4.5 函数应用(二)
【素养目标】
1．结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系．(直观想象，数学抽象)
2．结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性．(逻辑推理，数学运算)
3．理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律．(数学建模)
【学法解读】
本节在学习中首先利用方程的解引出函数的零点，体现数学素养中的数学抽象，再把函数的零点、方程的解与函数的图象与x轴交点横坐标三者统一，结合函数的图象及性质会判断函数零点问题，对函数的实际应用问题，学生应学会对问题进行分析，灵活运用所学过的数学知识，建立“量”与“量”之间的函数关系，把实际问题转化为函数问题，通过对函数问题的解决达到解决实际问题的目的．
4.5.1 函数的零点与方程的解
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 函数的零点
(1)函数f(x)的零点是使f(x)＝0的__实数x__.
(2)函数的零点、函数的图象、方程的根的关系．
思考1：(1)函数的零点是点吗？
(2)函数的零点个数、函数的图象与x轴的交点个数、方程f(x)＝0根的个数有什么关系？
提示：(1)不是，是使f(x)＝0的实数x，是方程f(x)＝0的根．
(2)相等．
知识点2 函数的零点存在定理
(1)条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是__连续不断的曲线__，f(a)f(b)<0；
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，即存在c∈(a，b)使f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．
思考2：(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)f(b)<0?
提示：(1)只能判断有无零点，不能判断零点的个数．
(2)不一定，如f(x)＝x2在区间(－1,1)上有零点0，但是f(－1)f(1)＝1×1＝1>0.
基础自测
1．函数f(x)＝4x－6的零点是( C )
A．
B．(，0)
C．
D．－
[解析] 令4x－6＝0，得x＝，∴函数f(x)＝4x－6的零点是.
2．(2020·广州荔湾区高一期末测试)函数f(x)＝x－2＋log2x，则f(x)的零点所在区间为( B )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
[解析] f(1)＝－1＋log21＝－1，f(2)＝log22＝1，∴f(1)·f(2)<0，故选B．
3．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( B )
A．a＜1
B．a＞1
C．a≤1
D．a≥1
[解析] 函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，即方程x2＋2x＋a＝0没有实数根，所以Δ＝4－4a＜0，得a＞1.
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有__2__个零点．
[解析] 令ax2＋bx＋c＝0，Δ＝b2－4ac，∵a·c<0，∴b2－4ac>0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等实根，∴二次函数y＝ax2＋bx＋c(a·c<0)有2个零点．
5．求下列函数的零点．
(1)f(x)＝x2－5x－6；
(2)f(x)＝x3－7x＋6；
(3)f(x)＝()x－4；
(4)f(x)＝lnx－1.
[解析] (1)令x2－5x－6＝0，得(x－6)(x＋1)＝0，∴x1＝－1，x2＝6，∴函数f(x)的零点为－1,6.
(2)令x3－7x＋6＝0，得x3－x－6x＋6＝0，
∴x(x＋1)(x－1)－6(x－1)＝0，
∴(x－1)(x2＋x－6)＝0，∴(x－1)(x＋3)(x－2)＝0，
∴x1＝－3，x2＝1，x3＝2.
∴函数f(x)的零点为－3,1,2.
(3)令()x－4＝0，得()x＝4，∴x＝－2.
∴函数f(x)的零点为－2.
(4)令lnx－1＝0，得lnx＝1，∴x＝e.
∴函数f(x)的零点为e.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 求函数的零点(方程的根)
例1
判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝－x2－4x－4；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝4x＋5；
(4)f(x)＝log3(x＋1)．
[分析] 求函数的零点，就是求相应方程的实数根．
[解析] (1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2，
所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝－2.
(2)令＝0，解得x＝1，
所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝1.
(3)令4x＋5＝0，显然方程4x＋5＝0无实数根，所以函数f(x)不存在零点．
(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝0.
[归纳提升] 1.正确理解函数的零点：
(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点?方程f(x)＝0的实根?函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．函数零点的求法：
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
【对点练习】?
