3.2 函数的基本性质
3.2.1 单调性与最大(小)值
【素养目标】
1．根据一次函数，二次函数了解并理解函数单调性的概念．(数学抽象)
2．会利用函数图象判断一次函数，二次函数的单调性．(直观想象)
3．理解一次函数、二次函数等常见函数的最大(小)值问题．(数据分析)
4．能利用定义判断一些简单函数在给定区间上的单调性，掌握利用单调性定义判断、证明函数单调性的方法．(逻辑推理)
5．掌握利用函数的图象和函数的单调性求一些简单函数的最大(小)值的方法．(数据分析)
【学法解读】
1．函数单调性的学习，学生要正确使用符号语言清晰地刻画函数的性质．
2．单调性的有关概念比较抽象，要注意结合具体的函数(如一次函数、二次函数、比例函数等)加深理解其含义及应用．
3．应少做偏题、怪题，避免繁琐的技巧训练．
第1课时 函数的单调性
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 函数的单调性
前提条件
设函数f(x)的定义域为I，区间D?I
条件
__?x1，x2∈D__，x1
都有f(x1)都有f(x1)>f(x2)
图示
结论
f(x)在区间D上单调__递增__
f(x)在区间D上单调__递减__
特殊情况
当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是__增函数__
当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是__减函数__
思考1：在函数单调性的定义中，能否去掉“任意”？
提示：不能，不能用特殊代替一般．
知识点2 函数的单调性与单调区间
函数y＝f(x)在__区间D__上是单调递增或单调递减，则函数在区间D上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数的单调区间．
思考2：区间D一定是函数的定义域吗？
提示：不一定，可能是定义域的一个子区间，单调性是局部概念，不是整体概念．
基础自测
1．函数y＝f(x)在区间(a，b)上是减函数，x1，x2∈(a，b)，且x1＜x2，则有( B )
A．f(x1)B．f(x1)＞f(x2)
C．f(x1)＝f(x2)
D．以上都有可能
[解析] 因为函数y＝f(x)在(a，b)上是减函数，且x1f(x2)，故选B．
2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( B )
A．y＝3－x
B．y＝x2＋1
C．y＝
D．y＝－x2
[解析] 分别画出各个函数的图象，在区间(0,2)上上升的图象只有B．
3．若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有
>0成立，则必有( A )
A．f(x)在R上是增函数
B．f(x)在R上是减函数
C．函数f(x)是先增后减
D．函数f(x)是先减后增
[解析] 由单调性的定义可知，对任意两个不相等的实数a、b，总有>0成立，则f(x)在R上是增函数，故选A．
4．已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a2－a＋1)与f()的大小关系为__f(a2－a＋1)≤f()__.
[解析] ∵a2－a＋1＝(a－)2＋≥，
又∵f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数，
∴f(a2－a＋1)≤f()．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 求函数的单调区间
例1
如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的单调区间．
[分析] (1)函数f(x)在D上单调递增(或单调递减)表现在其图象上有怎样的特征？
(2)单调增、减区间与函数在该区间上为增、减函数一样吗？
[解析] 函数的单调增区间为[－1.5,3)，[5,6)，单调减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]．
[归纳提升] 函数单调区间的求法及表示方法
(1)由函数图象确定函数的单调区间是一种直观简单的方法，对于较复杂的函数的单调区间，可利用一些基本函数的单调性或根据函数单调性的定义来求．
(2)单调区间必须是一个区间，不能是两个区间的并，如不能写成函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，而只能写成在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数．
(3)区间端点的写法：对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调问题，因此写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点．
【对点练习】?
据下列函数图象，指出函数的单调增区间和单调减区间．
[解析] 由图象(1)知此函数的增区间为(－∞，2]，[4，＋∞)，减区间为[2,4]．
由图象(2)知，此函数的增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)，减区间为[－1,0)，(0,1]．
题型二 用定义法证明函数的单调性
例2
利用单调性定义证明：函数f(x)＝在其定义域内是增函数．
[分析] 由于函数的定义域没有给出，证明前要先求出定义域，然后证明．
[证明] 函数f(x)＝的定义域是x∈[1，＋∞)，
设?x1，x2∈[1，＋∞)且x1则f(x2)－f(x1)＝－
＝
＝.
