第三章
函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念
【素养目标】
1．通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．(数学抽象)
2．了解构成函数的三要素．(数学抽象)
3．能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．(直观想象)
4．理解同一个函数的概念．(数学抽象)
5．能判断两个函数是否是同一个函数．(逻辑推理)
【学法解读】
1．函数概念的引入，学生以熟悉的例子为背景进行抽象，从变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图象的几何直观等角度整体认识函数的概念．例如，学生可以从已知的、基于变量关系的函数定义入手，通过生活或数学中的问题，构建函数的一般概念，体会用对应关系定义函数的必要性，感悟数学抽象的层次．
2．本节重点是理解函数的定义，会求简单函数的定义域，难点是理解y＝f(x)的含义，学生要加深理解．
第1课时 函数的概念(一)
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 函数的概念
定义
设A、B是非空的__实数集__，如果对于集合A中的__任意一个数x__，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有__唯一确定__的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A
三要素
对应关系
y＝f(x)，x∈A
定义域
__x__的取值集合
值域
与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}.
思考1：(1)对应关系f一定是解析式吗？
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？
提示：(1)不一定．对应关系f可以是解析式、图象、表格，或文字描述等形式．
(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．
知识点2 区间及有关概念
(1)一般区间的表示．
设a，b∈R，且a
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
__[a，b]__
{x|a＜x＜b}
开区间
__(a，b)__
{x|a≤x＜b}
半开半闭区间
__[a，b)__
{x|a＜x≤b}
半开半闭区间
__(a，b]__
(2)特殊区间的表示．
定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x符号
__(－∞，＋∞)__
__[a，＋∞)__
__(a，＋∞)__
__(－∞，a]__
__(－∞，a)__
思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
(2)“∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时这一端可以是中括号吗？
提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．
(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．
基础自测
1．区间[5,8)表示的集合是( C )
A．{x|x≤5或x>8}
B．{x|5C．{x|5≤x<8}
D．{x|5≤x≤8}
[解析] 区间[5,8)表示的集合是{x|5≤x<8}，故选C．
2．已知f(x)＝2x＋1，则f(5)＝( C )
A．3
B．7
C．11
D．25
[解析] f(5)＝2×5＋1＝11，故选C．
3．(2019·江苏，4)函数y＝的定义域是__[－1,7]__.
[解析] 要使函数y＝有意义，应满足7＋6x－x2≥0，
∴x2－6x－7≤0，∴(x－7)(x＋1)≤0，
∴－1≤x≤7，
∴函数y＝的定义域是[－1,7]．
4．已知f(x)＝，g(x)＝－x2＋2.
(1)求f(3)，g(3)的值；
(2)求f[g(2)]的值；
(3)求f[g(x)]的解析式．
[解析] (1)f(3)＝＝－1，g(3)＝－32＋2＝－7.
(2)f[g(2)]＝＝＝.
(3)f[g(x)]＝＝＝.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 函数概念的理解
例1
(1)下列对应或关系式中是A到B的函数的是( B )
A．A∈R，B∈R，x2＋y2＝1
B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：
C．A＝R，B＝R，f：x→y＝
D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
(2)设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，不可作为函数y＝f(x)的图象的是( C )
[分析] (1)如何利用函数定义．对于集合A中的元素通过对应关系在集合B中有唯一元素与之对应进行判断．
(2)当对应关系用图象表示时，怎样判断是否为函数关系．
[解析] (1)对于A项，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任x∈A，y值不唯一，故不符合．对于B项，符合函数的定义．对于C项，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．对于D项，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．
(2)由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数．
[归纳提升] 1.判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．
2．函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．
【对点练习】?
下列对应是否为A到B的函数：
(1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝；
(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.
[解析] (1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数．
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与之对应，故是集合A到集合B的函数．
(3)A中元素负整数没有平方根，故在B中没有对应的元素，故此对应不是A到B的函数．
(4)对于集合A中一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与之对应故是集合A到集合B的函数．
题型二 求函数的定义域
例2
求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)f(x)＝－.
[分析] →→
[解析] (1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足，即，解得x<0，且x≠－2.
故原函数的定义域为(－∞，－2)∪(－2,0)．
(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足，即.
