5.2 三角函数的概念
5.2.1 三角函数的概念
【素养目标】
1．借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(数学建模)
2．理解三角函数的概念．(数学抽象)
3．熟练掌握三角函数值在各象限的符号．(直观想象)
4．通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等．(数学运算)
5．通过对三角函数值的符号、诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力．(逻辑推理)
【学法解读】
在本节学习中利用坐标系中单位圆给出角的三角函数的定义，由三角函数定义判断出函数值符号，得出其结论“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．
第1课时 三角函数的概念(一)
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 三角函数的定义(坐标法)
如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r，则sin
α＝____，cos
α＝____，tan
α＝____.
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为__三角函数__，通常将它们记为：
正弦函数
y＝sin
x，x∈R；
余弦函数
y＝cos
x，x∈R；
正切函数
y＝tan
x，x≠＋kπ(k∈Z).
思考1：(1)在初中是如何定义锐角三角函数的？
(2)如果改变α终边上点P的位置，a，b，r均会改变，那么，，这三个比值会改变吗？为什么？
提示：(1)如图，设锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象限．
在α的终边上任取一点P(a，b)，它与原点的距离r＝>0，过P作x轴的垂线，垂足为M，则线段OM的长度为a，MP的长度为b，则有
sin
α＝＝，cos
α＝＝，tan
α＝＝.
(2)不会改变．如图，
sin
α＝＝，sin
α＝＝，其中r1＝，r2＝，
又△MOP∽△NOQ，
∴＝，∴＝，
同理可知＝，＝.
因此，，这三个比值不会改变．
知识点2 三角函数的定义(单位圆法)
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)，那么：
sin
α＝y；cos
α＝x；tan
α＝(x≠0)．
思考2：(1)什么是单位圆？
(2)对确定的锐角α，sin
α，cos
α，tan
α的值是否随P点的位置的改变而改变？
提示：(1)单位圆是指圆心在原点，半径为单位长度的圆．
(2)不会．三角函数也是函数，是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定．
基础自测
1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
(1)同一个三角函数值只能有唯一的一个角与之对应．( × )
(2)sinα，cosα，tanα的值与点P(x，y)在角α终边上的位置无关．( √ )
(3)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.( × )
(4)若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上一点，则cosα＝－.( × )
2．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos
α等于( D )
A．
B．
C．－
D．－
[解析] r＝＝5，∴cos
α＝＝－，故选D．
3．若角α的终边与单位圆相交于点(，－)，则sinα的值为( B )
A．
B．－
C．
D．－1
[解析] x＝，y＝－，则sinα＝y＝－.
4．已知角α的终边经过P(1,2)，则tanα·cosα等于____.
[解析] 由三角函数的定义，tanα＝＝2，cosα＝＝，∴tanα·cosα＝.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 利用三角函数的定义求三角函数值
例1
(1)若角α的终边与单位圆的交点是P(x，)，则sinα＝____，cosα＝__±__，tanα＝__±__.
(2)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，则＋＝__－__.
(3)若角α的终边在直线y＝x上，求sinα，cosα，tanα的值．
[分析] (1)先求出x的值，再计算；(2)利用三角函数的定义的推广求解；(3)先在终边上取点，再利用定义求解．
[解析] (1)依题意，x2＋()2＝1，解得x＝±，于是sinα＝，cosα＝±，tanα＝＝±.
(2)∵角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，∴cosα＝＝－，解得x＝，
∴P(－，－6)，∴sinα＝－，
∴tanα＝＝，则＋＝－＋＝－.
(3)设P(a，a)(a≠0)是其终边上任一点，
则tanα＝＝，r＝＝2|a|，
当a>0时，sinα＝＝，cosα＝＝；
当a<0时，sinα＝＝－，cosα＝＝－.
所以tanα＝，sinα＝，cosα＝或tanα＝，sinα＝－，cosα＝－.
[归纳提升] 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况：
(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值．
(2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上点，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝.
(3)若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上一点，则先求r＝，再求sinα＝，cosα＝.
(4)若已知角α终边上点的坐标含参数，则需进行分类讨论．
【对点练习】?