因为x1，x2∈[1，＋∞)，且x1所以＋>0，x2－x1>0.
所以f(x1)即函数f(x)＝在定义域上是增函数．
[归纳提升] 函数的单调性是在某指定区间上而言的，自变量x的取值必须是连续的，用定义证明函数的单调性的基本步骤是“取值——作差(或作商)——变形——定号——判断”．当函数在给定区间上恒正或恒负时，也常用“作商判1”的方法来解决，特别是函数中含有指数式时常用此法．解决带根号的问题，常用的方法就是分子、分母有理化．从形式上看是由“－”变成“＋”．
【对点练习】?
(1)用函数单调性定义证明：函数f(x)＝2x2＋4x在(－∞，－1]上是单调减函数；
(2)用函数单调性定义证明：函数y＝在(－1，＋∞)上为增函数．
[证明] (1)设x1f(x1)－f(x2)＝(2x＋4x1)－(2x＋4x2)
＝2(x－x)＋4(x1－x2)
＝2(x1－x2)(x1＋x2＋2)．
∵x1∴x1－x2<0，x1＋x2＋2<0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(－∞，－1]上是减函数．
(2)设x1>x2>－1，
则x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0，
y1－y2＝－＝>0，
∴y1>y2，
∴函数y＝在(－1，＋∞)上为增函数．
题型三 单调性的应用
例3
已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(3a－7)>f(11＋8a)，求实数a的取值范围．
[分析] 根据函数的单调性定义可知，由两个自变量的大小可以得到相应的函数值的大小，反之，由两个函数值的大小也可以得到相应自变量的大小．
[解析] ∵函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(3a－7)>f(11＋8a)，
∴3a－7>11＋8a，
∴a<－，
∴实数a的取值范围是(－∞，－)．
[归纳提升] 利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“f”，转化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件，以防出错．
【对点练习】?
已知函数g(x)是定义在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)，求实数t的取值范围．
[解析] ∵g(x)在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)，
∴t>1－2t，∴t>，即所求t的取值范围为(，＋∞)．
课堂检测·固双基
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是( C )
A．[0,1]
B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1]
D．[－3,4]
[解析] 结合图象分析可知，函数图象在区间[－3,1]是上升的，故其增区间是[－3,1]．
2．下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是( A )
A．y＝|x|
B．y＝3－x
C．y＝
D．y＝－x2＋4
[解析] 因为－1<0，所以一次函数y＝－x＋3在R上单调递减，反比例函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，二次函数y＝－x2＋4在(0，＋∞)上递减．
3．(2020·山东潍坊市高一期中测试)已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，若a∈R，则( D )
A．f(a)>f(2a)
B．f(a2)C．f(a2＋a)D．f(a2＋1)[解析] ∵a2＋1－a＝(a－)2＋>0，
∴a2＋1>a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，
∴f(a2＋1)4．判断并证明：函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性．
[解析] 函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．
证明：设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1＝－＋＝.
由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2>0.
