轴对称图形
【思维导图】
必考题型一
轴对称与轴对称图形
【基础知识】
（1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴．
（2）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（3）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（4）镜面对称：
【典型例题】
例1．如图，在正方形网格上有一个△ABC．
（1）画出△ABC关于直线l对称的图形；
（2）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）如图所示，△AB′C′即为所求作的三角形；见解析；（2）如图所示，点P即为所求，见解析．
【解析】
分析：
（1）根据网格结构找出点B、C关于直线l的对称点B′、C′的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据轴对称确定最短路线，连接B'C，与对称轴l的交点即为所求点P．
详解：
（1）如图所示，△AB′C′即为所求作的三角形；
（2）如图所示，点P即为所求．
例2．如图所示，在平面直角坐标系中，A（-1，5）、B（-1，0）、C（-4，3）．
（1）直接写出△ABC
的面积为
；
（2）在图形中作出△ABC
关于y
轴的对称图形△A1B1C1，并直接写出△A1B1C1的三个顶点的坐标：A1（
），B1（
），C1（
）；
（3）是否存在一点
P
到
AC、AB
的距离相等，同时到点
A、点
B
的距离也相等．若存在保留作图痕迹标出点
P
的位置，并简要说明理由；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）7.5；（2）作图见解析，（1，5）、（1，0）、（4，3）；（3）答案见解析．
【解析】
分析：
（1）根据三点的坐标作出△ABC，再根据三角形的面积公式求解可得；
（2）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接即可得；
（3）根据已知条件知点P为∠CAB平分线与线段AB的垂直平分线的交点，据此作图可得．
详解：
（1）如图，S△ABC5×3=7.5；
（2）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（1，5）、B1（1，0）、C1（4，3）；
（3）如图所示，点P即为所求．
∵点P到AC、AB的距离相等，∴点P在∠CAB平分线上．
∵到点A、点B的距离也相等，∴点P在线段AB的垂直平分线上，∴点P为∠CAB平分线与线段AB的垂直平分线的交点．
例3．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用四种方法分别在下图方格内涂黑两个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形.
【答案】作图见解析
【解析】
分析：
利用轴对称图形的性质进而分析得出答案．
详解：
如图所示：
．
点评：
本题考查了轴对称的性质和图案设计，熟练掌握轴对称的定义是关键，涂黑二个小正方形后，以是否沿一条直线折叠后能重合，作为依据，能则组成轴对称图形，反之则不能．
方法与技巧
1．轴对称包含两层含义：
①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同；
②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合．
2．常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
3．镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴．
必考题型二
轴对称的性质
【基础知识】
1．如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
2．翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
【典型例题】
例1．如图，有一张四边形纸片
，
，将它沿
折叠，点
落在点
处，点
落在
边上的点
处，若，则
等于________.
【答案】
【解析】
分析：
由平行线的性质和折叠的性质可求∠EGH=∠DGH=70°，可得∠AGE的度数．
详解：
解：∵AD∥BC
∴∠DGH+∠GHC=180°，且∠GHC=110°
∴∠DGH=70°
∵将长方形纸片ABCD沿GH折叠，
∴∠EGH=∠DGH=70°
∴∠AGE=180°-∠DGH-∠EGH=40°．
故答案为：40°．
例2．如图，四边形与四边形关于直线对称。
（1）点，，，的对称点分别是______，线段，的对称线段分别是______，______，______，______.
（2）与平行吗？为什么？
（3）若与平行，则能说明轴对称图形中对称点的连线一定互相平行吗？
【答案】（1）E，F，G，H；EF，EH；GH；∠GFE；∠EHG；（2）AE∥BF，理由见解析；（3）AE与BF平行，不一定能说明轴对称图形对称点的连线互相平行，也有可能共线.
【解析】
分析：
(1)根据图形写出对称点和对应线段即可；
(2)根据对称轴垂直平分对称点所连线段，再利用平行线的判定即可；
(3)不一定平行，画图进行说明即可.
