4.4
对数函数
【素养目标】
1．理解对数函数的概念、图象及性质．(数学抽象)
2．了解反函数的概念，掌握互为反函数的特征．(直观想象)
3．能画出具体对数函数的图象，并能根据图象说明对数函数的性质，初步掌握对数函数的图象和性质．(直观想象)
4．会解与对数函数相关的定义域、值域问题．(逻辑推理)
5．掌握对数函数的单调性，会进行对数大小的比较．(逻辑推理、数学运算)
【学法解读】
在本节学习中，学生应类比指数函数的图象与性质，借助对数函数的图象得出其性质，并把所学知识应用到实际问题中，学生通过对对数函数的学习，逐步提升学生的数学运算、逻辑推理、数学建模等数学素养．
4.4.1 对数函数的概念
必备知识·探新知
基础知识
知识点 对数函数
函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做__对数函数__，其中x是自变量，定义域是__(0，＋∞)__.
思考：(1)对数函数的定义域为什么是(0，＋∞)?
(2)对数函数的解析式有何特征？
提示：(1)ax＝N?logaN＝x，真数为幂值N，而N>0，故式子logax中，x>0.
(2)①a>0，且a≠1；②logax的系数为1；③自变量x的系数为1.
基础自测
1．下列函数是对数函数的是( D )
A．y＝2＋log3x
B．y＝loga(2a)(a＞0，且a≠1)
C．y＝logax2(a＞0，且a≠1)
D．y＝lnx
[解析] 判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝logax”的形式，A，B，C全错，D正确．
2．(2019·山东临沂高一期末测试)函数y＝lg(3x－2)的定义域是( D )
A．[1，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．[，＋∞)
D．(，＋∞)
[解析] 要使函数y＝lg(3x－2)有意义，应满足3x－2>0，∴x>，故选D．
3．对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为__y＝log2x__.
[解析] 设对数函数为y＝logax，则4＝loga16，∴a4＝16，
∴a＝2，∴y＝log2x.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 对数函数概念
例1
下列函数表达式中，是对数函数的有( B )
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝lnx；
⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[分析] (1)对数概念对底数、真数、系数的要求是什么？
[解析] 根据对数函数的定义进行判断．由于①中自变量出现在底数上，
∴①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a>0且a≠1，
∴②不是对数函数；由于⑤、⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，
∴⑤、⑦也不是对数函数；由于⑥中log4x系数为2，
∴⑥不是对数函数；只有③、④符合对数函数的定义．
[归纳提升] 对于对数概念要注意以下两点：
(1)在函数的定义中，a>0且a≠1.
(2)在解析式y＝logax中，logax的系数必须为1，真数必须为x，底数a必须是大于0且不等于1的常数．
【对点练习】?
指出下列函数中，哪些是对数函数？
①y＝5x；
②y＝－log3x；
③y＝log0.5；
④y＝x；
⑤y＝log2(x＋1)．
[解析] ①是指数函数；②中log3x的系数为－1，∴②不是对数函数；③中的真数为，∴③不是对数函数；⑤中的真数是(x＋1)，∴⑤不是对数函数；∴只有④是对数函数．
题型二 对数函数的定义域
例2
求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝log(2x－1)(2－x)；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝.
[分析] 依据使函数有意义的条件列出不等式组→解不等式组→写出函数的定义域．
[解析] (1)要使函数有意义，需
，即.
∴
(2)要使函数有意义，需使2－ln(3－x)≥0，即，
解得3－e2≤x<3，故函数的定义域为{x|3－e2≤x<3}．
(3)要使函数有意义，需使log0.5(x－1)>0，
即(x－1)>0，∴0故函数的定义域为{x|1[归纳提升] 定义域是研究函数的基础，若已知函数解析式求定义域，常规为：①分母不能为零，②0的零次幂与负指数次幂无意义，③偶次方根的被开方式(数)非负，④求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意底数；三是按底数的取值应用单调性．
【对点练习】?
(1)函数f(x)＝的定义域为( C )
A．(0,2)
B．(0,2]
C．(2，＋∞)
D．[2，＋∞)
(2)函数y＝f(x)的定义域为(－1,1)，则函数y＝f(lgx)的定义域为__(，10)__.
