5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦与正切公式
【素养目标】
1．能从教材探究思考中找出两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式．(逻辑推理)
2．准确应用两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式进行三角变换．(数学运算)
3．能用公式求值，求角，化简．(数学运算)
4．能用公式证明三角恒等式．(逻辑推理)
【学法解读】
在本节学习中，利用单位圆推导两角差的余弦公式，再借助两角差的余弦公式及诱导公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切及二倍角公式．学生应熟练利用公式进行求值、化简，培养学生的逻辑推理及数学运算的素养．
第1课时 两角差的余弦公式
必备知识·探新知
基础知识
知识点 两角差的余弦公式
公式：__cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β__.
(1)简记符号：C(α－β)
(2)适用条件：公式中的角α，β都是__任意角__.
思考：(1)公式写成cos(α－β)＝cosα＋sinβ或cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ可以吗？
(2)公式的结构特征是怎样的？
(3)公式中的角α，β可以为几个角的组合吗？
提示：(1)不可以．
(2)左端为两角差的余弦，右端为角α，β的同名三角函数积的和，即差角余弦等于同名积之和．
(3)可以．公式中α，β都是任意角，可以是一个角，也可以是几个角的组合．
基础自测
1．下列说法正确的个数是( B )
①对于任意角α，β，都有cos(α－β)＝cosα－cosβ.
②对于任意角α，β，都有cos(α－β)≠cosα－cosβ.
③存在角α，β，使得cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.
④当α，β为锐角时，必有cos(α－β)>cosαcosβ.
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] ①②错误，③④正确，故选B．
2．cos(30°－45°)等于( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°＝×＋×＝.
3．cos45°cos15°＋sin45°sin15°＝( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 原式＝cos(45°－15°)＝cos30°＝.
4．cos43°cos13°＋sin43°sin13°的值为( C )
A．
B．－
C．
D．－
[解析] 原式＝cos(43°－13°)＝cos30°＝.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 给角求值
例1
(1)计算：cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝____；
(2)求值：sin7°cos23°＋sin83°cos67°＝____；
(3)求值：cos15°＝____.
[分析] 尝试逆用公式求解，非特殊角转化为特殊角的差，然后正用C(α－β)进行求值．
[解析] (1)原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝.
(2)原式＝cos83°cos23°＋sin83°sin23°＝cos(83°－23°)＝cos60°＝.
(3)cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°·cos30°＋sin45°·sin30°＝×＋×＝.
[归纳提升] 运用两角差的余弦公式求值的关注点
(1)运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，切忌死记．
(2)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值．
【对点练习】?
求下列各式的值．
(1)cos40°cos20°－sin40°sin20°；
(2)cosπcosπ＋sinπsinπ.
[解析] (1)原式＝cos(40°＋20°)＝cos60°＝.
(2)原式＝cos(2π＋)cos(2π－)＋sin(π－)sin(π－)
＝coscos＋sinsin＝cos(－)
＝cos＝.
题型二 给值求值
例2
(1)已知sinα＝－，sinβ＝，且180°<α<270°，90°<β<180°，则cos(α－β)＝____；
(2)已知sin(α＋)＝，且<α<，求cosα的值．
[分析] (1)求出cosα，cosβ，利用公式进行求解；
(2)利用cosα＝cos(α＋－)进行凑角．
[解析] (1)∵180°<α<270°，∴cosα＝－；
又∵90°<β<180°，∴cosβ＝－；
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝(－)×(－)＋(－)×＝.
(2)∵<α<，∴<α＋<π，
∴cos(α＋)＝－，
cosα＝cos[(α＋)－]
＝cos(α＋)·cos＋sin(α＋)sin
＝－×＋×＝.
[归纳提升] (1)解决三角函数的给值求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．其解题策略有：
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝(α＋)－(＋β)等．
【对点练习】?
已知sin
α＝，α∈(，π)，cos
β＝－，β是第三象限角，求cos(α－β)的值．
[解析] 由sinα＝，α∈(，π)，得
cosα＝－＝－＝－.
又由cosβ＝－，β是第三象限角，得
sinβ＝－＝－＝－.
所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝(－)×(－)＋×(－)＝－.
题型三 给值求角
例3
(1)已知α为三角形的内角且cosα＋sinα＝，则α＝__π__；
(2)已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈(，π)，α＋β∈(，2π)，求角β的值．
[分析] (1)由公式可求出cos(α－)的值，再根据α的范围确定α－的值．
(2)由条件可发现角与角之间的关系：2β＝(α＋β)－(α－β)，所以应先求出2β的值，再求β的值．
[解析] (1)∵cosα＋sinα＝cos(α－)＝.
又∵0<α<π，∴－<α－<，
∴α－＝，∴α＝π.
(2)由α－β∈(，π)，且cos(α－β)＝－，得sin(α－β)＝.
由α＋β∈(，2π)，且cos(α＋β)＝，得sin(α＋β)＝－.
cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝－×＋(－)×＝－1.
又因为α＋β∈(，2π)，α－β∈(，π)，所以2β∈(，)．所以2β＝π，所以β＝.
[归纳提升] 已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数．
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
【对点练习】?
已知cosαcosβ＋sinαsinβ＝，且0<β<α<，求α－β.