已知角的终边落在直线y＝2x上，求sinα、cosα、tanα的值．
[解析] 当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，由r＝|OP|＝＝，得sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝2.
当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(－1，－2)，
由r＝|OQ|＝＝，得：
sinα＝＝－，cosα＝＝－，tanα＝＝2.
题型二 三角函数概念的综合应用
例2
已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin
α＋的值．
[解析] 由题意知，cos
α≠0.
设角α的终边上任意一点为P(k，－3k)(k≠0)，则x＝k，
y＝－3k，r＝＝|k|.
(1)当k>0时，r＝k，α是第四象限角，sin
α＝＝＝－，＝＝＝，
所以10sin
α＋＝10×(－)＋3
＝－3＋3＝0.
(2)当k<0时，r＝－k，α是第二象限角，sin
α＝＝＝，＝＝＝－，
所以10sin
α＋＝10×＋3×(－)＝3－3＝0.
综上所述，10sin
α＋＝0.
[归纳提升] 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin
α＝，cos
α＝，tan
α＝.
【对点练习】?
已知角θ的终边在射线y＝－x(a≠0，y<0)上，且tan
θ＝－a，求sin
θ，cos
θ的值．
[解析] 因为角θ的终边在射线y＝－x(a≠0，y<0)上，所以可设P(a，－1)(a≠0)为角θ终边上任意一点，则r＝(a≠0)．
又tan
θ＝－a，所以－＝－a，解得a＝±1.
当a＝1时，r＝，sin
θ＝－，cos
θ＝；
当a＝－1时，r＝，sin
θ＝－，cos
θ＝－.
课堂检测·固双基
1．角α的终边上有一点P(1，－1)，则sinα的值是( B )
A．
B．－
C．±
D．1
[解析] 利用三角函数定义知：
sin＝＝＝－.
2．若α＝，则α的终边与单位圆的交点P的坐标是( B )
A．(，)
B．(－，)
C．(－，)
D．(，－)
3．已知角α的终边与单位圆的交点为(－，y)(y<0)，则sin
αtan
α＝__－__.
4．已知角α的终边上一点坐标为(－3，a)，且α为第二象限角，cos
α＝－，则sin
α＝____.
5．利用定义求sin、cos、tan的值．
[解析] 如图所示，在坐标系中画出角π的终边．
设角的终边与单位圆的交点为P，
则有P(－，－)．
∴tan＝＝1，sin＝－，cos＝－.
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-第2课时 三角函数的概念(二)
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 三角函数值的符号
如图所示：
正弦：一二象限__正__，三四象限__负__；
余弦：一四象限__正__，二三象限__负__；
正切：一三象限__正__，二四象限__负__.
思考1：(1)三角函数在各象限的符号由什么决定？
(2)三角函数值的符号有简记口诀吗？
提示：(1)三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定．
(2)有；简记口诀为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
知识点2 诱导公式(一)
sin(α＋k·2π)＝__sin
α__，
cos(α＋k·2π)＝__cos
α__，
tan(α＋k·2π)＝__tan
α__，其中k∈Z.
思考2：根据三角函数的诱导公式一，终边相同的角的同一三角函数值有何关系？
提示：终边相同的角，其同名三角函数的值相等．
因为这些角的终边都是同一条射线，根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值相等．
基础自测
1．sinπ等于( A )
A．
B．
C．－
D．－
[解析] 由诱导公式一及特殊角的三角函数知：sin＝sin(4π＋)＝sin＝.
2．若sinα>0，tanα<0，则α为( B )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
[解析] 由sinα>0知α终边在第一、二象限或在y轴正半轴上；由tanα<0知α终边在第二、四象限．综上知α为第二象限角．
3．在△ABC中，若sinA·cosB·tanC<0，则△ABC是( C )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．锐角或钝角三角形
[解析] ∵A、B、C是△ABC的内角，∴sinA>0.
∵sinA·cosB·tanC<0，∴cosB·tanC<0.
∴cosB和tanC中必有一个小于0.
