1.3 集合的基本运算
【素养目标】
1．能从教材实例中抽象出两个集合并集和交集、全集和补集的含义．(数学抽象)
2．准确翻译和使用补集符号和Venn图．(数学抽象)
3．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集、交集与补集运算．(数学运算)
4．能用Venn图表示两个集合的并集和交集．(直观想象)
5．能根据集合间的运算结果判断两个集合之间的关系．(逻辑推理)
6．能根据两个集合的运算结果求参数的取值范围．(逻辑推理)
7．会用Venn图、数轴解决集合综合运算问题．(直观想象)
【学法解读】
1．在本节学习中，学生应依据老师创设合适的问题情境，加深对“并集”“交集”“补集”“全集”等概念含义的认识，特别是对概念中“或”“且”的理解，尽量以义务教育阶段所学过的数学内容或现实生活中的实际情境为载体创设相关问题，帮助理解．
2．要注意结合实例，运用数轴、Venn图等表示集合进行运算，从而更直观、清晰地解决有关集合的运算问题．
第1课时 并集与交集
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 并集
自然语言
一般地，由__所有属于集合A或属于集合B__的元素组成的集合，称为集合A与B的并集(union
set)，记作__A∪B__(读作“A并B”)．
符号语言
__A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}__
图形语言
(3)A?B (4)B?A (5)A＝B说明：由上述五个图形可知，无论集合A，B是何种关系，A∪B恒有意义，图中阴影部分表示并集.
思考1：并集概念中的“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同？
提示：并集概念中的“或”与生活用语中的“或”的含义是不同的．生活用语中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，并不兼存；而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或此彼”，可兼有．
“x∈A或x∈B”包含三种情形：
①x∈A，但x?B；
②x∈B，但x?A；
③x∈A且x∈B．
知识点2 交集
自然语言
一般地，由__所有属于集合A且属于集合B的元素__组成的集合，称为A与B的交集(intersection
set)，记作__A∩B__(读作“A交B”)
符号语言
__A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}__
图形语言
(1)A与B相交(有公共元素，相互不包含)(2)A与B相离(没有公共元素，A∩B＝?)(3)A?B，则A∩B＝A(4)B?A，则A∩B＝B(5)A＝B，A∩B＝B＝A
思考2：集合运算中的“且”与生活用语中的“且”相同吗？
提示：集合运算中的“且”与生活用语中的“且”的含义相同，均表示“同时”的含义，即“x∈A，且x∈B”表示元素x属于集合A，同时属于集合B．
知识点3 并集与交集的性质
(1)__A∩A＝A__，A∩?＝?.(2)__A∪A＝A__，A∪?＝A．
思考3：(1)对于任意两个集合A，B，A∩B与A有什么关系？A∪B与A有什么关系？
(2)设A，B是两个集合，若已知A∩B＝A，A∪B＝B，则它们之间有何关系？集合A与B呢？
提示：(1)(A∩B)?A，A?(A∪B)．
(2)A∩B＝A?A∪B＝B?A?B．
基础自测
1．(2019·全国卷Ⅲ理，1)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝( A )
A．{－1,0,1}
B．{0,1}
C．{－1,1}
D．{0,1,2}
[解析] ∵B＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，
∴A∩B＝{－1,0,1,2}∩{x|－1≤x≤1}＝{－1,0,1}，故选A．
2．(2019·江苏宿迁市高一期末测试)设集合M＝{0,1,2}，N＝{2,4}，则M∪N＝( D )
A．{0,1,2}
B．{2}
C．{2,4}
D．{0,1,2,4}
[解析] M∪N＝{0,1,2}∪{2,4}＝{0,1,2,4}．
3．已知集合M＝{x|－5
A．{x|－4B．{x|－5C．{x|3D．{x|－5[解析] M∩N＝{x|－54．(2019·江苏，1)已知集合A＝{－1,0,1,6}，B＝{x|x>0，x∈R}，则A∩B＝__{1,6}__.
[解析] A∩B＝{－1,0,1,6}∩{x|x>0，x∈R}＝{1,6}．
5．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m,4}，A∩B＝{2,3}，则m＝__3__.
[解析] 因为A∩B＝{2,3}，所以3∈B．所以m＝3.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 并集运算
例1
(1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，求A∪B；
(2)设集合A＝{x|－3[分析] 第(1)题由定义直接求解，第(2)题借助数轴求很方便．
[解析] (1)A∪B＝{1,2,3}∪{2,3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．
(2)画出数轴如图所示：
∴A∪B＝{x|－3[归纳提升] 并集运算应注意的问题
(1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集……，然后将集合化简，再按定义求解．
(2)求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个．
(3)对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到．
【对点练习】?