[解析] cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)＝，又0<β<α<，∴0<α－β<，∴α－β＝.
课堂检测·固双基
1．cos
20°＝( B )
A．cos
30°cos
10°－sin
30°sin
10°
B．cos
30°cos
10°＋sin
30°sin
10°
C．sin
30°cos
10°－sin
10°cos
30°
D．cos
30°cos10°－sin
30°cos
10°
[解析] cos
20°＝cos(30°－10°)
＝cos
30°cos
10°＋sin
30°sin
10°，故选B．
2．cos(α－85°)cos(35°＋α)＋sin(α－85°)sin(35°＋α)的值为( A )
A．－
B．
C．
D．－
[解析] 原式＝cos[(α－85°)－(35°＋α)]
＝cos(－120°)＝cos
120°＝－cos
60°＝－，故选A．
3．已知sin
α＝，α∈(，π)，则sin(＋α)＝____.
[解析] sin(＋α)＝cos(－α)
＝coscos
α＋sinsin
α＝.
4．sin(α－β)sinα＋cos(α－β)cosα＝__cosβ__.
[解析] 原式＝cos[(α－β)－α]＝cos(－β)＝cosβ.
5．已知sin(＋α)＝，α∈(π，)，求sin(＋α)的值．
[解析] ∵sin(＋α)＝－cosα＝，∴cosα＝－.
又α∈(π，)，∴sinα＝－，
∴sin(＋α)＝cos[－(＋α)]＝cos(－α)
＝cos·cosα＋sin·sinα
＝×(－)＋×(－)＝－.
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-第2课时 两角和与差的正弦、余弦与正切公式(一)
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 两角和的余弦公式
简记符号
公式
使用条件
C(α＋β)
cos(α＋β)＝__cosαcosβ－sinαsinβ__
α，β∈R
思考1：(1)你能说出公式C(α＋β)的特点吗？
(2)如何识记两角和与差的余弦公式？
提示：(1)公式左端为两角和的余弦，右端为角α，β的同名三角函数积的差，即和角余弦等于同名积之差．
(2)可简单记为“余余正正，符号反”，即展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相反．
知识点2 两角和与差的正弦公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正弦公式
__S(α＋β)__
sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β
α，β∈R
两角差的正弦公式
__S(α－β)__
sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β
α，β∈R
思考2：如何记忆公式S(α＋β)，S(α－β)?
提示：记忆口诀：正余余正，符号相同．正余余正表示展开后的两项分别是两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；符号相同表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“＋”，两角差时用“－”．
基础自测
1．下列说法中正确的个数是( B )
①sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ对于任意角α，β均成立．
②不存在角α，β，使得sin(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.
③sin(α＋β)＝sinα＋sinβ一定不成立．
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] ①正确，②③错误，故选B．
2．sin(30°＋45°)＝____.
[解析] sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°·sin45°＝×＋×＝.
3．cos55°cos5°－sin55°sin5°＝____.
[解析] 原式＝cos(55°＋5°)＝cos60°＝.
4．sin70°sin65°－sin20°sin25°＝____.
[解析] 原式＝sin70°cos25°－cos70°sin25°
＝sin(70°－25°)＝sin45°＝.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 给角求值
例1
化简下列各式：
(1)sin14°cos16°＋sin76°cos74°；
(2)sin.
[解析] (1)sin14°cos16°＋sin76°cos74°
＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°
＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝.
(2)sin＝sin(－)
＝sincos－cossin.
＝×－×＝.
[归纳提升] 公式的巧妙运用
(1)顺用：如本题中的(2)；(2)逆用：如本题中的(1)；(3)变用：变用涉及两个方面，一个是公式本身的变用，如cos(α＋β)＋sinαsinβ＝cosαcosβ，一个是角的变用，也称为角的拆分变换，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，从某种意义上来说，是一种整体思想的体现，如cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝cos[(α＋β)－β]＝cosα.这些需要在平时的解题中多总结，多研究，多留心．
【对点练习】?
求下列各式的值：
(1)sin347°cos148°＋sin77°cos58°；
(2)sin＋cos.
[解析] (1)原式＝sin(360°－13°)cos(180°－32°)＋sin(90°－13°)cos(90°－32°)
＝sin13°cos32°＋cos13°sin32°
＝sin(13°＋32°)＝sin45°＝.
(2)原式＝2
＝2
＝2sin＝2sin＝.
题型二 给值求值
例2
(1)已知α为锐角，sinα＝，β是第四象限角，cosβ＝，则sin(α＋β)＝__0__；
(2)已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值．
[分析] (1)先求出cosα，sinβ的值，再代入公式S(α＋β)．
(2)由α、β的范围，确定α－β，α＋β的范围，求出sin(α－β)、cos(α＋β)的值，再由2α＝(α－β)＋(α＋β)变形求值．
[解析] (1)∵α为锐角，sinα＝，∴cosα＝.
∵β为第四象限角，cosβ＝，∴sinβ＝－，
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×(－)＝0.
(2)因为<β<α<，
所以0<α－β<，π<α＋β<π.
又cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，
所以sin(α－β)＝＝＝，
cos(α＋β)＝－＝－＝－.
所以sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝×(－)＋×(－)＝－.