[解析] (1)使函数有意义应满足log2x－1>0，
即log2x>1，∴x>2，故选C．
(2)由y＝f(x)定义域为(－1,1)知，－1＜lgx＜1，
解得＜x＜10，
故y＝f(lgx)定义域为(，10)．
题型三 对数函数在实际问题中的应用
例3
某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤多少次，才能使产品达到市场要求？(参考数据lg2＝0.301
0，lg3＝0.477
1)
[解析] 设过滤y次后杂质含量为x，
则x＝0.02(1－)y，即50x＝()y，则y＝(50x)，
令x＝0.001，则y＝0.05＝
＝－＝
＝≈10.42，
所以至少过滤11次才能使产品达到市场要求．
[归纳提升] 建立对数函数模型解决应用问题
对数运算是求指数的运算，因此要建立对数函数模型，可设指数变量为y，利用指数与对数的互化得到对数函数解析式，再利用已知数据或计算工具计算解题．
【对点练习】?
某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，求该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)．
[解析] 设经过y年后公司的研发资金为x，
则x＝130(1＋12%)y，即＝1.12y，所以y＝log1.12，令x＝200，所以y＝log1.12＝log1.12＝≈3.8，
所以到2021年，公司研发资金开始超过200万元．
课堂检测·固双基
1．下列函数中，是对数函数的是( D )
A．y＝logxa(x>0且x≠1)
B．y＝log2x－1
C．y＝2lg8x
D．y＝log5x
[解析] A、B、C都不符合对数函数的定义，故选D．
2．已知对数函数的图象过点M(9,2)，则此对数函数的解析式为( B )
A．y＝log2x
B．y＝log3x
C．y＝x
D．y＝x
[解析] 设对数函数为y＝logax，则2＝loga9，
∴a2＝9，∴a＝3，∴y＝log3x，故选B．
3．函数f(x)＝ln(1－x)的定义域是( D )
A．(0,1)
B．[0,1)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，1)
[解析] 由1－x>0得x<1，故选D．
4．如果函数y＝log2x的图象经过点A(4，y0)，那么y0＝__2__.
[解析] 将A(4，y0)代入y＝log2x得log24＝y0，∴y0＝2.
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-4.4.2 对数函数的图象和性质
第1课时 对数函数的图象和性质(一)
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 对数函数的图象及性质
0＜a＜1
a＞1
图象
定义域
__(0，＋∞)__
值域
__R__
性质
过定点__(1,0)__，即x＝1时，y＝0
在(0，＋∞)上是__减函数__
在(0，＋∞)上是__增函数__
思考1：(1)对于对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝logx，y＝logx，…，为什么一定过点(1,0)?
(2)在下表中，？处y的范围是什么？
底数
x的范围
y的范围
a>1
x>1
？
0？
0x>1
？
0？
提示：(1)当x＝1时，loga1＝0恒成立，即对数函数的图象一定过点(1,0)．
(2)
底数
x的范围
y的范围
a>1
x>1
y>0
0y<0
0x>1
y<0
0y>0
知识点2 反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为__反函数__，它们定义域与值域正好__互换__.
思考2：函数y＝log2x与y＝()x互为反函数吗？
提示：不是，同底数的指数函数与对数函数互为反函数．
基础自测
1．下列说法正确的个数是( C )
(1)对数函数的图象都过定点(0,1)．
(2)对数函数的图象都在y轴的右侧．
(3)若对数函数y＝log2ax是减函数，则0A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 对于(1)，对数函数的图象都过定点(1,0)，不正确；对于(2)，由对数函数的图象可知正确；对于(3)，由对数函数的单调性可知，0<2a<1，所以02．函数y＝log2x在区间(0,2]上的最大值是( B )
A．2
B．1
C．0
D．－1
[解析] y＝log2x在(0,2]上单调递增，
∴ymax＝1，故选B．
3．函数y＝log3x与y＝x的图象关于__x轴__对称．
4．(2020·河南永城实验中学高一期末测试)函数y＝loga(x－1)(a>0且a≠1)的图象恒过定点__(2,0)__.
