5.3 诱导公式
【素养目标】
1．了解三角函数的诱导公式的意义和作用，理解诱导公式的推导过程．(数学抽象)
2．灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．(数学运算)
3．通过积极参与，逐步培养学生抽象概括能力、逻辑推理能力及分析问题、解决问题的能力．(逻辑推理)
【学法解读】
本节在学习中借助单位圆推导出角π±α，－α，±α的终边与角α的终边的关系，由三角函数的定义推导出诱导公式，学生应观察、分析公式的特点，便于记忆应用．
第1课时 诱导公式(一)
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 诱导公式二
思考1：角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos
α，sin
α)有怎样的关系？
提示：角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称(如图)；P1与P也关于原点对称．
知识点2 诱导公式三
思考2：角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cos
α，sin
α)有怎样的关系？
提示：角－α的终边与角α的终边关于x轴对称(如图)，P2与P也关于x轴对称．
知识点3 诱导公式四
思考3：角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cos
α，sin
α)有怎样的关系？
提示：角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称(如图)，P3与P也关于y轴对称．
基础自测
1．下列说法中，正确的个数是( B )
①存在角α，使sin(π＋α)＝sin
α，cos(π－α)＝cos
α.
②当α是第三象限角时，tan(－α)＝tan
α.
③tan(α－π)＝tan
α.
④若α，β满足α＋β＝π，则sin
α＝sin
β且tan
α＝tan
β.
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 由诱导公式易知①③正确，②④错误，故选B．
2．已知x∈R，则下列等式恒成立的是( B )
A．sin(－x)＝sin
x
B．sin(π－x)＝sin
x
C．sin(π＋x)＝sin
x
D．sin(2π－x)＝sin
x
[解析] 因为sin(－x)＝－sin
x，故A不成立；因为sin(π－x)＝sin
x，故B成立；因为sin(π＋x)＝－sin
x，故C不成立；因为sin(2π－x)＝－sin
x，故D不成立．
3．cos
150°＝( B )
A．
B．－
C．
D．－
[解析] cos
150°＝cos(180°－30°)＝－cos
30°＝－.
4．计算sin(－)的值为( C )
A．－
B．
C．－
D．
[解析] sin(－)＝－sin＝－，故选C．
5．tan
690°的值为( A )
A．－
B．
C．－
D．
[解析] tan
690°＝tan(720°－30°)＝tan(－30°)＝－，故选A．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 给角求值问题
例1
求下列各三角函数值：
(1)sinπ；(2)cos(－765°)；(3)tan(－750°)．
[分析] 用诱导公式将负角化为正角，进而再转化为锐角三角函数求值．
[解析] (1)sin＝sin(4π＋)＝sin
＝sin(π＋)＝－sin＝－.
(2)cos(－765°)＝cos765°＝cos(2×360°＋45°)＝cos45°＝.
(3)tan(－750°)＝－tan750°＝－tan(2×360°＋30°)＝－tan30°＝－.
[归纳提升] 利用诱导公式求任意角三角函数的步骤：
(1)“负化正”——用公式一或三来转化．
(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角．
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．
(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．
【对点练习】?
求下列三角函数值：
(1)sin960°；(2)cos(－)．
[解析] (1)sin960°＝sin(960°－720°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－.
(2)cos(－)＝cos＝cos(＋6π)＝cos＝cos(＋π)＝－cos＝－.
题型二 给值求值问题
例2
(1)已知cos(－α)＝，求cos(＋α)－sin2(α－)的值；
(2)已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．
[分析] 1.－α与＋α、α－存在什么关系？用－α表示其他角．
2．α－75°与105°＋α之间存在什么关系？用α－75°表示105°＋α.
[解析] (1)∵cos(＋α)＝cos[π－(－α)]
＝－cos(－α)＝－，
sin2(α－)＝sin2[－(－α)]
＝1－cos2(－α)＝1－()2＝，
∴cos(＋α)－sin2(α－)＝－－＝－.
(2)∵cos(α－75°)＝－<0，且α为第四象限角，
∴α－75°是第三象限，
∴sin(α－75°)＝－
＝－＝－，
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝.
[归纳提升] 解决给值求值问题的策略
(1)解决给值求值问题，首先要仔细观察条件式与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
【对点练习】?
已知sin(－α)＝，求cos2(α－)·sin(＋α)的值．
[解析] cos2(α－)·sin(＋α)
＝cos2[－(－α)]·sin[π－(－α)]
＝[1－sin2(－α)]·sin(－α)＝×＝.