[归纳提升] (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
【对点练习】?
(1)已知sinα＝，α∈(，π)，求sin(－α)的值；
(2)若0<α<，－<β<0，cos(＋α)＝，cos(－)＝，求cos(α＋)．
[解析] (1)因为sinα＝，α∈(，π)，所以cosα＝－＝－＝－.
所以sin(－α)＝sincosα－cossinα
＝×(－)－×＝－.
(2)∵0<α<，∴<＋α<π，
∴sin(＋α)＝，
∵－<β<0，∴<－<，
∴sin(－)＝.
cos(α＋)＝cos[(＋α)－(－)]
＝cos(＋α)cos(－)＋sin(＋α)sin(－)
＝×＋×＝.
题型三 给值求角
例3
已知sinα＝，sinβ＝，且α、β为锐角，求α＋β的值．
[解析] ∵α、β为锐角，sinα＝，sinβ＝，
∴cosα＝＝，cosβ＝＝，
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝×－×＝，
∵α、β为锐角，
∴0°<α＋β<180°，
∴α＋β＝45°.
[归纳提升] 本题型本质上仍等同于给值求值问题，但需要根据所给条件，选择某种适当的三角函数，求出所求角的三角函数值．在选择函数时应尽量避免一值多角的情况，所以若角的范围是(0，)，(π，)，则选正弦函数、余弦函数皆可；若角的范围是(－，)，则最好选正弦函数；若角的范围是(0，π)，则最好选余弦函数．
【对点练习】?
已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈(0，)，求β的值．
[解析] ∵α，β∈(0，)，∴0<α＋β<π，
sinα＝＝，sin(α＋β)＝＝.
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－×＋×＝，
∴β＝.
题型四 辅助角公式及其应用
例4
(1)cos＋sin的值是( B )
A．
B．2
C．2
D．
(2)y＝cosx＋cos(x＋)的最大值是____.
[解析] (1)原式＝2(cos＋sin)
＝2sin(＋)＝2sin＝2，故选B．
(2)y＝cosx＋cosx·－sinx·＝cosx－sinx
＝(cosx－sinx)＝－(sinx－cosx)
＝－sin(x－)，
当x＝2kπ－时，(k∈Z)，ymax＝.
[归纳提升] (1)公式形式：公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)(或asinα＋bcosα＝cos(α－φ))将形如asinα＋bcosα(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式．
(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质．
【对点练习】?
sin
15°＋sin
75°的值是____.
[解析] (方法一)sin
15°＋sin
75°＝sin
15°＋cos
15°＝(sin
15°＋cos
15°)＝(sin
15°cos
45°＋cos
15°sin
45°)＝sin(15°＋45°)＝.
(方法二)sin
15°＋sin
75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin
45°cos
30°＝.
课堂检测·固双基
1．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] ∵sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝.∴选A．
2．sin75°cos30°－sin15°sin150°的值等于( C )
A．1
B．
C．
D．
[解析] 原式＝cos15°cos30°－sin15°sin30°
＝cos(15°＋30°)＝cos45°＝.
3.cosα－sinα可化为( A )
A．sin(－α)
B．sin(－α)
C．sin(＋α)
D．sin(＋α)
4．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，规定a·b＝x1x2＋y1y2.已知a＝(cos40°，sin40°)，b＝(sin20°，cos20°)，则a·b等于( B )
A．1
B．
C．
D．
5．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限角，求sin(β＋)的值．
[解析] ∵sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝，
∴sin[(α－β)－α]＝，
∴sinβ＝－.
又β是第三象限角，∴cosβ＝－.
因此sin(β＋)＝sinβcos＋cosβsin＝(－)×(－)＋(－)×(－)＝.
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-第3课时 两角和与差的正弦、余弦与正切公式(二)
必备知识·探新知
基础知识
知识点 两角和与差的正切公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正切
T(α＋β)
tan(α＋β)＝__tanα＋tanβ____1－tanαtanβ__
α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)且tanα·tanβ≠1
两角差的正切
T(α－β)
tan(α－β)＝__tanα－tanβ____1＋tanαtanβ__
α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tanα·tanβ≠－1
思考：(1)由同角三角函数的商数关系如tan(α＋β)＝，由此能否推导出两角和的正切公式？
(2)两角和与差的正切公式中，α，β，α±β的取值是任意的吗？为什么？
提示：(1)能．
tan(α＋β)＝＝，分子分母同除以cosαcosβ可得tan(α＋β)＝.
(2)不是．α，β，α±β的取值都不能等于＋kπ(k∈Z)．这是由正切函数的定义域决定的．
基础自测
1．下列说法中正确的个数是( B )
①tan(α＋β)＝.
②存在角α，β，使得tan(α－β)＝.
③tan(＋)能根据公式tan(α＋β)直接展开．
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] ①③错误，②正确，故选B．
2．若tanα＝2，tanβ＝，则tan(α－β)＝( B )
A．－
B．
C．3
D．
[解析] tan(α－β)＝＝＝.
3．tan10°tan20°＋(tan10°＋tan20°)的值等于( B )
A．
B．1
C．
D．
[解析] ∵＝tan30°＝，
∴tan10°＋tan20°＝(1－tan10°tan20°)．
∴原式＝tan10°tan20°＋1－tan10°tan20°＝1.