(1)已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,1,2,3,5}，则A∪B＝__{0,1,2,3,4,5}__.
(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2－2}__.
[解析] (1)A∪B＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}．
(2)画出数轴如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．
题型二 交集运算
例2
(1)设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}则M∩N＝( B )
A．{－1,0,1}
B．{0,1}
C．{1}
D．{0}
(2)若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，则集合A∩B等于( D )
A．{x|x≤3或x>4}
B．{x|－1C．{x|3≤x<4}
D．{x|－2≤x<－1}
(3)已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则A∩B＝__{(1,2)}__.
[分析] (1)先求出集合N中的元素再求M、N的交集．(2)借助数轴求A∩B．(3)集合A和B的元素是有序实数对(x，y)，A、B的交集即为方程组的解集．
[解析] (1)N＝{x|x2＝x}＝{0,1}，∴M∩N＝{0,1}，故选B．
(2)将集合A、B表示在数轴上，由数轴可得A∩B＝{x|－2≤x<－1}，故选D．
(3)A∩B＝{(x，y)|4x＋y＝6}∩{(x，y)|3x＋2y＝7}
＝＝{(1,2)}．
[归纳提升] 求集合A∩B的方法与步骤
(1)步骤
①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么．
②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B\”的形式．
③把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为?)．
(2)方法
①若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集．
②若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．
【对点练习】?
(1)(2020·天津和平区高一期中测试)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B等于( A )
A．{1,3}
B．{2,4}
C．{2,4,5,7}
D．{1,2,3,4,5,7}
(2)(2020·广州荔湾区高一期末测试)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B＝{1}，则集合B＝( D )
A．{－3,1}
B．{0,1}
C．{1,5}
D．{1,3}
[解析] (1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1,3,5,7}，
∴A∩B＝{1,3}，故选A．
(2)∵A∩B＝{1}，
∴1∈B，
∴1是方程x2－4x＋m＝0的根，
∴1－4＋m＝0，∴m＝3.
∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{x|(x－1)(x－3)＝0}＝{1,3}．
题型三 集合的交集、并集性质的应用
例3
(1)设集合M＝{x|－2(2)设A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{x|x2－2ax＋a2－a＝0}．
①若A∩B＝B，求a的取值范围；
②若A∪B＝B，求a的取值．
[分析] (1)把M∪N＝M转化为N?M，利用数轴表示出两个集合，建立端点间的不等关系式求解．
(2)先化简集合A，B，再由已知条件得A∩B＝B和A∪B＝B，转化为集合A、B的包含关系，分类讨论求a的值或取值范围．
[解析] (1)由M∪N＝M得N?M，当N＝?时，2t＋1≤2－t，即t≤，此时M∪N＝M成立．
当N≠?时，由数轴可得
解得缩上可知，实数t的取值范围是{t|t≤2}．
(2)由x2－2x＝0，得x＝0或x＝2.∴A＝{0,2}．
①∵A∩B＝B，∴B?A，B＝?，{0}，{2}，{0,2}．
当B＝?时，Δ＝4a2－4(a2－a)＝4a<0，∴a<0；
当B＝{0}时，∴a＝0；
当B＝{2}时，无解；
当B＝{0,2}时，得a＝1.
综上所述，得a的取值范围是{a|a＝1或a≤0}．
②∵A∪B＝B，∴A?B．
∵A＝{0,2}，而B中方程至多有两个根，
∴A＝B，由①知a＝1.
[归纳提升] 利用交、并集运算求参数的思路
(1)涉及A∩B＝B或A∪B＝A的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，要注意空集的特殊性．
(2)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系，要注意集合中元素的互异性；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系．
【对点练习】?
已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}，
(1)当m＝2时，求M∩N，M∪N；
(2)当M∩N＝M时，求实数m的值．
[解析] (1)由题意得M＝{2}．
当m＝2时，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
∴M∩N＝{2}，M∪N＝{1,2}．
(2)∵M∩N＝M，∴M?N，∵M＝{2}，∴2∈N，
∴2是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，
即4－6＋m＝0，解得m＝2.
课堂检测·固双基
1．设集合A＝{x∈N
|－1≤x≤2}，B＝{2,3}，则A∪B＝( B )
A．{－1,0,1,2,3}
B．{1,2,3}
C．{－1,2}
D．{－1,3}
[解析] 集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则A∪B＝{1,2,3}．
2．已知集合A＝{x|－3A．{x|x<1}
B．{x|x<3}
C．{x|－3D．{x|－3[解析] A∩B＝{x|－33．设集合A＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，则如图中阴影部分表示的集合是( C )
A．{2,4,6}
B．{1,3,6}
C．{1,2,3,4,6}
D．{6}
[解析] 图中阴影表示A∪B，又因为A＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，所以A∪B＝{1,2,3,4,6}，故选C．
4．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是__a≤1__.
