题型分类教案：数列与不等式（高三复习）

中小学教育资源及组卷应用平台
高三复习专题：数列与不等式
【数列与不等式：放缩法】
【数列变相同项】求证：.
【裂项不等式-乘法缩小】求证：1+ (n
证明：
1+
【裂项不等式-移位套变】求证：
证明：
【裂项不等式-平方差裂项】已知数列中，证明：
放缩二：
放缩三：
【裂项不等式-倍数变化缩小法】求证：1+ (n
证明：
=
1+.
【根式不等式-加减变化】求证：(n)
证明：，
又
= 得证。
【多数相乘变等比】求证：
证明：由（是大于2的自然数）
得

【变形套用1】
【证明】
【变形套用2】
【变式1】已知正项数列的前项和为，且
（1）求证：数列是等差数列
（2）记数列，证明：
解：（1）

为等差数列
（2）思路：先利用（1）可求出的公式进而求出，则，考虑进行放缩求和，结合不等号的方向向裂项相消的形式进行放缩。
解：令代入可得：
即
由为等差数列可得：

考虑先证
时
时，
再证
综上所述：
【变式2】已知数列 {an}为等差数列，a3＝3，a1＋a2＋…＋a6＝21，数列{}的前n项和为Sn，若对一切n∈N*，恒有S2n－Sn＞成立，则m能取到的最大正整数是________．
答案：7；
解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d，由a3＝3，a1＋a2＋…＋a6＝21可得，解得，
∴an＝n，＝.
∴Sn＝1＋＋…＋，∴令Tn＝S2n－Sn＝＋＋…＋，则Tn＋1＝＋＋…＋＋＋，Tn＋1－Tn＝＋－＞＋－＝0，
∴Tn＋1＞Tn.∴Tn的最小值是n＝1处取得，又T1＝S2－S1＝，∴要使S2n－Sn＞恒成立，只需＜S2－S1＝即可，解得m＜8，故填7.
【变式3】已知数列的前项和为，若，且
（1）求证：数列是等差数列，并求出的通项公式
（2）设，数列的前项和为，求证：
解：（1）


即

即
，由令可得：

，验证符合上式

（2） 由（1）得：
可知当时，


【变式4】设数列满足：，设为数列的前项和，已知，
（1）求数列的通项公式
（2）求证：对任意的且，有
解：（1） 为公比是的等比数列

在中，令，


是公比为的等比数列

（2）证明：
【变式5】已知数列满足
（1）求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式
（2）设，求证：
解：（1）
是公比为的等比数列
（2）思路：，无法直接求和，所以考虑放缩成为可求和的通项公式（不等号：），若要放缩为裂项相消的形式，那么需要构造出“顺序同构”的特点。观察分母中有，故分子分母通乘以，再进行放缩调整为裂项相消形式。
解：
而
所以


【数列与不等关系-作差法】
例2.设数列的前n项和为，已知，，（1）设，求的通项公式；（2）若，，求的取值范围。
答案：
【变式1】已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前n项的和为，且 ().（1）求数列，的通项公式；
（2） 记,求证：.
【解析】
试题分析：解：（Ⅰ）∵是方程的两根，且数列的公差，
∴，公差
∴ ( ) 4分
又当n=1时，有b1=S1=1－
当
∴数列{bn}是等比数列，
∴ ( ) 8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 10分
∴
∴ 12分
【变式2】已知各项均为正数的数列满足：其中为数列的前 n 项和。等差数列满足：
（1）求数列和的通项公式；
（2）对于任意的,恒成立，试求实数k的取值范围。
【数列与不等关系-参数求值】
例3.已知数列，前项和满足
（1）求的通项公式
（2）设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围
解：（1）



时，
当时，符合上式

（2）思路：由（1）可得：，由已知为单调递减数列可得对均成立，所以代入通项公式得到关于的不等式，即只需，构造函数或者数列求出的最大值即可
解：
是递减数列 ，
即

只需
① 构造函数：设
则

所以在单调递增，在单调递减
时，
即
② 构造数列：设数列的通项公式


时，，即
当时，
所以的最大项为

【变式1】已知等差数列中，，记数列的前项和为，若，对任意的恒成立，则整数的最小值是（ ）
A. B. C. D.
思路：若恒成立，，要找，则需先确定的通项公式得到：，所以，发现无法直接求和，很难变为简单的表达式，所以考虑将视为一个数列，通过相邻项比较寻找其单调性：
，进而单调递减，，所以，从而
答案：B
【变式2】已知数列的前项和为且，数列满足：，，其前项和为
（1）求
（2）令，记的前项和为，对，均有，求的最小值
解：（1）
为公差是的等差数列
时，
符合上式
为等差数列
设前项和为
（2）思路：依题意可得：，可求出，从而，若最小，则应最接近的最大最小值（或是临界值），所以问题转化成为求的范围，可分析其单调性。单调递增。所以最小值为，而当时，，所以无限接近，故的取值范围为中的离散点，从而求出的最小值
解：
设，可知递增
，当时，

若最小，则
【变式3】已知数列的前项和为，，且，数列满足，对任意，都有
（1）求数列的通项公式
（2）令，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围
解析：（1）

可得：
，验证时，符合上式
由可知为等比数列

（2）
故恒成立不等式为：
化简可得：。所以只需
设
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_