[解析] 令x－1＝1，∴x＝2，则y＝0，故函数y＝loga(x－1)(a>0且a≠1)的图象恒过定点(2,0)．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 利用对数函数的单调性比较大小
例1
比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln0.3，ln2；
(2)loga3.1，loga5.2(a＞0，且a≠1)；
(3)log30.2，log40.2；
(4)log3π，logπ3.
[分析] (1)底数相同时如何比较两个对数值的大小？
(2)底数不同、真数相同时如何比较两个对数值的大小？
(3)底数和真数均不同时，应如何比较两个对数值的大小？
[解析] (1)因为函数y＝lnx在(0，＋∞)上是增函数，且0.3＜2，所以ln0.3＜ln2.
(2)当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2；当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，
又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.
(3)因为0＞log0.23＞log0.24，所以＜，
即log30.2＜log40.2.
(4)因为函数y＝log3x是增函数，且π＞3，所以log3π＞log33＝1.同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.
[归纳提升] 1.比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性．
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．
(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较．
(4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．
2．常见的对数不等式有三种类型：
(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论．
(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．
(3)形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解．
【对点练习】?
已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则( D )
A．b＜a＜c
B．c＜b＜a
C．c＜a＜b
D．b＜c＜a
[解析] 因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且3.6＞2，所以log23.6＞log22＝1，
因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，且3.2＜3.6＜4，所以log43.2＜log43.6＜log44＝1，
所以log43.2＜log43.6＜log23.6，即b＜c＜a.
题型二 对数函数的图象
例2
已知图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，则a1，a2，a3，a4的大小关系是( B )
A．a4B．a3C．a2D．a3[分析] 由图象来判断参数的大小情况，需要抓住图象的本质特征和关键点．根据图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，利用logaa＝1，结合图象判断．
[解析] 在图中作一条直线y＝1.
由，得loga3x＝1，所以x＝a3.所以直线y＝1与曲线C3：y＝loga3x的交点坐标为(a3,1)．
同理可得直线y＝1与曲线C4，C1，C2的交点坐标分别为(a4,1)，(a1,1)，(a2,1)．
由图象可知a3[归纳提升] 1.熟记函数图象的分布规律，就能在解答有关对数图象的选择、填空题时，灵活运用图象，数形结合解决．
2．对数值logax的符号(x>0，a>0且a≠1)规律：“同正异负”．
(1)当01，a>1时，logax>0，即当真数x和底数a同大于(或大于0且小于)1时，对数logax>0，即对数值为正数，简称为“同正”；
(2)当01或x>1,03．指数型、对数型函数的图象与性质的讨论，常常要转化为相应指数函数，对数函数的图象与性质的问题．
【对点练习】?
已知lga＋lgb＝0，则函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx在同一坐标系中的图象可能是( B )
[解析] 由lga＋lgb＝0得ab＝1，
则f(x)与g(x)的单调性一致，故选B．
题型三 与对数函数相关的定义域和值域
角度1 求函数的定义域
例3
函数y＝eq
\r(?3x－2?)的定义域是( D )
A．[1，＋∞)
B．(，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(，1]
[解析] 由题意得eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(?3x－2?≥0，,3x－2>0，))∴
∴角度2 简单的值域问题
例4
若函数f(x)＝logax(0[解析] 由题意得f(x)max＝logaa＝1，
f(x)min＝loga(2a)＝1＋loga2，
∴1＝3×(1＋loga2)，∴a＝.
[归纳提升] 1.求对数型函数的定义域时常用的模型
2．与对数函数值域相关的问题
(1)利用对数函数的单调性求值域是解决问题的主要方法．
(2)若底数中含有字母，需要对字母分大于1，小于1大于0两种情况讨论．
【对点练习】?
(1)函数y＝的定义域为__[－1，＋∞)__；
(2)若函数f(x)＝4＋log2x在区间[1，a]上的最大值为6，则a＝__4__.
[解析] (1)要使函数有意义，须使
即解得x≥－1.
(2)∵y＝log2x是R上的增函数，
∴x＝a时f(x)取最大值，即f(x)max＝4＋log2a＝6，即a＝4.
