4.2 指数函数
【素养目标】
1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(数学抽象)
2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说出指数函数的性质．(直观想象)
3．掌握指数函数的性质并会应用，能利用函数的单调性比较幂的大小．(逻辑推理)
4．通过本节学习，进一步体会图象是研究函数的重要工具，能运用指数函数的图象研究一些实际问题．(数学运算)
【学法解读】
指数函数的学习，学生应掌握指数函数的运算法则和变化规律，运用信息技术学习、探索和解决问题．例如，利用计算器、计算机画出指数函数的图象，探索、比较它的变化规律，并研究指数函数的性质．
4.2.1 指数函数的概念
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 指数函数
函数__y＝ax(a>0，且a≠1)__叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是__R__.
思考1：(1)为什么指数函数的底数a>0，且a≠1?
(2)指数函数的解析式有什么特征？
提示：(1)①如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义．
②如果a<0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义．
③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．
为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1.
(2)①a>0，且a≠1；②ax的系数为1；③自变量x的系数为1.
知识点2 指数型函数模型
形如__y＝kax__(k∈R，且k≠0；a>0且a≠1)的函数是指数型函数模型．
思考2：设原有量为N，每次的增长量为p，经过x次增长，该量增长到y，则x，y之间满足的关系式是什么？
提示：y＝N(1＋p)x(x∈N)．
基础自测
1．下列函数中一定是指数函数的是( C )
A．y＝2x＋1
B．y＝x2
C．y＝3－x
D．y＝－2·3x
[解析] 只有y＝3－x＝()x符合指数函数的概念，A，B，D选项中函数都不符合y＝ax(a＞0，且a≠1)的形式．
2．按复利计算利率的储蓄，存入银行2万元，如果年息3%,5年后支取，本利和为人民币( B )
A．2(1＋0.3)5万元
B．2(1＋0.03)5万元
C．2(1＋0.3)4万元
D．2(1＋0.03)4万元
3．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝__()x__.
[解析] 设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
由f(2)＝2得a2＝2，∴a＝或－(舍去)．
∴f(x)＝()x.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 指数函数的概念
例1
(1)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是( B )
A．y＝(－4)x
B．y＝πx
C．y＝－4x
D．y＝ax＋2(a>0，a≠1)
(2)若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有( C )
A．a＝1或2
B．a＝1
C．a＝2
D．a>0且a≠1
[分析] 利用指数函数的定义进行判断．
[解析] (1)函数y＝(－4)x的底数－4<0，故A中函数不是指数函数；函数y＝πx的系数为1，底数π>1，故B中函数是指数函数；
函数y＝－4x的系数为－1，故C中函数不是指数函数；
函数y＝ax＋2＝a2·ax的系数为a2，故D
中函数不是指数函数，故选B．
(2)由题意，得，
解得a＝2，故选C．
[归纳提升] 判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，a≠1)这一结构形式．
【对点练习】?
下列函数中是指数函数的是( D )
A．y＝2·()x
B．y＝xx
C．y＝3－
D．y＝()x
[解析] 由指数函数定义可知，函数y＝()x是指数函数，故选D．
题型二 指数函数解析式
例2
(1)指数函数y＝f(x)的图象经过点(π，)，则f(－π)＝____.
(2)指数函数y＝f(x)的图象经过点(－2，)，那么f(4)·f(2)＝__64__.
[解析] (1)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则aπ＝，
∴f(－π)＝a－π＝＝＝.
(2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则a－2＝，∴a＝2.
∴f(x)＝2x，∴f(4)·f(2)＝24·22＝26＝64.
[归纳提升] 求指数函数解析式的步骤
(1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0且a≠1)．
(2)利用已知条件求底数a.
(3)写出指数函数的解析式．
【对点练习】?
(1)若点(a,27)在函数y＝()x的图象上，则的值为( A )
A．
B．1
C．2
D．0
(2)若指数函数y＝f(x)的图象经过点(－2，)，则f(－)＝____.