4．若α，β∈(0，)且tanα＝，tanβ＝，则tan(α＋β)＝__1__.
[解析] tan(α＋β)＝＝＝1.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 给角求值
例1
求下列各式的值：
(1)；
(2)(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)；
(3)tan25°＋tan35°＋tan25°tan35°.
[分析] 尝试使用两角和与差的正切公式及其变形式对原式进行变形求值．
[解析] (1)原式＝＝tan(45°－75°)＝－.
(2)因为(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝1＋tan1°＋tan44°＋tan1°×tan44°＝2，同理(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝2，…，
所以原式＝222.
(3)∵tan60°＝tan(25°＋35°)＝＝，
∴tan25°＋tan35°＝(1－tan25°tan35°)
∴tan25°＋tan35°＋tan25°tan35°＝.
[归纳提升] 1.“1”的代换：在T(α±β)中如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的．
2．若α＋β＝＋kπ，k∈Z，则有(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2.
3．若化简的式子里出现了“tanα±tanβ”及“tanαtanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
【对点练习】?
求值：
(1)；
(2)(3＋tan30°tan40°＋tan40°tan50°＋tan50°tan60°)·tan10°.
[解析] (1)原式＝
＝tan(45°＋105°)＝tan150°＝－.
(2)原式＝(1＋tan30°tan40°＋1＋tan40°tan50°＋1＋tan50°tan60°)tan10°，
∵tan10°＝tan(40°－30°)＝
∴1＋tan30°tan40°＝.
同理，1＋tan40°tan50°＝，
1＋tan50°tan60°＝.
∴原式＝
tan10°＝tan40°－tan30°＋tan50°－tan40°＋tan60°－tan50°＝－tan30°＋tan60°＝－＋＝.
题型二 给值求值
例2
(1)已知cosα＝－，且α∈(，π)，则tan(－α)＝( D )
A．－
B．－7
C．
D．7
(2)已知sinx－siny＝－，cosx－cosy＝，且x，y为锐角，则tan(x－y)的值为__－__.
[解析] (1)由cosα＝－，且α∈(，π)，得sinα＝，所以tanα＝＝－，所以tan(－α)＝＝＝7，故选D．
(2)sinx－siny＝－，cosx－cosy＝，
将两式平方并相加，得cos(x－y)＝.
∵x，y为锐角，sinx－siny<0，∴x
∴sin(x－y)＝－＝－，
∴tan(x－y)＝＝＝－.
[归纳提升] 在阅读条件时要注意观察，善于发现并总结条件与公式结构之间的联系，上式通过平方后可产生三角基本公式与和差公式．
【对点练习】?
(1)tan(α－β)＝，tanβ＝，则tanα＝( A )
A．1
B．
C．
D．
(2)已知tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，那么tan(α＋)等于( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] (1)tanα＝tan[(α－β)＋β]
＝＝＝1.
(2)tan(α＋)＝tan[(α＋β)－(β－)]
＝
＝＝.
题型三 给值求角
例3
如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点．已知A、B的横坐标分别为、.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①由任意角三角函数的定义可求cosα、cosβ；
②α＋2β＝(α＋β)＋β.
解答本题可先由任意角三角函数定义求cosα、cosβ，再求sinα、sinβ，从而求出tanα、tanβ，然后利用公式T(α＋β)，求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)得到α＋2β的值．
[解析] (1)由三角函数的定义可知cosα＝，cosβ＝；所以sinα＝，sinβ＝，
所以tanα＝7，tanβ＝，于是tan(α＋β)＝＝－3.
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝＝＝－1.
又0<α<，所以0<α＋2β<π，
所以α＋2β＝π.
[归纳提升] 给值求角问题的步骤及选取函数的原则
(1)给值求角问题的步骤．
①求所求角的某个三角函数值．
②确定所求角的范围(范围过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解)，根据范围找出角．
(2)选取函数的原则．
①已知正切函数值，选正切函数．
②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是(0，)，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是(－，)，选正弦较好．
【对点练习】?
已知α∈(0，)，β∈(，π)，cos
β＝－，sin(α＋β)＝，求角α的值．
[解析] ∵cos
β＝－，且β∈(，π)，∴sin
β＝.
∵α∈(0，)，β∈(，π)，∴α＋β∈(，)，
又sin(α＋β)＝>0，∴α＋β∈(，π)，
∴cos(α＋β)＝－
＝－＝－，
∴sin
α＝sin[(α＋β)－β]
＝sin(α＋β)·cos
β－cos(α＋β)·sin
β
＝×(－)－(－)×＝，
又α∈(0，)，∴α＝.
课堂检测·固双基
1．设角θ的终边过点(2,3)，则tan(θ－)＝( A )
A．
B．－
C．5
D．－5
[解析] 由于角θ的终边过点(2,3)，所以tanθ＝，
tan(θ－)＝＝＝.
2.的值为( B )
A．0
B．1
C．
D．2
[解析] 原式＝＝tan45°＝1.
3．若α、β∈(0，)且tanα＝，tanβ＝，则tan(α－β)( C )
A．－
B．1
C．
D．
[解析] tan(α－β)＝＝＝.