题型三 三角函数式的化简问题
例3
化简：
(1)sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)；
(2).
[分析] 先观察角的特点，选用恰当的诱导公式化简，然后依据同角关系式求解．
[解析] (1)原式＝(－sinα)·cos(π＋α)·tanα
＝－sinα·(－cosα)·＝sin2α.
(2)原式＝
＝＝1.
[归纳提升] 利用诱导公式一～四化简应注意的问题：
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的．
(2)化简时函数名不发生改变，但一定要注意函数的符号有没有改变．
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．
【对点练习】?
化简：
(1)；
(2).
[解析] (1)原式＝
＝＝·＝1.
(2)原式＝
＝
＝
＝－cos2α.
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-第2课时 诱导公式(二)
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 诱导公式五
思考1：(1)角－α与角α的终边有什么样的位置关系？
(2)点P1(a，b)关于y＝x对称的对称点坐标是什么？
提示：(1)如图，角－α与角α的终边关于y＝x对称．
(2)点P1(a，b)关于y＝x对称的对称点坐标是P2(b，a)．
知识点2 诱导公式六
思考2：如何由公式四及公式五推导公式六？
提示：sin(＋α)＝sin[π－(－α)]
＝sin(－α)＝cosα，
cos(＋α)＝cos[π－(－α)]
＝－cos(－α)＝－sinα.
知识点3 对诱导公式的理解
1．对诱导公式五、六的两点说明
(1)诱导公式五、六反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．
(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．
2．对诱导公式一～六的两点说明
(1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系．
(2)公式一～六的记忆口诀和说明
①口诀：奇变偶不变，符号看象限．
②说明：
思考3：六组诱导公式各有什么作用？
提示：公式一：将角化为0～2π内的角求值；
公式二：将0～2π内的角转化为0～π内的角求值；
公式三：将负角转化为正角求值；
公式四：将～π内的角转化为0～内的角求值；
公式五、公式六：实现正弦与余弦的相互转化．
基础自测
1．已知sinα＝，则sin(＋α)的值为( D )
A．－
B．－
C．
D．±
[解析] ∵sinα＝，∴cosα＝±，
∴sin(＋α)＝cosα＝±，故选D．
2．已知sin(＋α)＝，那么cosα＝( B )
A．－
B．－
C．
D．
[解析] 因为sin(π＋α)＝sin(2π＋＋α)＝sin(＋α)＝－cosα，所以cosα＝－，故选B．
3．下列与sin(θ－)的值相等的式子为( D )
A．sin(＋θ)
B．cos(＋θ)
C．cos(－θ)
D．sin(＋θ)
[解析] sin(θ－)＝－sin(－θ)＝－cosθ.对于A，sin(＋θ)＝cosθ；对于B，cos(＋θ)＝－sinθ；对于C，cos(－θ)＝cos[π＋(－θ)]＝－cos(－θ)＝－sinθ；对于D，sin(＋θ)＝sin[π＋(＋θ)]＝－sin(＋θ)＝－cosθ.故选D．
4．化简：1＋cos(＋α)·sin(－α)·tan(π＋α)＝__cos2α__.
[解析] 原式＝1－sinα·cosα·tanα＝1－sin2α＝cos2α.
5．化简：＝__－sinα__.
[解析] ∵π－α＝π＋－α，π＋α＝π＋＋α，
∴原式＝＝－sinα.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 利用诱导公式进行化简、求值
例1
计算：
(1)sin2120°＋cos180°＋tan45°－cos2(－330°)＋sin(－210°)；
(2).
[分析] 利用诱导公式，先化简再求值．
[解析] (1)原式＝sin260°－cos0°＋tan45°－cos230°＋sin30°＝－1＋1－＋＝.
(2)原式＝
＝＝
＝＝＝.
[归纳提升] 利用诱导公式化简三角函数式的步骤
用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即
口诀是：“负化正，大化小，化到锐角再查表”．
【对点练习】?
.
[解析] 原式
＝
＝＝＝.
题型二 三角恒等式的证明
例2
求证：
＝.
[分析]
.
[证明] 左边＝
＝
＝
＝＝＝.
右边＝＝＝.
∴左边＝右边，故原式得证．
[归纳提升] 对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
【对点练习】?
求证：
＝－1.
[证明] 左边＝
＝＝＝－1＝右边，
故原式得证．
题型三 诱导公式与函数结合的运用
例3
已知f(α)
＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cos(α－)＝，求f(α)的值．
[分析] 解答此题的关键是利用诱导公式对f(α)进行化简，进而利用cos(α－)＝，求出cosα的值以达到求f(α)的目的．
[解析] (1)f(α)
＝
＝＝－cosα.