故原函数的定义域为(－∞，1)∪(1,4]．
[归纳提升] 求函数的定义域：
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.
(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
【对点练习】?
(2020·吉林乾安七中高一期末测试)函数y＝的定义域是( C )
A．[－1，＋∞)
B．[－1,0]
C．(－1，＋∞)
D．(－1,0)
[解析] 要使函数y＝有意义，应满足x＋1>0，
∴x>－1，
∴函数y＝的定义域为(－1，＋∞)．
题型三 求函数值
例3
(2019·安徽合肥高一期末测试)已知f(x)＝，x∈R.
(1)求f(2)，f()，f(3)，f()的值；
(2)求f(2)＋f(3)＋…＋f(2
018)＋f()＋f()＋…＋f()的值．
[分析] (1)将x＝2，，3，代入f(x)＝计算即可；
(2)由(1)中求得f(2)，f()，f(3)，f()的值可得f(2)＋f()与f(3)＋f()的值是定值这一规律，再求得f(2)＋f(3)＋…＋f(2
018)＋f()＋f()＋…＋f()的值．
[解析] (1)∵f(x)＝，
∴f(2)＝＝，f()＝＝，f(3)＝＝，f()＝＝.
(2)由(1)知，
f(2)＋f()＝1，f(3)＋f()＝1.
∴f(a)＋f()＝＋＝＋·＝＋＝1，
∴f(2)＋f(3)＋…＋f(2
018)＋f()＋f()＋…＋f()
＝f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2
018)＋f()
＝2
017.
[归纳提升] 解题时要注意审题，观察分析、发现规律．
【对点练习】?
已知函数f(x)＝，则f(1)＋＋…＋＝__－9__.
[解析] ＝＝＝－1，
∴＝＝…＝＝－1，
又∵f(1)＝0，
∴f(1)＋＋…＋＝－9.
课堂检测·固双基
1．下列图形中，不能确定y是x的函数的是( D )
[解析] 由函数的定义知A，B，C是函数，故选D．
2．设函数f(x)＝ax＋b，若f(1)＝－2，f(－1)＝0，则( B )
A．a＝1，b＝－1
B．a＝－1，b＝－1
C．a＝－1，b＝1
D．a＝1，b＝1
[解析] 由f(1)＝－2得a＋b＝－2，
由f(－1)＝0得－a＋b＝0，
∴a＝－1，b＝－1，故选B．
3．用区间表示数集{x|x≤2或x>3}为__(－∞，2]∪(3，＋∞)__.
4．若f(x)＝，且f(a)＝2，则a＝__或2__.
[解析] 由f(a)＝2得＝2，
∴a＝2或.
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-第2课时 函数的概念(二)
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 同一个函数
前提条件
__定义域__相同
__对应关系__完全一致
结论
这两个函数是同一个函数
思考1：函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系？
提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可．
知识点2 常见函数的定义域和值域
函数
一次函数
反比例函数
二次函数
__a>0__
__a<0__
对应关系
y＝ax＋b(a≠0)
y＝(k≠0)
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
定义域
R
{x|x≠0}
R
R
值域
R
{y|y≠0}
{y|y≥}
{y|y≤}
思考2：求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域时为什么分a>0和a<0两种情况？
提示：当a>0时，二次函数的图象是开口向上的抛物线，观察图象得值域为{y|y≥}．
当a<0时，二次函数的图象是开口向下的抛物线，观察图象得值域为{y|y≤}．
基础自测
1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1)f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数．( × )
(2)若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是同一个函数．( × )
(3)函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t是同一个函数．( √ )
[解析] (1)f(x)＝与g(x)＝x的定义域不相同，所以不是同一个函数．
(2)例如f(x)＝与g(x)＝的定义域与值域相同，但这两个函数不是同一个函数．
(3)函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t的定义域都是R，对应关系完全一致，所以这两个函数是同一个函数．
2．(2019·江苏启东中学高一检测)下图中，能表示函数y＝f(x)的图象的是( D )
[解析] 由函数定义可知，任意作一条垂直于x轴的直线x＝a，则直线与函数的图象至多有一个交点，可知选项D中图象能表示y是x的函数．
