北师大版九年级数学上册 2.1.2 一元二次方程的解及其估算课件（共28张）

(共28张PPT)
第二章
一元二次方程
认识一元二次方程
2.1.2
一元二次方程的解及其估算
1.理解方程的解的概念.
2.经历对一元二次方程解的探索过程并理解其意义.(重点)
3.会估算一元二次方程的解.（难点）
学习目标
一元二次方程有哪些特点？一元二次方程的一般形式是什么？
一元二次方程的特点：
①
只含有一个未知数;
②未知数的最高次数是2;
③是整式方程．
一元二次方程的一般形式：
ax2
+bx
+
c
=
0(a
、
b、
c为常数,
a≠0)
新课引入
一元二次方程的根的概念：使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.
下面哪些数是方程
x2
–
x
–
6
=
0
的解?
-4
,-3
,
-2
,-1
,0
,1,2,3
,4
解：
3和-2是方程
x2
–
x
–
6
=
0
的解.
你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根.
一元二次方程的根
1
练一练：
新课讲解
已知a是方程
x2+2x－2=0
的一个实数根,
求
2a2+4a+
2018的值.
解：由题意，得
方法总结：已知解求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．
例1
新课讲解
在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度x满足方程2x2
-
13x
+
11
=
0，你能求出这个宽度吗？
一元二次方程解的估算
2
例2
新课讲解
对于方程2x2
-
13x
+
11
=
0.
（1）x可能小于0吗?说说你的理由．
（2）x可能大于4吗?可能大于2.5吗?说说你的理由.
（3）完成下表：
（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗?
还有其他求解方法吗?与同伴进行交流．
11
5
0
-4
-7
x
0
0.5
1
1.5
2
2x2
-
13x
+
11
新课讲解
在上一课中，梯子的底端滑动的距离x满足方程x2
+12
x
-
15
=
0.
10m
8m
1m
xm
你能猜出滑动距离x的大致范围吗？
例3
新课讲解
下面是小亮的求解过程：
x
0
0.5
1
1.5
2
…
x2+12x
-
15
-15
-
8.75
-
2
5.25
13
…
可知x取值的大致范围是1进一步计算：
所以1.1＜x＜1.2,由此他猜测x整数部分是1
,十分位部分是1．
x
1.1
1.2
1.3
1.4
x2
+
12x
-
15
-
0.59
0.84
2.29
3.76
新课讲解
用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤：
①在未知数x的取值范围内排除一部分取值;
②根据题意所列的具体情况再次进行排除;
③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选;
④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据.
★规律方法：
上述求解是利用了“两边夹”的思想.
归纳总结
1.请求出一元二次方程
x2
-
2x
-
1=0的正数根（精确到0.1）.
解：（1）列表.依次取x=0,1,2,3,…
由上表可发现，当2＜x＜3时,
-1＜
x2
-
2x
-1
＜2.
x
0
1
2
3
…
x2
-
2x
-
1
-1
-2
-1
2
…
随堂即练
（2）继续列表,依次取x=2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,…
由表可发现，当2.4＜x＜2.5时,-0.04＜
x2
-
2x
-
1
＜0.25.（3）取x=2.45,则x2
-
2x
-
1≈0.1025.
∴2.4＜x＜2.45,
∴x≈2.4.
x
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
…
x2
-
2x
-
1
-0.79
-0.56
-0.31
-0.04
0.25
…
随堂即练
2.根据题意,列出方程,并估算方程的解：
一面积为120
m2
的矩形苗圃，它的长比宽多2
m，苗圃的长和宽各是多少？
解：设苗圃的宽为x
m,则长为(x+2)
m
.根据题意，得
x
(x
+
2)
=
120，即
x2
+
2x
-
120
=
0.
由题意,得x的取值范围大致是0
<
x
<
11.解方程
x2
+
2x
-
120
=
0.
完成下表(在0
<
x
<
11这个范围内取值计算,逐步逼近):
x
…
…
x2
+2x
–
120
…
…
8
9
10
11
-40
-21
0
23
120
m2
(x+2)m
xm
所以x=10.因此这苗圃的长是12米，宽是10米.
随堂即练
3.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a
的值.
解：把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0，
化简，得9+4a=0.
即4a=-9.
随堂即练
4.已知关于x的一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a≠0)一个根为1,
求
a+b+c的值.
