3.4.1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（含答案）
文档属性
| 名称 | 3.4.1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-09-28 16:43:28 | ||
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文档简介
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第三章 二次函数
3.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第1课
知识梳理
知识点1 二次函数y＝ax2＋k（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2＋k的图象是一条_______________，它与抛物线y＝ax2的形状_________，只是位置_____________；它的对称轴为______________，顶点坐标为_________________。
知识点2 二次函数y＝ax2＋k（a≠0）图象的性质
a值 a＞0 a＜0
开口方向 _______________ _______________
对称轴 _______________ _______________
顶点坐标 _______________ _______________
最大 （小）值 当x＝0时，y最小＝__________ 当x＝0时，y最大＝_________
函数的 增减性 当x＞0时，y的值随x值的增大而_________；当x＜0时，y的值随x值的增大而___________ 当x＞0时，y的值随x值的增大而_________；当x＜0时，y的值随x值的增大而___________
图象 位置 k＞0 k＜0 k＞0 k＜0
知识点3 二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）的图象
二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）的图象是一条___________，它与抛物线y＝ax2的形状___________，只是位置___________；它的对称轴是直线____________，顶点坐标为______________。
知识点4 二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）图象的性质
a值 a＞0 a＜0
开口方向 _______________ ________________
对称轴 直线___________ 直线____________
顶点坐标 _______________ ________________
最大 （小）值 当x＝h时，y最小＝_______ 当x＝h时，y最大＝________
函数的 增减性 当x＞h时，y的值随x值的增大而__________；当x＜h时y的值随x值的增大而___________ 当x＞h时，y的值随x值的增大而_________；当x＜h时，y的值随x值的增大而___________
图象位置 h＞0 h＜0 h＞0 h＜0
考点突破
考点1 二次函数y＝ax2＋k图象的性质
典例1 试在同一平面直角坐标系内作出二次函数y＝－2x2，y＝－2x2＋3和y＝－2x2－3的图象，然后依据图象回答下列问题:
（1）抛物线y＝－2x2与y＝－2x2＋3和y＝－2x2－3有什么关系？
（2）试比较这三个图象的相同点与不同点。
思路导析: 本题需借助图象来直观地得到相应的结论。
解:根据函数的对称性列出下表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y＝－2x2 … －8 －2 0 －2 －8 …
y＝－2x2＋3 … －5 1 3 1 －5 …
y＝－2x2－3 … －11 －5 －3 －5 －11 …
描点、连线，即可得到如图所示的图象。
（1）由图象可知，抛物线y＝－2x2＋3是由抛物线y＝－2x2向上平移3个单位得到的；抛物线
y＝－2x2－3是由抛物线y＝－2x2向下平移3个单位得到的；
（2）相同点: 形状相同（即开口方向和开口大小相同），对称轴相同。
不同点: 顶点坐标不同。
友情提示 由本题可知，对于抛物线y＝a1x2＋k与y＝a2x2＋m而言，当a1＝a2时，它们的形状相同反之，如果两条抛物线的形状完全相同，则必有a1＝a2；若开口大小相同，方向相反，则a1＝－a2。
变式1 （1）将二次函数y＝－2x2的图象向下平移3个单位，就得到二次函数________________的图象，其顶点坐标为___________。
（2）抛物线y＝－x2＋2的开口__________，对称轴为_____________，顶点坐标为____________。
变式2 画出二次函数y＝－x2＋1的图象，根据图象回答下列问题:
（1）写出抛物线的顶点坐标和对称轴；
（2）当x取何值时，y的值随x值的增大而增大；
（3）当x取何值时，函数有最大（小）值，最大（小）值为多少？
考点2 二次函数y＝a（x－h）2图象的性质
典例2 在同一平面直角坐标系中作出二次函数y＝x2，y＝（x＋1）2和y＝（x－1）2的图象，然后回答下列问题:
（1）抛物线y＝x2与y＝（x＋1）2和y＝（x－1）2有什么关系？
（2）试比较这三个图象的相同点与不同点.