课堂检测·固双基
1．(2020·山东金乡县高一期中测试)已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若其图象过点(6,3)，则f(2)的值为( B )
A．－2
B．2
C．
D．－
[解析] 由题意得3＝loga8，
∴a3＝8，∴a＝2.
∴f(x)＝log2(x＋2)，∴f(2)＝log24＝2.
2．(2020·河北沧州市高一期中测试)函数y＝＋lg(2x＋1)的定义域( D )
A．(，3]
B．(，3)
C．(－，3]
D．(－，3)
[解析] 由题意得，∴－3．y＝2x与y＝log2x的图象关于( B )
A．x轴对称
B．直线y＝x对称
C．原点对称
D．y轴对称
[解析] 函数y＝2x与函数y＝log2x是互为反函数，故它们的图象关于直线y＝x对称．
4．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( D )
A．a>c>b
B．b>c>a
C．c>b>a
D．c>a>b
[解析] a＝log32log22＝1，由对数函数的性质可知log525．若loga＜1，则a的取值范围为__0＜a＜或a＞1__.
[解析] loga＜1即loga＜logaa，当a＞1时，函数y＝logax在定义域内是增函数，所以loga＜logaa总成立；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域内是减函数，
由loga＜logaa，得a＜，故0＜a＜.
故a的取值范围为0＜a＜或a＞1.
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-第2课时 对数函数的图象和性质(二)
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 对数型复合函数的单调性
复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为__增函数__；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为__减函数__.
对于对数型复合函数y＝logaf(x)来说，函数y＝logaf(x)可看成是y＝logau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．
知识点2 对数型复合函数的值域
对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：
(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；
(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；
(3)求u的取值范围；
(4)利用y＝logau的单调性求解．
基础自测
1．函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是( C )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，1)
C．(0,1)
D．(1，＋∞)
[解析] 由对数函数的单调知识易知02．已知函数f(x)＝2x的值域为[－1,1]，则函数f(x)的定义域是( A )
A．
B．[－1,1]
C．
D．∪[，＋∞)
[解析] 由－1≤2x≤1，得－1≤－2log2x≤1.
解得≤x≤.
3．(2019·大连市高一期末测试)函数f(x)＝lg(x2－2x－3)的单调递减区间是( A )
A．(－∞，－1)
B．(－∞，1)
C．(1，＋∞)
D．(3，＋∞)
[解析] 令x2－2x－3>0，
∴(x－3)(x＋1)>0，
∴x<－1或x>3.∴f(x)的定义域(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
令u＝x2－2x－3，
函数f(x)的单调递减区间即为u＝x2－2x－3在(－∞，－1)∪(3，＋∞)上的递减区间．故选A．
4．已知log0.3(3x)A．(，＋∞)
B．(－∞，)
C．(－，)
D．(0，)
[解析] 因为函数y＝log0.3x在(0，＋∞)上单调递减，所以原不等式等价于解得x>.
5．(2019·河北沧州市高一期中测试)已知x满足(x)2－x－6≤0，求f(x)＝(1＋log2x)log2的最大值与最小值及相应x的值．
[解析] 由(x)2－x－6≤0，得－2≤x≤3，
∴≤x≤4.
f(x)＝(1＋log2x)(log2x－2)，
令t＝log2x∈[－3,2]，
∴y＝(t＋1)(t－2)＝t2－t－2＝(t－)2－，
∴当
t＝，即log2x＝，x＝时，函数取最小值－；当t＝－3，即log2x＝－3，x＝时，函数的最大值(－3－)2－＝10.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 对数型复合函数的单调性
例1
讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．
[分析] 求复合函数的单调性时，必须首先考虑函数的定义域，单调区间必须是定义域的子集．
[解析] 由3x2－2x－1>0，得函数的定义域为{x|x>1或x<－}．
当a>1时，若x>1，∵y＝logau为增函数，又u＝3x2－2x－1为增函数，
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．
若x<－，∵u＝3x2－2x－1为减函数，
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数．
当01，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数，
若x<－，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．
[归纳提升] 1.求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性．
2．复合函数y＝f[g(x)]及其里层函数μ＝g(x)与外层函数y＝f(μ)的单调性之间的关系(见下表).