(1)求下列函数的零点：
①f(x)＝x2－2x－3零点为__3，－1__；
②g(x)＝lgx＋2零点为____.
(2)已知－1和4是函数f(x)＝ax2＋bx－4的零点，则f(1)＝__－6__.
[解析] (1)①f(x)＝(x－3)·(x＋1)，令f(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3，∴f(x)的零点为3和－1，
②由lgx＋2＝0得，lgx＝－2，∴x＝.
故g(x)的零点为.
(2)由条件知，∴，∴，
∴f(1)＝a＋b－4＝－6.
题型二 判断零点所在的区间
例2
(2020·江西宜丰中学高一期末测试)函数f(x)＝lnx＋x3－9的零点所在的区间为( C )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
[分析] 根据函数零点的存在性原理判断函数零点所在的区间．
[解析] f(1)＝1－9＝－8<0，
f(2)＝ln2＋8－9＝ln2－1<0，
f(3)＝ln3＋27－9＝ln3＋18>0，
∴f(2)·f(3)<0，∴函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)．
[归纳提升] 判断函数零点所在区间的方法：
一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．
【对点练习】?
函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( C )
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
[解析] f(－2)＝e－2－2－2＝e－2－4＝－4<0，
f(－1)＝e－1－1－2＝－3<0，
f(0)＝e0－2＝1－2<0，f(1)＝e－1>0，
∴f(0)·f(1)<0，∴函数f(x)的零点所在的一个区间为(0,1)．
题型三 函数零点个数的判断
例3
函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1，x2，且x1A．x1<2,2B．x1>2且x2>5
C．x1<2，x2>5
D．25
[分析] f(x)的图象是由g(x)＝(x－2)(x－5)的图象向下平移1个单位得到的，由g(x)的零点可判断x1，x2的取值范围．
[解析] 作出函数g(x)＝(x－2)(x－5)的图象如图，将y＝g(x)的图象向下平移1个单位即得y＝f(x)的图象，由图象易知x1<2，x2>5，故选C．
[归纳提升] 判断函数y＝f(x)的零点的个数的方法
(1)解方程法，方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数．
(2)借助函数的单调性及函数零点存在定理进行判断．
(3)如果函数图象易画出，则可依据图象与x轴的交点的个数来判断．特别地，对于形如y＝h(x)－g(x)的函数，可依据函数h(x)与g(x)的图象的交点的个数来判断函数y＝h(x)－g(x)的零点的个数．
【对点练习】?
若x0是方程()x＝x的根，则x0属于区间( C )
A．(，1)
B．(，)
C．(，)
D．(0，)
[解析] 构造函数f(x)＝()x－x，则函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，又f(0)＝()0－0＝1>0，f()＝()－()>0，f()＝()－()<0，f()＝()－()<0，f(1)＝－1＝－<0，结合选项，因为f()·f()<0，
故函数f(x)的零点所在的区间为(，)，
即方程()x＝x的根x0属于区间(，)．
题型四 一元二次方程根的分布问题
例4
(2020·天津市河西区高一期末测试)已知函数f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.
(1)若f(x)有且只有一个零点，求实数m的值；
(2)若f(x)有两个零点，且均比－1大，求m的取值范围．
[分析] (1)f(x)有且只有一个零点，即方程x2＋2mx＋3m＋4＝0有两个相等实数根；
(2)f(x)有两个零点，且均比－1大，即方程x2＋2mx＋3m＋4＝0在(－1，＋∞)上有两个实数根．
[解析] (1)由题意可知方程x2＋2mx＋3m＋4＝0有两个相等实数根，
∴Δ＝4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，
∴m＝－1或m＝4.
(2)由题意得，
解得－5∴实数m的取值范围是(－5，－1)．
[归纳提升] 解决一元二次方程根的分布问题，要利用数形结合，结合判别式、对称轴、区间端点的函数值的正负等情况进行求解．
【对点练习】?
