2020_2021学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.2集合间的基本关系学案含解析新人教A版必修第一册

1.2　集合间的基本关系
【素养目标】
1．理解集合之间包含和相等的含义，并会用符号和Venn图表示．(直观想象)
2．会识别给定集合的真子集，会判断给定集合间的关系，并会用符号和Venn图表示．(直观想象)
3．在具体情境中理解空集的含义．(数学抽象)
【学法解读】
1．在本节学习中，学生要以义务教育阶段学过的数学内容为载体，依据老师创设合适的问题情境，理解子集、真子集、集合相等、空集等概念．
2．要注意集合之间关系的几种表述方法：自然语言、符合语言、图形语言，应理解并掌握以上方法的转化及应用．
必备知识·探新知
基础知识
知识点1　子集、真子集的概念
1．子集的概念
定义
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中__任意一个__元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集
记法与读法
记作__A?B__(或__B?A__)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)
图示
或
结论
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A?A．(2)对于集合A，B，C，若A?B，且B?C，则A?C．
2.真子集的概念
定义
如果集合A?B，但存在元素__x∈B__，且__x?A__，就称集合A是集合B的真子集
记法
记作A?B(或B?A)
图示
结论
(1)A?B，B?C，则A?C．(2)A?B且A≠B，则A?B．
思考1：(1)任意两个集合之间是否有包含关系？
(2)符合“∈”与“?”有什么区别？
提示：(1)不一定，如集合A＝{1,3}，B＝{2,3}，这两个集合就没有包含关系．
(2)①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1?N.
②“?”是表示集合与集合之间的关系，比如N?R，{1,2,3}?{3,2,1}．
③“∈”的左边是元素，右边是集合，则“?”的两边均为集合．
知识点2　集合相等
自然语言
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素，都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B．
符号语言
A?B且B?A?A＝B
图形语言
思考2：怎样证明或判断两个集合相等？
提示：(1)若A?B且B?A，则A＝B，这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A＝B，只需证A?B与B?A均成立．
(2)判断两个集合相等，可把握两个原则：①设两集合A，B均为有限集，若两集合的元素个数相同，对应元素分别相同，则两集合相等，即A＝B；②设两集合A，B均是无限集，只需看两集合的代表元素满足的条件是否一致，若一致，则两集合相等，即A＝B．
知识点3　空集
定义
不含任何元素的集合叫做空集
记法
?
规定
空集是任何集合的子集，即??A
特性
(1)空集只有一个子集，即它的本身，???(2)A≠?，则??A
思考3：?，0，{0}与{?}之间有怎样的关系？
提示：
?与0
?与{0}
?与{?}
相同点
都表示无的意思
都是集合
都是集合
不同点
?是集合；0是实数
?不含任何元素；{0}含一个元素0
?不含任何元素；{?}含一个元素，该元素是?
关系
0??