详解：
(1)A、B、C、D的对称点分别是E，F，G，H，线段AD、AB的对应线段分别是EF，EH，CD=GH，∠CBA=∠GFE，∠ADC=∠EHG，
故答案为：E，F，G，H；EF，EH；GH；∠GFE；∠EHG；
(2)AE∥BF，理由如下：
∵点A、E关于MN对称。
∴MN⊥平分AE，
∴∠1=90°，
∵点B、F关于MN对称，
∴MN⊥平分BF，
∴∠2=90°，
∴∠1=∠2，
∴AE∥BF；
(3)AE与BF平行，不一定能说明轴对称图形对称点的连线互相平行，也有可能共线.
如图所示：对应点D、H的连线与对应点C、G的连线共线.
例3．如图，直线ll，l2交于点O，点P关于ll，l2的对称点分别为P1、P2．
(1)若ll，l2相交所成的锐角∠AOB=60°，则∠P1OP2=______；
(2)若OP=3，P1P2=5，求△P1OP2的周长．
【答案】(1)120°；(2)△P1OP2的周长=11.
【解析】
分析：
(1)由于P关于l1、l2的对称点分别为P1、P2，可得出∠P1AO=∠AOP，∠P2OB=∠POB，再根据∠AOB=60°即可求解；
(2)根据对称的性质可知，OP1=OP=OP2=3，再根据P1P2=5即可求出△P1OP2的周长．
详解：
解：(1)∵P关于l1、l2的对称点分别为P1、P2，
∴∠P1OA=∠AOP，∠P2OB=∠POB，
∴∠P1OP2=2(∠AOP+∠POB)=2∠AOB=2×60°=120°；
故答案为：120°；
(2)∵P关于l1、l2的对称点分别为P1、P2，
∴OP1=OP=OP2=3，
∵P1P2=5，
∴△P1OP2的周长=OP1+OP2+P1P2=3+3+5=11．
方法与技巧
1．轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
2．作轴对称的一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
3．在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
必考题型三
线段和角的轴对称
【基础知识】
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称“中垂线”．垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
【典型例题】
例1．如图,△ABC中,AB,AC边的垂直平分线分别交BC于点D,E,垂足分别为点F,G,△ADE的周长为6cm
(1)求△ABC中BC边的长度;(2)若∠B+∠C=64°,求∠DAE的度数.
【答案】（1）6;(2)52°.
【解析】
分析：
（1）根据垂直平分线的性质即可得到BD=AD,AE=CE，再根据周长的定义即可求解；
（2）根据等腰三角形的性质及三角形的内角和即可求解.
详解：
解：（1）∵DF垂直平分AB，EG垂线平分AC
∴AD=DB,AE=EC
∵△ADE的周长=AD+DE+AE=6
∴BC=BD+DE+EC=AD+DE+AE=6
∴BC=6
(2)
∵AD=DB,AE=EC
∴∠BAD=∠B,∠EAC=∠C.
∵∠B+∠C=64°
∴∠BAD+∠EAC=64°
∴∠DAE=180°-（∠B+∠C+∠BAD+∠EAC）=52°
例2．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于，于.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）见解析；（2）2
【解析】
分析：
（1）连接PB、PC，根据线段垂直平分线的性质得到PB=PC，根据角平分线的性质得到PD=PE，证明Rt△BPD≌Rt△CPE，根据全等三角形的性质证明；
（2）证明Rt△ADP≌Rt△AEP，得到AD=AE，根据题意列出方程，解方程即可．
详解：
(1)证明：连接PB、PC，
∵PQ是BC边的垂直平分线，
∴PB=PC，
∵AP平分∠DAC，PD⊥AB，PE⊥AC，
∴PD=PE，
在Rt△BPD和Rt△CPE中，
，
∴Rt△BPD≌Rt△CPE（HL），
∴BD=CE；
(2)在Rt△ADP和Rt△AEP中，
，
∴Rt△ADP≌Rt△AEP，
∴AD=AE，
∴AD+6=10?AD，
解得,AD=2(cm).
例3．已知：如图，AB=AC，PB=PC，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E．证明：（1）PD=PE．（2）AD=AE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
分析：
（1）连接AP，构造全等三角形，再根据角平分线的性质即可证明；
（2）利用“AAS”证△APD≌△APE即可得．
详解：
解：证明：（1）连接AP．
在△ABP和△ACP中，
，
∴△ABP≌△ACP（SSS）．
∴∠BAP=∠CAP，
又∵PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，
∴PD=PE（角平分线上点到角的两边距离相等）．
（2）在△APD和△APE中，
∵
，
∴△APD≌△APE（AAS），
∴AD=AE.