即B、C中必有一个钝角，选C．
4．确定下列各三角函数值的符号：
(1)cos
260°；(2)sin(－)；(3)tan.
[解析] (1)因为260°是第三象限角，所以cos
260°<0.
(2)因为－是第四象限角，所以sin(－)<0.
(3)因为是第三象限角，所以tan>0.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 三角函数在各象限的符号
例1
(1)若cosα>0，sinα<0，则角α的终边在( D )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)确定下列各式的符号：
①sin105°·cos230°；
②sin·tan.
[分析] 先确定角所在象限，进而确定各式的符号．
[解析] (1)由cosα>0，得角α的终边在第一象限或第四象限或x轴的正半轴上．由sinα<0，得角α的终边在第三象限或第四象限或y轴的负半轴上．综上可得，角α的终边在第四象限．
(2)①∵105°、230°分别为第二、第三象限角，
∴sin105°>0，cos230°<0.于是sin105°·cos230°<0.
②∵<<π，
∴是第二象限角，则sin>0，tan<0.
∴sin·tan<0.
[归纳提升] (1)能准确判定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键；(2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律．
【对点练习】?
(1)判断下列各式的符号：
①sin3·cos4·tan5；
②α是第二象限角，sinα·cosα.
(2)若cosθ<0且sinθ>0，则是第__
__象限角．( C )
A．一
B．三
C．一或三
D．任意象限角
[解析] (1)①<3<π，π<4<，<5<2π，
∴sin3>0，cos4<0，tan5<0，∴sin3·cos4·tan5>0.
②∵α是第二象限角，
∴sinα>0，cosα<0，∴sinαcosα<0.
(2)由cosθ<0且sinθ>0，知θ是第二象限角，所以是第一或三象限角．
题型二 诱导公式一的应用
例2
计算下列各式的值：
(1)sin(－1
395°)cos
1
110°＋cos(－1
020°)sin
750°；
(2)sin(－)＋cos
tan
4π.
[分析] →→
[解析] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin
45°cos
30°＋cos
60°sin
30°＝×＋×＝＋＝.
(2)原式＝sin(－2π＋)＋cos(2π＋)tan(4π＋0)＝sin＋cos×0＝.
[归纳提升] 诱导公式一的应用思路
1．诱导公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等．
2．利用诱导公式一可将负角或大于等于2π的角的三角函数化为0～2π之间的角的同名三角函数，实现了“负化正，大化小”．
【对点练习】?
求下列各式的值．
(1)cosπ＋tan(－π)；
(2)sin810°＋tan765°－cos360°.
[解析] (1)原式＝cos(8π＋)＋tan(－4π＋)＝cos＋tan＝＋1＝.
(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)－cos(360°＋0°)＝1＋1－1＝1.
误区警示
对角的范围限定不准确
例3
已知sin＝，cos＝－，试确定角α是第几象限的角．
[错解] 因为sin＝>0，cos＝－<0，所以是第二象限的角，所以＋2kπ<<π＋2kπ(k∈Z)，从而π＋4kπ<α<2π＋4kπ(k∈Z)，故角α是第三或第四象限的角或终边在y轴的非正半轴上．
[错因分析] 错解中扩大了角的取值范围而导致出错．
[正解] 因为sin＝>0，cos＝－<0，所以是第二象限的角，所以＋2kπ<<π＋2kπ(k∈Z)．由sin＝<知＋2kπ<<π＋2kπ(k∈Z)，所以＋4kπ<α<2π＋4kπ(k∈Z)，故角α是第四象限的角．
[方法点拨] 在确定α是第几象限的角时，一定要注意题目中的隐含条件，把取值范围限定在最小的区间，这样才可以准确得出α是第几象限角．
学科素养
分类讨论思想在化简三角函数式中的应用
例4
设角α的终边不在坐标轴上，求函数y＝＋＋的值域．
[解析] 当α是第一象限角时，sinα，cosα，tanα均为正值，
∴＋＋＝3.
当α是第二象限角时，sinα为正值，cosα，tanα为负值，
∴＋＋＝－1.