题型三 指数型函数的实际应用
角度1 增长型指数函数模型
例3
随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3
000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为( B )
A．3
000×1.06×7元
B．3
000×1.067元
C．3
000×1.06×8元
D．3
000×1.068元
[解析] 由题意知，2021年底该地区农民人均收入为3
000×(1＋6%)7＝3
000×1.067，故选B．
角度2 衰减型指数函数模型
例4
调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2
mg/ml.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8
mg/ml，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过__
__小时后才可以驾驶机动车．( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 设n小时后才可以驾车，据题意得
0．8(1－50%)n≤0.2，∴0.5n≤，∴n≥2，
即至少要经过2小时后才可以驾驶机动车，故选B．
[归纳提升] 关于指数型函数模型
设原有量为N，每次的增长(衰减)率为p，经过x次增长(衰减)，该量增长到y，则y＝N(1±p)x(x∈N)．
【对点练习】?
已知某种产品的生产成本每年降低25%.若该产品2017年底的生产成本为6
400元/件，那么2020年底的生产成本为__2
700__元/件．
[解析] 2020年底生产成本6
400×(1－25%)3＝2
700元．
课堂检测·固双基
1．下列函数中，是指数函数的是( D )
A．y＝(－8)x
B．y＝2x2－1
C．y＝ax
D．y＝(2a－1)x(a>，且a≠1)
2．若指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(x)的解析式为( B )
A．f(x)＝x3
B．f(x)＝2x
C．f(x)＝()x
D．f(x)＝x
3．(2020·吉林乾安七中高一期中测试)指数函数f(x)的图象经过点(2,4)，则f(3)＝__8__.
[解析] 设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
由题意，得4＝a2，∴a＝2.
∴f(x)＝2x，∴f(3)＝23＝8.
4．若函数y＝(k＋2)ax＋2－b(a＞0，且a≠1)是指数函数，则k＝__－1__，b＝__2__.
[解析] 根据指数函数的定义，得，解得.
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4
-4.2.2 指数函数的图象和性质
第1课时 指数函数的图象和性质(一)
必备知识·探新知
基础知识
知识点 指数函数的图象和性质
0＜a＜1
a＞1
图象
定义域
__R__
值域
__(0，＋∞)__
性质
过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
在R上是__减函数__
在R上是__增函数__
思考：(1)对于指数函数y＝2x，y＝3x，y＝()x，y＝()x，…，为什么一定过点(0,1)?
(2)观察指数函数的图象，思考：在下表中，？号处y的范围是什么？
底数
x的范围
y的范围
a>1
x>0
？
x<0
？
0
x>0
？
x<0
？
提示：(1)当x＝0时，a0＝1(a≠0)恒成立，即指数函数的图象一定过点(0,1)．
(2)
底数
x的范围
y的范围
a>1
x>0
y>1
x<0
00x>0
0x<0
y>1
基础自测
1．下列说法正确的个数是( C )
(1)指数函数的图象都在x轴的上方．
(2)若指数函数y＝ax是减函数，则0(3)对于任意的x∈R，一定有3x>2x.
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 对于(1)，由指数函数的性质可知正确．
对于(2)，由指数函数的单调性可知正确．
对于(3)，由y＝3x，y＝2x的图象可知，当x<0时，3x<2x，故(3)不正确．
2．函数y＝(－1)x在R上是( D )
A．增函数
B．奇函数
C．偶函数
D．减函数
[解析] ∵0<－1<1，∴函数y＝(－1)x在R上是减函数．
3．函数y＝2－x的图象是( B )
[解析] 函数y＝2－x＝()x过点(0,1)，且在R上是减函数，故选B．
4．函数y＝1－2x，x∈[0,1]的值域是( B )
A．[0,1]
B．[－1,0]
C．
D．
[解析] ∵0≤x≤1，∴1≤2x≤2，
∴－1≤1－2x≤0，选B．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 指数函数的图象
例1
如图所示是下列指数函数的图象：
(1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx.
