2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5.7三角函数的应用学案含解析新人教A版必修第一册

5.7　三角函数的应用
【素养目标】
1．会用三角函数解决一些简单的实际问题．(数学抽象)
2．体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．(逻辑推理)
3．通过学习三角函数模型的实际应用，使学生学会把实际问题抽象为数学问题，即建立数学模型的思想方法．(逻辑推理)
【学法解读】
在本节学习中，对生活中周期现象作分析，再把课本中实例与三角函数结合，构建三角函数模型，使学生掌握解决此类问题的思路，提升学生的数学建模能力．
必备知识·探新知
基础知识
知识点1　三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中__周期现象__的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥着重要作用．
思考：三角函数模型的应用主要体现在哪几个方面？
提示：三角函数模型的应用体现在两个方面：
①已知函数模型求解数学问题；
②把实际问题转化成数学问题，抽象出有关的数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题．
知识点2　利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤
第一步：阅读理解，审清题意．
读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题．
第二步：收集、整理数据，建立数学模型．
根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化．
第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答．
第四步：将所得结论转译成实际问题的答案．
基础自测
1．下列说法正确的个数是(　B　)
①三角函数是描述现实世界中周期变化现象的重要函数模型．
②与周期有关的实际问题都必须用三角函数模型解决．
③若一个简谐振动的振动量的函数解析式是y＝3sin(4x＋)，则其往复振动一次所需时间为秒．
④若电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝4sin200πt，t∈[0，＋∞)，则电流的最大值为4A．
A．1　　
B．2　　
C．3　　
D．4
[解析]　①④正确，②③错误，故选B．
2．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝3sin100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是(　A　)
A．
s
B．50
s
C．
s
D．100
s
[解析]　T＝＝
s，故选A．
3.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s
cm和时间t
s的函数关系式为s＝6sin(2πt＋)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为(　D　)
A．2πs　
B．π
s　　
　
C．0.5
s　
D．1
s
[解析]　本题已给出了单摆离开平衡位置O的距离s
cm和时间t
s的函数关系式，单摆来回摆一次所需的时间即为此函数的一个周期．即ω＝2π，所以T＝＝1.
4．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，劳动节某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的(　C　)
A．[0,5]
B．[5,10]
C．[10,15]
D．[15,20]
[解析]　由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]?[3π，5π]．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　三角函数模型在物理中的应用
例1
已知表示电流强度I与时间t的函数关系式I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)．
(1)若电流强度I与时间t的函数关系图象如图所示，试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)中t在任意一段秒的时间内电流强度I能同时取得最大值A与最小值－A，那么正整数ω的最小值是多少？
[分析]　对于(1)，由于解析式的类型已经确定，只需根据图象确定参数A，ω，φ的值即可．其中A可由最大值与最小值确定，ω可由周期确定，φ可通过特殊点的坐标，解方程求得．对于(2)，可利用正弦型函数的图象在一个周期中必有一个最大值点和一个最小值点来解．
[解析]　(1)由题图知，A＝300.
T＝－(－)＝，
∴ω＝＝100π.
∵(－，0)是该函数图象的第一个零点，
∴－＝－.∴φ＝＝.符合|φ|<，
∴I＝300sin(100πt＋)(t≥0)．
(2)问题等价于T≤，即≤，
∴ω≥200π.∴正整数ω的最小值为629.
[归纳提升]　解决函数图象与解析式对应问题的策略
利用图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，实质就是确定其中的参数A，ω，φ.其中A由最值确定；ω由周期确定，而周期由特殊点求得；φ由点在图象上求得，确定φ时，注意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ.
【对点练习】?
本例(1)中，在其他条件不变的情况下，当t＝10秒时的电流强度I应为多少？
[解析]　由例1(1)可得I＝300sin(100πt＋)(t≥0)，将t＝10秒代入可得，I＝150安培．
题型二　三角函数模型在生活中的应用
例2
如图为一半径为3
m的水轮，水轮圆心O距离水面2
m，已知水轮自点B开始1
min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有(　A　)
A．ω＝，A＝3
B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5
D．ω＝，A＝5
[解析]　由1
min旋转4圈，则转1圈的时间为T＝
min＝×60＝15(s)，则ω＝＝.又由图可知，A＝3.