3．若函数y＝x2－3x的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为( A )
A．{－2,0,4}
B．{－2,0,2,4}
C．{y|y≤－}
D．{y|0≤y≤3}
4．下表表示y是x的函数，则函数的值域是( D )
x
x<2
2≤x≤3
x>3
y
－1
0
1
A．{y|－1≤y≤1}
B．R
C．{y|2≤y≤3}
D．{－1,0,1}
[解析] 函数值只有－1,0,1三个数值，故值域为{－1,0,1}．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 函数的值域
例1
函数y＝－x2＋1，－1≤x<2的值域是( B )
A．(－3,0]
B．(－3,1]
C．[0,1]
D．[1,5)
[分析] 首先看二次函数的开口方向，再考虑二次函数的对称轴与限定区间的位置关系．
[解析] 由y＝－x2＋1，x∈[－1,2)，可知当x＝2时，ymin＝－4＋1＝－3；
当x＝0时，ymax＝1，
因为x≠2，所以函数的值域为(－3,1]．
[归纳提升] 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的值域
(1)对称轴在限定区间的左边，则函数在限定区间左端点取最小值，右端点取最大值；
(2)对称轴在限定区间的右边，则函数在限定区间左端点取最大值，右端点取最小值；
(3)对称轴在限定区间内，则函数在对称轴处取最小值，限定区间中距离对称轴较远的端点取最大值．
【对点练习】?
下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( B )
A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝x2＋1
[解析] A中x≥0，所以y≥0；B中x>0，所以y>0；C中x≠0，所以y≠0；D中x∈R，所以y≥1.
题型二 同一函数
例2
判断下列各组函数是否是同一个函数，为什么？
(1)y＝与y＝1；
(2)y＝与y＝x；
(3)y＝·与y＝.
[分析] 判断两个函数是否是同一个函数，只须看这两个函数的定义域和对应关系是否完全一致即可．
[解析] (1)对应关系相同，都是无论x取任何有意义的值，y都对应1.但是它们的定义域不同，y＝的定义域是{x|x≠0}，而y＝1的定义域为R，故这两个函数不是同一个函数．
(2)对应关系不相同，y＝＝|x|＝的定义域为R，y＝x的定义域也是R，但当x<0时，对应关系不同，故两个函数不是同一个函数．
(3)函数y＝·的定义域为使成立的x的集合，即{x|－1≤x≤1}．在此条件下，函数解析式写为y＝，而y＝的定义域也是{x|－1≤x≤1}，由于这两个函数的定义域和对应关系完全相同，所以两个函数是同一个函数．
[归纳提升] 判断两个函数f(x)和g(x)是不是同一函数的方法与步骤
(1)先看定义域，若定义域不同，则两函数不同．(2)再看对应关系，若对应关系不同，则不是同一函数．(3)若对应关系相同，且定义域也相同，则是同一函数．
【对点练习】?
f(x)与g(x)表示同一函数的是( D )
A．f(x)＝x2，g(x)＝
B．f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0
C．f(x)＝，g(x)＝x－3
D．f(x)＝，g(x)＝
[解析] 对于A，g(x)＝＝|x|，与f(x)的解析式不同；对于B，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠1}；对于C，f(x)的定义域为{x|x≠－3}，g(x)的定义域为R；对于D，f(x)＝＝1(x>0)，g(x)＝＝1(x>0)，解析式与定义域都相同，故f(x)与g(x)表示同一函数．
题型三 复合函数、抽象函数的定义域
例3
(1)若函数f(x)的定义域为(－1,2)，则函数f(2x＋1)的定义域为__(－1，)__.
(2)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f(x)的定义域为__(－1,5)__.
(3)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f(x－1)的定义域为__(0,6)__.
[分析] (1)f(x)的定义域为(－1,2)，即x的取值范围为(－1,2)．f(2x＋1)中x的取值范围(定义域)可由2x＋1∈(－1,2)求得．
(2)f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，即x的取值范围为(－1,2)，由此求得2x＋1的取值范围即为f(x)的定义域．
(3)先由f(2x＋1)的定义域求得f(x)的定义域，再由f(x)的定义域求f(x－1)的定义域．
[解析] (1)由－1<2x＋1<2，得－1(2)∵－1(3)由f(2x＋1)的定义域为(－1,2)得f(x)的定义域为(－1,5)，
由－1[归纳提升] 函数y＝f[g(x)]的定义域由y＝f(t)与t＝g(x)的定义域共同决定：
(1)若已知函数f(x)的定义域为数集A，则函数f[g(x)]的定义域由g(x)∈A解出．
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为数集A，则函数f(x)的定义域为g(x)在A中的值域．
【对点练习】?