函数
单调性
y＝f(μ)
增函数
增函数
减函数
减函数
μ＝g(x)
增函数
减函数
增函数
减函数
y＝f[g(x)]
增函数
减函数
减函数
增函数
【对点练习】?
(2020·河北沧州市高一期末测试)函数f(x)＝(x2－3x－10)的单调递增区间为( A )
A．(－∞，－2)
B．(－∞，)
C．(－2，)
D．(5，＋∞)
[解析] 由题意，得x2－3x－10>0，
∴(x－5)(x＋2)>0，∴x<－2或x>5.
令u＝x2－3x－10，
函数f(x)的单调递增区间即为函数u＝x2－3x－10在(－∞，－2)∪(5，＋∞)上的单调递减区间，又u＝x2－3x－10在(－∞，－2)上递减，故选A．
题型二 对数型复合函数的值域
例2
求下列函数的值域：
(1)y＝log2(x2＋4)；
(2)y＝(3＋2x－x2)．
[解析] (1)y＝log2(x2＋4)的定义域为R.
∵x2＋4≥4，∴log2(x2＋4)≥log24＝2.
∴y＝log2(x2＋4)的值域为{y|y≥2}．
(2)设u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4≤4.
∵u>0，∴0又y＝u在(0，＋∞)上是减函数，∴u≥4＝－2，
∴y＝(3＋2x－x2)的值域为{y|y≥－2}．
[归纳提升] 1.与对数函数有关的复合函数值域：求与对数函数有关的复合函数的值域，一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法)．
2．对于形如y＝loga
f(x)(a>0，且a≠1)的复合函数的值域的求法的步骤：①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；②求f(x)的定义域；③求u的取值范围；④利用y＝logau的单调性求解．
【对点练习】?
函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( A )
A．(0，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．[1，＋∞)
[解析] ∵3x＋1>1，且f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴log2(3x＋1)>log21＝0，故该函数的值域为(0，＋∞)．
题型三 对数型复合函数的奇偶性
例3
(2019·云南泸西县一中高一期中测试)已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性并加以证明．
[分析] (1)函数奇偶性判断的方法是什么？
(2)对数的运算法则是什么？
[解析] (1)由题意得，
∴－1∴函数f(x)的定义域为(－1,1)．
(2)由(1)知函数f(x)的定义域为(－1,1)关于原点对称．
∴f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]
＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
[归纳提升] 判断函数的奇偶性时，首先要注意求函数的定义域，函数具有奇偶性，其定义域必须关于原点对称．
【对点练习】?
函数f(x)＝lg()是( A )
A．奇函数
B．偶函数
C．既奇又偶函数
D．非奇非偶函数
[解析] 函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．
又f(－x)＝lg()
＝lg＝lg(＋x)
＝lg()－1
＝－lg＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
误区警示
忽视对数函数的定义域
例4
若函数y＝loga(2－ax)在x∈[0,1]上是减函数，则a的取值范围是( B )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(0,2)
D．(1，＋∞)
[错解] 错解一：因为函数f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，根据对数函数在0错解二：令u＝2－ax，由于a>0且a≠1，所以u＝2－ax为减函数，根据复合函数单调性“同增异减”法则，要使f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上为减函数，则需y＝logau为增函数，从而得a>1，故选D．
[错因分析] 在求解时，已经掌握了利用复合函数单调性“同增异减”法则进行解答，但是忽视了对数函数的定义域问题，考虑问题不全面，犯了知识性和能力性的双重错误．
[正解] 令u＝2－ax，由于a>0且a≠1，所以u＝2－ax为减函数，又根据对数函数定义域要求u＝2－ax在[0,1]上恒大于零，当x∈[0,1]时，umin＝2－a>0，解得a<2.
根据复合函数单调性“同增异减”法则，要使f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上为减函数，则需y＝logau为增函数，所以a>1.