4．已知tanα＝4，tan(π－β)＝－3，则tan(α＋β)＝( B )
A．
B．－
C．
D．－
[解析] 由已知得tanα＝4，tanβ＝3，
∴tan(α＋β)＝
＝＝－.
5．若tanα＝，tan(α＋β)＝，则tanβ＝( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] tan(α＋β)＝＝＝，解得tanβ＝.
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-第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 二倍角的正弦、余弦及正切公式
(1)sin2α＝2sinαcosα(S2α)．
(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α(C2α)．
(3)tan2α＝(T2α)．
思考1：(1)所谓的“二倍角”公式，就是角α与2α之间的转化关系，对吗？
(2)公式中的角α是任意角吗？
提示：(1)不对．对于“二倍角”应该广义的理解，如：8α是4α的二倍角，3α是α的二倍角，α是的二倍角，是的二倍角，…这里蕴含着换元思想．这就是说“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间关系的．
(2)对于公式S2α，C2α中的角α是任意角，但是T2α中的角α要保证tanα有意义且分母1－tan2α≠0.
知识点2 二倍角公式的转换
(1)因式分解变换．
cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．
(2)配方变换：
1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2.
(3)升幂缩角变换．
1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.
(4)降幂扩角变换．
cos2α＝(1＋cos2α)，sin2α＝(1－cos2α)，
sinαcosα＝sin2α.
思考2：如何证明“缩角升幂公式”？
提示：因为sin2α＋cos2α＝1，
所以cos2α＝cos2α－sin2α
＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1；
cos2α＝cos2α－sin2α
＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.
基础自测
1．下列说法正确的个数是( A )
①对任意的角总有sin2θ＝2sinθ.
②不存在角α，使得cos2θ＝2cosθ.
③公式tan2α＝成立的条件是α≠kπ＋，k∈Z.
④对于任意角α，都有sin＝2sincos.
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] ①②③错误，④正确，故选A．
2．已知sinα＝，cosα＝，则sin2α等于( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] sin2α＝2sinαcosα＝.
3．已知cosα＝，则cos2α等于( C )
A．
B．
C．－
D．
[解析] cos2α＝2cos2α－1＝－1＝－.
4．(cos－sin)(cos＋sin)的值为( D )
A．－
B．－
C．
D．
[解析] 原式＝cos2－sin2＝cos＝.
5．设sinα＝2cosα，则tan2α的值为__－__.
[解析] tanα＝＝2，
所以tan2α＝＝－.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 利用二倍角公式给角求值问题
例1
求下列各式的值：
(1)sincos；(2)1－2sin2750°；(3)；
(4)－；(5)cos20°cos40°cos80°.
[分析] →→→
[解析] (1)原式＝＝＝.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°
＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝.
(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)
＝－tan60°＝－.
(4)原式＝＝
＝＝＝4.
(5)原式＝
＝＝
＝＝.
[归纳提升] 对于给角求值问题，一般有两类：
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
【对点练习】?
求下列各三角函数式的值：
(1)cos72°cos36°；
(2)＋.
[解析] (1)原式＝cos36°·cos72°
＝＝＝.
(2)原式＝＝＝＝4.
题型二 利用二倍角公式给值求值问题
例2
(1)若cos(－α)＝，则sin2α＝____.
(2)已知α是第二象限角，tan(π＋2α)＝－，则tanα＝__－__.
[解析] (1)方法一：由cos(－α)＝，得(sinα＋cosα)＝.两边同时平方，得(sinα＋cosα)2＝.故1＋sin2α＝.所以sin2α＝.
方法二：由二倍角公式，得cos2(－α)＝＝＝，所以sin2α＝.
方法三：因为cos(－α)＝，所以sin2α＝cos(－2α)＝cos2(－α)＝2cos2(－α)－1＝2×－1＝.
(2)由题设得tan(π＋2α)＝tan2α＝－.由二倍角公式，得tan2α＝＝－，整理得2tan2α－3tanα－2＝0，解得tanα＝2或tanα＝－.因为α是第二象限的角，所以tanα＝－.
[归纳提升] 解决给值求值问题的方法比较多，(1)可以利用倍角公式将二倍角(单角)化为单角(二倍角)，再通过三角基本公式得到所求值；(2)利用倍角公式的推论直接进行结构式的联系：如cos2α与sin2α及cos2α之间的关系，cosα±sinα与sin2α的关系等．
【对点练习】?
若sinα＋3sin(＋α)＝0，则cos2α的值为( C )
A．－
B．
C．－
D．
[解析] 由sinα＋3sin(＋α)＝0，得sinα＋3cosα＝0，所以tanα＝＝－3，则cos2α＝＝＝＝－，故选C．
题型三 利用二倍角公式给值求角
例3
已知tan(α－β)＝，tanβ＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
[分析] 本题根据tanβ＝－<0且β∈(0，π)，确定<β<π，可求得tanα＝且α∈(0，π)，确定0<α<，这是求角的范围的关键．
[解析] 因为2α－β＝2(α－β)＋β，tan(α－β)＝，
而tan2(α－β)＝＝.
从而tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]
＝＝＝1.
又因为tanα＝tan[(α－β)＋β]
＝＝<1，
且α∈(0，π)，所以0<α<.所以0<2α<.