(1)已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，求函数f(x－5)的定义域；
(2)已知函数f(x－1)的定义域是[0,3]，求函数f(x)的定义域．
[解析] (1)由－1≤x－5≤5，得4≤x≤10，所以函数f(x－5)的定义域是[4,10]．
(2)由0≤x≤3，得－1≤x－1≤2，所以函数f(x)的定义域是[－1,2]．
误区警示
函数概念理解有误
例4
设集合M＝{x|0≤x≤2}，集合N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形(如图所示)，其中能表示集合M到N的函数关系的个数是( B )
A．0
B．1
C．2
D．3
[错解] 函数的对应关系可以一对一，也可以多对一，故(1)(2)(3)正确，选D．
[错因分析] 不但要考虑几对几的问题，还要考虑定义域中的元素x在值域中是否有相应的y值与之对应．
[正解] 图(1)定义域M中的(1,2]部分在值域N中没有和它对应的数，不符合函数的定义；图(2)中定义域、值域及对应关系都是符合的；图(3)显然不符合函数的定义；图(4)中在定义域(0,2]上任给一个元素，在值域(0,2]上有两个元素和它对应，因此不唯一．故只有图(2)正确．答案为B．
[方法点拨] 函数的定义中，从数的角度描述了函数的对应关系，首先它是两个非空数集之间的对应，它可以一对一，也可以多对一，除此之外，还要弄清定义域与数集A、值域与数集B之间的关系．
学科素养
求函数值域的方法——转化与化归思想及数形结合思想的应用
1．分离常数法
例5
求函数y＝的值域．
[分析] 这种求函数值域的问题，我们常把它们化为y＝a＋的形式再求函数的值域．
[解析] ∵y＝＝＝3＋，
又∵≠0，∴y≠3.∴函数y＝的值域是{y|y∈R，且y≠3}．
[归纳提升] 求y＝这种类型的函数的值域，应采用分离常数法，将函数化为y＝a＋的形式．
2．配方法
例6
求函数y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域．
[分析] 这种题型，我们常利用配方法把它们化成y＝a(x＋b)2＋c的形式来求函数的值域．
[解析] ∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，x∈[－5，－2]，
∴其图象是开口向下，顶点为(－1,4)，在x∈[－5，－2]上对应的抛物线上的一段弧．
根据x∈[－5，－2]时的抛物线上升，则当x＝－5时，y取最小值，且ymin＝－12；当x＝－2时，y取最大值，且ymax＝3.
故y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域是[－12,3]．
[归纳提升] 遇到求解一般二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域时，应采用配方法，将函数化为y＝a(x＋)2＋的形式，从而求得函数的值域．
3．换元法
例7
求函数y＝x＋的值域．
[分析] 忽略常数系数，则x与隐含二次关系，若令＝t，则x＝(t2＋1)，于是函数转化为以t为自变量的二次函数，由于原函数的定义域由有意义确定，故t的允许取值范围就是的取值范围．
[解析] 设u＝(x≥)，则x＝(u≥0)，
于是y＝＋u＝(u≥0)．由u≥0知(u＋1)2≥1，则y≥.
故函数y＝x＋的值域为[，＋∞)．
[归纳提升] 求解带根号且被开方式为一次式的函数的值域，直接求解很困难，既费时又费力，所以遇到这样的问题，我们要想到用一个字母代换掉带根号的式子．值得注意的是，在代换过程中，要注意新变量的取值范围．
课堂检测·固双基
1．下列表格中的x与y能构成函数的是( C )
[解析] A中，0既是非负数又是非正数；B中，0又是偶数；D中，自然数也是整数，也是有理数，故选C．
2．(2020·山东莒县一中高一期末测试)下列各组函数中，表示同一函数的是( A )
A．y＝x与y＝
B．y＝x2与y＝
C．y＝1与y＝(x＋1)0
D．y＝|x|与y＝()2
[解析] 选项B、C、D中两函数的定义域不同，只有A中的两函数是同一函数．
3．已知函数f(x)的定义域[－2,3]，则函数f(x＋1)的定义域为__[－3,2]__.