解:根据函数的对称性列出下表。
x －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y＝x2 8
2
0
2
8
y＝（x＋1）2
2
0
2
8
y＝（x－1）2
8
2
0
2
描点、连线，得到如图所示的图象。
（1）由图象可知，抛物线y＝（x－1）2是由抛物线y＝x2向右平移1个单位得到的；抛物线y＝（x＋1）2是由抛物线y＝x2向左平移1个单位得到的；
（2）相同点:开口方向和大小相同；不同点:对称轴和顶点坐标不同；
友情提示 抛物线左右平移，只改变顶点的横坐标，纵坐标保持不变。
变式3 （1）抛物线的开口向________，对称轴是__________，顶点坐标是__________，与x轴的交点坐标为_________；当________时，y有最______（填“大”或“小”）值，当______时，y的值随x值的增大而减小；
（2）若抛物线y＝ax2向右平移2个单位后经过点（1，－），求a的值。
变式4 已知二次函数y＝－x2＋4.
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出当y＞0时，x的取值范围；
（3）若将此图象沿x轴向右平移2个单位长度，在图中画出平移后的图象。
巩固提高
1.将y＝x2向上平移2个单位后所得的抛物线的解析式为（ ）
A. y＝x2＋2 B. y＝x2－2 C. y＝（x＋2）2 D. y＝（x－2）2
2.如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换，已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y＝x2＋1，则原抛物线的解析式不可能的是
（ ）
y＝x2－1 B. y＝x2＋6x＋5 C. y＝x2＋4x＋4 D. y＝x2＋8x＋17
3.把抛物线y＝－x2向右平移2个单位，则平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A. y＝－x2＋2 B. y＝－（x＋2）2 C. y＝－x2－2 D. y＝－（x－2）2
4.抛物线y＝3x2，y＝－3x2，y＝x2＋3共有的性质是（ ）
A. 开口向上 B. 对称轴是y轴
C. 顶点坐标都是（0，0） D. 在对称轴的右边，y随x的增大而增大
5.已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是（）
A.若y1＝y2，则x1＝x2 B.若x1＝－x2，则y1＝－y2
C.若0＜x1＜x2，则y1＞y2 D.若x1＜x2＜0，则y1＞y2
6.若二次函数y＝，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A. m＝1 B. m＞1 C. m≥1 D. m≤1
7.将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（ ）
A.y＝（x＋2）2－5 B.y＝（x＋2）2＋5 C.y＝（x－2）2－5 D.y＝（x－2）2＋5
8.将二次函数y＝x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数
y＝2x＋b的图象有公共点，则实数b的取值范围是（ ）
b＞8 B. b＞－8 C. b≥8 D. b≥－8
9.在同一直角坐标系中，作出二次函数y＝x2与y＝x2－2的图象。
（1）指出抛物线y＝x2－2的顶点坐标和对称轴，当x取何值时，y随x的增大而减小？
（2）抛物线y＝x2经过怎样的平移得到抛物线y＝x2－2？
10.对于二次函数y＝－（x－4）2，请回答下列问题:
（1）把函数y＝－x2的图象作怎样的移动，就能得到函数y＝－（x－4）2的图象？
（2）写出函数y＝－（x－4）2的图象的顶点坐标和对称轴。
11.若抛物线向右平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为y＝5（x－4）2，求原抛物线的函数表达式，并说明x取何值时函数有最大值或最小值，其值是多少？
12.已知抛物线y＝a（x－h）2向左平移2个单位后，所得抛物线为y＝－3（x＋5）2，求a，h的值。
体验中考
1.（2019·西藏）把函数y＝－x2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y＝－(x－1)2＋1的图象（ ）
A.向左平移1个单位，再向下平移1个单位 B.向左平移1个单位，再向上平移1个单位
C.向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D.向右平移1个单位，再向下平移1个单位
2.（2019·齐齐哈尔）将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A. y＝2（x＋2）2＋3 B. y＝2（x－2）2＋3 C. y＝2（x－2）2－3 D.y＝2（x＋2）2－3
3.（2019·宜宾）将抛物线y＝2x2的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为______________________。
4.（2019·凉山州）将抛物线y＝（x－3）2－2向左平移___________个单位后经过点A（2，2）。
参考答案
知识梳理
知识点1: 抛物线 相同 不同 y轴 （0，k）
知识点2: 向上 向下 y轴 y轴 （0，k） （0，k） k k 增大 减小 减小 增大
知识点3: 抛物线 相同 不同 x＝h （h，0）
知识点4: 向上 向下 x＝h x＝h （h，0） （h，0） 0 0 增大 减小 减小 增大
考点突破
1.（1）y＝－2x2－3 （0，－3）
（2）向下 y轴 （0，2）
2、解:图象略.