又因为tanβ＝－<0，且β∈(0，π)，
所以<β<π，－π<－β<－，所以－π<2α－β<0.
所以2α－β＝－.
[归纳提升] 本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确的角．
【对点练习】?
已知tanα＝，tanβ＝，并且α，β均为锐角，求α＋2β的值．
[解析] 因为tanβ＝，
所以tan2β＝＝＝.
所以tan(α＋2β)＝＝＝1.
0题型四 三角函数式化简
例4
(1)化简：2＋；
(2)设α∈(，2π)，化简：.
[分析] (1)1＋sin8＝sin24＋2sin4cos4＋cos24＝(sin4＋cos4)2,2(1＋cos8)＝4cos24.
(2)连续运用公式：1＋cos2α＝2cos2α.
[解析] (1)原式＝2＋
＝2|sin4＋cos4|＋2|cos4|.
因为4∈(π，)，
所以sin4<0，cos4<0.
故原式＝－2(sin4＋cos4)－2cos4＝－2sin4－4cos4＝－2(sin4＋2cos4)．
(2)因为α∈(，2π)，所以cosα>0，cos<0.
故原式＝＝＝＝|cos|＝－cos.
[归纳提升] 化简三角函数式的基本思路
解决三角函数的化简问题就是根据题目特点，利用相应的公式，对所给三角函数式进行适当变形．可从“幂”的差异、“名”的差异、“角”的差异这三个方面，结合所给“形”的特征入手解决．一般采用化弦法、切弦法、异角化同角、异次化同次、异名化同名、通分、使被开方数化为完全平方式等进行变形，同时注意公式的逆用以及“1”的恒等代换，达到化简的目的，在化简时，要注意角的取值范围．
【对点练习】?
化简cos2(θ＋15°)＋sin2(θ－15°)＋sin(θ＋180°)·cos(θ－180°)．
[解析] 原式＝＋＋sin2θ＝1＋[cos(2θ＋30°)－cos(2θ－30°)]＋sin2θ＝1＋(cos2θcos30°－sin2θsin30°－cos2θcos30°－sin2θsin30°)＋sin2θ＝1＋(－sin2θsin30°)＋sin2θ＝1.
误区警示
利用二倍角公式化简时忽略原函数的定义域
例5
已知函数f(x)＝，求该函数的值域．
[错解] ∵f(x)＝＝＝＝cosx，∴f(x)∈[－1,1]．
[错因分析] 没有注意函数本身的定义域，即分母要求sin2x≠0，∴sinx≠0且cosx≠0，由此可知x≠，k∈Z，故函数的值域出现了错误．
[正解] f(x)＝＝
＝＝cosx.
∵sin2x≠0，∴sinx≠0且cosx≠0，
由此可知x≠，k∈Z，
∴f(x)∈(－1,1)且f(x)≠0.
∴函数f(x)的值域为(－1,0)∪(0,1)．
[方法点拨] 运用公式化简函数解析式的过程中，忽略定义域是解决与三角函数有关问题常见的易错点．要想正确求解，需要掌握倍角、分角的终边所在象限的确定方法．
学科素养
二倍角公式在三角形问题中的应用
三角形中最多只有一个钝角或直角，且其内角的正弦值均为正，但余弦值和正切值则不一定为正，解题时这些都要注意．
例6
已知△ABC的三个内角为A，B，C，f(B)＝4cosB·sin2(＋)＋cos2B－2cosB．
(1)若f(B)＝2，求B的大小；
(2)若f(B)－m>2恒成立，求实数m的取值范围．
[分析] (1)f(B)的式子过于烦琐，需将其化简，在求B的大小时应考虑其在三角形中，所以角B的范围为(0，π)．
(2)将化简得到的f(B)代入不等式中，即可求得实数m的取值范围．
[解析] (1)f(B)＝4cosB·＋cos2B－2cosB＝2cosB(1＋sinB)＋cos2B－2cosB＝2cosBsinB＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝2sin(2B＋)．
∵f(B)＝2，∴2sin(2B＋)＝2，即sin(2B＋)＝1.
∴2B＋＝＋2kπ，k∈Z.又∵0(2)f(B)－m>2恒成立，即2sin(2B＋)>2＋m恒成立．
∵0∴2sin(2B＋)∈[－2,2]，
∴2＋m<－2，解得m<－4.
课堂检测·固双基
1．已知α为第三象限角，且cosα＝－，则tan2α的值为( A )
A．－
B．
C．－
D．－2
[解析] 由题意可得tanα＝2，所以tan2α＝＝－.
2．下列各式中，值为的是( D )
A．sin15°cos15°
B．2cos2－1
C．
D．
[解析] sin15°cos15°＝sin30°＝；
2cos2－1＝cos＝，
＝cos15°≠，
＝tan45°＝，∴选D．
3．化简·cos28°的结果为( A )
A．
B．sin28°
C．2sin28°
D．sin14°cos28°
[解析] ·cos28°＝×·cos28°＝tan28°·cos28°＝，故选A．
4．化简－的结果为( D )
A．－2sin40°
B．2cos40°
C．－2sin40°
D．2sin40°
[解析] 原式＝－＝(sin40°＋cos40°)－(cos40°－sin40°)＝2sin40°.