则a，b，c，d与1的大小关系是( B )
A．aB．bC．1D．a[分析] 根据指数函数的底数与图象间的关系来进行判断．
[解析] 可先分为两类，(3)(4)的底数一定大于1，(1)(2)的底数一定小于1，然后再由(3)(4)比较，c，d的大小，由(1)(2)比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴，故选B．
[归纳提升] 指数函数图象的变化规律
指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大．
【对点练习】?
(1)如图所示是指数函数的图象，已知a的值取，，，，则相应曲线C1，C2，C3，C4的a依次为( D )
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
[解析] 按规律，C1，C2，C3，C4的底数a依次增大，故选D．
(2)若函数y＝ax＋(b－1)(a＞0，且a≠1)的图象不经过第二象限，则有( D )
A．a＞1且b＜1
B．0＜a＜1且b≤1
C．0＜a＜1且b＞0
D．a＞1且b≤0
[解析] 由函数图象不过第二象限知a>1，且x＝0时，a0＋(b－1)≤0，∴b≤0，故选D．
题型二 与指数函数有关的定义域、值域问题
例2
求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2；
(2)y＝()－|x|；
(3)y＝.
[分析] 定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值集合，值域是函数值的集合，依据定义域和函数的单调性求解．
[解析] (1)由题意知x－4≠0，所以x≠4，所以函数的定义域为{x|x∈R，x≠4}．因为≠0，所以2≠1，所以函数的值域为{y|y>0，且y≠1}．
(2)由题意知函数的定义域为R.
因为|x|≥0，所以y＝()－|x|＝()|x|≥()0＝1，所以函数的值域为{y|y≥1}．
(3)由题意知1－()x≥0，所以()x≤1＝()0，所以x≥0，所以函数的定义域为{x|x≥0，x∈R}．因为y关于x单调递增，所以函数的值域为{y|y≥0}．
[归纳提升] 1.函数单调性在求函数值域中的应用
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，则f(a)≤f(x)≤f(b)，值域为[f(a)，f(b)]．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是减函数，则f(a)≥f(x)≥f(b)，值域为[f(b)，f(a)]．
2．函数y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域．
函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．
(2)值域．
①换元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定义域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
【对点练习】?
求y＝()的定义域和值域．
[解析] 由x－2≥0，得x≥2，所以定义域为{x|x≥2}．
当x≥2时，≥0，又因为0＜＜1，所以y＝()的值域为{y|0＜y≤1}．
题型三 幂式大小的比较
例3
比较下列各题中两个值的大小．
(1)1.82.2,1.83；(2)0.7－0.3,0.7－0.4；
(3)1.90.4,0.92.4；(4)()，().
[分析] (1)(2)利用指数函数的单调性比较；(3)借助中间量1进行比较；(4)借助中间量()进行比较．
[解析] (1)∵1.82.2,1.83可看作函数y＝1.8x的两个函数值，
∵1.8>1，∴y＝1.8x在R上为增函数，
又2.2<3，
∴1.82.2<1.83.
(2)∵y＝0.7x在R上为减函数，
又∵－0.3>－0.4，
∴0.7－0.3<0.7－0.4.
(3)∵1.90.4>1.90＝1,0.92.4<0.90＝1，
∴1.90.4>0.92.4.
(4)∵eq
\f(?\f(4,5)?,?\f(9,10)?)＝()<()0＝1，
∴()<()，
∵y＝()x在R上为减函数，又>，
∴()<()，∴()<().
[归纳提升] 比较指数式的大小应根据所给指数式的形式，当底数相同时，运用单调性法求解；当底数不同时，利用一个中间量做比较进行求解．或借助于同一坐标系中的图象求解．
【对点练习】?
比较下列每组中两个数的大小：
(1)1.72.5,1.73；
(2)0.8－0.1,0.8－0.2；
(3)()－0.5，()－0.5；
(4)1.70.3,0.93.1.
