2.2 基本不等式
【素养目标】
1．了解基本不等式的代数和几何背景．(数学抽象)
2．理解并掌握基本不等式及其变形．(逻辑推理)
3．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(数学运算)
4．会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式．(逻辑推理)
5．会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题．(数学运算)
【学法解读】
1．本节学习时，学生先复习完全平方公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2，由(a－b)2≥0可得a2－2ab＋b2≥0，即a2＋b2≥2ab.然后以，分别代替a，b推得基本不等式，从代数观点认识基本不等式．
2．借助教材“探究”中的问题，使学生从几何角度认识基本不等式．
3．重点掌握应用基本不等式求最值的前提条件，通过具体实例强化公式的应用技巧．
第1课时 基本不等式
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 重要不等式与基本不等式
思考1：(1)基本不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？
(2)基本不等式成立的条件“a，b>0”能省略吗？请举例说明．
提示：(1)a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式．
(2)不能，如≥是不成立的．
知识点2 基本不等式与最值
已知x，y都为正数，则
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值____.
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值__2__.
思考2：应用基本不等式求最值的关键是什么？
提示：依定值去探求最值，探求的过程中常需依具体的问题进行合理的拆、凑、配等变换．
基础自测
1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．( × )
(2)当a>0，b>0时，a＋b≥2.( √ )
(3)当a>0，b>0时，ab≤()2.( √ )
(4)函数y＝x＋的最小值是2.( × )
[解析] (1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式≥成立的条件是a>0，b>0.
(2)基本不等式的变形公式．
(3)基本不等式的变形公式．
(4)当x<0时，x＋是负数．
2．下列不等式正确的是( C )
A．a＋≥2
B．(－a)＋(－)≤－2
C．a2＋≥2
D．(－a)2＋(－)2≤－2
3．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是__a＝1__.
4．已知x>0，求x＋的最小值．
[解析] 因为x>0，所以x＋≥2＝2，
当且仅当x＝，即x2＝1，x＝1时，等号成立，因此所求的最小值为2.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 利用基本不等式判断命题真假
例1
下列不等式一定成立的是( C )
A．>(x>0)
B．x＋≥2(x≠0)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D．>1(x∈R)
[解析] 选项A中，x2＋≥x(当且仅当x＝时，x2＋＝x)，故选项A不正确；选项B中，x＋≥2(x>0)，x＋≤－2(x<0)，故选项B不正确；选项C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R)，故选项C正确；选项D中，x2＋1≥1，则0<≤1，故选项D不正确．
例2
如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么下列命题中是真命题的是( A )
A．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一
B．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一
C．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一
D．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一
[解析] ∵正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，∴4＝a＋b≥2，即ab≤4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立．又4＝cd≤()2，∴c＋d≥4，当且仅当c＝d＝2时，等号成立．
综上，ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值都为2.
[归纳提升] 利用基本不等式判断命题真假的步骤
第一步：检查是否满足应用基本不等式的条件．
第二步：应用基本不等式．
第三步：检验等号是否成立．
【对点练习】?
若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( D )
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2
C．＋>
D．＋≥2
[解析] 对于A，若a＝b时，a2＋b2＝2ab，则A中的不等式不恒成立．当a<0，b<0时，选项B，C不成立，故选D．
题型二 利用基本不等式求最值
例3
(1)已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值；
(2)已知x，y是正实数，且x＋y＝4，求＋的最小值．
[分析] (1)将所求代数式变形，构造出基本不等式所满足的结构条件，从而运用基本不等式求最值．
(2)利用“1”的代换，结合不等式求解．
[解析] (1)因为x<3，所以x－3<0，
所以f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3
＝－[＋(3－x)]＋3≤－2＋3＝－1，当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号，
所以f(x)的最大值为－1.
(2)因为x，y是正实数，
所以(x＋y)(＋)＝4＋(＋)≥4＋2.
当且仅当＝，即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取等号．
又x＋y＝4，所以＋≥1＋，故＋的最小值为1＋.
[归纳提升] 利用基本不等式求最值的方法及注意点
(1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．
(2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．
(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．
(4)利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可．
【对点练习】?