[解析] 由题意得－2≤x＋1≤3，
∴－3≤x≤2，故函数f(x＋1)的定义域为[－3,2]．
4．若函数f(x)＝x2－x＋a的定义域和值域均为[1，b](b>1)，则a＋b的值为____.
[解析] ∵f(x)＝x2－x＋a＝(x－1)2＋a－，∴当x∈[1，b]时，f(x)min＝f(1)＝a－，f(x)max＝f(b)＝b2－b＋a.又f(x)在[1，b]上的值域为[1，b]，
∴解得
∴a＋b＝＋3＝.
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-3.1.2 函数的表示法
【素养目标】
1．了解函数的三种表示法及各自的优缺点．(数学抽象)
2．尝试作图并从图象上获取有用的信息．(直观想象)
3．会用解析法及图象法表示分段函数．(数学建模)
4．掌握求函数解析式的常见方法．(数学运算)
5．能根据给出的分段函数，研究有关性质．(数据分析)
【学法解读】
1．函数的三种表示方法体现了“式”“表”“图”的不同形态，特别是“式”与“图”的结合，体现了数形结合思想，学习过程中，应注意把它们相互结合，特别要注意加强“式”与“图”的相互转化，学生应从不同的侧面认识函数的本质．
2．学习分段函数时，学生要注意结合实例体会概念，还要注意书写的规范．
第1课时 函数的表示法
必备知识·探新知
基础知识
知识点 函数的表示法
表示法
定义
解析法
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式
图象法
以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数y＝f(x)的图象，这种用__图象__表示两个变量之间对应关系的方法叫做图象法
列表法
列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种列出__表格__来表示两个变量之间对应关系的方法叫做列表法
思考：三种表示法的优缺点分别是什么？
提示：
表示法
优点
缺点
解析法
简明、全面地概括了变量之间的关系，且利用解析式可求任一自变量对应的函数值
不够形象直观，而且并不是所有函数都有解析式
图象法
能形象直观地表示变量的变化情况
只能近似地求出自变量所对应的函数值
列表法
不需计算可以直接看出与自变量对应的函数值
只能表示有限个数的自变量所对应的函数值
基础自测
1．已知f(x)＝π(x∈R)，则f(π2)等于( B )
A．π2
B．π
C．
D．不确定
[解析] 因为π2∈R，所以f(π2)＝π.
2．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是( C )
A．(－∞，1)∪(1，＋∞)
B．R
C．(－∞，0)∪(0，＋∞)
D．(－1,0)
[解析] 由图象，知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．
3．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f[f(3)]的值等于__2__.
[解析] 据图象，知f(3)＝1，所以f[f(3)]＝f(1)＝2.
4．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f[g(1)]的值为__1__；当g[f(x)]＝2时，x＝__1__.
[解析] 由g(x)对应表，知g(1)＝3，
所以f[g(1)]＝f(3)．
由f(x)对应表，得f(3)＝1，所以f[g(1)]＝f(3)＝1.
由g(x)对应表，得当x＝2时，g(2)＝2，
又g[f(x)]＝2，所以f(x)＝2.
又由f(x)对应表，得x＝1时，f(1)＝2.所以x＝1.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 列表法表示函数
例1
某商场新进了10台彩电，每台售价3
000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
[分析] 函数的定义域是{1,2,3，…，10}，值域是{3
000，6
000,9
000，…，30
000}，可直接列表、画图表示．分析题意得到表达y与x关系的解析式，注意定义域．
[解析] (1)列表法：
x(台)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y(元)
3
000
6
000
9
000
12
000
15
000
18
000
21
000
24
000
27
000
30
000
(2)图象法：如图所示：
(3)解析法：y＝3
000x，x∈{1,2,3，…，10}．
[归纳提升] 列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在应用三种方法表示函数时要注意：
(1)解析法：必须注明函数的定义域．
(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
(3)图象法：是否连线．
【对点练习】?