若方程kx2－(2k＋1)x－3＝0的两根x1，x2满足－1[解析] 函数f(x)＝kx2－(2k＋1)x－3的图象是连续曲线，则由题意可知f(－1)·f(1)<0且f(1)·f(3)<0，即解得k<－4或k>2.
故实数k的取值范围是{k|k<－4或k>2}．
课堂检测·固双基
1．函数f(x)＝x3－x的零点个数是( D )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] f(x)＝x(x－1)(x＋1)，令x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0或x＝1或x＝－1，即函数的零点为－1,0,1，共3个．
2．(2019·广东省肇庆市模拟)“m<1”是“函数f(x)＝x2＋x＋m有零点”的( C )
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
[解析] ∵函数f(x)＝x2＋x＋m有零点，∴方程x2＋x＋m＝0有解，则Δ＝1－4m≥0，解得m≤，由于m≤?m<1，m<1m≤，
∴“m<1”是“函数f(x)＝x2＋x＋m有零点”的必要不充分条件．
3．(2020·天津和平区高一期中测试)函数f(x)＝2x＋x的零点所在的一个区间是( C )
A．(1,2)
B．(0,1)
C．(－1,0)
D．(－2，－1)
[解析] f(1)＝2＋1＝3>0，
f(2)＝4＋2＝6>0，
f(0)＝20＝1>0，
f(－1)＝－1＝－<0，
∴f(－1)·f(0)<0，故选C．
4．设函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在闭区间[a，b]内有__1__个根．
[解析] 由f(a)·f(b)<0知f(x)＝0在[a，b]上至少有一个实数根，又f(x)在[a，b]上为单调函数，从而可知必有唯一实数根．
5．函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点．
[解析] 由题意知方程x2－ax－b＝0的两个根是2和3，
∴a＝5，b＝－6，
∴g(x)＝－6x2－5x－1，
由－6x2－5x－1＝0，
解得x1＝－，x2＝－.
∴函数g(x)的零点是－，－.
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-4.5.2 用二分法求方程的近似解
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 二分法的概念
对于在区间[a，b]上__连续不断__且__f(a)·f(b)<0__的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法．
思考1：是否所有的函数都可以用二分法求函数的零点？
提示：不是，只有满足函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时，才能应用“二分法”求函数零点．
知识点2 用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤
(1)确定区间[a，b]，验证__f(a)·f(b)＜0__，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)：
若f(c)＝__0__，则c就是函数的零点；
若f(a)·f(c)__＜__0，则令b＝c[此时零点x0∈(a，c)]；
若f(c)·f(b)__＜__0，则令a＝c[此时零点x0∈(c，b)]．
(4)判断是否达到精确度ε：
即若|a－b|__＜__ε，则得到零点的近似值为a(或b)；否则重复(2)～(4)．
思考2：零点的近似解只能是区间的端点a或b吗？
提示：不是，区间的端点可以，区间的中点也可以，实际上区间上的任意一个值都可以．
基础自测
1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是( C )
[解析] 由二分法的定义，可知只有当函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)f(b)<0，即函数的零点是变号零点时，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各选项分析可知，选项A，B，D都符合，而选项C不符合，因为在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．
2．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是( C )
A．f(x)＝3x－1
B．f(x)＝x3
C．f(x)＝|x|
D．f(x)＝ln
x
[解析] 对于选项C而言，令|x|＝0，得x＝0，即函数f(x)＝|x|存在零点，但当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)>0，所以f(x)＝|x|的函数值非负，即函数f(x)＝|x|有零点，但零点两侧函数值不异号，所以不能用二分法求零点的近似值．
3．(2019·河南永城实验中学高一期末测试)用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( A )
A．[－2,1]
B．[－1,0]
C．[0,1]
D．[1,2]
[解析] f(－2)＝(－2)3＋5＝－8＋5＝－3<0，
f(1)＝1＋5＝6>0，
∴f(－2)·f(1)<0，故选A．
4．函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的变号零点的个数为( D )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 函数f(x)的图象通过零点时，穿过x轴，则必存在变号零点，根据图象可知，函数
f(x)有3个变号零点，故选D．
5．方程3x＋m＝0的根在(－1,0)内，则m的取值范围为__(0,3)__.