又由x1于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．
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-第2课时 函数的最大(小)值
必备知识·探新知
基础知识
知识点 函数的最大值和最小值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M(或m)满足
条件
(1)?x∈I，都有f(x)≤M；(2)__?x0∈I，使得f(x0)＝M__
(3)?x∈I，都有f(x)≥m；(4)?x0∈I，使得f(x0)＝m
结论
M为函数y＝f(x)的最大值
m为函数y＝f(x)的最小值
思考：函数的最值与值域有怎样的关系？
提示：联系：函数的最值和值域反映的是函数的整体性质，针对的是整个定义域．
区别：(1)函数的值域一定存在，函数的最值不一定存在．
(2)若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素．
(3)若函数的值域是开区间，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值．
基础自测
1．在函数y＝f(x)的定义域中存在无数个实数x满足f(x)≥M，则( D )
A．函数y＝f(x)的最小值为M
B．函数y＝f(x)的最大值为M
C．函数y＝f(x)无最小值
D．不能确定M是函数y＝f(x)的最小值
[解析] 根据函数最值的定义，易知选D．
2．函数y＝－|x|在R上( A )
A．有最大值0，无最小值
B．无最大值，有最小值0
C．既无最大值，又无最小值
D．以上都不对
[解析] 函数y＝－|x|在(－∞，0]上递增，在(0，＋∞)上递减，∴当x＝0时，y取最大值0，无最小值．
3．若定义在区间(0,3]上的函数y＝f(x)是减函数，则它的最大值( D )
A．是f(0)
B．是f(3)
C．是0
D．不存在
[解析] ∵y＝f(x)在区间(0,3]上是减函数，
∴当x＝3时，f(x)取最小值f(3)，f(x)无最大值．故选D．
4．函数y＝在[2,3]上的最小值为____，最大值为____；在[－3，－2]上的最小值为__－__，最大值为__－__.
[解析] 函数y＝在区间[2,3]上单调递减，
∴ymin＝，ymax＝；在区间[－3，－2]上单调递减，
∴ymin＝－，ymax＝－.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 利用图象求最值
例1
已知函数f(x)＝，求函数f(x)的最值．
[分析] 可作出分段函数的图象，利用图象法求函数最值．
[解析] 作出f(x)的图象如图：
由图象可知，当x＝1时，f(x)取最小值1，无最大值．
[归纳提升] 利用图象法求函数最值的一般步骤是：
【对点练习】?
用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为__6__.
[解析] 在同一平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象．
根据min{x＋2,10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)＝所以函数f(x)的图象应为图中的实线部分．解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象交点为(4,6)．观察图象知，两图象的交点即为f(x)的图象的最高点，即f(x)的最大值为6.
题型二 利用单调性求最值
例2
已知函数f(x)＝.
(1)求证：f(x)在[3,5]上为增函数；
(2)求f(x)在[3,5]上的最大值和最小值．
[分析] 利用函数单调性来求函数最值，即先判断函数的单调性，再求最值．
[解析] (1)证明：任取x1，x2∈[3,5]且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
＝
∵x1，x2∈[3,5]且x1∴x1－x2<0，x1＋2>0，x2＋2>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)∴函数f(x)＝在x∈[3,5]上为增函数．
(2)由(1)知，当x＝3时，函数f(x)取得最小值为f(3)＝，当x＝5时，函数f(x)取得最大值为f(5)＝.
[归纳提升] 1.利用函数单调性求最值的一般步骤：
(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值．
2．利用单调性求最值的三个常用结论
(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值．
(2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)．
(3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．
【对点练习】?
已知函数f(x)＝，x∈[－3，－2]，求函数的最大值和最小值．
[解析] 设－3≤x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝＝.
∵－3≤x1∴x1－x2<0，x1＋1<0，x2＋1<0.
∴f(x1)－f(x2)<0，所以f(x1)∴函数f(x)＝，x∈[－3，－2]是增函数．
又∵f(－2)＝4，f(－3)＝3，
∴函数的最大值是4，最小值是3.
题型三 二次函数的最值
例3
已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值．
(1)R；(2)[0,3]；(3)[－1,1]．
[解析] f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7，作出函数y＝f(x)的图象，如图所示．
(1)当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7≥－7，当x＝2时，等号成立．
故当x∈R时，函数f(x)的最小值为－7，无最大值．
(2)由图可知，在[0,3]上，函数f(x)在x＝0处取得最大值，最大值为5；
故x＝2处取得最小值，最小值为－7.
(3)由图可知，函数f(x)在[－1,1]上是减函数，在x＝－1处取得最大值，最大值为20；在x＝1处取得最小值，最小值为－4.
[归纳提升] 定轴定区间的二次函数的最值问题的解法
解决这类问题，要画出函数的图象，根据给定的区间截取符合要求的部分，根据图象写出最大值和最小值．经常用到的结论：当二次函数图象开口向上时，自变量距离对称轴越远，对应的函数值越大；当图象开口向下时，则相反．
【对点练习】?
