4.3 对 数
【素养目标】
1．理解对数的概念．(数学抽象)
2．能够进行对数式与指数式的互化．(逻辑推理)
3．知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(数学运算)
4．理解对数的运算性质．(逻辑推理)
5．理解对数的底数和真数的取值范围．(数学运算)
6．掌握对数的基本性质及对数恒等式．(逻辑推理)
【学法解读】
在本节学习中，利用实例使学生由指数式向对数式的转化，从而引出对数的概念．学生应由指数式与对数式的互化，进而推导出对数的运算性质，提升运算能力及逻辑推理能力．
4.3.1 对数的概念
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 对数的概念
(1)若ax＝N(a>0，且a≠1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x＝__logaN__，其中a叫做对数的__底数__，N叫做__真数__.
(2)ax＝N?x＝__logaN__.
(3)常用对数：以10为底，记作__lgN__.
自然对数：以无理数e≈2.718
28…为底，记作__lnN__.
思考1：(1)式子logmN中，底数m的范围是什么？
(2)对数式logaN是不是loga与N的乘积？
提示：(1)m>0，且m≠1.
(2)不是，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数．
知识点2 对数的基本性质
(1)负数和0没有对数．
(2)loga1＝__0__.
(3)logaa＝__1__.
思考2：请你利用对数与指数间的关系证明(1)(2)这两个结论．
提示：(1)由logaN＝x，得N＝ax，当a>0且a≠1时，ax>0，∴N>0，
∴负数和0没有对数．
(2)设loga1＝x(a>0且a≠1)，则ax＝1，
∴x＝0，即loga1＝0.
设logaa＝x，则ax＝a，∴x＝1，即logaa＝1.
知识点3 对数恒等式
alogaN＝__N__.
思考3：loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N是如何推出来的？
提示：a0＝1?loga1＝0，
a1＝a?logaa＝1，
x＝logaN代入ax＝N得alogaN＝N.
基础自测
1．将ab＝N化为对数式是( B )
A．logba＝N
B．logaN＝b
C．logNb＝a
D．logNa＝b
[解析] 根据对数定义知ab＝N?b＝logaN，故选B．
2．若log8x＝－，则x的值为( A )
A．
B．4
C．2
D．
[解析] ∵log8x＝－，∴x＝8－＝2－2＝，故选A．
3．对数式loga8＝3改写成指数式为( D )
A．a8＝3
B．3a＝8
C．83＝a
D．a3＝8
[解析] 根据指数式与对数式的互化可知，把loga8＝3化为指数式为a3＝8，故选D．
4．若log2＝1，则x＝__5__.
[解析] ∵log2＝1，∴＝2，∴x＝5.
5．把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：
(1)23＝8；(2)e＝m；(3)27－＝.
[解析] (1)log28＝3；(2)lnm＝；(3)log27＝－.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 对数的定义
例1
(1)在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，实数x的取值范围是__2
(2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
①54＝625；②log216＝4；③10－2＝0.01；④log125＝6.
[分析] (1)底数大于0且不等于1，真数大于0，对数式才有意义．
(2)由指、对数式互化的方法进行互化．
[解析] (1)由题意可知解得2(2)①由54＝625，得log5625＝4.
②由log216＝4，得24＝16.
③由10－2＝0.01，得lg0.01＝－2.
④由log125＝6，得()6＝125.
[归纳提升] 1.指数式与对数式互化的方法技巧
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
2．互化时应注意的问题
(1)利用对数式与指数式间的互化公式互化时，要注意字母的位置改变．
(2)对数式的书写要规范：底数a要写在符号“log”的右下角，真数正常表示．
【对点练习】?
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)42＝16；
(2)102＝100；
(3)4＝2；
(4)32＝－5.
[解析] (1)log416＝2
.
(2)lg100＝2.
(3)log42＝.
(4)()－5＝32.
题型二 对数基本性质的应用
例2
求下列各式中的x：
(1)log3(log2x)＝0；(2)log3(log7x)＝1；(3)lg(lnx)＝1；(4)lg(lnx)＝0.