??{0}
??{?}或?∈{?}
知识点4　Venn图
在数学中，经常用平面上__封闭曲线__的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．
注意：1.用Venn图可以直观、形象地表示出集合之间的关系．
?A?B　?B?A
?A＝B　　　　　
2．Venn图适用于元素个数较少的集合．
思考4：Venn图的优点是什么？
提示：形象直观．
基础自测
1．已知集合M＝{1}，N＝{1,2,3}，则有(　D　)
A．M＜N　　　　　　
B．M∈N
C．N?M
D．M?N
[解析]　∵1∈{1,2,3}，∴{1}?{1,2,3}．故选D．
2．下列四个集合中，是空集的为(　B　)
A．{0}
B．{x|x>8，且x<5}
C．{x∈N|x2－1＝0}
D．{x|x>4}
[解析]　x>8，且x<5的数x不存在，∴选项B中的集合不含有任何元素，故选B．
3．用适当的符号填空：
(1)a__∈__{a，b，c}；(2)0__∈__{x|x2＝0}；(3)?__＝__{x∈R|x2＋1＝0}；(4){0,1}__?__N；(5){0}__?__{x|x2＝x}；(6){2,1}__＝__{x|x2－3x＋2＝0}．
4．写出集合{a，b，c}的所有子集．
[解析]　?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}．
5．判断下列两个集合之间的关系：
(1)A＝{x|x<0}，B＝{x|x<1}；
(2)A＝{x|x＝3k，k∈N}，B＝{x|x＝6z，z∈N}；
(3)A＝{x∈N＋|x是4与10的公倍数}，B＝{x|x＝20m，m∈N＋}．
[解析]　(1)A?B　(2)A?B　(3)A＝B
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　集合间关系的判断
例1
(2020·石家庄高一教学质检)指出下列各组集合之间的关系：
(1)A＝{x|－1(2)A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}；
(3)A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|x＝，n∈Z}；
(4)A＝{(x，y)|xy>0}，B＝{(x，y)|x>0，y>0或x<0，y<0}；
(5)A＝{x|x＝1＋a2，a∈N＋}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N＋}．
[分析]　(1)中集合表示不等式，可以根据范围直接判断，也可以利用数轴判断；(2)根据集合表示数集的意义进行判断；(3)解集合A中方程得到集合A，再根据集合B中n分别为奇数、偶数得到集合B，进行判断；(4)可以根据集合中元素的特征或者集合的几何意义判断；(5)将集合A中x关于a的关系式改写成集合B中的形式，再进行判断．
[解析]　(1)方法一　集合B中的元素都在集合A中，但集合A中有些元素(比如0，－0.5)不在集合B中，故B?A．
方法二　利用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知B?A．
(2)∵集合A是偶数集，集合B是4的倍数集，∴B?A．
(3)A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}．在集合B中，当n为奇数时，x＝＝0，当n为偶数时，x＝＝1，∴B＝{0,1}，∴A＝B．
(4)方法一　由xy>0得x>0，y>0或x<0，y<0；由x>0，y>0或x<0，y<0得xy>0，从而A＝B．
方法二　集合A中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内的点对应的坐标，集合B中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点对应的坐标，从而A＝B．
(5)对于任意x∈A，有x＝1＋a2＝(a＋2)2－4(a＋2)＋5.
∵a∈N＋，∴a＋2∈N＋，∴x∈B．
由子集的定义知，A?B，
设1∈B，此时a2－4a＋5＝1，解得a＝2，a∈N＋
∵1＋a2＝1在a∈N＋时无解，∴1?A．
综上所述，A?B．
[归纳提升]　判断集合间关系的常用方法
(1)列举观察法
当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系．
(2)集合元素特征法
首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A?B；②若由q(x)可推出p(x)，则B?A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系．
(3)数形结合法
利用Venn图、数轴等直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴．
【对点练习】?
(2020·四川广元外国语高一段考)下列各式中，正确的个数是(　D　)
①?＝{0}；②??{0}；③?∈{0}；④0＝{0}；⑤0∈{0}；⑥{1}∈{1,2,3}；⑦{1,2}?{1,2,3}；⑧{a，b}?{b，a}．
A．1　　　　　　　
B．2
C．3
D．4
[解析]　?表示空集，没有元素，{0}有一个元素，则?≠{0}，故①错误；∵空集是任何集合的子集，故②正确；?和{0}都表示集合，故③错误；0表示元素，{0}表示集合，故④错误；0∈{0}，故⑤正确；{1}，{1,2,3}都表示集合，故⑥错误；{1,2}中的元素都是{1,2,3}中的元素，故⑦正确；由于集合的元素具有无序性，故{a，b}?{b，a}，故⑧正确．综上，正确的个数是4个．
题型二　确定集合的子集、真子集
例2
设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．
[分析]　→→
[解析]　由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，则方程的根为x＝－4或x＝－1或x＝4.
故集合A＝{－4，－1,4}，由0个元素构成的子集为：?.