求函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值g(t)．
[解析] f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为直线x＝1.
当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图1所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，
所以最小值为g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图2所示，最小值为g(t)＝f(1)＝1；
当t>1时，函数图象如图3所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数．
所以最小值为g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.
综上可得，g(t)＝
误区警示
混淆“单调区间”和“区间上单调”
例4
若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的取值集合为__{－3}__.
[错解] 函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1－a，由于函数在区间(－∞，4]上单调递减，因此1－a≥4，即a≤－3.故填a≤－3.
[错因分析] 导致上述错解的原因是把“单调区间”误认为是“在区间上单调”．
[正解] 因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，所以1－a＝4，即a＝－3.故实数a的取值集合是{－3}．
[方法点拨] 单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，不能混淆在区间D上单调和区间D上是单调函数这两个不同的概念．
学科素养
逻辑推理——抽象函数
例5
已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f(x·y)＝f(x)＋f(y)，对任意x，y∈(0，＋∞)都成立．当x>1时，
f(x)>0.
(1)求f(1)；
(2)求证：f(x)在定义域上是增函数；
(3)如果f()＝－1，求满足不等式f(x)－f(x－2)≥2的x的取值范围．
[分析] (1)由于f(x·y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈(0，＋∞)都成立，故可给x、y赋值产生f(1)．
(2)欲证f(x)在(0，＋∞)上为增函数，需证对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x11时，
f(x)>0，这里>1.∴f()>0，即f(x2·)＝f(x2)＋f()>0，于是在f(x·y)＝f(x)＋f(y)中令y＝可得f(x)＋f()＝0，从而f()＝－f(x)．从而有f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f()＝f()>0，即可沟通条件与结论．
(3)利用(2)和条件f()＝－1可得f(3)，求得f(m)＝2，将不等式f(x)－f(x－2)≥2化为f(x)≥f(x－2)＋f(m)的形式结合条件即可得f(x)≥f[m(x－2)]，再利用单调性脱去符号“f”即可求解．莫忘定义域的限制．
[解析] (1)令x＝y＝1，得f(1)＝2f(1)，故f(1)＝0.
(2)证明：令y＝，得f(1)＝f(x)＋f()＝0，
故f()＝－f(x)．任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1由于>1，故f()>0，从而f(x2)>f(x1)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)由于f()＝－1，而f()＝－f(3)，故f(3)＝1.
在f(x·y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2.
故所给不等式可化为f(x)－f(x－2)≥f(9)，
∴f(x)≥f[9(x－2)]，∴x≤，
又，∴2[归纳提升] 处理抽象函数问题的基本方法是赋值法．在本题的求解中，根据所给式子f(x·y)＝f(x)＋f(y)进行适当的赋值或配凑．该式及由该式推出的f()＝－f(x)可作为推理依据．
课堂检测·固双基
1．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( C )
A．y＝2x＋1
B．y＝x2＋1
C．y＝3－x
D．y＝x2＋2x＋1
[解析] 函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上是减函数．
2．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( C )
A．f(－2)，0
B．0,2
C．f(－2)，2
D．f(2)，2
[解析] 由图象可知，当x＝－2时，f(x)取最小值f(－2)，当x＝1时，f(x)取最大值f(1)＝2，故选C．
3．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])的最小、最大值分别为( B )
A．3,5
B．－3,5
C．1,5
D．5，－3
[解析] ∵函数f(x)在[－2,2]上单调递减，
∴f(x)min＝f(2)＝－3，f(x)max＝f(－2)＝5.
4．(2019·湖南衡阳高一期末测试)已知函数f(x)＝，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为__2__.
[解析] 设任意x1，x2∈[2,6]，且x1∵x1，x2∈[2,6]，∴x2－1>0，x1－1>0，
又∵x1∴<0，
∴f(x2)－f(x1)<0，
∴f(x2)∴f(x)＝，x∈[2,6]为减函数，
∴f(x)max＝f(2)＝2.