（1）抛物线的顶点坐标为（0，1），对称轴为y轴；
（2）当x＜0时，y的值随 值的增大而增大；
（3）当x＝0时，函数有最大值，最大值为1.
3.解:（1）上 直线x＝1 （1，0） （1，0） x＝1 小 a＜1
（2）抛物线y＝ax2向右平移2个单位得到抛物线y＝a（x－2）2.
∵抛物线经过点（1，－），∴－＝a（1－2）2.∴a＝－.
4，解:（1）如图所示，抛物线的顶点为（0，4），抛物线与x轴的交点为（－2，0） ， （2，0） ；
（2）当－2＜x＜2时，y＞0；
（3）抛物线y＝－x2＋4沿x轴向右平移2个单位长度所得抛物线解析式为y＝－（x－2）2＋4，如图所示.
巩固提高
A 2. B 3. D 4. B 5. D 6. C 7. A 8. D
9，解:图象略.
（1）顶点坐标为（0，－2），对称轴为y轴，当x＜0时，y随a的增大而减小；
（2）抛物线y＝x2向下平移2个单位得到抛物线y＝x2－2.
10.解:（1）函数y＝－x2的图象向右平移4个单位长度，就得到函数y＝－（x－4）2的图象；
（2）函数y＝－（x－4）2的图象的顶点坐标是（4，0） ，对称轴是直线x＝4.
11，解:原抛物线的函数表达式为y＝5（x－4＋2）2＝5（x—2）2，
∵5＞0，∴抛物线开口向上，函数有最小值.
又∵对称轴为直线x＝2，当x＝2时， y＝0.∴当x＝2时，函数有最小值0.
12. a＝－3，h＝－3.
体验中考
C 2. B
3.y＝2（x＋1）2－2
4. 3 解析:∵将抛物线y＝（x－3）2－2向左平移后经过点A（2，2）,
∴设平移后解析式为y＝（x－3＋a）2－2，则2＝（2－3＋a）2－2，解得a＝3或a＝－1（舍去），
故将抛物线y＝（x－3）2－2向左平移3个单位后经过点A（2，2）.故答案为3.
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第三章 二次函数
3.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第1课
知识梳理
知识点1 二次函数y＝ax2＋k（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2＋k的图象是一条_______________，它与抛物线y＝ax2的形状_________，只是位置_____________；它的对称轴为______________，顶点坐标为_________________。
知识点2 二次函数y＝ax2＋k（a≠0）图象的性质
a值 a＞0 a＜0
开口方向 _______________ _______________
对称轴 _______________ _______________
顶点坐标 _______________ _______________
最大 （小）值 当x＝0时，y最小＝__________ 当x＝0时，y最大＝_________
函数的 增减性 当x＞0时，y的值随x值的增大而_________；当x＜0时，y的值随x值的增大而___________ 当x＞0时，y的值随x值的增大而_________；当x＜0时，y的值随x值的增大而___________
图象 位置 k＞0 k＜0 k＞0 k＜0
知识点3 二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）的图象
二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）的图象是一条___________，它与抛物线y＝ax2的形状___________，只是位置___________；它的对称轴是直线____________，顶点坐标为______________。
知识点4 二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）图象的性质
a值 a＞0 a＜0
开口方向 _______________ ________________
对称轴 直线___________ 直线____________
顶点坐标 _______________ ________________
最大 （小）值 当x＝h时，y最小＝_______ 当x＝h时，y最大＝________
函数的 增减性 当x＞h时，y的值随x值的增大而__________；当x＜h时y的值随x值的增大而___________ 当x＞h时，y的值随x值的增大而_________；当x＜h时，y的值随x值的增大而___________
图象位置 h＞0 h＜0 h＞0 h＜0
考点突破
考点1 二次函数y＝ax2＋k图象的性质
典例1 试在同一平面直角坐标系内作出二次函数y＝－2x2，y＝－2x2＋3和y＝－2x2－3的图象，然后依据图象回答下列问题:
（1）抛物线y＝－2x2与y＝－2x2＋3和y＝－2x2－3有什么关系？