方法与技巧
1．角平分线的性质
距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线
必考题型四
等腰三角形的性质与判定
【基础知识】
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
【典型例题】
例1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段AB上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）若∠BDA＝115°，则∠BAD＝
°，∠DEC＝
°；
（2）若DC＝AB，求证：△ABD≌△DCE；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
【答案】（1）25，115；（2）见解析；（3）当∠BDA＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
【解析】
分析：
（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出∠BAD，根据平角为180°以及三角形内角和为180°即可算出∠DEC的度数；
（2）由条件可得∠EDC＝∠DAB，∠B＝∠C，DC＝AB，根据ASA即可证明结论；
（3）若△ADE是等腰三角形，分为三种情况：①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，根据∠AED＞∠C，得出此时不符合；②当DA＝DE时，求出∠DAE＝∠DEA＝70°，求出∠BAC的度数，根据三角形的内角和定理求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠BDA即可；③当EA＝ED时，求出∠DAC，求出∠BAD的度数，根据三角形的内角和定理求出∠BDA的度数．
详解：
（1）解：∵∠BDA＝115°，∠B＝40°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；
∵AB＝AC，∠B＝40°，
∴∠C＝40°．
∵∠BDA+∠ADE+∠EDC＝180°，∠ADE＝40°，∠BDA＝115°，
∴∠EDC＝180°﹣115°﹣40°＝25°．
∵∠EDC+∠C+∠DEC＝180°，
∴∠DEC＝180°﹣25°﹣40°＝115°．
故答案为：25，115．
（2）证明：∵∠EDC+∠EDA+∠ADB＝180°，∠DAB+∠B+∠ADB＝180°，∠B＝∠EDA＝40°，
∴∠EDC＝∠DAB．
∵∠B＝∠C，DC＝AB，
∴△ABD≌△DCE（ASA）；
（3）解：∠BDA＝80°
或∠BDA＝110°．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；
∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
∴当∠BDA＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
例2．已知等腰直角和等腰直角如图放置，，，，其中，、、在一条直线上，连接并延长交于，
(1)求证:
(2)与有什么位置关系？请说明理由.
(3)若，与有什么数量关系？请说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）BF⊥AC，理由见解析；（3）BF＝2AE，理由见解析.
【解析】
分析：
（1）利用SAS定理证明△BDF≌△ADC，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠DBF＝∠DAC，得到∠BEA＝90°即可证明；
（3）根据等腰三角形的三线合一得到AE＝AC，结合（1）中结论证明即可．
详解：
解答：（1）证明：
在△BDF和△ADC中，，
∴△BDF≌△ADC（SAS）
∴BF＝AC；
（2）BF⊥AC，
理由：∵△BDF≌△ADC，
∴∠DBF＝∠DAC，
∵∠DBF＋∠DFB＝90°，∠DFB＝∠EFA，
∴∠EFA＋∠DAC＝90°，
∴∠BEA＝90°，
∴BF⊥AC；
（3）若AB＝BC，BF＝2AE，
理由：∵AB＝BC，BF⊥AC，
∴AE＝AC，
∵BF＝AC，
∴BF＝2AE．
例3．如下图，和是等腰直接角三角形，，点为边上一点，连接，交于点，点恰好是中点，连接.
（1）求证：；
（2）连接AM、AE，请探究AN与EN的位置关系与数量关系。
①写出AN与EM:位置关系___；数量关系___；
②请证明上述结论.
【答案】（1）见解析；（2）①AN⊥EM,AN=EM；②见解析；
【解析】
(1)证明：∵∠CED=∠BCE=90°，
∴BC∥DE，
∴∠MBN=∠EDN，
∵点N恰好是BD中点，
∴BN=DN，
在△BMN和△DEN中，
，
∴△BMN≌△DEN(ASA)，
∴MN=EN；
(2)①位置关系：AN⊥EM,数量关系：AN=EM.
故答案为：AN⊥EM,AN=EM.