[解析] 利用数轴画图解题．
要使A∪B＝R，则a≤1.
5．已知集合A＝{x|m－2(1)若m＝1，求A∪B；
(2)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．
[解析] (1)由m＝1，得A＝{x|－1∴A∪B＝{x|－1(2)∵A∩B＝A，∴A?B．显然A≠?.
故有解得3≤m≤4.
∴实数m的取值范围为[3,4]．
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-第2课时 补集及综合运用
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 全集
1．概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为__全集__.
2．记法：通常记作U.
思考1：在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？
提示：全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异．
知识点2 补集
思考2：怎样理解补集？
提示：(1)补集是相对于全集而言的，一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．
(2)补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算．在给定全集U的情况下，求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．
基础自测
1．已知集合A＝{x|x<－5或x>7}，则?RA＝( B )
A．{x|－5B．{x|－5≤x≤7}
C．{x|x<－5}∪{x|x>7}
D．{x|x≤－5}∪{x|x≥7}
[解析] ∵A＝{x|x<－5或x>7}，∴?RA＝{x|－5≤x≤7}，故选B．
2．(2019·贵州遵义市高一期末测试)已知集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,4}，B＝{2,4}，则(?UA)∪B＝( A )
A．{2,4,5}
B．{1,3,4}
C．{1,2,4}
D．{2,3,4,5}
[解析] ∵?UA＝{2,5}，∴(?UA)∪B＝{2,5}∪{2,4}＝{2,4,5}．
3．(2019·浙江，1)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，则(?UA)∩B＝( A )
A．{－1}
B．{0,1}
C．{－1,2,3}
D．{－1,0,1,3}
[解析] ∵?UA＝{－1,3}，∴(?UA)∩B＝{－1,3}∩{－1,0,1}＝{－1}，故选A．
4．设全集U＝Z，A＝{x∈Z|x<4}，B＝{x∈Z|x≤2}，则?UA与?UB的关系是__?UA??UB__.
[解析] 全集U＝Z，A＝{x∈Z|x<4}，B＝{x∈Z|x≤2}，则?UA＝{4,5，…}，则?UB＝{3,4,5，…}，则?UA??UB．
5．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，?UA＝{2,4,6,8}，?UB＝{1,4,6,8,9}，求集合B．
[解析] 解法一：∵A＝{1,3,5,7,9}，?UA＝{2,4,6,8}，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
又∵?UB＝{1,4,6,8,9}，∴B＝{2,3,5,7}．
解法二：借助韦恩图，如图所示，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
∵?UB＝{1,4,6,8,9}，B＝{2,3,5,7}．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 补集的基本运算
例1
(1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，?UB＝{1,4,6}，则集合B＝__{2,3,5,7}__.
(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则?UA＝__{x|x<－3，或x＝5}__.
[分析] (1)先结合条件，由补集的性质求出全集U，再由补集的定义求出集合B，也可借助Venn图求解．
(2)利用补集的定义，借助于数轴的直观作用求解．
[解析] (1)∵A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．
又?UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．
(2)将全集U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．
由补集的定义可知?UA＝{x|x<－3，或x＝5}．
[归纳提升] 求集合的补集的方法
1．定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解．
2．Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集．
3．数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题．
【对点练习】?
(1)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则?UA＝( B )
A．?
B．{2}
C．{5}
D．{2,5}
(2)已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若?UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝__2__.
[解析] (1)由题意知集合A＝{x∈N|x≥}，则?UA＝{x∈N|2≤x＜}＝{2}，故选B．
(2)∵A∪(?UA)＝U，且A∩(?UA)＝?，
∴A＝{x|1≤x＜2}，∴a＝2.
题型二 交集、并集、补集的综合运算
例2
已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(?UA)∪B，A∩(?UB)．
[分析] 对于无限集，可以利用数轴，分别表示出全集U及集合A、B，先求出?UA及?UB，再求解．
[解析] 如图，
由图可得?UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}．
如图，
由图可得?UB＝{x|x＜－3，或2＜x≤4}．
如图，
由图可得A∩B＝{x|－2＜x≤2}，
∴(?UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，
A∩(?UB)＝{x|2[归纳提升] 求集合交、并、补运算的方法
【对点练习】?
(1)已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(?UB)＝__{1,2,3}__；
(2)设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(?UB)＝( B )
A．{x|0≤x＜1}
B．{x|0＜x≤1}
C．{x|x＜0}
D．{x|x＞1}
[解析] (1)?UB＝{2}，A∪(?UB)＝{1,2,3}．
(2)∵U＝R，B＝{x|x＞1}，∴?UB＝{x|x≤1}．又A＝{x|x＞0}，∴A∩(?UB)＝{x|0＜x≤1}．
题型三 与补集相关的参数值的求解
例3
已知集合A＝{y|y>a2＋1或y[分析] 由于集合A包含两个不等式，若直接利用交集不为空集求解，则所分情况较多，因此考虑从交集为空集的角度入手．
[解析] 因为A＝{y|y>a2＋1或y由得
故a≤－或≤a≤2.
