2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
【素养目标】
1．理解一元二次方程与二次函数的关系．(数学抽象)
2．掌握图象法解一元二次不等式．(直观想象)
3．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．(数学抽象)
4．会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．(数学运算)
5．会用分类讨论思想解含参数的一元二次不等式．(逻辑推理)
6．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(数学运算)
【学法解读】
在从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式的学习中，可以先以讨论具体的一元二次函数变化情况为情境，使学生发现一元二次函数与一元二次方程的关系，引出一元二次不等式的概念；然后进一步探索一般的一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，归纳总结出用一元二次函数解一元二次不等式的程序．
第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__一元二次不等式__.
一元二次不等式的一般形式是：
__ax2＋bx＋c>0(a≠0)__或__ax2＋bx＋c<0(a≠0)__.
思考1：(1)不等式x2＋>0是一元二次不等式吗？
(2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗？
提示：(1)不是，一元二次不等式一定为整式不等式．
(2)不可以，若a＝0，就不是二次不等式．
知识点2 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1
有两个相等的实数根x1＝x2＝－
无实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|x>x2或x{x|x≠－}
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1?
?
思考2：如何用图解法解一元二次不等式？
提示：图解法解一元二次不等式的一般步骤：
(1)将原不等式化为标准形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a>0)；
(2)求Δ＝b2－4ac；
(3)若Δ<0，根据二次函数的图象直接写出解集；
(4)若Δ≥0，求出对应方程的根，画出对应二次函数的图象，写出解集．
基础自测
1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．( × )
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( × )
(3)设二次方程f(x)＝0的两解为x1，x2，且x10的解集不可能为{x|x1(4)不等式ax2＋bx＋c≤0(a≠0)或ax2＋bx＋c≥0(a≠0)的解集为空集，则方程ax2＋bx＋c＝0无实根．( √ )
[解析] (1)当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式．
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根．则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为?.
(3)当二次项系数小于0时，不等式f(x)>0的解集为{x|x1(4)当Δ<0时，一元二次不等式的解集为空集，此时方程无实根．
2．不等式2x≤x2＋1的解集为( B )
A．?
B．R
C．{x|x≠1}
D．{x|x>1或x<－1}
[解析] 将不等式2x≤x2＋1化为x2－2x＋1≥0，
∴(x－1)2≥0，∴解集为R，故选B．
3．不等式(2x－5)(x＋3)<0的解集为__{x|－3[解析] 将原不等式转化为或，
∴－3关键能力·攻重难
题型探究
题型一 解一元二次不等式
例1
解下列不等式．
(1)2x2－3x－2>0；
(2)x2－4x＋4>0；
(3)－x2＋2x－3<0；
(4)－3x2＋5x－2>0.
[分析] 根据三个二次之间的关系求解即可．
[解析] (1)因为Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－，x2＝2，
所以不等式2x2－3x－2>0的解集为{x|x<－或x>2}．
(2)因为Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，
所以不等式x2－4x＋4>0的解集为{x|x≠2}．
(3)原不等式可化为x2－2x＋3>0，
由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无解，
所以不等式－x2＋2x－3<0的解集为R.
(4)原不等式可化为3x2－5x＋2<0，
由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝1，
所以不等式－3x2＋5x－2>0的解集为{x|[归纳提升] 解一元二次不等式的步骤
(1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的形式．
(2)计算相应的判别式．
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．
(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．
【对点练习】?
不等式6x2＋x－2≤0的解集为__{x|－≤x≤}__.
[解析] 由于Δ>0，方程6x2＋x－2＝0的两根为x1＝，x2＝－，
所以原不等式的解集为{x|－≤x≤}．
题型二 三个“二次”的关系
例2
已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1[分析] 给出了一元二次不等式的解集，则可知a的符号和方程ax2－bx＋2＝0的两根，由根与系数的关系可求a，b的值．
[解析] 方法一：由题设条件知a>0，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根．
由根与系数的关系，知解得
方法二：把x＝1，x＝2分别代入方程ax2－bx＋2＝0中，得解得
[归纳提升] 给出了一元二次不等式的解集，则可知a的符号和ax2＋bx＋c＝0的两实根，由根与系数的关系可知a，b，c之间的关系．
(1)如果不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|de}，则说明a>0，x1＝d，x2＝e分别为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，即d＋e＝－，d·e＝.
