边三角形.
【变式1】若点D、E
在边AB、AC
的延长线上，且
DE∥BC，结论还成立吗？
A
D
E
B
C
【变式2】若点D、E
在边AB、AC
的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？
　　证明：
∵　△ABC
是等边三角形，
∴　∠BAC
=∠B
=∠C
=60°．
∵　DE∥BC，
∴　∠B
=∠D，∠C
=∠E,
∴　∠EAD
=∠D
=∠E,
∴　△ADE
是等边三角形．
A
D
E
B
C
【变式3】上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE,
△ADE还是等边三角形吗?试说明理由.
A
C
B
D
E
证明：
∵
△ABC是等边三角形，
∴
∠A=
∠B=
∠C.
∵
AD=AE,
∴
∠ADE=
∠B,
∠
AED=
∠C,
∴
∠A=
∠ADE=
∠
AED,
∴
△ADE是等边三角形.
等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．
解：△APQ为等边三角形．
证明如下：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC.
∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
例4
方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.
【练习】
如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．
求证：△DEF是等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF,
∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是等边三角形．
2.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（
）
A.
4个
B.
5个
C.
6个
D.
7个
D
A
C
B
D
E
O
1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（　　）
A．105°
B．120°
C．135°
D．150°
B
3.在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是（　　）
A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
4.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm,EC
=2cm,则△ADE的周长是
cm.
A
C
B
D
E
12
B
5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，E是AB的中点，连结CE并延长交AD于F．求证：△AEF≌△BEC．
证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°.
∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，
∴∠EBC=180°-90°-30°=60°，
∴∠FAE=∠EBC．
∵E为AB的中点，
∴AE=BE．
又∵
∠AEF＝∠BEC，
∴△AEF≌△BEC（ASA）．
6.如图，A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小.
C
B
O
D
A
E
解：
∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，
∴AO=BO,CO=DO,
∠AOB=∠COD=60°.
∵
A、O、D三点共线，
∴
∠DOB=∠COA=120°，
∴
△COA
≌△DOB(SAS).
∴
∠DBO=∠CAO.
设OB与EA相交于点F,
∵
∠EFB=∠AFO，
∴
∠AEB=∠AOB=60°.
F
【拓展】图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．
(1)如图1，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；
(2)如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．
图1
图2
解：(1)AN＝BM.
理由：∵△ACM与△CBN都是等边三角形，
∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.
∴∠ACN＝∠MCB，
∴△ACN≌△MCB(SAS)，
∴AN＝BM.
图1
(2)△CEF是等边三角形．
证明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，
∴∠ECF=60°.
∵△ACN≌△MCB，
∴∠CAE＝∠CMB.
∵AC＝MC，
∴△ACE≌△MCF(ASA)，
∴CE＝CF，
∴△CEF是等边三角形．
图2
等边
三角形
定义
底=腰
性质
边
三边相等
角
三个角都等于60
°
轴对称性
轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质
判定
三边法
三角法
等腰三角形法
课堂总结