②证明：连接AM，AE，
∵△BMN≌△DEN，
∴BM=DE，
∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，
∴AB=AC,∠ABM=∠ACB=45°，DE=CE，
∴BM=CE，
∵∠BCE=90°，
∴∠ACE=45°，
∴∠ABM=∠ACE，
在△ABM和△ACE中，
，
∴△ABM≌△ACE(SAS)，
∴AM=AE，∠BAM=∠CAE，
∴∠BAM+∠CAM=∠CAE+∠CAM，
即∠MAE=∠BAC=90°，
∵MN=EN，
∴AN⊥EM,AN=EM.
方法与技巧
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
必考题型五
等边三角形的性质与判定
【基础知识】
1.等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
2.等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【典型例题】
例1．如图①，点O是线段AD上一动点（不与点A、D重合），分别以AO和DO为边在AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC、BD相交于点E，连结OE.
（1）当点O为AD的中点时，求∠DEA的度数；
（2）在（1）的条件下，△ADE是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴；如果不是，说明理由；
（3）当点O不在AD的中点时，求证EO平分∠DEA．
图①
图②
【答案】（1）∠DEA=120°（2）△ADE是轴对称图形，它的对称轴是直线OE（3）见解析
【解析】
（1）为等边三角形且点O为AD的中点
根据三角函数可知，即
同理可求得
三角形内角和为，且，
（2）为等边三角形且点O为AD的中点,
,
可证ΔEDO≌ΔEAO（SAS）
可得出△ADE是轴对称图形，它的对称轴是直线OE
.
（3）为等边三角形
∴可得OD=OC,OB=OA,
∴可证△AOC≌△BOD（SAS）
∴，AC＝BD
，AC＝BD
∴点O到AC、BD的距离相等(两个三角形全等，且底相等，高必然相等)
∴点O在∠DEA的角平分线上
即EO平分∠DEA
例2．如图1，点，分别是边长为的等边边，上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为
(1)连接，交于点，则在，运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
(2)何时是直角三角形？
(3)如图2，若点，在运动到终点后继续在射线，上运动，直线，交点为.则变化吗？若变化。则说明理由，
若不变，则求出它的度数.
【答案】（1）不变，；（2）当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形；（3）不变，120°.
【解析】
解：（1）∠CMQ＝60°不变．
∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°
又由条件得AP＝BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ＝∠ACP，
∴∠CMQ＝∠ACP＋∠CAM＝∠BAQ＋∠CAM＝∠BAC＝60°．
（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4?t
①当∠PQB＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴PB＝2BQ，得4?t＝2t，t＝；
②当∠BPQ＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴BQ＝2BP，得t＝2（4?t），t＝；
∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．
（3）∠CMQ＝120°不变．
∵在等边三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°
∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，
又由条件得BP＝CQ，
∴△PBC≌△QCA（SAS）
∴∠BPC＝∠MQC
又∵∠PCB＝∠MCQ，
∴∠CMQ＝∠PBC＝180°?60°＝120°
例3．如图1，点是线段上的动点（点与不重合），分别以为边向线段的同一侧作正和正.
（1）请你判断与有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）连接，相交于点，设，那么的大小是否会随点的移动而变化？请说明理由；
（3）如图2，若点固定，将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于），此时的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）
【答案】（1），见解析；（2）的大小不会随点的移动而变化，见解析；（3）此时的大小不会发生改变，始终等于.
【解析】
解：（1）.
理由如下：
因为是等边三角形，
所以，
又因为是等边三角形，
所以，
又因为三点在同一直线上，
所以.
在和中
所以≌
（SAS）.
所以.
（2）的大小不会随点的移动而变化。
理由如下：如图3，因为≌
，
所以，
因为，，
又因为，
所以.
（3）因为旋转的过程中，（2）中的两个三角形的全等关系不变，所以角度不会变化．
所以的大小不会发生改变，始终等于.