(2)如果不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|d0，x1＝d，x2＝e分别为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，即d＋e＝－，d·e＝；若解集为{x|xe}，则说明a<0，x1＝d，x2＝e分别为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，即d＋e＝－，d·e＝.
【对点练习】?
若不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b≥0的解集．
[解析] 因为不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，所以a<0，且－3,4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系可得，
即
所以不等式bx2＋2ax－c－3b≥0可化为－ax2＋2ax＋15a≥0，即x2－2x－15≥0，解得x≤－3或x≥5，故所求不等式的解集为{x|x≤－3或x≥5}．
题型三 解含有参数的一元二次不等式
例3
解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0.
[分析] 二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．
[解析] 对于方程2x2＋ax＋2＝0，其判别式Δ＝a2－16＝(a＋4)(a－4)．
①当a>4或a<－4时，Δ>0，方程2x2＋ax＋2＝0的两根为x1＝(－a－)，x2＝(－a＋)，
∴原不等式的解集为{x|x<(－a－)或x>(－a＋)}．
②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，
∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．
③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，
∴原不等式的解集为{x|x≠1}．
④当－4[归纳提升] 在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：
(1)关于不等式类型的讨论：二次项的系数a>0，a＝0，a<0；
(2)关于不等式对应方程的根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)；
(3)关于不等式对应方程的根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1【对点练习】?
解关于x的不等式ax2－x>0.
[解析] (1)当a＝0时不等式为－x>0，所以x<0，
(2)当a≠0时，方程ax2－x＝0的两根为0与；
①当a>0时，>0，所以x>或x<0；
②当a<0时，<0，所以综上，当a>0，不等式的解集为{x|x>或x<0}；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x<0}；
当a<0时，不等式的解集为{x|课堂检测·固双基
1．求下列不等式的解集：
(1)(x＋2)(x－3)>0；(2)3x2－7x≤10；
(3)－x2＋4x－4<0；(4)x2－x＋<0；
(5)－2x2＋x≤－3；(6)x2－3x＋4>0.
[解析] (1)(x＋2)(x－3)＝0的两根为x1＝－2，x2＝3，
所以原不等式的解集为{x|x>3或x<－2}．
(2)原不等式等价于(x＋1)(3x－10)≤0，所以原不等式的解集是{x|－1≤x≤}．
(3)原不等式等价于x2－4x＋4>0，即(x－2)2>0，所以原不等式的解集是{x|x≠2}．
(4)因为x2－x＋＝(x－)2≥0，所以原不等式的解集为?.
(5)原不等式等价于(x＋1)(2x－3)≥0，所以原不等式的解集是{x|x≥或x≤－1}．
(6)因为x2－3x＋4＝(x－)2＋>0，所以原不等式的解集为R.
2．当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0？小于0?
(1)y＝3x2－6x＋2；
(2)y＝25－x2；
(3)y＝x2＋6x＋10；
(4)y＝－3x2＋12x－12.
[解析] (1)使y＝3x2－6x＋2的值等于0的x的取值集合是{，}；
使y＝3x2－6x＋2的值大于0的x的取值范围是{x|x<或x>}；使y＝3x2－6x＋2的值小于0的x的值为.
(2)令25－x2＝0，则x＝±5，又由y＝25－x2图象的开口方向向下，故x＝±5时，函数的值等于0，当－55或x<－5时，函数值小于0.
(3)令x2＋6x＋10＝0，则方程无解，又由y＝x2＋6x＋10图象的开口方向朝上，故无论x为何值，函数值均大于0.
(4)令－3x2＋12x－12＝0，则x＝2，又由y＝－3x2＋12x－12图象的开口方向朝下，故x＝2时，函数的值等于0，当x≠2时，函数值小于0.
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-第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式的应用
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 不等式的恒成立问题
例1
已知不等式mx2－2x＋m－2<0，若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围．
[分析] 本题的易错之处在于忽略对二次项系数为0的讨论，即使不符合题意，也要规范地解答，这是解题过程的完整性．
[解析] 对于所有实数x都有不等式mx2－2x＋m－2<0恒成立，即函数y＝mx2－2x＋m－2的图象全部在x轴下方．当m＝0时，－2x－2<0，显然对任意x不能恒成立；
当m≠0时，由二次函数的图象可知有解得m<1－.
