第四章 指数函数与对数函数
4.1 指 数
【素养目标】
1．弄清()n与的区别，掌握n次方根的运算．(数学抽象)
2．能够利用a＝进行根式与分数指数幂的互化．(数学运算)
3．通过对根指数n的讨论学会运用分类讨论的思想方法．(逻辑推理)
【学法解读】
本节的重点是根式与分数指数幂的概念及性质和分数指数幂的运算法则，以及法则的推广，这同时也是简化计算的一个方面．在学习中应采用类比的方法经历从整数指数幂到有理数指数幂、再到实数指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．
4.1.1 n次方根与分数指数幂
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 n次方根
定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n＞1，且n∈N
个数
n是奇数
a＞0
x＞0
x仅有一个值，记为
a＜0
x＜0
n是偶数
a＞0
x有两个值，且互为相反数，记为±
a＜0
x不存在
思考1：正数a的n次方根一定有两个吗？
提示：不一定．当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数，当n为奇数时，正数a的n次方根只有一个且仍为正数．
知识点2 根式
(1)定义：式子____叫做根式，这里n叫做__根指数__，a叫做__被开方数__.
(2)性质：(n＞1，且n∈N
)
①()n＝a.
②＝
思考2：()n与中的字母a的取值范围是否一样？
提示：取值范围不同．式子()n中隐含a是有意义的，若n为偶数，则a≥0，若n为奇数，a∈R；式子中，a∈R.
知识点3 分数指数幂的意义(a>0，m，n∈N
，且n>1)
正分数指数幂
a＝
负分数指数幂
a－＝eq
\f(1,a)＝
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
思考3：为什么分数指数幂的底数规定a>0?
提示：(1)当a<0时，若n为偶数，m为奇数，则a，a－无意义；
(2)当a＝0时，a0无意义．
知识点4 有理数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈Q)
(1)aras＝ar＋s.
(2)(ar)s＝ars.
(3)(ab)r＝arbr.
思考4：同底数幂相除ar÷as，同次的指数相除分别等于什么？
提示：(1)ar÷as＝ar－s；
(2)＝()r.
基础自测
1.等于( B )
A．2
B．－2
C．±2
D．－8
[解析] ＝＝－2.
2．下列各式正确的是( A )
A．()3＝a
B．()4＝－7
C．()5＝|a|
D．＝a
[解析] ()3＝a，()4＝7，()5＝a，＝|a|＝，故选A．
3．4－可化为( C )
A．8
B．2
C．
D．2
[解析] 4－＝eq
\f(1,4)＝eq
\f(1,?22?)＝＝.
4．若a>0，n，m为实数，则下列各式中正确的是( D )
A．am÷an＝a
B．an·am＝am·n
C．(an)m＝am＋n
D．1÷an＝a0－n
[解析] 由指数幂的运算法则知1÷an＝a0÷an＝a0－n正确，故选D．
5．若有意义，则实数x的取值范围为__(－∞，6]__.
[解析] 要使式子有意义，应满足6－x≥0，
∴x≤6.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 n次方根的概念
例1
(1)16的平方根为__±4__，－27的5次方根为____；
(2)已知x7＝6，则x＝____；
(3)若有意义，则实数x的取值范围是__[2，＋∞)__.
[分析] 解答此类问题应明确n次方根中根指数对被开方数的要求及n次方根的个数要求．
[解析] (1)∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4.－27的5次方根为.
(2)∵x7＝6，∴x＝.
(3)要使有意义，则需x－2≥0,
即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．
[归纳提升] (1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数；
(2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定．
【对点练习】?
计算下列各值：
(1)27的立方根是__3__；
(2)256的4次算术方根是__4__；
(3)32的5次方根是__2__.
[解析] (1)∵33＝27，
∴27的立方根是3.
(2)∵(±4)4＝256，
∴256的4次算术方根为4.
(3)∵25＝32，
∴32的5次方根为2.
题型二 利用根式的性质化简或求值
例2
化简：(1)＋；
(2)－＋；
(3)＋.
[分析] (1)(2)对被开方数进行配方处理，可化为完全平方式．
(3)换元后两边立方，再转化为解关于x的方程求解．
[解析] (1)原式＝＋
＝＋＝＋1＋－1＝2.
(2)原式＝－＋
＝＋－(2－)＋2－＝2.
(3)令x＝＋，两边立方，得x3＝2＋＋2－＋3···(＋)，即x3＝4－3x，所以x3＋3x－4＝0，所以(x－1)(x2＋x＋4)＝0，x2＋x＋4＝(x＋)2＋>0，所以x－1＝0，x＝1，所以＋＝1.
[归纳提升] 形如的双重根式，当A2－B是一个平方数时，能通过配方法去掉双重根号，这也是双重根号能否开方的判断技巧，而分母有理化时，常常用到的是平方差公式．
【对点练习】?