解：由题意，得
随堂即练
思考：
（1）若
a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的一个根吗?
解：由题意，得
∴方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的一个根是1.
x=2
（2）若
a-b
+c=0,4a+2b
+c=0
，你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的一个根吗?
随堂即练
教室地面有多宽
幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为１８m2
的地毯
，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
做一做
?
估算一元二次方程的解
解：设教室未铺地毯区域的宽为xm
,
根据题意得
你能求出x吗?怎么去估计x呢？
(8
－
2x)
(5
－
2x)
=
18.
5
x
x
x
x
（8－2x）
（5－2x）
8
18m2
做一做
?
即2x2-13x+11
=
0.
x可能小于0吗?说说你的理由.
x可能大于4吗?可能大于2.5吗?说说你的理由.
因此,x取值的大致范围是:0估算一元二次方程的解
在0完成下表(取值计算,逐步逼近):
做一做
?
由此看出,可以使(8
－
2x)
(5
－
2x)的值为18的x=1.故可知所求的宽为1m.
你还有其它求解方法吗?与同伴交流.
如果将(8-2x)(5-2x)=18看作是6×3=18.
则有8-2x=6,
5-2x=3.从而也可以解得x=1.
怎么样,你还敢挑战吗?
你能总结出估算的方法步骤和提高估算的能力吗?
x
0
2.5
(8
－
2x)
(5
－
2x)
40
0
0.5
1
1.5
2
28
18
10
4
…
生活中的数学
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
解：如果设梯子底端滑动x
m，根据题意得
你能猜得出x取值的大致范围吗?
做一做
?
72+(x+6)2=102
数学化
xm
8m
10m
7m
6m
10m
1m
即
x2+12x-15=0
估算一元二次方程的解
完成下表(取值计算,逐步逼近):
做一做
?
x
0
…
x2+12x-15
-15
…
0.5
1
1.5
2
-8.75
-2
5.25
13
你能猜得出x取值的大致范围吗?
可知x取值的大致范围是:1在1估算一元二次方程的解
在1做一做
?
由此看出,可以使x2+12x-15的值接近0的x为整数的值是x=1;精确到十分位的x的值约是1.2.
你能算出精确到百分位的值吗?
x
…
…
x2+12x-15
…
…
1.1
1.2
1.3
1.4
-0.59
0.84
2.29
3.76
你能行吗
观察下面等式：
１０２＋１１２＋１２２＝１３２＋１４２
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为：　　　　，　　　　，　　　　，　　　　．
随堂练习
1
即
x2-8x-20=0.
x＋1
x＋2
x＋3
x＋4
根据题意，可得方程：
　　　　　　　　　　　　
.
(x＋1)2
(x＋
2)2
＋
(x＋3)2
(x＋4)2
＝
＋
x2
＋
一般化
你能求出这五个整数分别是多少吗?
知识的升华
独立
作业
P35习题2.2
1
、2题
祝你成功！
知识的升华
独立
作业
根据题意,列出方程,并估算方程的解：
1.一面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？
解：设苗圃的宽为xm，则长为(x＋2)
m,
根据题意得：
x
(x＋2)
＝120.
即
x2
＋
2x－120
＝0.
x
x+2
120m2
根据题意,x的取值范围大致是0完成下表(在0由此看出,可以使x2+2x-120的值为0的x=10.故可知宽为10m,长为12m.
x
…
…
X2+2x-120
…
…
8
9
10
11
-40
-21
0
23
2.一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练,在正常情况下,运动员必需在距水面5m以前完成规定的翻腾动作,并且调整好入水姿势,否则就容易出现失误.假设运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员距水面的高度h(m)满足关系:
h＝10+2.5t-5t2.那么他最多有多长时间完成规定动作？
5＝10+2.5t-5t2.
2t2
–t－2＝0.
即
解：根据题意得
完成下表(在0由此看出,可以使2t2-t-2的值为0的t的范围是1.2t
…
…
2t2-t-2
…
…
-2
-1
4
13
根据题意,t的取值范围大致是00
1
1.1
1.2
1.3
1.4
2
3
0
1
2
3
-2
-1
-0.68
-0.32
0.08
0.52
4
13
解一元二次方程
（“两边夹”方法）
确定其解的大致范围
列表、计算
进行两边“夹逼”
……
求得近似解
课堂总结
谢
谢！