当α是第三象限角时，sinα，cosα为负值，tanα为正值，
∴＋＋＝－1.
当α是第四象限角时，sinα，tanα为负值，cosα为正值，
∴＋＋＝－1.
综上可知，函数y的值域为{－1,3}．
[归纳提升] 对于多个三角函数符号的判断问题，要进行分类讨论．
课堂检测·固双基
1．sin(－π)的值等于( C )
A．
B．－
C．
D．－
[解析] sin(－π)＝sin(－4π＋π)＝sinπ＝，故选C．
2．已知点P(tan
α，cos
α)在第三象限，则α的终边在( B )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] 因为点P在第三象限，
所以tan
α<0，cos
α<0，所以α为第二象限角．
3．若角α的终边过点(－5，－3)，则( C )
A．sinαtanα>0
B．cosαtanα>0
C．sinαcosα>0
D．sinαcosα<0
[解析] ∵角α的终边过点(－5，－3)，
∴sinα<0，cosα<0，tanα>0，
∴sinαcosα>0，故选C．
4．计算：cos(－)＋sin·
tan
8π.
[解析] 原式＝cos＋sin·tan(0＋8π)＝cos＋sin·tan
0
＝＋0＝.
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-5.2.2 同角三角函数的基本关系式
【素养目标】
1．理解并掌握同角三角函数的基本关系．(数学抽象)
2．会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明．(数学运算、逻辑推理)
3．通过对同角三角函数的基本关系式的探究学习，让学生学会用联系的观点，化归与转化的思想，数形结合的思想分析解决问题，培养探究精神和创新意识．(逻辑推理)
【学法解读】
本节在学习中应先利用三角函数定义推导出同角函数基本关系，培养学生观察、分析探究、解决问题能力，提升学生的逻辑推理及数学运算的素养．
必备知识·探新知
基础知识
知识点 同角三角函数的基本关系式
1．公式
(1)平方关系：__sin2α＋cos2α＝1.__
(2)商数关系：__＝tanα.__
2．公式推导
如图，设点P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，过P作x轴的垂线，交x轴于M，则△OMP是直角三角形，而且OP＝1.
由勾股定理，得OM2＋MP2＝1，因此x2＋y2＝1，即sin2α＋cos2α＝1.
根据三角函数的定义，当α≠kπ＋(k∈Z)时，有＝tanα.
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
[注意] 对同角三角函数基本关系式的理解
(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．
(2)sin2α是(sinα)2的简写，读作“sinα的平方”，不能将sin2α写成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．
(3)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立．
3．常用的等价变形
sin2α＋cos2α＝1?
tanα＝?
思考：变形公式的应用要注意哪些方面？
提示：(1)使用变形公式sinα＝±，cosα＝±时，“±”号是由α的终边所在的象限确定的，而对于其他形式的变形公式就不必考虑符号问题．
(2)对这些关系式不仅要牢牢掌握，还要能灵活运用(正用、逆用、变形应用)．
基础自测
1．下列四个结论中可能成立的是( B )
A．sin
α＝且cos
α＝
B．sin
α＝0且cos
α＝－1
C．tan
α＝1且cos
α＝－1
D．α是第二象限角时，tan
α＝－
[解析] 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin
α＝0且cos
α＝－1，所以B成立，而A，C，D都不成立．
2．化简的结果是( C )
A．cos
B．sin
C．－cos
D．－sin
[解析] ＝＝|cosπ|＝－cos.
3．已知sinα＝，cosα＝，则tanα等于( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] 因为tanα＝＝＝.故选D．
4．若sinα＝－，且α为第四象限角，则tanα的值等于( D )
A．
B．－
C．
D．－
[解析] 因为sinα＝－，且α为第四象限角，所以cosα＝，所以tanα＝－，故选D．
5．化简＝__cos80°__.