[解析] (1)考查指数函数y＝1.7x，由于底数1.7>1，∴指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．
∵2.5<3，∴1.72.5<1.73.
(2)考查函数y＝0.8x，由于0<0.8<1，
∴指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数．
∵－0.1>－0.2，∴0.8－0.1<0.8－0.2.
(3)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝()x与y＝()x的图象，如图所示，当x＝－0.5时，观察图象可得()－0.5＞()－0.5.
(4)由指数函数的性质得1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1，∴1.70.3>0.93.1.
课堂检测·固双基
1．函数f(x)＝πx与g(x)＝(\S]1,π\s)x的图象关于( C )
A．原点对称
B．x轴对称
C．y轴对称
D．直线y＝－x对称
[解析] 设点(x，y)为函数f(x)＝πx的图象上任意一点，则点(－x，y)为g(x)＝π－x＝()x的图象上的点．因为点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)＝πx与g(x)＝()x的图象关于y轴对称，选C．
2．若函数f(x)＝(2a－1)x是R上的减函数，则实数a的取值范围是( C )
A．(0,1)
B．(1，＋∞)
C．(\S]1,2\s,1)
D．(－∞，1)
[解析] 由已知，得0<2a－1<1，则3．(2019·安徽合肥众兴中学高一期末测试)函数y＝ax－2＋1(a>0且a≠1)的图象必经过点( D )
A．(0,1)
B．(1,1)
C．(2,0)
D．(2,2)
[解析] 令x－2＝0，即x＝2，y＝a0＋1＝2，故选D．
4．已知函数f(x)为指数函数，且f(－)＝，则f(－2)＝____.
[解析] 设f(x)＝ax(a>0，a≠1)，
∴＝a－＝eq
\f(1,a)，
∴＝，∴a＝3.
∴f(x)＝3x，∴f(－2)＝3－2＝.
5．函数y＝2x(x≥0)的值域是__[1，＋∞)__.
[解析] ∵y＝2x在[0，＋∞)上为增函数，
∴x≥0即y≥20，
∴值域为[1，＋∞)．
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-第2课时 指数函数的图象和性质(二)
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 比较幂的大小
比较幂的大小的常用方法：
(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断．
(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
知识点2 有关指数型函数的性质
(1)求复合函数的定义域
形如y＝af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域．
求形如y＝af(x)的函数的值域，应先求出u＝f(x)的值域，再由单调性求出y＝au的值域．若a的范围不确定，则需对a进行讨论．
求形如y＝f(ax)的函数的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域．
(2)判断复合函数的单调性
令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果复合的两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，那么复合后的函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相反(即一增一减)，那么复合函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数．
(3)研究函数的奇偶性
一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性．
二是图象法，作出函数图象或从已知函数图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．
基础自测
1．已知a>b，则a，b的大小关系是( B )
A．1>a>b>0
B．aC．a>b
D．1>b>a>0
[解析] 因为y＝x在(0，＋∞)上是单调递减函数，a>b，所以a2．设f(x)＝|x|，x∈R，那么f(x)是( D )
A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
[解析] 因为f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
又当x>0时，f(x)＝x在(0，＋∞)上是减函数，
故选D．
3．若2x＋1＜1，则x的取值范围是( D )
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)
[解析] 不等式2x＋1＜20，因为y＝2x是定义域R上的增函数，所以x＋1＜0，即x＜－1.
4．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝3x－2的值域是( C )
A．[1，]
B．[－1,1]
C．[－，1]
D．[0,1]
[解析] 因为f(x)＝3x－2是[－1,1]上的增函数，所以3－1－2≤f(x)≤3－2，
即－≤f(x)≤1.