5．已知sin2α＝，α∈，则cosα－sinα的值是( A )
A．－
B．
C．
D．－
[解析] ∵α∈，∴sinα>cosα.
又∵(cosα－sinα)2＝1－sin2α＝1－＝，
∴cosα－sinα＝－.
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-5.5.2 简单的三角恒等变换
【素养目标】
1．能通过二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式．(逻辑推理)
2．了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题．(数学运算)
3．进一步掌握两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，半角公式，并能灵活利用公式解决求值、化简、证明问题．(逻辑推理、数学运算)
【学法解读】
在本节学习中学生应先复习二倍角公式，利用二倍角公式推导半角公式，并掌握半角适用条件．培养学生数学中的逻辑推理．
必备知识·探新知
基础知识
知识点 半角公式
cos＝±(C)，
sin＝±(S)，
tan＝±(T)．
思考：(1)半角公式是由以前学习过的哪些公式推导来的？如何推导的？
(2)半角公式中的正负号能否去掉？该如何选择？
(3)半角公式对α∈R都成立吗？
提示：(1)二倍角的余弦公式．推导如下：在二倍角公式cos2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1中，以α代替2α，以代替α，即得：cosα＝1－2sin2＝2cos2－1.
所以sin2＝，
cos2＝，
tan2＝.开方可得半角公式．
(2)不能．①若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号；②若给出α的具体范围(即某一区间)时，则先求所在范围，然后根据所在范围选用符号．
(3)公式C，S对α∈R都成立，但公式T要求α≠(2k＋1)π(k∈Z)．
基础自测
1．下列说法中正确的个数是( A )
①sin＝±.
②cos20°＝±.
③tan＝＝.
④sin4α＋cos4α＝2sin(4α＋)．
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] ①②③错误，④正确，故选A．
2．已知180°<α<360°，由cos的值等于( C )
A．－
B．
C．－
D．
3．已知cosα＝，α∈，则sin等于( B )
A．－
B．
C．
D．－
[解析] ∵α∈，∴∈，
∴sin＝＝.
4．sinx－cosx等于( C )
A．sin2x
B．sin
C．sin
D．sin
[解析] 原式＝
＝sin.
5．已知cos
θ＝，且270°<θ<360°，试求sin和cos的值．
[解析] ∵270°<θ<360°，∴135°<<180°，
∴sin>0，cos<0.
∴sin＝＝＝；
cos＝－＝－＝－.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 应用半角公式给角求值
例1
求下列式子的值：
sin
75°、cos
75°、tan
75°.
[分析] 75°是150°的半角．
[解析] sin
75°＝＝
＝＝＝
＝＝.
cos
75°＝＝＝
＝＝＝＝.
tan
75°＝＝＝＝2＋.
或tan
75°＝＝＝＝2＋.
或tan
75°＝＝＝2＋.
或tan
75°＝＝＝2＋.
[归纳提升] 求sin
75°、cos
75°，利用sin(45°＋30°)，cos(45°＋30°)求解不易出错，但比较麻烦．而应用半角公式化简容易化简不到位．tan
75°的求解应注意选择合理的公式．当然sin
75°、cos
75°，可以先利用诱导公式将角变小，sin
75°＝sin(90°－15°)＝cos
15°，cos
75°＝cos(90°－15°)＝sin
15°，再利用半角公式求解．
【对点练习】?
求值tan＋.
[解析] 方法一：tan＋＝＋
＝＋＝＋
＝＋2＋＝－1＋2＋＝1＋＋.
方法二：tan＋＝＋
＝＋＝－1＋2＋＝1＋＋.
题型二 应用半角公式求值
例2
已知sinθ＝，且<θ<3π，求sin，cos，tan.
[分析] 已知条件中的角θ与所求角中的成二倍关系，从而选择半角公式求值．
[解析] ∵sinθ＝，<θ<3π，
∴cosθ＝－＝－.
∵<<，
∴sin＝－＝－，
cos＝－＝－，tan＝＝2.
[归纳提升] 已知θ的某个三角函数值，求的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值；(2)代入半角公式计算即可．
【对点练习】?
设π<θ<2π，cos＝－，求：
(1)sinθ的值；(2)cosθ的值；(3)sin2的值．
[解析] (1)∵π<θ<2π，∴<<π，
又cos＝－，∴sin＝
＝＝，
∴sinθ＝2sincos＝2×(－)×＝－.
(2)cosθ＝2cos2－1＝2×(－)2－1＝－.
(3)sin2＝＝＝.
题型三 三角恒等式的化简与证明
例3
求证：tan－tan＝.
[分析] 可以从左向右证明，从函数名称入手考虑，将函数名称统一为弦；也可以从右向左证明，从角入手考虑，注意到x＝－，2x＝＋，从消除等式两边角的差异入手考虑．
[证明] 证法一：tan－tan＝－
＝＝
＝＝
＝.
证法二：＝
＝＝－
＝tan－tan.
[归纳提升] 化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．
【对点练习】?
求证：＝sin2α.