某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)．
[解析] 这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}．
用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．
用列表法可将函数y＝f(x)表示为
笔记本数x
1
2
3
4
5
钱数y
5
10
15
20
25
用图象法可将函数y＝f(x)表示为如下图．
题型二 与函数图象有关的问题
例2
作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
[分析] (1)画函数的图象时首先要注意的是什么？
(2)所给三个函数的大致图象分别是什么形式的？
[解析] (1)列表：
x
0
1
2
y
1
2
3
4
5
当x∈[0,2]时，图象是直线的一部分，观察图象可知，其值域为[1,5]．
(2)列表
x
2
3
4
5
…
y
1
…
当x∈[2，＋∞)，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．
(3)列表
x
－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．
由图可得函数的值域是[－1,8]．
[归纳提升] (1)常见函数图象的特征：
①一次函数y＝kx＋b(k≠0)是一条直线；
②y＝(k≠0)是与坐标轴无限接近的双曲线；
③y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是顶点为(－，)，对称轴为x＝－的抛物线．
(2)作函数图象时应注意以下几点：
①在定义域内作图；
②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；
③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．
【对点练习】?
作出下列函数的图象，并指出其值域．
(1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)；
(2)y＝(－2≤x≤1，且x≠0)．
[解析] (1)用描点法可以作出函数的图象如图①.
① ②
由图可知y＝x2＋x(－1≤x≤1)的值域为[－，2]．
(2)用描点法可以作出函数的图象如图②.
由图可知y＝(－2≤x≤1，且x≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
题型三 求函数解析式
角度1 待定系数法求解析式
例3
(1)(2020·湖北部分重点中学高一联考)已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝4x＋6，则f(x)的解析式为__f(x)＝2x＋2或f(x)＝－2x－6__.
(2)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，则该二次函数的解析式为__f(x)＝x2＋1__.
[分析] 已知函数类型分别为一次函数和二次函数，设出函数解析式求出参数即可．
[解析] (1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋6，
于是有解得或
所以f(x)＝2x＋2或f(x)＝－2x－6.
(2)设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由题意得解得故f(x)＝x2＋1.
角度2 换元法(或配凑法)求解析式
例4
(1)(2020·广东六校教研协作体高一联考)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式为__f(x)＝x2－1(x≥1)__.
(2)(2020·湖北天门高一联考)已知函数f(x＋1)＝x2－2x，则f(x)的解析式为__f(x)＝x2－4x＋3__.
[分析] 已知f[g(x)]求f(x)有两种思路：一是将g(x)视为一个整体，应用数学的整体化思想，换元求解；二是将函数解析式的右端凑成含g(x)的形式．
[解析] (1)方法一(换元法) 令t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，
所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
所以函数的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
方法二(配凑法) f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1.
因为＋1≥1，所以函数的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)方法一(换元法) 令x＋1＝t，则x＝t－1，t∈R，
所以f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.
方法二(配凑法) 因为x2－2x＝(x2＋2x＋1)－(4x＋4)＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，
所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.
角度3 方程组法求函数解析式
例5
(1)(2020·江西九校高一联考)已知函数f(x)满足f(x)＋2f()＝x，则函数f(x)的解析式为__f(x)＝－＋(x≠0)__.
(2)(2018·武汉四校高一联考)已知af(x)＋f(－x)＝bx，其中a≠±1，则函数f(x)的解析式为__f(x)＝x，a≠±1__.
[分析] (1)求函数f(x)的解析式，由已知条件知，必须消去f()，不难想到再寻找一个方程，构成方程组，消去f()得f(x)．(2)类似于(1)的思路，利用x与－x的关系，再列一个方程，通过方程组求解．
[解析] (1)在已知等式中，将x换成，得f()＋2f(x)＝，与已知方程联立，得
消去f()，得f(x)＝－＋.
(2)在原式中用－x替换x，得af(－x)＋f(x)＝－bx，
于是得
消去f(－x)，得f(x)＝.
故f(x)的解析式为f(x)＝x，a≠±1.
[归纳提升] 函数解析式的求法
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．
(2)换元法：已知复合函数f[g(x)]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(3)解方程组法：已知f(x)与f()或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
【对点练习】?
(1)已知f(x)是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f(2)＝3，f(1)＝3，则f(x)＝__x＋(x≠0)__.