5．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为__m[解析] ∵a＝∈(0,1)，
∴f(x)＝ax为减函数，故由am>an，解得m关键能力·攻重难
题型探究
题型一 指数型函数的单调性
例1
讨论函数f(x)＝()x2－2x的单调性，并求其值域．
[分析] 此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可根据复合函数的单调性对其讨论．
[解析] 解法一：∵函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
设x1、x2∈(－∞，＋∞)且有x1(1)当x1又∵x2－x1>0，∴(x2－x1)(x2＋x1－2)<0，则知()(x2－x1)(x2＋x1－2)>1.又对于x∈R，f(x)>0恒成立．
∴f(x2)>f(x1)．∴函数f(x)在(－∞，1]上单调递增．
(2)当1≤x12，即有x1＋x2－2>0.
又∵x2－x1>0，∴(x2－x1)(x1＋x2－2)>0，则知0<()(x2－x1)(x2＋x1－2)<1，
∴f(x2)综上，函数f(x)在区间(－∞，1]上是增函数；在区间[1，＋∞)上是减函数．
∵x2－2x＝(x－1)2－1≥－1,0<<1，∴0<()x2－2x≤()－1＝3.∴函数f(x)的值域为(0,3]．
解法二：∵函数f(x)的定义域为R，令u＝x2－2x，则g(u)＝()u.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1，在(－∞，1)上是减函数，g(u)＝()u在其定义域内是减函数，
∴函数f(x)在(－∞，1]内为增函数．
又g(u)＝()u在其定义域内为减函数，而u＝x2－2x＝(x－1)2－1在[1，＋∞)上是增函数．
∴函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数．求值域同解法一．
[归纳提升] (1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f[φ(x)]单调性．
【对点练习】?
求函数f(x)＝2x2－6x＋17的定义域、值域、单调区间．
[解析] 函数f(x)的定义域为R.令t＝x2－6x＋17，则y＝2t.∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8在(－∞，3)上是减函数，而y＝2t在其定义域内是增函数，∴函数f(x)在(－∞，3)上为减函数．又∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8在[3，＋∞)上为增函数，而y＝2t在其定义域内是增函数，∴函数f(x)在[3，＋∞)为增函数．∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，而y＝2t在其定义域内是增函数，∴f(x)＝2x2－6x＋17≥28＝256，∴函数f(x)的值域为[256，＋∞)．
题型二 指数型复合函数的奇偶性
例2
(2019·湖南师大附中测试)设函数f(x)＝kax－a－x(a>0，且a≠1)是定义在R上的奇函数．
(1)求k的值；
(2)若f(1)>0，试判断函数的单调性(不需证明)，并求不等式f(x2＋2x)＋f(4－x2)>0的解集．
[解析] (1)方法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，即k－1＝0，∴k＝1.
当k＝1时，f(x)＝ax－a－x，f(－x)＝a－x－ax＝－(ax－a－x)＝－f(x)，
故k＝1符合题意．
方法二：∵f(－x)＝ka－x－ax，－f(x)＝－kax＋a－x，又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)在定义域R上恒成立，
∴解得k＝1.
(2)∵f(1)＝a－>0，又a>0，且a≠1，∴a>1.
∴y＝ax，y＝－a－x都是R上的增函数，
∴f(x)是R上的增函数．
故f(x2＋2x)＋f(4－x2)>0?f(x2＋2x)>－f(4－x2)＝f(x2－4)?x2＋2x>x2－4?x>－2.
∴f(x)在R上单调递增，且不等式的解集为{x|x>－2}．
[归纳提升] 指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，求解时一般利用函数奇偶性的定义．
【对点练习】?
f(x)＝＋是偶函数，则a＝( C )
A．1
B．－1
C．±1
D．2
[解析] 依题意，对一切x∈R，有f(－x)＝f(x)，
即＋a·2x＝＋.
∴(a－)(2x－)＝0对一切x∈R成立，
则a－＝0，∴a＝±1.
误区警示
对指数函数的值域运用不当
例3
关于x的方程()x＝有正实数根，则a的取值范围为__(－，)__.