[解析] 原式＝
＝＝＝|cos80°|＝cos80°.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 利用同角基本关系式求值
角度1 已知角的某个三角函数值，求其余三角函数值
例1
(1)已知sinα＝，求cosα，tanα的值；
(2)已知cosα＝－，求sinα，tanα的值．
[分析] 已知角的正弦值或余弦值，求其他三角函数值，应先判断三角函数值的符号，然后根据平方关系求出该角的正弦值或余弦值，再利用商数关系求解该角的正切值即可．
[解析] (1)∵sinα＝>0，∴α是第一或第二象限角．
当α为第一象限角时，cosα＝＝＝，tanα＝＝；
当α为第二象限角时，cosα＝－，tanα＝－.
(2)∵cosα＝－<0，∴α是第二或第三象限角．
当α是第二象限角时，sinα>0，tanα<0，
∴sinα＝＝＝，tanα＝＝－；
当α是第三象限角时，sinα<0，tanα>0，
∴sinα＝－＝－＝－，tanα＝＝.
[归纳提升] 在使用开平方关系sinα＝±和cosα＝±时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论．
【对点练习】?
已知sinα＝－，并且α是第三象限的角，求cosα、tanα的值．
[解析] ∵sin2α＋cos2α＝1，
∴cos2α＝1－sin2α＝1－(－)2＝.
又∵α是第三象限角，∴cosα<0，
即cosα＝－＝－，
∴tanα＝＝(－)×(－)＝.
角度2 利用弦切互化求值
例2
已知＝2，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α.
[分析] 所求式子都是关于sinα、cosα的分式齐次式(或可化为分式齐次式)，将其分子、分母同除以cosα的整数次幂，就把所求式子用tanα表示，因此可先由已知条件求tanα的值，再求各式的值．
[解析] 由＝2，得tanα＝2.
(1)＝.
∵tanα＝2，∴原式＝＝－1.
(2)＝.
∵tanα＝2，∴原式＝＝.
(3)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α
＝
＝＝.
∵tanα＝2，∴原式＝＝1.
[归纳提升] 已知角α的正切值，求由sinα和cosα构成的代数式的值，构成的代数式通常是分式齐次式或整式齐次式．
(1)形如的分式，可将分子、分母同时除以cosα；形如的分式，可将分子、分母同时除以cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值．
(2)形如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子，可将其看成分母为1的分式，再将1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如的分式求解．
【对点练习】?
已知tanα＝－，求下列各式的值：
(1)sinα＋2cosα；
(2)；
(3)；
(4)2sin2α－sinαcosα＋cos2α.
[解析] (1)tanα＝＝－，
∴cosα＝－2sinα.
又sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＋4sin2α＝1，
∴sin2α＝，∴sinα＝±.
当α为第二象限角时，sinα＝，cosα＝－，
sinα＋2cosα＝－，
当α为第四象限角时，cosα＝，sinα＝－，
sinα＋2cosα＝.
(2)＝＝＝.
(3)
＝
＝＝＝.
(4)2sin2α－sinαcosα＋cos2α
＝＝＝.
题型二 三角代数式的化简
例3
化简下列各式：
(1)；
(2).
[分析] (1)把二次根式中的被开方式化为完全平方式．
(2)中所含角α的三角函数次数相对较高，且分子、分母含常数“1”．解答本题中的(1)、(2)时应充分利用“sin2α＋cos2α＝1”这一条件．
[解析] (1)原式＝
＝＝＝－1.
(2)解法一：原式＝＝＝.
解法二：原式＝
＝
＝
＝＝.
[归纳提升] 三角函数式的化简过程中常用的方法
(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，去根号，达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
【对点练习】?
化简下列各式：
(1)；
(2)tanα(其中α是第二象限角)．
[解析] (1)＝
＝＝＝1.
(2)因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0.
故tanα＝tanα
＝tanα＝·
＝·＝－1.
题型三 三角恒等式的证明
例4
求证：＝.
[分析] 思路一 →
思路二 →
[解析] 方法一：∵右边＝
＝＝
＝＝＝左边，
∴原等式成立．
方法二：∵左边＝＝，
右边＝＝
＝＝＝，
∴左边＝右边，原等式成立．
[归纳提升] 利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式方法非常多，其主要方法有：
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简．
(2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异．
(4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc或证＝等．
(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”．
【对点练习】?
求证：＝.