由1个元素构成的子集为：{－4}，{－1}，{4}．
由2个元素构成的子集为：{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．
由3个元素构成的子集为：{－4，－1,4}．
因此集合A的子集为：?，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}．
真子集为：?，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．
[归纳提升]　(1)若集合A中有n(n∈N＋)个元素，则集合A有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－1)个非空子集，有(2n－2)个非空真子集．
(2)写出一个集合的所有子集时，首先要注意两个特殊的子集：?和自身．其次，依次按含有1个元素的子集，含有2个元素的子集，含有3个元素的子集……一一写出，保证不重不漏．
【对点练习】?
满足{a，b}?A?{a，b，c，d，e}的集合A的个数是(　C　)
A．2　　　　　
B．6
C．7
D．8
[解析]　由题意知，集合A可以为{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}．
题型三　由集合间的关系求参数范围问题
例3
已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1[分析]　借助数轴分析，注意B是否为空集．
[解析]　(1)因为B?A，
当B＝?时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
(2)当B≠?时，有
解得－1≤m<2，综上得m≥－1.
[归纳提升]　(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
此类问题要注意对空集的讨论．
【对点练习】?
(1)已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B?A，则实数m＝__1__；
(2)已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B?A，求实数a的取值范围．
[解析]　(1)因为B?A，所以m2＝2m－1，
即(m－1)2＝0，所以m＝1.当m＝1时，A＝{－1,3,1}，B＝{3,1}，满足B?A，故m＝1.
(2)当B＝?时，只需2a>a＋3，即a>3；
当B≠?时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得或，解得a<－4或2综上可得，实数a的取值范围为a<－4或a>2.
误区警示
忽视“空集”的存在
例4
已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B?A，则实数a的所有可能取值的集合为(　D　)
A．{－1}
B．{1}
C．{－1,1}
D．{－1,0,1}
[错解]　因为B?A，而B＝{x|x＝－}，因此有－∈A，所以a＝±1，故选C．
[错因分析]　空集是一个特殊而重要的集合，它不含任何元素，记为?.在解隐含有空集参与的集合问题时，极易忽视空集的特殊性而导致错解．本例求解过程中有两处错误，一是方程ax＝－1的解不能写成x＝－，二是忽视了B?A时，B可以为空集．事实上a＝0时，方程无解．
[正解]　因为B?A，所以当B≠?，即a≠0时，B＝{x|x＝－}，因此有－∈A，所以a＝±1；
当B＝?，即a＝0时满足条件．
综上可得实数a的所有可能取值的集合是{－1,0,1}．故选D．
[方法点拨]　已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，需关注子集是否为空集．
一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互异性；当集合为连续型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类讨论、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到．
学科素养
分类讨论思想的应用
分类讨论，通俗地讲，就是“化整为零，各个击破”．分类讨论要弄清楚是依据哪个参数进行分类的，采用的标准是什么．分类讨论的原则是：(1)不重不漏；(2)一次分类只能按所确定的同一个标准进行．
例5
已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值．
[分析]　根据集合相等的定义和集合元素的互异性求解．由于A＝B，元素a在两个集合中都有，故其余两个元素的情况需分类讨论．
[解析]　①若，消去b得a＋ac2－2ac＝0，即a(c2－2c＋1)＝0，
当a＝0时，集合B中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性，
故a≠0，c2－2c＋1＝0，即c＝1.
当c＝1时，集合B中的三个元素也相同，∴c＝1舍去，即此时无解．
②若，消去b得2ac2－ac－a＝0，
即a(2c2－c－1)＝0，∵a≠0，∴2c2－c－1＝0，
即(c－1)(2c＋1)＝0.又∵c≠1，∴c＝－.
当c＝－时，，∴b＝－a，∴A＝{a，a，－a}，B＝{a，a，－a}，∴A＝B．综上可知c＝－.
[归纳提升]　1.两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形．
2．若两个集合中元素均为无限多个，要看两集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足条件是否一致，若均一致，则两集合相等．
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