(1)若0(2)已知a>0，b>0，＋＝4，则a＋b的最小值为__1__.
[解析] (1)由00，
故＝·≤·＝，当且仅当x＝时，上式等号成立．
所以0<≤.
(2)由＋＝4，得＋＝1.
所以a＋b＝(＋)(a＋b)＝＋＋≥＋2＝1.当且仅当a＝b＝时取等号．
题型三 利用基本不等式证明不等式
例4
已知a>b，ab＝1，求证：a2＋b2≥2(a－b)．
[分析] 这是个条件不等式，因此要用好a>b，ab＝1这两个条件．注意到不等式左、右两边的次数特征，因此要向模型ax＋≥2进行思考．
[证明] ∵a>b，∴a－b>0.又ab＝1，
∴＝＝＝a－b＋≥2＝2，即≥2，即a2＋b2≥2(a－b)，当且仅当a－b＝，即a－b＝时取等号．
[归纳提升] 利用基本不等式证明不等式的思路
利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之转化为能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换，另外，解题时要时刻注意等号能否取到．
【对点练习】?
已知x，y，z都是正数，求证：(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz.
[证明] ∵x，y，z是正数，
x＋y≥2，y＋z≥2，x＋z≥2，
∴(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz.
课堂检测·固双基
1．若x2＋y2＝4，则xy的最大值是( C )
A．
B．1
C．2
D．4
[解析] x2＋y2＝4≥2xy，
∴xy≤2，
∴xy的最大值为2，故选C．
2．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( C )
A．a－b<0
B．0<<1
C．<
D．ab>a＋b
[解析] 由基本不等式知≤，
∵a>b>0，∴<，故选C．
3．对于任意正数a，b，A是a，b的算术平均数，G是a，b的几何平均数，则A与G的大小关系是__A≥G__.
4．已知x>0，y>0，且xy＝100，则x＋y的最小值为__20__.
[解析] x＋y≥2＝2＝20(当且仅当x＝y＝10时取等号)．
5．已知a，b∈R，求证：ab≤()2.
[证明] ∵()2－ab＝－ab
＝＝≥0，
∴()2≥ab，即ab≤()2.
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-第2课时 基本不等式的应用
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 利用基本不等式求参数范围
例1
设a>b>c，且＋≥恒成立，求m的取值范围．
[解析] 由a>b>c，得a－b>0，b－c>0，a－c>0.
∴原不等式等价于＋≥m.
要使原不等式恒成立，只需＋的最小值不小于m即可．
∵＋＝＋
＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，
即2b＝a＋c时，等号成立，
∴m≤4，即m的取值范围为{m|m≤4}．
[归纳提升] 1.恒成立问题常采用分离参数的方法求解，若a≤y恒成立，则a≤ymin；若a≥y恒成立，则a≥ymax.将问题转化为求y的最值问题，可能会用到基本不等式．
2．运用基本不等式求参数的取值范围问题在高考中经常出现，在解决此类问题时，要注意发掘各个变量之间的关系，探寻思路，解决问题．
【对点练习】?
若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是____.
[解析] 因为x>0，所以x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，所以有＝≤＝，即的最大值为，故a≥.
题型二 基本不等式的实际应用
例2
如图所示动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围36
m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)要使每间虎笼面积为24
m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
[分析] (1)已知a＋b为定值，可用基本不等式求ab的最大值．
(2)已知ab为定值，可用基本不等式求a＋b的最小值．
[解析] (1)设每间虎笼长x
m，宽y
m，则由条件知：4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
方法一：由于2x＋3y≥2＝2，
所以2≤18，得xy≤，
即S≤，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长4.5
m，宽3
m时，可使面积最大．
方法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.
因为x>0，所以9－y>0，所以00，所以S≤·[]2＝.
当且仅当6－y＝y即y＝3时等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长4.5
m，宽3
m时，可使面积最大．
(2)由条件知S＝xy＝24.
设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.
方法一：因为2x＋3y≥2＝2＝24，
所以l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48.
当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长6
m，宽4
m时，可使钢筋网总长最小．
方法二：由xy＝24，得x＝.