[解析] 方法一：因为右边分母为cosα，故可将左边分子分母同乘以cosα.
左边＝＝
＝＝＝右边．
方法二：因为左边分母是1－sinα，故可将右边分子分母同乘以1－sinα.
右边＝＝＝＝＝左边．
方法三：只需证明左、右两边都与某个中间结果相等即可，因此可先将它们的分母变为相同．
因为左边＝，右边＝＝＝，所以左边＝右边，原式成立．
误区警示
忽略角的限制条件而致错
例5
已知A为△ABC的内角，且sinA＋cosA＝，求＋的值．
[错解] 由得或
当sinA＝，cosA＝－时，＋＝5－5＝0；
当sinA＝－，cosA＝时，＋＝－＋＝－.
所以＋的值为0或－.
[错因分析] 题设条件中A为△ABC的内角，隐含了0
[正解] 由得或
因为0所以＋＝5－5＝0.
[方法点拨] 求解三角函数方程组时，经常会用到隐含条件sin2A＋cos2A＝1，这时一般都会求出两组解，此时一定要注意是否有其他(隐含)条件的限制，进而判断是否需要排除某个解．
学科素养
sinθ±cosθ，sinθ·cosθ三者的关系及方程思想的运用
sinθ±cosθ，sinθ·cosθ三者的关系：
(1)对于三角函数式sinθ±cosθ，sinθ·cosθ之间的关系，可以通过(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθ·cosθ进行转化．
(2)若已知sinθ±cosθ，sinθ·cosθ中三者之一，利用方程思想进一步可以求得sinθ，cosθ的值，从而求出其余的三角函数值．
例6
已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，求sinθ，cosθ，sinθ－cosθ，tanθ，sin3θ＋cos3θ的值．
[解析] 本题考查已知三角函数的关系式，求其他三角函数式的值．解题时先根据已知关系式求出角的范围和三角函数值，进而解决问题．
∵sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，∴1＋2sinθ·cosθ＝，
∴2sinθ·cosθ＝－<0.
又θ∈(0，π)，sinθ>0，∴cosθ<0，∴θ∈(，π)．
∴sinθ－cosθ>0.
∵(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθ·cosθ＝1＋＝，
∴sinθ－cosθ＝，
∴?
∴tanθ＝＝＝－，sin3θ＋cos3θ＝.
[归纳提升] 在解三角函数问题时要注意题目中的隐含条件，本题就是灵活运用了平方关系，列方程求出sinθ，cosθ，使问题得解．
课堂检测·固双基
1．已知sinα＝－，α为第四象限角，则tanα＝( C )
A．－
B．
C．－
D．
[解析] 由于α为第四象限角，所以cosα>0，从而cosα＝＝，所以tanα＝＝－，故选C．
2．若α是第四象限角，tanα＝－，则sinα等于( D )
A．
B．－
C．
D．－
[解析] ∵tanα＝＝－，
∴cosα＝－sinα.
由sin2α＋cos2α＝1，可得sin2α＝，
∵α是第四象限角，
∴sinα<0，∴sinα＝－.
3．已知cosα＝，则sin2α等于( A )
A．
B．±
C．
D．±
[解析] sin2α＝1－cos2α＝.
4．已知tanα＝－，则等于( A )
A．
B．－
C．－7
D．7
[解析] ＝＝＝.
5．求证：2(1－sinα)(1＋cosα)＝(1－sinα＋cosα)2.
[解析] 证法一：左边＝2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα＝1＋sin2α＋cos2α－2sinαcosα＋2(cosα－sinα)＝1＋2(cosα－sinα)＋(cosα－sinα)2＝(1－sinα＋cosα)2＝右边．
所以原式成立．
证法二：左边＝2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα，
右边＝1＋sin2α＋cos2α－2sinα＋2cosα－2sinαcosα＝2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα.故左边＝右边．所以原式成立．
证法三：令1－sinα＝x，cosα＝y，则(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2＝2x.
故左边＝2x(1＋y)＝2x＋2xy＝x2＋y2＋2xy＝(x＋y)2＝右边．所以原式成立．
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