5．已知函数f(x)＝，求f(x)的最大值．
[解析] 当1≤x≤2时，f(x)＝2x＋6，
∴f(x)在[1,2]上单调递增，
∴f(x)max＝f(2)＝10.
当－4≤x<1时，
f(x)＝7－x，
∴f(x)在[－4,1)上单调递减，
∴f(x)max＝f(－4)＝11.
综上可知f(x)max＝f(－4)＝11.
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-3.2.2 奇偶性
【素养目标】
1．理解奇函数、偶函数的概念．(数学抽象)
2．掌握判断某些函数奇偶性的方法．(逻辑推理)
3．掌握奇偶函数的图象特征．(直观想象)
4．会根据概念和图象判断简单函数的奇偶性．(逻辑推理)
【学法解读】
1．学习本节知识要注意结合前面所学的知识，如单调性、函数图象、解析式等，加强它们的联系．
2．学生应理解“奇偶性”的实质，也就是图象的对称性：是关于原点的中心对称还是关于y轴的轴对称．
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 函数的奇偶性
前提
函数f(x)的定义域为I，?x∈I，都有－x∈I
条件
f(－x)＝__f(x)__
f(－x)＝__－f(x)__
结论
函数f(x)叫__偶函数__
函数f(x)叫__奇函数__
思考1：(1)如果定义域内存在x0，满足f(－x0)＝f(x0)，函数f(x)是偶函数吗？
(2)函数的奇偶性定义中，对于定义域内任意的x，满足f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)，那么奇、偶函数的定义域有什么特征？
提示：(1)不一定，必须对于定义域内的任意一个x都成立．
(2)奇、偶函数的定义域关于原点对称．
知识点2 图象特征
(1)偶函数的图象关于__y__轴对称．
(2)奇函数的图象关于__原点__对称．
思考2：奇函数图象一定过原点吗？
提示：若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)＝0，图象经过原点；若奇函数f(x)在x＝0处无意义，图象就不经过原点．
基础自测
1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( B )
2．下列函数是偶函数的是( A )
A．y＝2x2－3
B．y＝x3
C．y＝x2，x∈[0,1]
D．y＝x
[解析] 对于A：f(－x)＝2(－x)2－3＝2x2－3＝f(x)，所以f(x)是偶函数，B，D都为奇函数，C中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性．
3．(2020·南阳市高一期中测试)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b的值为( B )
A．0
B．
C．1
D．2
[解析] 由题意得，
∴，∴a＋b＝.
4．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( B )
A．奇函数
B．偶函数
C．既奇又偶函数
D．非奇非偶函数
[解析] f(－x)＋f(x)＝F(x)．
又x∈(－a，a)关于原点对称，所以F(x)是偶函数．
5．已知函数f(x)＝x－的图象经过点(2,1)．
(1)求a的值；
(2)判断f(x)的奇偶性．
[解析] (1)∵点(2,1)在函数f(x)的图象上，
∴1＝2－，∴a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝x－，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．
f(－x)＝－x－＝－x＋＝－(x－)＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 函数奇偶性的判断
例1
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x＋1；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝|x－2|＋|x＋2|；
(4)f(x)＝.
[分析] (1)函数具备奇偶性时，函数的定义域有什么特点？
(2)判断函数的奇偶性应把握好哪几个关键点？
[解析] (1)函数f(x)＝x＋1的定义域为实数集R，关于原点对称．
因为f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，即f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，所以函数f(x)＝x＋1既不是奇函数又不是偶函数．
(2)使函数有意义满足，∴定义域为{1}，
∵定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数．
(3)函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|的定义域为实数集R，关于原点对称．
因为f(－x)＝|－x－2|＋|－x＋2|＝|x＋2|＋|x－2|＝f(x)，所以函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|是偶函数．
(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝－(－x)2－1＝－(x2＋1)＝－f(x)；①
当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝－(－x2－1)＝－f(x)．②
综上可知，函数f(x)＝是奇函数．
[注意] ①由于这里的－x＜0，因此应将－x代入f(x)＝－x2－1；②由于这里的－x＞0，因此应将－x代入f(x)＝x2＋1.