计算下列各式：
(1)＝__－a__；
(2)＝__π－3__；
(3)－－＝____.
[解析] (1)＝－a.
(2)＝＝π－3.
(3)－－
＝－－
＝－－＝.
题型三 根式与分数指数幂的互化
例3
用分数指数幂表示下列各式：
(1)a3·；
(2)(a>0，b>0)；
(3)(a>0，b>0)．
[分析] (1)关键是理解分数指数幂的意义，先将根式化为分数指数幂的形式．(2)运用分数指数幂的运算性质进行化简．
[解析] (1)a3·＝a3·a＝a3＋＝a.
(2)∵a>0，b>0，
∴＝eq
\r(?a－1b3?·?a2b－6?)
＝eq
\r(?a－b?·?ab－3?)＝eq
\r(ab－)＝(ab－)
＝ab－.
(3)∵a>0，b>0，∴＝eq
\r(a－4b2ab)＝eq
\r(a－·b)＝(a－b)＝a－b.
[归纳提升] 进行分数指数幂与根式的互化时，主要依据公式a＝(a>0，m、n∈N＋)，同时应注意以下几点：
(1)在分数指数幂中，若幂指数为负数，可先将其化为正数，再利用公式化为根式．
(2)若表达式中根式较多，含有多重根号时，要理清被开方数，由里向外逐次用分数指数幂表示，最后再运用相关的运算性质化简．
【对点练习】?
(1)5－化为根式形式为____；
(2)eq
\r(4,b－)(b>0)化为分数指数幂的形式为__b－__；
(3)(x≠0)化为分数指数幂的形式为__x－__.
[解析] (1)原式＝eq
\f(1,5)＝＝.
(2)原式＝(b－)＝b－×＝b－.
(3)原式＝eq
\f(1,\r(3,x·?x?2))＝eq
\f(1,\r(3,x·x))＝eq
\f(1,\r(3,x))＝eq
\f(1,?x?)＝eq
\f(1,x)＝x－.
题型四 利用分数指数幂的运算性质化简求值
例4
(1)计算：(2)0＋2－2·(2)－－(0.01)0.5＝____；
(2)化简：eq
\r(3,a\r(a－3))÷÷.
[分析] 将根式化为分数指数幂的形式，利用分数指数幂的运算性质计算．
[解析] (1)原式＝1＋×()－()＝1＋－＝.
(2)原式＝eq
\r(3,aa－)÷eq
\r(a－a)÷eq
\r(3,a－a－)
＝÷eq
\r(a)÷
＝a÷(a)÷(a－2)
＝a÷a÷a－
＝a－÷a－＝a－＋＝a.
[归纳提升] 1.幂的运算的常规方法
(1)化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数；
(2)化根式为分数指数幂；
(3)化小数为分数．
2．分数指数幂及根式化简结果的具体要求
利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数．
【对点练习】?
化简：
eq
\f(a－8ab,4b＋2\r(3,ab)＋a)÷(1－2)×.
[解析] 原式＝eq
\f(a?a－8b?,4b＋2ab＋a)÷eq
\f(a－2·b,a)·a
＝eq
\f(a?a－2b??a＋2ab＋4b?,4b＋2ab＋a)·eq
\f(a,a－2b)·a＝a·a·a＝a.
课堂检测·固双基
1．化简[(－)2]－的结果是( C )
A．－
B．
C．
D．－
[解析] [(－)2]－＝3－＝eq
\f(1,3)＝＝.
2．已知m<，则化简的结果为( C )
A．
B．－
C．
D．－
[解析] ∵m<，∴3m－2<0，排除A，B，
又(3m－2)2>0，所以为正，所以选C．
3．若2＜a＜3，化简＋的结果是( C )
A．5－2a
B．2a－5
C．1
D．－1
[解析] 由于2＜a＜3，所以2－a＜0,3－a＞0，所以原式＝a－2＋3－a＝1，故选C．
4．以下说法正确的是( C )
A．正数的n次方根是正数
B．负数的n次方根是负数
C．0的n次方根是0(其中n>1且n∈N
)
D．负数没有n次方根
[解析] 对于A，正数的偶次方根中有负数，∴A错误；
对于B，负数的奇次方根是负数，偶次方根不存在，
∴B错误；
对于C，当n>1且n∈N
时，0的n次方根是0，
∴C正确；
对于D，n为奇数时，负数的奇次方根是负数，∴D错误．
5．(2019·江苏、苏州市高一期中测试)求值：＝____.
[解析] ＝＝.
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-4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是__一个确定的实数__.
思考1：2一定是实数吗？
提示：根据无理指数幂的定理2是实数．
知识点2 实数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈R)
(1)aras＝__ar＋s__.(2)(ar)s＝__ars__.(3)(ab)r＝__arbr__.
思考2：指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的？
提示：
基础自测
1．下列说法正确的个数是( B )
(1)无理数指数幂有的不是实数．
(2)指数幂ax(a>0)中的x只能是有理数．
(3)(3)＝9.