[解析] 解法一：∵f(x)＝3x＋m单调递增，∴只要满足，即可解得0解法二：由3x＋m＝0得m＝－3x，∵x∈(－1,0)，∴－3x∈(0,3)，∴m∈(0,3)．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 对二分法概念的理解
例1
(1)下面关于二分法的叙述，正确的是( B )
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循
D．只有在求函数的零点时才用二分法
(2)观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( A )
[分析] (1)怎样用二分法求函数的零点？
(2)函数具有零点与该函数的图象有何关系？
[解析] (1)只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右的函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错；二分法有规律可循，可以通过计算机或计算器来进行，故C错；求方程的近似解也可以用二分法，故D错．
(2)由图象可得，A中零点左侧与右侧的函数值符号不同，故可用二分法求零点．
[归纳提升] 运用二分法求函数的零点需具备的两个条件：(1)函数图象在零点附近连续不断；(2)在该零点左右函数值异号．
【对点练习】?
(1)对于二分法求得的近似解，精确度ε说法正确的是( B )
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
(2)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( B )
[分析] 解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件．
[解析] (1)由精确度ε定义知，ε越大，零点的精确度越低．(2)利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．
题型二 用二分法求函数的零点近似值(方程近似解)问题
例2
用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度为0.1)．
[分析] 把方程的近似解转化为函数的零点的近似值．
[解析] 令f(x)＝2x3＋3x－3，
经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点．
即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解．
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
(a，b)
中点c
f(a)
f(b)
f()
(0,1)
0.5
f(0)<0
f(1)>0
f(0.5)<0
(0.5,1)
0.75
f(0.5)<0
f(1)>0
f(0.75)>0
(0.5,0.75)
0.625
f(0.5)<0
f(0.75)>0
f(0.625)<0
(0.625,0.75)
0.687
5
f(0.625)<0
f(0.75)>0
f(0.687
5)<0
由于|0.687
5－0.75|＝0.062
5<0.1，
所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687
5.
[归纳提升] 1.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
2．二分法求函数零点步骤的记忆口诀
定区间，找中点；中值计算两边看，
同号丢，异号算，零点落在异号间．
重复做，何时止，精确度来把关口．
【对点练习】?
(1)已知f(x)＝－lnx在区间(1,2)内有一个零点x0，若用二分法求x0的近似值(精确度0.2)，则最多需要将区间等分的次数为( A )
A．3
B．4
C．5
D．6
(2)用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600
0)≈0.200
f(1.587
5)≈0.133
f(1.575
0)≈0.067
f(1.562
5)≈0.003
f(1.556
25)≈－0.029
f(1.550
0)≈－0.060
据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确度0.01)为__1.562
5__.
[解析] (1)由用二分法求函数零点近似值的步骤可知分一次f()＞0，区间长度|2－|＝0.5＞0.2，
分二次，f()＞0，区间长度|2－|＝0.25＞0.2，
分三次f()＜0，区间长度|－|＝＜0.2，
所以最多分三次可以使x0的近似值达到精确度0.2.
(2)由参考数据知，f(1.562
5)≈0.003>0，f(1.556
25)≈－0.029<0，即f(1.562
5)·f(1.556
25)<0，且1.562
5－1.556
25＝0.006
25<0.01，∴f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值可取为1.562
5.