[证明] 证法一 左边＝
＝
＝＝
＝sincoscosα＝sinαcosα＝sin2α＝右边．
∴原式成立．
证法二 左边＝
＝＝sinαcosα＝sin2α＝右边．
∴原式成立．
证法三： 左边＝＝cos2α·＝cos2α·tanα＝cosαsinα＝sin2α＝右边．
∴原式成立．
误区警示
忽略对角的终边所在象限的讨论
例4
已知sinα＝，求sin，cos与tan的值．
[错解] ∵sinα＝，∴cosα＝±.
(1)当cosα＝时，sin＝±＝±，cos＝±＝±，tan＝＝±.
(2)当cosα＝－时，sin＝±＝±，cos＝±＝±，tan＝＝±3.
[错因分析] 由sinα＝>0，知角α是第一或第二象限角，从而必为第一或第三象限角，所以tan的值必然为正．上述解法中忽视了sinα>0，从而为第一或第三象限角这一隐含条件，导致解中的tan有正负两个值．
另外，错解中还有一点不妥，就是解法过于笼统与简单，没有细分sin，cos与tan的值的对应情况，依上述解法，sin，cos与tan的值对应着2×2×2＋2×2×2＝16(组)情况，但实际情况却只有4组(见下面正确解法)，这就造成了解的结果混乱，不能体现三个数值的对应情况．
[正解] 由sinα＝>0，知角α是第一或第二象限角．
(1)当α是第一象限角时，cosα＝，且为第一或第三象限角，于是
①当为第一象限角时，sin＝＝，cos＝＝，tan＝＝；
②当为第三象限角时，sin＝－，cos＝－，tan＝＝.
(2)当α是第二象限角时，cosα＝－，且为第一或第三象限角，于是
①当为第一象限角时，sin＝，cos＝，tan＝＝3；
②当为第三象限时，sin＝－，cos＝－，tan＝＝3.
[方法点拨] (1)应用公式sin＝±，cos＝±以及tan＝±时，一定要注意根号前的符号是由的终边所在的象限来确定这一原则，充分挖掘题设中的隐含条件，利用隐含条件，判断解的符号，缩小解的范围，减少解答中的失误．另外，在解答过程中也要充分注意解题格式的规范性，规范表述，不要给出模糊不清的过程与结果．(2)注意等号两边表达式的定义域是否一致．
学科素养
三角恒等变换的综合应用
三角恒等变换就是熟练运用所学公式将三角函数式进行化简，在综合讨论三角函数性质时，通常先要将三角函数式化简成某一个角的三角函数式，再去研究其图象与性质是考试的重点．
例5
已知f(x)＝(1＋)sin2x－2sin(x＋)·sin(x－)．
(1)若tanα＝2，求f(α)的值；
(2)若x∈[，]，求f(x)的取值范围．
[分析] (1)将函数f(x)转化为只含有sin2x与cos2x的式子，由tanα＝2，求出sin2α与cos2α的值，代入f(x)求f(α)．
(2)将f(x)化为Asin(ωx＋φ)＋B的形式，利用正弦函数的图象与性质求解．
[解析] (1)f(x)＝(sin2x＋sinxcosx)＋2sin(x＋)·cos(x＋)＝＋sin2x＋sin(2x＋)
＝＋(sin2x－cos2x)＋cos2x
＝(sin2x＋cos2x)＋.
由tanα＝2，得sin2α＝＝＝.
cos2α＝＝＝－.
所以，f(α)＝(sin2α＋cos2α)＋＝.
(2)由(1)得f(x)＝(sin2x＋cos2x)＋＝sin(2x＋)＋.由x∈[，]，得≤2x＋≤.
所以－≤sin(2x＋)≤1,0≤f(x)≤.
所以f(x)的取值范围是[0，]．
[归纳提升] 利用三角恒等变换的解题技巧
(1)将f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin2α，cos2α化为正切tanα，为第(1)问铺平道路．
(2)把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．
课堂检测·固双基
1．若cosα＝－，α是第三象限角，则＝( A )
A．－
B．
C．2
D．－2
[解析] ∵α是第三象限角，cosα＝－，∴sinα＝－.
∴＝＝＝·＝＝＝－.故选A．
2．若θ∈[，]，且sin2θ＝，则sinθ＝( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] 本题主要考查简单的三角恒等变换、倍角公式及同角三角函数关系式．∵θ∈[，]，∴2θ∈[，π]，
∴sinθ>0，cos2θ<0，∴cos2θ＝－＝－，
又sin2θ＝，∴sin2θ＝，∴sinθ＝，故选D．
3．设－3π<α<－，则化简的结果是( C )
A．sin
B．cos
C．－cos
D．－sin
[解析] ∵－3π<α<－π，∴－π<<－π，
∴cos<0，
∴原式＝＝|cos|＝－cos.
4．设a＝cos6°－sin6°，b＝2sin13°cos13°，c＝，则有( C )
A．cB．aC．aD．b[解析] a＝sin30°cos6°－cos30°sin6°＝sin(30°－6°)＝sin24°，b＝sin26°，c＝＝sin25°，∴b>c>a.故选C．
5．已知tan(α＋)＝2，则的值为( A )
A．－
B．
C．
D．－
[解析] tanα＝tan[(α＋)－]
＝＝，
原式＝＝tanα－＝－＝－，故选A．
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