[归纳提升] 判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择题、填空题中．
【对点练习】?
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝－3x2＋1；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝0；
(5)f(x)＝2x＋1；
(6)f(x)＝.
[解析] (1)函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，且f(－x)＝－＝－f(x)，
∴f(x)＝是奇函数．
(2)函数f(x)＝－3x2＋1的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝－3(－x)2＋1＝－3x2＋1＝f(x)，
∴f(x)＝－3x2＋1是偶函数．
(3)显然函数f(x)的定义域关于原点对称．
当x>0时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)，
当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)，
∴f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．
(4)由于f(－x)＝0＝f(x)，且f(－x)＝0＝－f(x)，
∴f(x)＝0既是奇函数，又是偶函数．
(5)函数f(x)＝2x＋1的定义域为R，关于原点对称．
∵f(1)＝3，f(－1)＝－1，－f(1)＝－3，
∴f(－1)≠f(1)，∴y＝2x＋1不是偶函数，
又f(－1)≠－f(1)，∴y＝2x＋1不是奇函数，
∴y＝2x＋1既不是奇函数，又不是偶函数．
(6)函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，故函数f(x)不具有奇偶性．
题型二 奇偶函数图象的应用
例2
设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，求不等式f(x)<0的解集．
[分析] 利用奇函数图象的对称性，画出函数f(x)在[－5,0]上的图象，再根据图象写出不等式f(x)<0的解集．
[解析] 因为函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称．根据f(x)在[0,5]上的图象画出在[－5,0]上的图象，如图中虚线所示．由图象知不等式f(x)<0的解集为{x|－2[归纳提升] 已知函数的奇偶性及部分图象，根据对称性可补出另一部分图象，奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．
【对点练习】?
已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补全完整函数y＝f(x)的图象；
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间．
[分析] ∵函数f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，根据对称性作出函数y＝f(x)在x>0时的图象．
[解析] (1)由题意作出函数图象如图：
(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．
题型三 利用函数的奇偶性求解析式
例3
已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3.试求f(x)在R上的表达式．
[分析] (1)如何把(－∞，0)上的未知解析式转移到(0，＋∞)上的已知解析式？
(2)奇函数f(x)在x＝0处的函数值是多少？由函数图象关于原点对称可知y＝f(x)是奇函数．利用奇函数性质可求得解析式．
[解析] ∵函数f(x)的图象关于原点对称．∴f(x)为奇函数，则f(0)＝0，设x＜0，则－x＞0，
∵x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3
于是有：f(x)＝.
[归纳提升] 利用函数奇偶性求函数解析式
利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关系式f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)成立，但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导，求得所求区间上的解析式．
【对点练习】?
已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，求x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式．
[解析] 设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1，
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2－x－1.
∴当x∈(－∞，0)时，
f(x)＝x2－x－1.
题型四 单调性与奇偶性的综合应用
例4
定义在(－1,1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数，若f(1－a)＋f(1－3a)<0，求实数a的取值范围．
[分析] 利用f(x)是奇函数，把f(1－a)＋f(1－3a)<0变形为f(1－3a)[解析] 原不等式化为f(1－3a)<－f(1－a)．
因为f(x)是奇函数，所以－f(1－a)＝f(a－1)．
所以原不等式化为f(1－3a)因为f(x)是减函数，且定义域为(－1,1)，
所以有解得0所以实数a的取值范围是(0，)．
[归纳提升] 解答这类题的思路是：先由函数的奇偶性将不等式两边都变成只含“f”的式子，然后根据函数的单调性列出不等式(组)求解．
【对点练习】?
已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A．(，)
B．[，)
C．(，)
D．[，)
[解析] 由于f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(2x－1)误区警示
判断函数奇偶性时忽视定义域
例5
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝3x2，x∈(－2,2]；
(2)f(x)＝(x－1).