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] (1)无理数指数幂对应一个确定的实数，不正确；
(2)指数幂ax(a>0)中的x是任意实数，不正确；
(3)(3)＝3×＝32＝9，正确，故选B．
2．aa＝__a__.
3．()＝__nm－__.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 无理数指数幂的运算
例1
计算下列各式：
(1)(3eq
\r(3,2))3；
(2)eq
\f(aa,aπ).
[解析] (1)原式＝(3×2)3＝36×22＝2
916.
(2)原式＝a＋－π＝a－.
[归纳提升] 关于无理数指数幂的运算
(1)底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算．
(2)若式子中含有根式，则先化为指数式再进行运算，一般指数中的根式可以保留．
【对点练习】?
计算下列各式：
(1)eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,\r(π))))2；
(2)(mm－)12.
[解析] (1)原式＝(π－)2＝(π)2＝π3.
(2)原式＝(m－)12＝(m)12＝m2π.
题型二 指数幂运算的综合应用
例2
已知a＋a－＝3，求下列各式的值．
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)eq
\f(a－a－,a－a－).
[分析] 利用完全平方差公式求(1)(2)，利用立方差公式求(3)．
[解析] (1)将a＋a－＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7.
(2)将a＋a－1＝7两边平方，有a2＋a－2＋2＝49，∴a2＋a－2＝47.
(3)由于a－a－＝(a)3－(a－)3，所以有eq
\f(a－a－,a－a－)
＝eq
\f(?a－a－??a＋a－1＋a·a－?,a－a－)＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8.
[归纳提升] (1)条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程．本题若通过a＋a－＝3解出a的值代入求值，则非常复杂．
(2)解决此类问题的一般步骤是
【对点练习】?
已知x－y＝6，xy＝16，求eq
\f(x＋y,x－y)的值．
[解析] ∵eq
\f(x＋y,x－y)＝eq
\f(?x＋y??x－y?,?x－y?2)
＝eq
\f(x－y,x＋y－2?xy?)，
又x－y＝6，xy＝16，
∴(x＋y)2＝(x－y)2＋4xy＝62＋4×16＝100.
∴x＋y＝10或x＋y＝－10.
当x＋y＝10时，原式值为＝3，
当x＋y＝－10时，原式值为＝－.
误区警示
因忽略幂底数的范围而导致错误
例3
化简(1－a)[(a－1)－2(－a)]＝__(－a)__.
[错解] (1－a)[(a－1)－2·(－a)]
＝(1－a)(a－1)－1·(－a)＝－(－a).
[错因分析] 忽略了题中有(－a)，即相当于告知－a≥0，故a≤0，这样，[(a－1)－2]≠(a－1)－1.实际上在解答本类题时除了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条件．
[正解] 由(－a)知－a≥0，故a－1<0.
∴(1－a)[(a－1)－2(－a)]＝(1－a)(1－a)－1·(－a)＝(－a).
[方法点拨] 在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时要注意是否是偶次方根，被开方数是否符合要求．
学科素养
用换元法处理指数幂中的化简与证明问题
例4
已知pa3＝qb3＝rc3，且＋＋＝1.求证：(pa2＋qb2＋rc2)＝p＋q＋r.
[分析] 看见三个式子连等，立刻想到赋中间变量，通过中间变量去构建能用到题干中已知值的式子．
[证明] 令pa3＝qb3＝rc3＝k，
则pa2＝，qb2＝，rc2＝；p＝，q＝，r＝.
∴所证等式左边＝(＋＋)
＝[k(＋＋)]＝k，
所证等式右边＝()＋()＋()
＝k(＋＋)＝k.
∴(pa2＋qb2＋rc2)＝p＋q＋r.
[归纳提升] 1.对于“连等式”，常用换元法处理．如本例，我们可令它等于一个常数k，然后以k为媒介化简，这样使问题容易解决．
2．换元过程中尤其要注意所代换的新变元的范围一定与被替换对象一致，关键时候还要检验．
课堂检测·固双基
1．下列能正确反映指数幂的推广过程的是( A )
A．整数指数幂→有理数指数幂→无理数指数幂
B．有理数指数幂→整数指数幂→无理数指数幂
C．整数指数幂→无理数指数幂→有理数指数幂
D．无理数指数幂→有理数指数幂→整数指数幂
2．计算(2)－的结果是( D )
A．
B．－
C．2
D．
[解析] (2)－＝2－1＝，故选D．
3.·＝( A )
A．a
B．a
C．a
D．a
[解析] 原式＝a·a＝a＋＝a，故选A．
4．设x∈R且x≠0，若x＋x－1＝3，则x8＋x－8的个位数字是( D )
A．2
B．5
C．6
D．7
[解析] x＋x－1＝3?x2＋x－2＝7?x4＋x－4＝47?x8＋x－8＝472－2，故选D．
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