综上可得1[方法点拨] 对数型函数是考查定义域问题的重点函数．因此，在解决真数中含参数的对数问题时，一定要保证真数大于0.忽略这一点，可能会使所求参数范围扩大致误．如本例中，u＝2－ax在x∈[0,1]时一定要保证u>0才有意义，请学生重点关注．
学科素养
综合应用所学知识分析解决问题的能力
例5
已知f(x)＝ln是奇函数．
(1)求m；
(2)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．
[分析] (1)题目给定的关键条件是f(x)是奇函数，一般考虑用f(－x)＝－f(x)，f(－1)＝－f(1)，f(0)＝0(当0、－1在定义域中时)等，它是从反面考查函数奇偶性的判定．
[解析] (1)f(－x)＝ln＝ln，－f(x)＝－ln＝ln.
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即ln＝ln，得∴m＝－1.
(2)f(x)在(1，＋∞)上单调递减．证明：由(1)知f(x)＝ln＝ln(1＋)．任取x1，x2满足1＜x1＜x2，
∵(1＋)－(1＋)
＝－＝.
由1＜x1＜x2知，x2－x1＞0，x1－1＞0，x2－1＞0，
∴(1＋)－(1＋)＞0，即1＋＞1＋＞0，
又y＝lnx为增函数，∴ln(1＋)＞ln(1＋)，
即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(1，＋∞)上是减函数．
[归纳提升] (1)已知某函数是奇函数或偶函数，求其中某参数值时，常用方法有两种：
①由f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)直接列关于参数的方程(组)，解之得结果．
②由f(－a)＝f(a)或f(－a)＝－f(a)(其中a是某具体数)得关于参数的方程(组)，解之得结果，但此时需检验．
(2)用定义证明形如y＝loga
f(x)函数的单调性时，应先比较与x1，x2对应的两真数间的大小关系，再利用对数函数的单调性，比较出两函数值之间的大小关系．
课堂检测·固双基
1．(2020·江苏宿迁市高一期末测试)函数f(x)＝lg(3x－1)＋的定义域为( C )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，1]
C．(0,1]
D．[0,1]
[解析] 由题意得，
∴，∴0故选C．
2．(2020·贵州遵义市高一期末测试)设a＝20.3，b＝0.32，c＝log20.3，则a、b、c的大小关系是( C )
A．aB．bC．cD．c[解析] a＝20.3>20＝1，
b＝0.32∈(0,1)，c＝log20.3∴c3．设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( A )
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
[解析] 由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(x)＝ln＝ln(－1)，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，选A．
4．函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在[2,3]上的最大值为1，则a＝__3__.
[解析] 当a＞1时，f(x)的最大值是f(3)＝1，
则loga3＝1，∴a＝3＞1，∴a＝3符合题意；
当0＜a＜1时，f(x)的最大值是f(2)＝1，
则loga2＝1，∴a＝2＞1.∴a＝2不合题意．
5．已知函数f(x－1)＝lg.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解关于x的不等式f(x)≥lg(3x＋1)．
[解析] (1)令t＝x－1，则x＝t＋1.
由题意知>0，即0所以f(t)＝lg＝lg.
故f(x)＝lg(－1(2)lg≥lg(3x＋1)?≥3x＋1>0(－10，得x>－.因为－10.
由≥3x＋1，得x＋1≥(3x＋1)(1－x)，
即3x2－x≥0，x(3x－1)≥0，解得x≥或x≤0，
又x>－，－1故原不等式的解集为(－，0]∪[，1)．
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-4.4.3 不同函数增长的差异
必备知识·探新知
基础知识
知识点 三种函数的性质及增长速度比较
指数函数
对数函数
一元一次函数
解析式
y＝ax(a>1)
y＝logax__(a>
1)__
y＝kx(k>0)
单调性
在(0，＋∞)上单调__递增__
图象(随x的增大)
逐渐与y轴平行
逐渐与x轴平行
直线逐渐上升
增长速度(随x的增大)
y的增长速度越来越__快__
y的增长速度越来越__慢__
y值逐渐增加
增长关系
存在一个x0，当x>x0时，ax>kx>logax
思考：存在一个x0，当x>x0时，为什么ax>xn>logax(a>1，n>0)一定成立？
提示：当a>1，n>0时，由y＝ax，y＝xn，y＝logax的增长速度，存在x0，当x>x0时，三个函数的图象由上到下依次为指数，幂，对数，故一定有ax>xn>logax.