[分析] 利用指数式与对数式的互化进行解答．
[解析] (1)由log3(log2x)＝0得log2x＝1，∴x＝2.
(2)log3(log7x)＝1，log7x＝31＝3，
∴x＝73＝343.
(3)lg(lnx)＝1，lnx＝10，
∴x＝e10.
(4)lg(lnx)＝0，lnx＝1，
∴x＝e.
[归纳提升] 对数性质在计算中的应用
(1)对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0.
(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．
【对点练习】?
求下列各式中x的值：
(1)x＝16；(2)log8x＝－；(3)log(－1)＝x.
[解析] (1)∵x＝16，∴()x＝16，
即2－x＝24.∴－x＝4，即x＝－4.
(2)∵log8x＝－，∴x＝8－＝＝.
(3)∵log(－1)＝x，
∴(－1)x＝＝＝
＝－1，∴x＝1.
题型三 对数恒等式的应用
例3
计算：
(1)71－log75；
(2)4(log29－log25)；
(3)alogab·logbc(a、b均为不等于1的正数，c＞0)．
[解析] (1)原式＝＝.
(2)原式＝2log29－log25＝＝.
(3)原式＝(alogab)logbc＝blogbc＝c.
[归纳提升] 运用对数恒等式时注意事项
(1)对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式：
①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．
(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．
【对点练习】?
求下列各式的值：
(1)5log54；(2)3log34－2；(3)24＋log25.
[解析] (1)设5log54＝x，则log54＝log5x，∴x＝4.
(2)∵3log34＝4，∴3log34－2＝3log34×3－2＝4×＝.
(3)∵2log25＝5，∴24＋log25＝24×2log25＝16×5＝80.
课堂检测·固双基
1．下列说法：
①零和负数没有对数；
②任何一个指数式都可以化成为对数式；
③以10为底的对数叫做常用对数；
④以e为底的对数叫做自然对数．
其中正确命题的个数为( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] ①正确；②底数小于0的指数式不可以化成对数式；③④正确，故选C．
2．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是( B )
A．a>5或a<2
B．2C．2D．3[解析] 由题意得，
∴23．将()－2＝9写成对数式，正确的是( B )
A．log9＝－2
B．9＝－2
C．(－2)＝9
D．log9(－2)＝
[解析] 将()－2＝9写成对数式为9＝－2，故选B．
4．若log2(log3x)＝0，则x＝__3__.
[解析] 由题意得log3x＝1，∴x＝3.
5．完成以下指数式、对数式的互化．
(1)()－2＝；(2)8＝2；
(3)16＝－2；(4)lnx＝.
[解析] (1)∵()－2＝，∴＝－2.
(2)∵8＝2，∴log82＝.
(3)∵16＝－2，∴()－2＝16.
(4)∵lnx＝，∴e＝x.
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-4.3.2 对数的运算
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 对数的运算性质
条件
a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0
性质
loga(MN)＝__logaM＋logaN__
loga＝__logaM－logaN__
logaMn＝__nlogaM__(n∈R)
思考1：在积的对数运算性质中，三项的乘积式loga(MNQ)是否适用？你能得到一个怎样的结论？
提示：适用，loga(MNQ)＝logaM＋logaN＋logaQ，积的对数运算性质可以推广到真数是n个正数的乘积．
知识点2 换底公式
若a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1，则有logab＝____.
思考2：(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示什么形式？
(2)你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论logNnMm＝logNM吗？
提示：(1)logab＝，logab＝.
(2)logNnMm＝＝＝·＝logNM.
基础自测
1．若a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，下列式子中正确的个数是( A )
①logax·logay＝loga(x＋y)；
②logax－logay＝loga(x－y)；
③loga＝logax÷logay；
④loga(xy)＝logax·logay.