(2)因为cos(α－)＝－sinα＝，
所以sinα＝－，
又α是第三象限角，
所以cosα＝－＝－＝－，所以f(α)＝－cosα＝.
[归纳提升] 用诱导公式化简求值的方法
(1)解决与函数有关问题的关键就是利用诱导公式对表达式进行化简．
(2)运用诱导公式时要特别注意三角函数在各象限的符号．
【对点练习】?
已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点(m，)．
(1)求tanα的值；
(2)求的值．
[解析] (1)由题得m2＋()2＝1，所以m＝±，
因为角α的终边在第二象限，所以m＝－.
所以tanα＝＝－2.
(2)＝
＝＝＝－.
误区警示
对诱导公式理解不透彻而致错
例4
已知sin(x＋)＝，则sin(－x)＋sin2(－x)＝____.
[错解] ∵sin(x＋)＝，
∴cos[－(x＋)]＝cos(－x)＝sin(x＋)＝，
∴sin(－x)＋sin2(－x)
＝sin[π－(x＋)]＋[1－cos2(－x)]
＝－sin(x＋)＋[1－cos2(－x)]
＝－＋[1－()2]＝.
[错因分析] 在利用诱导公式sin(π－α)时，没能正确利用“符号看象限”来判断符号．
[正解] ∵sin(x＋)＝，
∴cos[－(x＋)]＝cos(－x)＝sin(x＋)＝，
∴sin(－x)＋sin2(－x)
＝sin[π－(x＋)]＋[1－cos2(－x)]
＝sin(x＋)＋[1－cos2(－x)]
＝＋[1－()2]＝.
[方法点拨] 利用诱导公式解题时，只有在利用诱导公式时才视公式中的角为锐角，变换前后原来是什么角就是什么角．
学科素养
分类讨论思想在三角函数化简中的应用
例5
化简：sin＋cos(n∈Z)．
[分析] (1)角中含有变量n，因而需对n的奇偶分类讨论；(2)利用诱导公式，需将角写成符合公式的某种形式，这就需要将角中的某一部分作为一个整体来看．
[解析] 当n为偶数时，设n＝2k(k∈Z)，
则原式＝sin＋cos
＝sin[2kπ＋(－－α)]＋cos[2kπ＋(－α)]
＝sin(－－α)＋cos(－α)
＝－sin(＋α)＋cos[－(＋α)]
＝－sin(＋α)＋sin(＋α)＝0.
当n为奇数时，设n＝2k＋1(k∈Z)，
则原式＝sin＋cos
＝sin[2kπ＋(－α)]＋cos[2kπ＋(－α)]
＝sin(－α)＋cos(－α)
＝sin[π－(＋α)]＋cos[π＋(－α)]
＝sin(＋α)－cos(－α)
＝sin(＋α)－cos[－(＋α)]
＝sin(＋α)－sin(＋α)＝0.
故sin(π－α)＋cos(π－α)＝0.
[归纳提升] 1.本题的化简过程，突出体现了分类讨论的思想，当然除了运用分类讨论的思想将n分两类情况来讨论外，在解答过程中还处处体现了化归思想和整体思想．
2．在转化过程中，缺乏整体意识，是出错的主要原因．
课堂检测·固双基
1．若cos65°＝a，则sin25°的值是( B )
A．－a
B．a
C．
D．－
[解析] sin
25°＝sin(90°－65°)＝cos
65°＝a.
2．若sin(＋θ)<0，且cos(－θ)>0，则θ是( B )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
[解析] 因为cosθ<0，sinθ>0，∴θ是第二象限角．
3．已知cos＝－，且α是第二象限角，则sin的结果是( B )
A．
B．－
C．±
D．
[解析] ∵cos＝－，
∴－sinα＝－，∴sinα＝，
又α是第二象限角，∴cosα＝－，
∴sin＝cosα＝－.
4．若α∈(π，)，则＝( B )
A．sinα
B．－sinα
C．cosα
D．－cosα
[解析] ∵α∈(π，π)，∴sinα<0，
∴＝＝－sinα.
5．(2019·青岛二中高一月考)已知角α的终边上有一点P(1，3)，则的值为( A )
A．－
B．－
C．－
D．－4
[解析] ∵角α的终边上有一点P(1,3)，在第一象限，
∴由三角函数的定义知sinα＝，cosα＝.
∵
＝＝＝－.
∴选A．
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