即A∩B＝?时，a的取值范围为a≤－或≤a≤2，
故A∩B≠?时，a的取值范围为a>2或－[归纳提升] 当从正面考虑情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想．其解题步骤为：(1)否定已知条件，考虑反面问题；(2)求解反面问题对应的参数范围；(3)取反面问题对应的参数范围的补集．
【对点练习】?
若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有1个元素，则实数a的取值范围为__{a|a≥或a＝0}__.
[解析] 假设集合A中含有2个元素，即ax2＋3x＋2＝0有两个不相等的实数根，则解得a<且a≠0，则此时实数a的取值范围是{a|a<且a≠0}．在全集U＝R中，集合{a|a<且a≠0}的补集是{a|a≥或a＝0}．
所以满足题意的实数a的取值范围是{a|a≥或a＝0}．
误区警示
忽视空集的特殊性
例4
已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为__{a|a<1或a>3}__.
[错解] ∵A∪B＝A，∴B?A，
从而有或解得a>3.
故实数a的取值范围是a>3.
[错因分析] 由并集的定义容易知道，对于任何一个集合A，都有A∪?＝A，所以错解忽略了B＝?时的情况．
[正解] ∵A∪B＝A，∴B?A．
①当B≠?时，有或解得a>3.
②当B＝?时，由a>2a－1，得a<1.
综上可知，实数a的取值范围是{a|a<1或a>3}，故填{a|a<1或a>3}．
[方法点拨] ?有两个独特的性质：(1)对于任意集合A，皆有A∩?＝?；(2)对于任意集合A，皆有A∪?＝A，因此，如果A∩B＝?，就要考虑集合A或B可能是?，如果A∪B＝A，就要考虑集合B可能是?.
学科素养
“正难则反”思想的应用
“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决．已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可运用“正难则反”策略先求?UA，再由?U(?UA)＝A求A．
例5
已知A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}．若B∪A≠A，求实数a的取值集合．
[分析] 要求B∪A≠A，可先求B∪A＝A时，a的取值集合，再求出该集合在实数集R中的补集即可．
[解析] 若B∪A＝A，则B?A．∵A＝{x|x2－2x－8＝0}＝{－2,4}，∴集合B有以下三种情况：
①当B＝?时，Δ＝a2－4(a2－12)<0，即a2>16，∴a<－4或a>4；
②当B是单元素集时，Δ＝a2－4(a2－12)＝0，∴a＝－4或a＝4.
若a＝－4，则B＝{2}A；若a＝4，则B＝{－2}?A；
③当B＝{－2,4}时，－2,4是方程x2＋ax＋a2－12＝0的两根，∴，∴a＝－2.
综上可得，B∪A＝A时，a的取值集合为{a|a<－4或a＝－2或a≥4}．
∴B∪A≠A的实数a的取值集合为{a|－4≤a<4且a≠－2}．
[归纳提升] 补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用．在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的一种体现．
课堂检测·固双基
1．(2020·吉林乾安七中高一期末测试)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则?U(A∪B)＝( D )
A．{1,3,4}
B．{3,4}
C．{3}
D．{4}
[解析] A∪B＝{1,2}∪{2,3}＝{1,2,3}，∴?U(A∪B)＝{4}．
2．如图，I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( D )
A．(?IA∩B)∩C
B．(?IB∪A)∩C
C．(A∩B)∩(?IC)
D．(A∩?IB)∩C
[解析] 由图可知阴影部分中的元素属于A，不属于B，属于C，则阴影部分表示的集合是(A∩?IB)∩C．
3．设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(?UA)∩B＝__{7,9}__.
[解析] 由题意，得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，故?UA＝{4,6,7,9,10}，所以(?UA)∩B＝{7,9}．
4．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，求A∩(?UB)，(?UA)∩(?UB)．
[解析] ?UA＝{1,3,6,7}，?UB＝{2,4,6}，
∴A∩(?UB)＝{2,4,5}∩{2,4,6}＝{2,4}，
(?UA)∩(?UB)＝{1,3,6,7}∩{2,4,6}＝{6}．
5．设S＝{x|x是平行四边形或梯形}，A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，求B∩C，?SB，?SA．
[解析] B∩C＝{x|x是正方形}，?SB＝{x|x是邻边不相等的平行四边形或梯形}，?SA＝{x|x是梯形}．
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