综上可知，m的取值范围是{m|m<1－}．
[归纳提升] 求不等式恒成立问题中参数范围的常用方法
1．利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题．
当未说明不等式为一元二次不等式时，有
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立?或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立?或
2．分离自变量和参变量，利用等价转化思想将其转化为求函数的最值问题．
通过等价变形，将参变量分离出来，转化为y>a(或(1)若y在定义域内存在最大值m，则ym(或a≥m)；
(2)若y在定义域内存在最小值m，则y>a(或y≥a)恒成立?a【对点练习】?
若关于x的不等式ax2＋(a－2)x－2≤0恒成立，求实数a的取值范围．
[解析] 若a＝0时，原不等式为－2x－2≤0不恒成立，所以a≠0.
当a≠0时，则应有即
整理得解得a＝－2.
所以实数a的值为－2.
题型二 一元二次方程根的分布
例2
已知方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0有两实根，如果两实根都大于1，求实数m的取值范围．
[解析] 设方程两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为两根均大于1，所以x1－1>0，x2－1>0，
故有
即解得
所以m≥25.
故实数m的取值范围是{m|m≥25}．
[归纳提升] 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布情况如下，其中x1，x2为该方程两根：
(1)x1，x2一正一负?x1x2<0.
(2)x1>0，x2>0?
(3)x1<0，x2<0?
【对点练习】?
(2019·陕西汉中高二期末)要使关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是__{a|－2[解析] 设两根为x1>1，x2<1，则x1－1>0，x2－1<0，
∴
即
即解得－2题型三 一元二次不等式的应用
例3
恩格尔系数(记为n)是指居民的食物支出占家庭消费总支出的比重．根据某镇家庭抽样调查的统计，2003年每户家庭平均消费支出总额为1万元，其中食品消费额为0.6万元．预测2003年后，每户家庭平均消费支出总额每年增加3
000元，如果到2005年该镇居民生活状况能达到小康水平(即恩格尔系数n满足40%[解析] 设食品消费额的年平均增长率为x(x>0)，则2005年，食品消费额为0.6(1＋x)2万元，消费支出总额为1＋2×0.3＝1.6(万元)．依题意得40%<≤50%，
即
又x>0，解得
因此－1因为－1≈0.033＝3.3%，－1≈0.155＝15.5%，所以该镇居民的生活如果在2005年达到小康水平，那么他们的食品消费额的年增长率就应在3.3%到15.5%的范围内取值，不包括3.3%但包括15.5%，也就是说，平均每年的食品消费额至多是15.5%.
[归纳提升] 一元二次不等式解决实际应用问题的步骤
(1)理解题意，搞清量与量之间的关系．
(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式(组)问题．
(3)解这个一元二次不等式(组)，得到实际问题的解．
【对点练习】?
有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的28%，问桶的容积最大为多少升？
[解析] 设桶的容积为x升，显然x>8.
依题意，得(x－8)－≤28%·x.
由于x>8，因而原不等式化简为9x2－150x＋400≤0，
即(3x－10)(3x－40)≤0.
因此≤x≤，从而8故桶的容积最大为升．
误区警示
不等式恒成立时忽略首项系数的符号特征
例4
要使函数y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒为负值，求m的取值范围．
[错解] 二次函数y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒为负，则必须图象开口向下，且与x轴无公共点．
∴?m<0，所求范围为m<0.
[错因分析] 只有一元二次不等式才有相应判别式的研究，本题中的函数由于首项系数含有参数，因此可能不是一元二次型，因此必须讨论m的取值．解答本题时容易出错的地方是直接默认函数为一元二次型而采用判别式法处理．
[正解] 函数y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒为负值，即不等式mx2＋mx＋(m－1)<0对一切实数x恒成立，于是
①当m＝0时，－1<0恒成立；
②当m≠0时，要使其恒成立，则有
解得m<0.
综上，m的取值范围为{m|m≤0}．
[方法点拨] 忽略对疑似二次型问题的首项系数的讨论是二次型问题的常见且典型的错误，因此要注重对首项系数的讨论．
课堂检测·固双基
1．若x∈{x|1[解析] 设y＝x2＋mx＋4，图象开口向上，因为当x∈{x|1即解得m≤－5.
2．国家原计划以2
400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
[解析] 设税率调低后，税收总收入为y元．
y＝2
400m(1＋2x%)·(8－x)%
＝－m(x2＋42x－400)(0依题意，得y≥2
400m×8%×78%，
即－m(x2＋42x－400)≥2
400m×8%×78%，
整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.
根据x的实际意义，知0所以x的范围为0PAGE
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