（2）试比较这三个图象的相同点与不同点。
思路导析: 本题需借助图象来直观地得到相应的结论。
解:根据函数的对称性列出下表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y＝－2x2 … －8 －2 0 －2 －8 …
y＝－2x2＋3 … －5 1 3 1 －5 …
y＝－2x2－3 … －11 －5 －3 －5 －11 …
描点、连线，即可得到如图所示的图象。
（1）由图象可知，抛物线y＝－2x2＋3是由抛物线y＝－2x2向上平移3个单位得到的；抛物线
y＝－2x2－3是由抛物线y＝－2x2向下平移3个单位得到的；
（2）相同点: 形状相同（即开口方向和开口大小相同），对称轴相同。
不同点: 顶点坐标不同。
友情提示 由本题可知，对于抛物线y＝a1x2＋k与y＝a2x2＋m而言，当a1＝a2时，它们的形状相同反之，如果两条抛物线的形状完全相同，则必有a1＝a2；若开口大小相同，方向相反，则a1＝－a2。
变式1 （1）将二次函数y＝－2x2的图象向下平移3个单位，就得到二次函数________________的图象，其顶点坐标为___________。
（2）抛物线y＝－x2＋2的开口__________，对称轴为_____________，顶点坐标为____________。
变式2 画出二次函数y＝－x2＋1的图象，根据图象回答下列问题:
（1）写出抛物线的顶点坐标和对称轴；
（2）当x取何值时，y的值随x值的增大而增大；
（3）当x取何值时，函数有最大（小）值，最大（小）值为多少？
考点2 二次函数y＝a（x－h）2图象的性质
典例2 在同一平面直角坐标系中作出二次函数y＝x2，y＝（x＋1）2和y＝（x－1）2的图象，然后回答下列问题:
（1）抛物线y＝x2与y＝（x＋1）2和y＝（x－1）2有什么关系？
（2）试比较这三个图象的相同点与不同点.
解:根据函数的对称性列出下表。
x －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y＝x2 8
2
0
2
8
y＝（x＋1）2
2
0
2
8
y＝（x－1）2
8
2
0
2
描点、连线，得到如图所示的图象。
（1）由图象可知，抛物线y＝（x－1）2是由抛物线y＝x2向右平移1个单位得到的；抛物线y＝（x＋1）2是由抛物线y＝x2向左平移1个单位得到的；
（2）相同点:开口方向和大小相同；不同点:对称轴和顶点坐标不同；
友情提示 抛物线左右平移，只改变顶点的横坐标，纵坐标保持不变。
变式3 （1）抛物线的开口向________，对称轴是__________，顶点坐标是__________，与x轴的交点坐标为_________；当________时，y有最______（填“大”或“小”）值，当______时，y的值随x值的增大而减小；
（2）若抛物线y＝ax2向右平移2个单位后经过点（1，－），求a的值。
变式4 已知二次函数y＝－x2＋4.
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出当y＞0时，x的取值范围；
（3）若将此图象沿x轴向右平移2个单位长度，在图中画出平移后的图象。
巩固提高
1.将y＝x2向上平移2个单位后所得的抛物线的解析式为（ ）
A. y＝x2＋2 B. y＝x2－2 C. y＝（x＋2）2 D. y＝（x－2）2
2.如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换，已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y＝x2＋1，则原抛物线的解析式不可能的是
（ ）
y＝x2－1 B. y＝x2＋6x＋5 C. y＝x2＋4x＋4 D. y＝x2＋8x＋17
3.把抛物线y＝－x2向右平移2个单位，则平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A. y＝－x2＋2 B. y＝－（x＋2）2 C. y＝－x2－2 D. y＝－（x－2）2
4.抛物线y＝3x2，y＝－3x2，y＝x2＋3共有的性质是（ ）
A. 开口向上 B. 对称轴是y轴
C. 顶点坐标都是（0，0） D. 在对称轴的右边，y随x的增大而增大
5.已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是（）
A.若y1＝y2，则x1＝x2 B.若x1＝－x2，则y1＝－y2
C.若0＜x1＜x2，则y1＞y2 D.若x1＜x2＜0，则y1＞y2
6.若二次函数y＝，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A. m＝1 B. m＞1 C. m≥1 D. m≤1