基础自测
1．下列说法正确的个数是( C )
(1)函数y＝x的衰减速度越来越慢．
(2)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．
(3)若a>1，n>0，对于任意x0∈R，一定有ax0>x.
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 对于(1)，由函数y＝x的图象可知其衰减速度越来越慢，正确；对于(2)，一次函数的图象是直线，因此其增长速度不变，正确；对于(3)，如23<32，错误．故选C．
2．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件时，日均销售100件，当单价每增加1元时，日均销售量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，日利润最大( B )
A．8元/件
B．10元/件
C．12元/件
D．14元/件
3．甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( D )
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲先到达终点
4．下列函数中，随x的增大而增大且速度最快的是__①__.
①y＝ex ②y＝lnx ③y＝7x ④y＝e－x
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 函数模型的增长差异
例1
四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1
024
32
768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
关于x呈指数函数变化的变量是__y2__.
[分析] 从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．
[解析] 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速率不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．
[归纳提升] 三种函数模型的增长规律：
(1)对于幂函数y＝xn，当x＞0，n＞0时，y＝xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快．
(2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y＝x对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a越小，y＝logax增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0，a＞1)．
(3)指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax＞xn.
【对点练习】?
下面是f(x)随x的增大而得到的函数值表：
x
2x
x2
2x＋7
log2x
1
2
1
9
0
2
4
4
11
1
3
8
9
13
1.585
4
16
16
15
2
5
32
25
17
2.322
6
64
36
19
2.585
7
128
49
21
2.807
8
256
64
23
3
9
512
81
25
3.170
10
1
024
100
27
3.322
试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？
(2)各函数增长速度快慢有什么不同？
[解析] (1)随着x的增大，各函数的函数值都在增大．
(2)由图表可以看出：各函数增长速度快慢不同，其中f(x)＝2x的增长速度最快，而且越来越快；其次为f(x)＝x2，增长的幅度也在变大；而f(x)＝2x＋7增长速度不变；增长速度最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小．
题型二 指数函数、对数函数与幂函数模型比较
例2
已知函数f(x)＝2x和g(x)＝x3，在同一坐标系下作出了它们的图象，结合图象比较f(8)，g(8)，f(2
020)，g(2
020)的大小．
[分析] 已知条件：指数函数解析式f(x)＝2x和幂函数解析式g(x)＝x3.
条件分析：由函数解析式列表、描点、连线，可得函数图象，由两函数图象的交点，分析函数值的大小情况．
[解析] 列表：
x
…
－1
0
1
2
3
…
f(x)
…
1
2
4
8
…
g(x)
…
－1
0
1
8
27
…
描点、连线，得如图所示图象：
则函数f(x)＝2x对应的图象为C2，函数g(x)＝x3对应的图象为C1.
∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，
f(9)＝512，g(10)＝1
000，f(10)＝1
024，
∴f(1)>g(1)，f(2)g(10)，
∴1020.
从图象上知，当x1当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(2
020)>g(2
020)>g(8)>f(8)．
[归纳提升] 由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．
【对点练习】?
函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
[解析] (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.
(2)当0f(x)；当x1g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)．
课堂检测·固双基
1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是( D )
A．y＝100x
B．y＝log100x
C．y＝x100
D．y＝100x
[解析] 由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝100x的增长速度最快．
2．某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来的价格相比，变化情况是( B )
A．增加了7.84%
B．减少了7.84%
C．减少了9.5%
D．不增不减
[解析] 设该商品原价为a，则四年后的价格为a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.921
6a，
所以a－0.921
6a＝0.078
4a＝7.84%a，
故变化的情况是减少了7.84%.
3．专家预测，在我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( D )
[解析] 由题意可知y＝(1＋10.4%)x，故选D．
4.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图，给出下列四种说法：
①前三年中产量增长的速度越来越快；
②前三年中产量增长的速度越来越慢；
③第三年后这种产品停止生产；
④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的是__②③__.
[解析] 由t∈[0,3]的图象，联想到幂函数y＝xa(0PAGE
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