(2)①已知函数y＝f(x)满足f(－2)＝x＋1.求f(x)的解析式；
②已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2·f()·－1，求f(x)的解析式．
[解析] (1)设f(x)＝kx＋，
∴，∴，∴f(x)＝x＋(x≠0)．
(2)①设t＝－2，则x＝，
所以f(t)＝＋1＝，所以f(x)＝(x≠－2)．
②在f(x)＝2f()·－1中，用代替x，
得f()＝2f(x)·－1，
由
得f(x)＝＋(x>0)．
课堂检测·固双基
1．如图，函数f(x)的图象是折线段，其中点A，B，C的坐标分别是(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f[f(2)]＝( C )
A．0
B．2
C．4
D．6
[解析] 由图象可得f[f(2)]＝f(0)＝4.
2．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( A )
A．{－1,0,3}
B．{0,1,2,3}
C．{y|－1≤y≤3}
D．{y|0≤y≤3}
[解析] 把x＝0,1,2,3分别代入y＝x2－2x中得y的值共三个为－1,0,3，故值域为{－1,0,3}．
3．学校升旗仪式上，徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用一幅图近似地刻画，这幅图是下图中的( A )
[解析] 根据题意，易知A符合．
4．一个面积为100
cm2的等腰梯形，上底长为x
cm，下底长为上底长的3倍，则它的高y与x的函数关系为__y＝(x＞0)__.
[解析] 由梯形的面积公式有100＝·y，
得y＝(x>0)．
5．已知函数f(x)＝ax＋b，且f(－1)＝－4，f(2)＝5.
求：(1)a，b的值；(2)f(0)的值．
[解析] (1)由，得，
解得a＝3，b＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝3x－1，所以f(0)＝－1.
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-第2课时 分段函数
必备知识·探新知
基础知识
知识点 分段函数
如果函数在定义域的不同的范围内，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．
思考：分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？
提示：分段函数是一个函数而不是几个函数．
基础自测
1．函数f(x)＝的定义域为( A )
A．[－1,1)∪(1，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(－1，＋∞)
D．(－1,1)∪(1，＋∞)
[解析] 由函数解析式得解得x≥－1，且x≠1.
故函数的定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，选A．
2．若f(x)＝则f[f(－2)]＝( C )
A．2
B．3
C．4
D．5
[解析] ∵－2<0，∴f(－2)＝－(－2)＝2，
又2>0，∴f[f(－2)]＝f(2)＝22＝4.
3．函数y＝|x|的图象是( B )
[解析] 因为y＝|x|＝所以B选项正确．
4．(2020·江苏徐州高一期中测试)已知f(x)＝，则f[f(－3)]的值为__－3__.
[解析] ∵f(x)＝，
∴f(－3)＝1，
∴f[f(－3)]＝f(1)＝－3.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 分段函数的求值问题
例1
已知函数f(x)＝.
(1)求f(－4)，f(3)，f[f(－2)]；
(2)若f(a)＝10，求a的值．
[分析] 分段函数的解析式?求函数值或已知函数值列方程求字母的值．
[解析] (1)f(－4)＝－4＋2＝－2，
f(3)＝2×3＝6，f(－2)＝－2＋2＝0，
f[f(－2)]＝f(0)＝02＝0.
(2)当a≤－1时，a＋2＝10，可得a＝8，不符合题意；
当－1当a≥2时，2a＝10，可得a＝5，符合题意；
综上可知，a＝5.
[归纳提升] 求分段函数函数值的方法
(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间．
(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．
当出现f[f(x0)]的形式时，应从内到外依次求值．
【对点练习】?
已知f(x)＝，则f(5)的值是( A )
A．24
B．21
C．18
D．16
[解析] f(5)＝f[f(10)]，f(10)＝f[f(15)]＝f(18)＝21,
f(5)＝f(21)＝24.
题型二 分段函数的图象及应用
例2
已知函数f(x)＝1＋(－2(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；
(2)画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域．
[分析] 先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，再利用描点法作出函数图象．
[解析] (1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1；
当－2所以f(x)＝.
(2)函数f(x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
[归纳提升] 1.由分段函数的图象确定函数解析式的步骤
(1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型．
(2)设函数式：设出函数的解析式．
(3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式．
(4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围．
2．作分段函数图象的注意点
作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点．
【对点练习】?