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 由对数运算法则知，均不正确．故选A．
2．log62＋log63等于( A )
A．1
B．2
C．5
D．6
[解析] log62＋log63＝log6(2×3)＝log66＝1.
3．(2020·天津和平区高一期中测试)计算：log25·log32·log59＝__2__.
[解析] 原式＝··
＝··＝2.
4．求下列各式的值：
(1)log3(27×92)；(2)lg5＋lg2；
(3)ln3＋ln；(4)log35－log315.
[解析] (1)方法一：log3(27×92)＝log327＋log392＝log333＋log334＝3log33＋4log33＝3＋4＝7；
方法二：log3(27×92)＝log3(33×34)＝log337＝7log33＝7.
(2)lg5＋lg2＝lg(5×2)＝lg10＝1.
(3)ln3＋ln＝ln(3×)＝ln1＝0.
(4)log35－log315＝log3＝log3＝log33－1＝－1.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 对数的运算性质的应用
例1
用logax，logay，logaz表示：
(1)loga(xy2)；(2)loga(x)；(3)loga.
[解析] (1)loga(xy2)＝logax＋logay2＝logax＋2logay.
(2)loga(x)＝logax＋loga＝logax＋logay.
(3)loga＝loga＝[logax－loga(yz2)]
＝(logax－logay－2logaz)．
[归纳提升] 对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质．二要注意取值范围对符号的限制．
【对点练习】?
用logax、logay、logaz表示下列各式：
(1)loga(x3y5)； (2)loga.
[解析] (1)loga(x3y5)＝logax3＋logay5
＝3logax＋5logay.
(2)loga＝loga－loga(yz)
＝logax－(logay＋logaz)
＝logax－logay－logaz.
题型二 利用对数的运算性质化简、求值
例2
化简下列各式：
(1)log2(23×45)；
(2)；
(3)lg14－2lg＋lg7－lg18；
(4)log2＋log2；
(5)log2(1＋＋)＋log2(1＋－)．
[分析] 熟练掌握对数的运算性质并能逆用性质是解题的关键．进行对数运算，要注意法则的正用和逆用．在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案．
[解析] (1)log2(23×45)＝log223＋log245
＝3＋5log24＝3＋5×2＝13.
(2)＝＝＝1.
(3)方法一：lg14－2lg＋lg7－lg18
＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)
＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.
方法二：lg14－2lg＋lg7－lg18
＝lg14－lg()2＋lg7－lg18
＝lg＝lg1＝0.
(4)log2＋log2
＝log2[()()]＝log2＝log24＝2.
(5)log2(1＋＋)＋log2(1＋－)
＝log2[(1＋)2－()2]＝log2(3＋2－3)
＝log22＝log22＝.
[归纳提升] 利用对数运算性质化简与求值的原则
(1)正用或逆用公式，对真数进行处理．
(2)选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
【对点练习】?
计算下列各式的值：
(1)(2020·湖南衡阳高一期末测试)log3＋lg－lg4；
(2)(2020·江苏、苏州市高一期中测试)(lg5)2＋lg2×lg50.
[解析] (1)原式＝log33＋lg
＝＋lg＝＋lg10－1
＝－1＝.
(2)原式＝(lg5)2＋lg2×lg(5×10)
＝(lg5)2＋lg2×(1＋lg5)
＝(lg5)2＋lg2＋lg2·lg5
＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2
＝lg5＋lg2＝lg10＝1.
题型三 换底公式的应用
例3
(1)计算log2·log3·log5；
(2)若log34·log48·log8m＝log42，求m的值．
[分析] (1)对数的底数不同，如何将其化为同底的对数？
(2)等式左边前一个对数的真数是后面对数的底数，利用换底公式很容易进行约分求解m的值．
[解析] (1)原式＝··
＝＝－12.
(2)由题意，得··＝＝，∴lgm＝lg3，即lgm＝lg3，
∴m＝.
[归纳提升] 关于换底公式的用途和本质：
(1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，然后查表求值，以此来解决对数求值的问题．
(2)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．
(3)在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如logab＝；logaan＝n，logambn＝logab；lg2＋lg5＝1等，将会达到事半功倍的效果．
【对点练习】?