[错解] (1)∵f(－x)＝3(－x)2＝3x2＝f(x)，
∴函数是偶函数．
(2)∵f(x)＝－＝－＝－，
∴f(－x)＝－＝－
＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
[错因分析] 错解中忽略了函数的定义域，若一个函数是奇(偶)函数，其定义域必关于原点对称，它是函数具有奇偶性的前提条件，若函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数，也不是偶函数．
[正解] (1)函数的定义域为(－2,2]，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)函数f(x)的定义域为[－1,1)，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数，也不是偶函数．
[方法点拨] 判断函数奇偶性的步骤如下：
(1)确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称．
(2)①当函数的定义域不关于原点对称时，函数不具有奇偶性，此函数既不是奇函数也不是偶函数．
②当函数的定义域关于原点对称时，判断f(－x)与f(x)的关系：若对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(x)＋f(－x)＝0，则f(x)为奇函数．
学科素养
逻辑推理与转化思想的应用——再谈恒成立问题
1．在我们数学研究中，存在大量的恒成立问题，如：
(1)f(x)在区间D上单调递增，则对任意x1，x2∈D，当x1(2)若f(x)是奇函数，定义域为M，则f(－x)＝－f(x)对任意x∈M恒成立；若f(x)是偶函数，定义域为M，则对任意x∈M,
f(－x)＝f(x)恒成立；
(3)若f(x)的最大值为M，最小值为m，定义域为A，则对任意x∈A，有m≤f(x)≤M.
解答这类问题时，应充分利用其恒成立的特点选取解答方法．
2．遇到f(－x)与f(x)的关系问题时，应首先从函数f(x)的奇偶性入手考虑，如果f(x)不具有奇偶性，看是否存在奇(偶)函数g(x)，使f(x)用g(x)表示，再利用g(x)的奇偶性来解答．
例6
已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于( A )
A．－26
B．－18
C．－10
D．10
[分析] 只有一个条件f(－2)＝10，两个待定系数a，b，不能通过列方程组方法求出a，b.由f(－2)求f(2)，我们可联想函数的奇偶性，观察f(x)的表达式有什么特征？如何借助函数的奇偶性求f(2)?
[解析] 解法一：令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)是R上的奇函数，从而g(－2)＝－g(2)，又f(x)＝g(x)－8，
∴f(－2)＝g(－2)－8＝10，∴g(－2)＝18，
∴g(2)＝－g(－2)＝－18.
∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.
解法二：由已知条件，得，
①＋②得f(2)＋f(－2)＝－16.
又f(－2)＝10，∴f(2)＝－26.
例7
设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2.若对任意的x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥2f(x)恒成立，则实数a的取值范围是__[，＋∞)__.
[解析] 由题意知f(x)＝则2f(x)＝f(x)，因此，原不等式等价于f(x＋a)≥f(x)．
易知f(x)在R上是增函数，所以x＋a≥x，
即a≥(－1)x.
又x∈[a，a＋2]，所以当x＝a＋2时，(－1)x取得最大值(－1)(a＋2)，因此，a≥(－1)(a＋2)，解得a≥.故a的取值范围是[，＋∞)．
课堂检测·固双基
1．函数f(x)＝－x的图象关于( C )
A．y轴对称
B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称
D．直线y＝x对称
[解析] 因为x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，且对定义域内每一个x，都有f(－x)＝－＋x＝－f(x)，所以函数f(x)＝－x是奇函数，其图象关于坐标原点对称．
2．函数f(x)＝|x|＋1是( B )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
[解析] f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数．
3．函数f(x)＝(x－1)，x∈(－1,1)( B )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．是非奇非偶函数
[解析] ∵x∈(－1,1)，∴x－1<0，
∴f(x)＝(x－1)＝－，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，选B．
4．函数f(x)＝x2－2mx＋4是偶函数，则实数m＝__0__.
[解析] f(x)为偶函数，则对称轴为x＝m＝0.
5．定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．
(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；
(2)比较f(1)与f(3)的大小．
[解析] (1)因为f(x)是奇函数，所以其图象关于原点对称，如图所示．
(2)观察图象，知f(3)＜f(1)．
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