[错解] 错解一：()x＝有正实数根，则>0，即<0，所以－错解二：()x＝有正实数根，即x>0，那么<1，因而1＋>0，即>0，得a<或a>5，即a∈(－∞，)∪(5，＋∞)．
[错因分析] 错解一，方程有正实数根是指x>0，而不是()x>0.错解二，只注意了x>0，在求()x的范围时，忽视了()x>0，也就是没注意指数函数本身值域的范围而致错．
[正解] ()x＝有正数根，即x>0时方程有解，
那么0<<1，
因而有得－即a∈(－，)．
[方法点拨] 指数函数要注意其值域，对于a>1时，ax的取值情况为：当x>0时，ax>1，当x<0时，00时，01.当涉及指数函数的范围时，不能忽视指数式自身的要求．
学科素养
数形结合思想的应用——图形变换技巧
1．平移变换
当m>0时，y＝f(x－m)的图象可以由y＝f(x)的图象向右平移m个单位得到；y＝f(x＋m)的图象可以由y＝f(x)的图象向左平移m个单位得到；y＝f(x)＋m的图象可以由y＝f(x)的图象向上平移m个单位得到；y＝f(x)－m的图象可以由y＝f(x)的图象向下平移m个单位得到．
2．对称(翻折)变换
y＝f(|x|)的图象可以将y＝f(x)的图象位于y轴右侧和y轴上的部分不变，原y轴左侧部分去掉，画出y轴右侧部分关于y轴对称的图形而得到．y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象位于y轴上方的部分不变，而将位于y轴下方的部分翻折到y轴上方得到．y＝－f(x)的图象可将y＝f(x)的图象关于x轴对称而得到．y＝f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象关于y轴对称得到．
例4
画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的．
(1)y＝2x－1；(2)y＝2x＋1；(3)y＝－2x；(4)y＝2|x|；(5)y＝|2x－1|；(6)y＝－2－x.
[分析] 用描点法作出图象，然后根据图象判断．
[解析] 如图所示．
(1)y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到的．
(2)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位得到的．
(3)y＝－2x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称．
(4)y＝2|x|的图象是由y＝2x的y轴右边的图象和其关于y轴对称的图象组成的．
(5)y＝|2x－1|的图象是由y＝2x的图象向下平移1个单位，然后将其x轴下方的图象翻折到x轴上方得到的．
(6)y＝－2－x的图象与y＝2x的图象关于原点对称．
课堂检测·固双基
1．若a＝0.5，b＝0.5，c＝0.5，则a，b，c的大小关系是( B )
A．a＞b＞c
B．a＜b＜c
C．a＜c＜b
D．b＜c＜a
[解析] ∵函数y＝0.5x是R上的减函数，又∵＞＞，∴a＜b＜c，故选B．
2．已知对于任意实数a(a>0，且a≠1)，函数f(x)＝7＋ax－1的图象恒过点P，则点P的坐标是( A )
A．(1,8)
B．(1,7)
C．(0,8)
D．(8,0)
[解析] 在函数f(x)＝7＋ax－1(a>0，且a≠1)中，当x＝1时，f(1)＝7＋a0＝8.所以函数f(x)＝7＋ax－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P(1,8)．故选A．
3．已知a＝30.2，b＝0.2－3，c＝(－3)0.2，则a，b，c的大小关系为( B )
A．a>b>c
B．b>a>c
C．c>a>b
D．b>c>a
[解析] a＝30.2<31＝3，
b＝0.2－3＝53＝125，
c＝(－3)0.2＝(－3)<0，
∴b>a>c.
4．函数y＝()x在[－2，－1]上的最小值是m，最大值是n，则m＋n＝__12__.
[解析] y＝()x在[－2，－1]上单调递减，m＝f(－1)＝()－1＝3，n＝f(－2)＝()－2＝9，
∴m＋n＝3＋9＝12.
5．已知5x＋3<51－x，试求x的取值范围．
[解析] 设f(x)＝5x，则f(x)在R上是增函数，
由题意得f(x＋3)解得x<－1，即x的取值范围是(－∞，－1)．
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