计算下列各式的值：
(1)log89·log2732；
(2)log927；
(3)log2·log3·log5.
[解析] (1)log89·log2732＝·＝·＝·＝.
(2)log927＝＝＝＝.
(3)log2·log3·log5
＝log25－3·log32－5·log53－1
＝－3log25·(－5log32)·(－log53)
＝－15···
＝－15.
误区警示
忽视真数大于零致误
例4
解方程：log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1.
[错解] 原方程变形为log2(x＋1)－log2(x＋4)＝1，
∴log2(x＋1)－log2＝1，∴log2＝log22，
∴＝2，∴x2－2x－15＝0，∴x＝－3或x＝5，
故原方程的解为x＝－3或x＝5.
[错因分析] 解题过程中忽视对数logaN中真数N必须大于0时对数才有意义．实际上，在解答此类题时，要时刻关注对数本身是否有意义．另外，在运用对数运算性质或相关公式时也要谨慎，以防出错．
[正解] ∵log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1，
∴log4＝1，
∴解得x＝5或x＝－3(舍去)．
∴方程log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1的解为x＝5.
[方法点拨] 在将对数方程化为代数方程的过程中，未知数的范围扩大或缩小就容易产生增根．故解对数方程必须把所求的解代入原方程进行检验，否则易产生增根，造成解题错误．也可以像本题的求解过程这样，在限制条件下去求解．
学科素养
转化与化归思想的应用与综合分析解决问题的能力
例5
(1)设3x＝4y＝36，求＋的值；
(2)已知log23＝a,3b＝7，求log1256.
[分析] (1)欲求＋的值，已知3x＝36,4y＝36，由此两式怎样得到x，y，容易想到对数的定义——故可用等式两端取同底的对数(指对互化)来解决．
(2)已知条件中有指数式，也有对数式，而待计算式为对数式，因此可将指数式3b＝7化为对数式解决．观察所给数字特征、条件式中为2、3、7，又12＝3×22,56＝7×23，故还可以利用换底公式的推论loganbm＝logab，将条件中的对数式log23＝a化为指数式解答．
[解析] (1)由已知分别求出x和y，
∵3x＝36,4y＝36，
∴x＝log336，y＝log436，
由换底公式得：x＝＝，y＝＝，
∴＝log363，＝log364，∴＋＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝log3636＝1.
(2)解法一：因为log23＝a，所以2a＝3.又3b＝7，故7＝(2a)b＝2ab，故56＝23＋ab，又12＝3×4＝2a×4＝2a＋2，
从而log1256＝log2a＋223＋ab＝.
解法二：因为log23＝a，所以log32＝.又3b＝7，所以log37＝b.从而
log1256＝＝＝＝＝.
[归纳提升] 1.应用换底公式应注意的事项
(1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．
(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用．
2．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化．
3．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：
思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数．
思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值．
课堂检测·固双基
1．2log510＋log50.25的值为( C )
A．0
B．1
C．2
D．4
[解析] 原式＝log5100＋log50.25
＝log5(100×0.25)＝log525＝log552＝2.
2．(2019·北京丰台区高一期末测试)lg25＋lg4＋()－的值为( B )
A．
B．5
C．
D．13
[解析] 原式＝lg(25×4)＋(3－2)－
＝lg100＋3
＝2＋3＝5.
3.log612－log6＝____.
[解析] 原式＝log612－log62
＝log6＝log66＝.
4．计算下列各式的值：
(1)2lg5＋lg4＋eln2＋log2；
(2)(log23＋log89)(log34＋log98＋log32)．
[解析] (1)原式＝2lg5＋2lg2＋2＋3＝2(lg5＋lg2)＋5＝7.
(2)原式＝(log23＋)(log322＋＋log32)
＝(log23＋log23)(2log32＋log32＋log32)
＝log23×log32＝.
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