方法与技巧
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．轴对称图形
【思维导图】
必考题型一
轴对称与轴对称图形
【基础知识】
（1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称______________；这条直线叫做______________．
（2）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做______________，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（3）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（4）镜面对称：
【典型例题】
例1．如图，在正方形网格上有一个△ABC．
（1）画出△ABC关于直线l对称的图形；
（2）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短．（不写作法，保留作图痕迹）
例2．如图所示，在平面直角坐标系中，A（-1，5）、B（-1，0）、C（-4，3）．
（1）直接写出△ABC
的面积为
；
（2）在图形中作出△ABC
关于y
轴的对称图形△A1B1C1，并直接写出△A1B1C1的三个顶点的坐标：A1（
），B1（
），C1（
）；
（3）是否存在一点
P
到
AC、AB
的距离相等，同时到点
A、点
B
的距离也相等．若存在保留作图痕迹标出点
P
的位置，并简要说明理由；若不存在，请说明理由．
例3．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用四种方法分别在下图方格内涂黑两个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形.
方法与技巧
1．轴对称包含两层含义：
①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同；
②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合．
2．常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
3．镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴．
必考题型二
轴对称的性质
【基础知识】
1．如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的______________．
2．翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角______________．
【典型例题】
例1．如图，有一张四边形纸片
，
，将它沿
折叠，点
落在点
处，点
落在
边上的点
处，若，则
等于________.
例2．如图，四边形与四边形关于直线对称。
（1）点，，，的对称点分别是______，线段，的对称线段分别是______，______，______，______.
（2）与平行吗？为什么？
（3）若与平行，则能说明轴对称图形中对称点的连线一定互相平行吗？
例3．如图，直线ll，l2交于点O，点P关于ll，l2的对称点分别为P1、P2．
(1)若ll，l2相交所成的锐角∠AOB=60°，则∠P1OP2=______；
(2)若OP=3，P1P2=5，求△P1OP2的周长．
方法与技巧
1．轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
2．作轴对称的一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
3．在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
必考题型三
线段和角的轴对称
【基础知识】
角平分线的性质：角的平分线上的点到______________相等．
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的______________，简称“中垂线”．垂直平分线上任意一点，到______________相等．
【典型例题】
例1．如图,△ABC中,AB,AC边的垂直平分线分别交BC于点D,E,垂足分别为点F,G,△ADE的周长为6cm
(1)求△ABC中BC边的长度;(2)若∠B+∠C=64°,求∠DAE的度数.
例2．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于，于.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
例3．已知：如图，AB=AC，PB=PC，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E．证明：（1）PD=PE．（2）AD=AE．
方法与技巧
1．角平分线的性质
距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线
必考题型四
等腰三角形的性质与判定
【基础知识】
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
等腰三角形的两个底角相等．【简称：______________】
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【______________】
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：______________】
【典型例题】
例1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段AB上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）若∠BDA＝115°，则∠BAD＝
°，∠DEC＝
°；
（2）若DC＝AB，求证：△ABD≌△DCE；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
例2．已知等腰直角和等腰直角如图放置，，，，其中，、、在一条直线上，连接并延长交于，
(1)求证:
(2)与有什么位置关系？请说明理由.
(3)若，与有什么数量关系？请说明理由.
例3．如下图，和是等腰直接角三角形，，点为边上一点，连接，交于点，点恰好是中点，连接.
（1）求证：；
（2）连接AM、AE，请探究AN与EN的位置关系与数量关系。
①写出AN与EM:位置关系___；数量关系___；
②请证明上述结论.
方法与技巧
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
必考题型五
等边三角形的性质与判定
【基础知识】
1.等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做______________，等边三角形是特殊的等腰三角形．
2.等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：_______都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的______________是等边三角形．
【典型例题】
例1．如图①，点O是线段AD上一动点（不与点A、D重合），分别以AO和DO为边在AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC、BD相交于点E，连结OE.
（1）当点O为AD的中点时，求∠DEA的度数；
（2）在（1）的条件下，△ADE是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴；如果不是，说明理由；
（3）当点O不在AD的中点时，求证EO平分∠DEA．
图①
图②
例2．如图1，点，分别是边长为的等边边，上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为
(1)连接，交于点，则在，运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
(2)何时是直角三角形？
(3)如图2，若点，在运动到终点后继续在射线，上运动，直线，交点为.则变化吗？若变化。则说明理由，
若不变，则求出它的度数.
例3．如图1，点是线段上的动点（点与不重合），分别以为边向线段的同一侧作正和正.
（1）请你判断与有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）连接，相交于点，设，那么的大小是否会随点的移动而变化？请说明理由；
（3）如图2，若点固定，将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于），此时的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）
方法与技巧
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