题型三 二分法思想的实际应用
例3
现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同且合标准，用同一架天平(无砝码)，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？
[解析] 先在天平左右各放4个球．有两种情况：
(1)若平，则“坏球”在剩下的4个球中．
取剩下的4个球中的3个球放在天平的一端，取3个好球放在天平的另一端．
①若仍平，则“坏球”为4个球中未取到的那个球，将此球与1个好球放上天平比一比，即知“坏球”是轻还是重；
②若不平，则“坏球”在天平一端的3个球之中，且知是轻还是重．任取其中2个球，天平两端各放1个，无论平还是不平，均可确定“坏球”．
(2)若不平，则“坏球”在天平上的8个球中，不妨设天平右端较重．
从右端4个球中取出3个球，置于一容器内，然后从左端4个球中取3个球移到右端，再从外面好球中取3个补到左端，看天平，有三种可能．
①若平，则“坏球”是容器内3个球之一且偏重；
②若左端重，“坏球”已从左端换到右端，因此，“坏球”在从左端移到右端的3个球中，并且偏轻；
③若右端重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个(左右各一)，“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．
虽然对于以上三种情况的任一种，再用天平称一次，即可找出“坏球”，且知其是轻还是重．
[归纳提升] 二分法的思想除了可以用来处理生活中的对称问题，还可以处理一些不对称问题．要注意二分法的思想与实际问题之间的联系及二分法的思想的应用．
【对点练习】?
某娱乐节目有一个给选手在限定时间内猜一物品的售价的环节，某次猜一品牌手机的价格，手机价格在500～1
000元，选手开始报价1
000元，主持人回答高了；紧接着报900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你猜中了，表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上体现了“逼近”的思想，试设计出可行的猜价方案．
[分析] 运用二分法思想求解．
[解析] 取价格区间[500,1
000]的中点750元，低了；就再取[750,1
000]的中点875，高了；就取[750,875]的中点，遇到小数，则取整数，照此猜下去，可以猜价：750,875,812,843,859,851，经过6次即能猜中价格．
课堂检测·固双基
1．y＝2x－1的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是( B )
A．，
B．，
C．，－
D．，－
[解析] 函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标.
2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( D )
A．{1,3}
B．{－3，－1,1,3}
C．{2－，1,3}
D．{－2－，1,3}
[解析] 当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋3x]＝－x2－3x，易求得g(x)解析式g(x)＝当x2－4x＋3＝0时，可求得x1＝1，x2＝3；当－x2－4x＋3＝0时可求得x3＝－2－，x4＝－2＋(舍去)，故g(x)的零点为1,3，－2－，故选D．
3．下列图象表示的函数中没有零点的是( A )
[解析] 由函数零点的意义可得：函数的零点是否存在体现在函数图象与x轴有无交点上．
4．函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的解所在的区间为( A )
A．(1.25,1.5)
B．(1,1.25)
C．(1.5,2)
D．不能确定
[解析] 由于f(1.25)f(1.5)＜0，则方程的解所在的区间为(1.25,1.5)．
5．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上的近似零点(精确度为0.01)，验证f(2)·f(4)<0，取区间[2,4]的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是__(2,3)__.
[解析] ∵f(2)·f(4)<0，f(2)·f(3)<0，
∴f(3)·f(4)>0，∴x0∈(2,3)．
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-4.5.3 函数模型的应用
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 指数函数与对数函数模型
指数函数模型
y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型
y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
知识点2 解函数应用题的基本思路与步骤
1．建立函数模型解决实际问题的基本思路
2．建立函数模型解决实际问题的解题步骤
某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为x，因变量为y.它们已建立了函数模型，我们可以利用该函数模型得出实际问题的答案．具体解题步骤为：
第一步，审题，引进数学符号，建立数学模型．了解变量的含义，若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定．
第二步，求解数学模型．利用数学知识，如函数的单调性、最值等，对函数模型进行解答．
第三步，转译成实际问题的解．
知识点3 拟合函数模型问题
定量分析和研究实际问题时，要深入调查、研究、了解对象信息，作出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子(也就是数学模型)，然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题．这个建立数学模型的全过程，就称为数学建模．根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型，并求出函数解析式，再进行拟合、比较，选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合)．
1．建立拟合函数模型的步骤
(1)收集数据．
(2)根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图．
(3)根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型．
(4)选择其中的几组数据求出函数模型．
(5)将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则返回步骤(3)，若符合实际，则进入下一步．
(6)用所得函数模型解释实际问题．
2．建立拟合函数模型的一般流程
根据建立拟合函数模型的步骤，我们用如图来表示建立拟合函数模型的一般流程．
基础自测
1．某厂2008年的产值为a万元，预计产值每年以n%的速度递增，则该厂到2020年的产值(单位：万元)是( B )
A．a(1＋n%)13
B．a(1＋n%)12
C．a(1＋n%)11
D．a(1－n%)12
[解析] 2008年的产值为a万元，2009年的产值为a＋a·n%＝a(1＋n%)，2010年的产值为a(1＋n%)＋a(1＋n%)·n%＝a(1＋n%)2，…，2020年的产值为a(1＋n%)12.