所以l＝4x＋6y＝＋6y＝6(＋y)≥6×2＝48.
当且仅当＝y即y＝4时，等号成立，此时x＝6.
故每间虎笼长6
m，宽4
m时，可使钢筋网总长最小．
[归纳提升] 在应用基本不等式解决实际问题时应注意的问题
(1)设变量时一般把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域．
(3)在定义域内只需再利用基本不等式，求出函数的最值．
(4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案．
【对点练习】?
如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18
000
cm2，四周空白的宽度为10
cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5
cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？
[解析] 设矩形广告牌的高为x
cm，宽为y
cm，则每栏的高和宽分别为(x－20)cm，()cm(x>20，y>25)，两栏面积之和为2(x－20)·＝18
000，
由此得y＝＋25，
∴广告牌的面积S＝xy＝x(＋25)＝＋25x，
整理得S＝＋25(x－20)＋18
500.
∵x－20>0，∴S≥2＋18
500＝24
500.
当且仅当＝25(x－20)时等号成立，此时有(x－20)2＝14
400，
解得x＝140，代入y＝＋25，得y＝175.
即当x＝140，y＝175时，S取得最小值为24
500.
故当广告牌的高为140
cm，宽为175
cm时，可使矩形广告牌的面积最小．
误区警示
易错问题——忽略等号成立的条件或等号成立的一致性
例3
已知x>0，y>0，且x＋2y＝1，则＋的最小值为( B )
A．1＋
B．3＋2
C．3
D．4
[错解] ∵x>0，y>0，
∴1＝x＋2y≥2，∴8xy≤1.
∴xy≤，∴≥8.
∵＋≥2＝4.
故＋的最小值为4.
[错因分析] 上述在求解过程中使用了两次基本不等式：x＋2y≥2，＋≥2，但这两次取等号的条件需满足x＝2y与x＝y，自相矛盾，所以等号取不到．
[正解] ∵x＋2y＝1，x>0，y>0，
∴＋＝(x＋2y)(＋)＝3＋＋≥3＋2(当且仅当＝，即x＝y时，等号成立)．
∴x＝－1，y＝1－.
故当x＝－1，y＝1－时，＋有最小值，为3＋2.
[方法点拨] 连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立．
学科素养
基本不等式求最值
基本不等式在解决数学问题中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具．
例4
求函数y＝的最大值．
[分析] 把看成一个整体→函数转化为用来表示→找出其内在的形式特点→用基本不等式来处理．
[解析] 设t＝≥0，
则x＝t2－2.
于是y＝(t≥0)．
当t＝0时，y＝0.
当t>0时，y＝≤＝.
当且仅当2t＝，
即t＝时，y有最大值为.
由＝，
解得x＝－.
即x＝－，y有最大值为.
[归纳提升] 利用基本不等式求最值时，需满足“一正，二定，三相等”的条件，如果形式不满足，要首先化简整理，使其变为满足条件的形式，进而求得最值．
课堂检测·固双基
1．若x>2，则x＋的最小值为( C )
A．2
B．4
C．6
D．8
[解析] 令t＝x－2，则t>0，
x＋＝t＋＋2≥2＋2＝6，
当且仅当t＝，即t＝2，x＝4时，
函数f(x)＝x＋(x>2)的最小值为6.
2．设x>0，y>0，x＋y＝4，则＋的最小值为____.
[解析] ∵x＋y＝4，∴＋＝(＋)(x＋y)＝(5＋＋)，又x>0，y>0，则＋≥2＝4(当且仅当＝时取等号)，则＋≥×(5＋4)＝.
3．已知x>0，y>0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为____.
[解析] xy＝x·4y≤()2＝，当且仅当x＝4y＝时取等号．
4．建造一个容积为8
m3，深为2
m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m2,80元/m2，那么水池的最低总造价为__1
760__元．
[解析] 设池底一边长为x
m，总造价为y元．
则y＝4×120＋2(2x＋2×)×80＝320(x＋)＋480(x>0)．
因为x＋≥2＝4，当且仅当x＝即x＝2时取等号，所以ymin＝480＋320×4＝1
760(元)．
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