[归纳提升]　1.解决与三角函数模型相关问题，关键是将实际问题转化为三角函数模型．
2．三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法．
【对点练习】?
如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为(　C　)
[解析]　∵P0(，－)，∴∠P0Ox＝.
按逆时针转时间t后得∠POP0＝t，∠POx＝t－.
此时P点纵坐标为2sin(t－)，
∵d＝2|sin(t－)|.当t＝0时，d＝，排除A、D；当t＝时，d＝0，排除B．
误区警示
对物理概念理解不清，错求初相
例3
如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h(厘米)由如下关系式确定：h＝2sin(t＋φ)，t∈[0，＋∞)，φ∈(－π，π)．已知当t＝3时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在开始振动(即t＝0)时h的值为____.
[错解]　∵当t＝3时，h＝0，∴2sin(＋φ)＝0，∴φ＝－.故h＝2sin(t－)，∴当t＝0时，h＝2sin(－)＝－.
[错因分析]　没有认真审题，不懂利用题目中的“并开始向下移动”条件求初相．
[正解]　∵当t＝3时，h＝0，∴2sin(＋φ)＝0.又∵当t＝3时，h＝0，并开始向下移动，∴＋φ＝π＋2kπ，k∈Z.∵φ∈(－π，π)，∴φ＝，故h＝2sin(t＋)．∴当t＝0时，h＝2sin＝.
[方法点拨]　在利用零点求初相时，要注意函数在零点处的单调性，当函数在零点处单调递增时，ωx＋φ＝2kπ(k∈Z)；当函数在零点处单调递减时，ωx＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)．
学科素养
数据拟合三角函数问题
处理此类问题时，先要根据表格或数据正确地画出散点图，然后运用数形结合的思想方法求出问题中所需要的相关量，如周期、振幅等，最后根据三角函数的相关知识解决问题．
例4
已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.
(1)根据以上数据，求出函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
(2)根据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
[分析]　本题以实际问题引入，注意通过表格提供的数据来抓住图形的特征．
[解析]　(1)由表中数据，知周期T＝12，
∴ω＝＝.
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.
又由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，
∴A＝0.5，b＝1.0，即振幅为.
∴y＝cost＋1.
(2)由题意知，当y>1时才对冲浪者开放，
∴cost＋1>1，∴cost>0，
∴2kπ－即12k－3∵0≤t≤24，∴令k分别为0,1,2，得0≤t<3或9∴在规定时间上午8∶00时至晚上20∶00时之间有6个小时可供冲浪者进行活动，即上午9∶00至下午15∶00.
[归纳提升]　处理此类问题时，先要根据图表或数据正确地画出简图，然后运用数形结合思想求出问题中的关键量，如周期、振幅等．
课堂检测·固双基
1．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　A　)
A．T＝6，φ＝　　　　
B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝
D．T＝6π，φ＝
[解析]　T＝＝6.由图象过(0,1)点得sinφ＝.
∵－<φ<，∴φ＝.
2．某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距离平均亮度0.2星等，则可近似地描述此星星亮度与时间之间关系的一个三角函数可以是下列中的(　C　)
A．y＝0.2sin10t＋3.8
B．y＝3.8sint＋0.2
C．y＝0.2sin(t＋φ)＋3.8
D．y＝3.8sin10t＋0.2
[解析]　设所求函数为y＝Asin(ωt＋φ)＋b，
依题意得T＝10，ω＝，A＝0.2，b＝3.8，
所以解析式可以为y＝0.2sin(t＋φ)＋3.8，故选C．
3．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin(160πt)＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为(　C　)
A．60　　
B．70　　
C．80　　
D．90
[解析]　由于ω＝160π，故函数的周期T＝＝，
所以f＝＝80，即每分钟心跳的次数为80.故选C．
4.如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
(1)这一天的最大用电量为__50__万度，最小用电量为__30__万度；
(2)这段曲线的函数解析式为__y＝10sin(x＋)＋40，x∈[8,14]__.
[解析]　由图知，b＝40，A＝10，ω＝＝＝，
∴y＝10sin(x＋φ)＋40，
又x＝8时，y＝30，∴sin(＋φ)＝－1，∴φ＝.
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