2．某种细菌经30分钟个数变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝__2ln
2__，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为__1
024__.
[解析] 由题意知，当t＝时，y＝2，即2＝ek，
∴k＝2ln
2，∴y＝e2tln
2.
当t＝2时，y＝e2×5×ln
2＝210＝1
024.
即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1
024.
3．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到__300__只．
[解析] 由题意，繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，这种动物第1年有100只，
所以100＝alog2(1＋1)，
所以a＝100，
所以y＝100log2(x＋1)，
所以当x＝7时y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300.
4．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
x
1.99
3
4
5.1
8
y
0.99
1.58
2.01
2.35
3.00
现有如下5个模拟函数：
①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x；⑤y＝()x＋1.74.
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选__④__(填序号)．
[解析] 画出散点图如图所示：
由图可知上述散点大致在函数y＝log2x上，故函数y＝log2x可以近似地反映这些数据的规律．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 指数函数模型的应用
例1
2011年10月31日世界人口达到70亿，假设世界人口年增长率为2.1‰，用英国经济学家马尔萨斯提出自然状态下的人口增长模型：y＝y0ert预测什么时候世界人口会翻一番？
[分析] 解指数方程，要进行指对式互化．
[解析] 由2011年世界人口数据，把y0＝70，r＝0.002
1代入马尔萨斯人口模型，得y＝70e0.002
1t.
解不等式y＝70e0.002
1t≥140得t≥≈330.
所以由马尔萨斯人口模型估算，经过330年后，即2341年世界人口达到140亿．
[归纳提升] 指数型函数问题的类型及解法
(1)指数型函数模型：y＝max(a>0且a≠1，m≠0)，在实际问题中，有关人口增长，银行利率，细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示．
(2)指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论．
【对点练习】?
目前某县有100万人．经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%.请回答下列问题：
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．
[解析] (1)当x＝1时，
y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)
当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；
当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；
……
故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N
)．
(2)当x＝10时，y＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7，
故10年后该县人口总数约有112.7万人．
(3)设x年后该县人口总数将达到120万人，
即y＝100(1＋1.2%)x＝120，
解得x＝log1.012≈16.
故大约16年后该县的人口总数将达到120万人．
题型二 对数函数模型的应用
例2
有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝log3－lg
x0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0代表测量过程中某类候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据：lg
2＝0.30,31.2＝3.74,31.4＝4.66)．
(1)当x0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为8
100个单位时，候鸟的飞行速度是多少km/min?
(2)当x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？
(3)若雄鸟的飞行速度为2.5
km/min，同类雌鸟的飞行速度为1.5
km/min，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？
[分析] (1)将x0，x代入解析式求速度．
(2)利用候鸟休息的速度为0解题．
(3)利用对数运算，两式相减构成耗氧量的商．
[解析] (1)由题意，x0＝2，x＝8
100，
得v＝log3－lg
2＝1.7，
故此时候鸟的飞行速度为1.7
km/min.
(2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是0，可得，0＝log3－lg
5，
即log3＝2lg
5，解得：x＝466，
故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量为466个单位．
(3)设雄鸟的耗氧量为x1，雌鸟的耗氧量为x2，
由题意得：
两式相减可得1＝log3，解得：＝9，
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍．
[归纳提升] 对数型函数问题的类型及解法
(1)对数型函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解．
(2)对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论．
【对点练习】?