7.将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（ ）
A.y＝（x＋2）2－5 B.y＝（x＋2）2＋5 C.y＝（x－2）2－5 D.y＝（x－2）2＋5
8.将二次函数y＝x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数
y＝2x＋b的图象有公共点，则实数b的取值范围是（ ）
b＞8 B. b＞－8 C. b≥8 D. b≥－8
9.在同一直角坐标系中，作出二次函数y＝x2与y＝x2－2的图象。
（1）指出抛物线y＝x2－2的顶点坐标和对称轴，当x取何值时，y随x的增大而减小？
（2）抛物线y＝x2经过怎样的平移得到抛物线y＝x2－2？
10.对于二次函数y＝－（x－4）2，请回答下列问题:
（1）把函数y＝－x2的图象作怎样的移动，就能得到函数y＝－（x－4）2的图象？
（2）写出函数y＝－（x－4）2的图象的顶点坐标和对称轴。
11.若抛物线向右平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为y＝5（x－4）2，求原抛物线的函数表达式，并说明x取何值时函数有最大值或最小值，其值是多少？
12.已知抛物线y＝a（x－h）2向左平移2个单位后，所得抛物线为y＝－3（x＋5）2，求a，h的值。
体验中考
1.（2019·西藏）把函数y＝－x2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y＝－(x－1)2＋1的图象（ ）
A.向左平移1个单位，再向下平移1个单位 B.向左平移1个单位，再向上平移1个单位
C.向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D.向右平移1个单位，再向下平移1个单位
2.（2019·齐齐哈尔）将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A. y＝2（x＋2）2＋3 B. y＝2（x－2）2＋3 C. y＝2（x－2）2－3 D.y＝2（x＋2）2－3
3.（2019·宜宾）将抛物线y＝2x2的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为______________________。
4.（2019·凉山州）将抛物线y＝（x－3）2－2向左平移___________个单位后经过点A（2，2）。
参考答案
知识梳理
知识点1: 抛物线 相同 不同 y轴 （0，k）
知识点2: 向上 向下 y轴 y轴 （0，k） （0，k） k k 增大 减小 减小 增大
知识点3: 抛物线 相同 不同 x＝h （h，0）
知识点4: 向上 向下 x＝h x＝h （h，0） （h，0） 0 0 增大 减小 减小 增大
考点突破
1.（1）y＝－2x2－3 （0，－3）
（2）向下 y轴 （0，2）
2、解:图象略.
（1）抛物线的顶点坐标为（0，1），对称轴为y轴；
（2）当x＜0时，y的值随 值的增大而增大；
（3）当x＝0时，函数有最大值，最大值为1.
3.解:（1）上 直线x＝1 （1，0） （1，0） x＝1 小 a＜1
（2）抛物线y＝ax2向右平移2个单位得到抛物线y＝a（x－2）2.
∵抛物线经过点（1，－），∴－＝a（1－2）2.∴a＝－.
4，解:（1）如图所示，抛物线的顶点为（0，4），抛物线与x轴的交点为（－2，0） ， （2，0） ；
（2）当－2＜x＜2时，y＞0；
（3）抛物线y＝－x2＋4沿x轴向右平移2个单位长度所得抛物线解析式为y＝－（x－2）2＋4，如图所示.
巩固提高
A 2. B 3. D 4. B 5. D 6. C 7. A 8. D
9，解:图象略.
（1）顶点坐标为（0，－2），对称轴为y轴，当x＜0时，y随a的增大而减小；
（2）抛物线y＝x2向下平移2个单位得到抛物线y＝x2－2.
10.解:（1）函数y＝－x2的图象向右平移4个单位长度，就得到函数y＝－（x－4）2的图象；
（2）函数y＝－（x－4）2的图象的顶点坐标是（4，0） ，对称轴是直线x＝4.
11，解:原抛物线的函数表达式为y＝5（x－4＋2）2＝5（x—2）2，
∵5＞0，∴抛物线开口向上，函数有最小值.
又∵对称轴为直线x＝2，当x＝2时， y＝0.∴当x＝2时，函数有最小值0.
12. a＝－3，h＝－3.
体验中考
C 2. B
3.y＝2（x＋1）2－2
4. 3 解析:∵将抛物线y＝（x－3）2－2向左平移后经过点A（2，2）,
∴设平移后解析式为y＝（x－3＋a）2－2，则2＝（2－3＋a）2－2，解得a＝3或a＝－1（舍去），
故将抛物线y＝（x－3）2－2向左平移3个单位后经过点A（2，2）.故答案为3.
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