已知函数f(x)＝.
(1)画出函数的图象；
(2)若f(x)＝1，求x的值．
[解析] (1)函数图象如图所示．
(2)由f(x)＝1和函数图象综合判断可知，当x∈(－∞，1)时，得f(x)＝－2x＋1＝1，解得x＝0；
当x∈[1，＋∞)时，得f(x)＝x2－2x＝1，解得x＝1＋或x＝1－(舍去)．
综上可知x的值为0或1＋
.
题型三 分段函数的应用问题
例3
如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P运动的路程为x，△APB的面积为y.
(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)；
(2)画出y＝f(x)的图象；
(3)若△APB的面积不小于2，求x的取值范围．
[分析] (1)点P位置不同△ABP的形状一样吗？
(2)注意该函数的定义域．
[解析] (1)y＝.
(2)y＝f(x)的图象如图所示．
(3)即f(x)≥2，当0≤x≤4时，2x≥2，∴x≥1，当8∴x≤11，∴x的取值范围是1≤x≤11.
[归纳提升] 利用分段函数求解实际应用题的策略
(1)首要条件：把文字语言转换为数学语言．
(2)解题关键：建立恰当的分段函数模型．
(3)思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法．
【对点练习】?
某市有A，B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时．
(1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤30)，在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30)，试求f(x)与g(x)的解析式；
(2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？
[解析] (1)由题意f(x)＝6x，x∈[12,30]，g(x)＝.
(2)①12≤x≤20时，6x＝90，解得：x＝15，
即当12≤x<15时，f(x)当x＝15时，f(x)＝g(x)，
当15g(x)．
②当20g(x)，
故当12≤x<15时，选A家俱乐部合算．
当x＝15时，两家俱乐部一样合算，当15误区警示
分段函数概念的理解错误
例4
求函数f(x)＝的定义域．
[错解] ∵x≥0时，f(x)＝x2－1，x<0时，
f(x)＝x，
∴当x≥0时，f(x)的定义域为[0，＋∞)，
当x<0时，f(x)的定义域为(－∞，0)．
[错因分析] 错解的原因是对分段函数概念不理解，认为分段函数f(x)＝是两个函数．
[正解] 函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪[0，＋∞)，即(－∞，＋∞)，∴函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．
学科素养
建模应用能力
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．
主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题，提出问题，分析问题，构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.
数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力．
在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验．
学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识．
例5
某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20
000元，每生产一件新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h(x)，其中h(x)＝x是新样式单车的月产量(单位：件)，利润＝总收益－总成本．
(1)试将自行车厂的利润y表示为月产量x的函数；
(2)当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？
[分析] 总成本＝固定成本＋可变成本，本题中，固定成本为20
000元，可变成本为100x元．
[解析] (1)依题设，总成本为20
000＋100x，
则y＝
(2)当0000，
则当x＝300时，ymax＝25
000.
当x>400时，y＝60
000－100x是减函数，则y<60
000－100×400＝20
000.
综上可知，当月产量x＝300件时，自行车厂的利润最大，最大利润是为25
000元．
[归纳提升] 求分段函数的最值，应分别计算各段函数的最值，然后再比较它们的大小，确定最后的最值．
课堂检测·固双基
1．已知函数f(x)中，f(1)＝0，且对任意n∈N
，都有f(n＋1)＝f(n)＋3，则f(3)＝( C )
A．0
B．3
C．6
D．9
[解析] f(3)＝f(2)＋3＝f(1)＋6＝6.
2．函数f(x)＝，若f(x)＝3，则x的值为( D )
A．1
B．1或
C．
D．
[解析] 当x≤－1时，由x＋2＝3，得x＝1(舍)；当－13．函数f(x)＝的值域是( D )
A．R
B．[0，＋∞)
C．[0,3]
D．[0,2]∪{3}
[解析] 作出y＝f(x)的图象，如图所示．由图象知，f(x)的值域是[0,2]∪{3}，故选D．
4．已知函数f(x)＝.求f[f()]的值．
[解析] f()＝×2－3＝－2，
f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，
∴f[f()]＝f(－2)＝－1.
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