大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)与其耗氧量单位数Q之间的关系可以表示为函数v＝klog3＋b，其中k，b为常数．已知一条鲑鱼在静止时的耗氧量为100个单位；而当它的游速为1.5
m/s时，其耗氧量为2
700个单位．
(1)求出游速v与其耗氧量单位数Q之间的函数解析式；
(2)求当一条鲑鱼的游速不高于2.5
m/s时，其耗氧量至多需要多少个单位．
[解析] (1)由题意可得
解得k＝，b＝0，
所以游速v与其耗氧量单位数Q之间的函数解析式v＝log3.
(2)由题意，有log3≤2.5，即log3≤5，
所以log3≤log335，
由对数函数的单调性有0<≤35，
解得0300，
故当一条鲑鱼的游速不高于2.5
m/s时，其耗氧量至多需要24
300个单位．
误区警示
忽视实际问题对定义域的限制致误
例3
生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数．现知一企业生产某种商品的数量为x(件)时的成本函数为y＝10＋2x＋2x2(万元)，如果售出一件商品的价格是20万元，那么该企业所能获取的最大利润是多少？
[错解] 设该企业所能获取的最大利润为z万元，则
z＝20x－(10＋2x＋2x2)，即z＝－2x2＋18x－10＝－2(x－4.5)2＋30.5，
故z的最大值为30.5，即该企业所能获取的最大利润为30.5万元．
[错因分析] 题目中的条件已经暗示了x为自然数，而该错解中却是在x＝4.5时取到的最大值30.5，这种情况在实际中是无法操作的．
[正解] 设该企业所能获取的最大利润为z万元，则z＝20x－(10＋2x＋2x2)(x∈N)，即z＝－2x2＋18x－10＝－2(x－4.5)2＋30.5，故当x＝4或5时，z取最大值30，即该企业生产4件或5件商品时所取得的利润最大，为30万元．
学科素养
二分法的数学思想方法是将方程的根看作函数的零点，利用连续函数的性质，将求方程根的问题转化为计算函数值，逐步逼近零点，体现了函数与方程的思想，转化思想，数形结合思想及数学推理．
例4
已知函数f(x)＝lnx＋2x－6.
(1)证明：f(x)有且仅有一个零点；
(2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于.
[解析] (1)∵函数y＝lnx，y＝2x－6在(0，＋∞)上都是增函数，
∴f(x)＝lnx＋2x－6在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)至多有一个零点，由f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0，
∴f(2)·f(3)<0，∴f(x)在(2,3)内至少有一个零点，
∴f(x)有且仅有一个零点．
(2)∵f(2)<0，f(3)>0，取x1＝＝，f()＝ln＋5－6＝ln－1<0，
∴f(3)·f()<0，∴f(x)的零点x0∈(，3)．
取x2＝＝，f()＝ln＋2×－6＝ln－>0，∴f()·f()<0，∴x0∈(，)．
∵|－|＝≤，∴满足题意的区间为(，)．
课堂检测·固双基
1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为( A )
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A．一次函数模型
B．二次函数模型
C．指数函数模型
D．对数函数模型
[解析] 随着自变量每增加1，函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型．
2．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是( D )
A．y＝3x
B．y＝log3x
C．y＝x3
D．y＝3x
[解析] 几种函数模型中指数函数增长最快．
3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是( D )
[解析] 设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，
所以y＝f(x)的图象大致为D中图象．
4．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如表所示.
时间
1
2
3
4
利润(千元)
2
3.98
8.01
15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的( B )
A．y＝log2x
B．y＝2x
C．y＝x2
D．y＝2x
[解析] 逐个检验可得答案为B．
5．光线通过一块玻璃，强度要损失10%.设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后强度为y，则经过x块这样的玻璃后光线强度为：y＝k·0.9x，那么至少通过__14__块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下(lg
3≈0.477
1，lg
2≈0.301
0)．
[解析] 由题意0.9xk<，即0.9x<，
两边同取对数，可得xlg
0.9，
因为lg
0.91＝0，
所以x>＝≈≈13.1，
又x∈N
，所以至少通过14块玻璃，光线强度能减弱到原来的以下．
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