北师大版八年级上册：5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数 教案

应用二元一次方程组 ——里程碑上的数
【教学目标】
一、教学知识点
1．用二元一次方程组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题。
2．归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
二、能力训练要求
1．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型。
2．初步体会列方程组解决实际问题的一般步骤。
三、情感与价值观要求
1．“里程碑上的数”这一场景既是一个数字问题，又和行程有关。相对而言有一定难度，让学生体验把复杂问题化为简单问题策略的同时，培养学生克服困难的意志和勇气。
2．鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神。
【教学重点】
1．用二元一次方程组刻画数学问题和行程问题。
2．初步体会列方程组解决实际问题的步骤。
【教学难点】
将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型。
【课时安排】
6课时
【教学方法】
引导——讨论——发现法。
“里程碑上的数”既是一个数字问题，又是一个行程问题，相对较难，学生在教师的引导下化解成几个简单问题，通过学生讨论解决关键问题，从而使问题迎刃而解。同时通过学生自己讨论发现数学问题不同情况下的字母表示方法。
【教材准备】
投影片两张：
第一张：问题串；
第二张：例题。
【教学过程】
一、创设情境，引入新课
出示投影片
［问题1］（1）一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，那么这个数可表示为_________；如果交换个位和十位上的数字，得到一个新的两位数可表示为_________。 （2）有两个两位数x和y，如果将x放在y的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数就可以表示为_________；如果将x放在y的右边，得到一个新的四位数，那么这个新的四位数又可表示为_________。
（3）一个两位数，个位上的数为m，十位上的数为n，如果在它们之间添上一个零，就得到一个三位数，用代数式表示这个三位数为_________。
［师生共析］（1）个位上的数字是a，即有a个1，十位数字是b个10，所以这个两位数是b个10和a个1的和即10b+a；如果交换它们的位置，得到一个新的两位数，即a个10与b个1的和即10a+B。
（2）两位数x放在两位数y的左边，组成一个四位数，这时，x的个位数就变成了百位，十位数就变成了千位，因此这个四位数里含有x个100，而两位数y在四位数中数位没有变化，因此这个四位数中还含有y个1．因此用x、y表示这个四位数为100x+y。同理，如果将x放在y的右边，得到一个新的四位数为100y+x。
（3）一个两位数，个位上的数是m，十位上的数是n，如果在它们之间添上零，十位上的几成了百位上的数。因此这个三位数是由n个100，0个10，m个1组成的，用代数式表示这个三位数即为100n+m。
［师］下面我们就用上面几个小知识解决下面的综合性问题。
二、讲授新课
［师］翻开课本P203，我们来研究“里程碑上的数”。同学们先阅读课本上的第一段文字及文字下的三幅图片，然后我请一位同学陈述一下问题的内容。
［生］这个问题讲的是：小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶。小明在12∶00时看到的里程碑上的数是一个两位数，它的两个数字之和是7；在13∶00时看到的里程碑上的数十位与个位数字与12∶00时看到的正好颠倒了；在14∶00时小看到的里程碑上的数比12∶00时看到的两位数中间多个0.试确定小明12∶00时看到里程碑上的数。
［师］我们可以注意到“里程碑上的数”这一场景是非常有趣的，它既是一个数字问题，又和行程有关，同时，相对而言又有一定的难度。但我们知道一个复杂的问题往往是由几个简单的问题组合而成的，要想求出12∶00时小明看见的里程碑上的数，就得确定这个两位数个位和十位上的数字。我们不妨设小明在12∶00时看到的数十位数字是x，个位数字是y，根据题意，你能将12∶00、13∶00、14∶00时小明看见的里程碑上的数表示出来吗？
［生］小明12∶00时看到的里程碑上的数可以表示为10x+y；13∶00时看到的里程碑上的数可表示为10y+x；14∶00时看到的里程碑上的数可表示为100x+y。
［师］我们要想求出x、y的值，就得建立关于x、y的二元一次方程组的数学模型，为此，我们必须找出题目中的等量关系。
［生］12∶00时小明看见的里程碑上的数，它的两个数字之和是7，于是我们可得到一个等量关系，用x，y表示即为x+y=7。
［生］从题目中，我们还可以注意到小明的爸爸骑摩托车，带着小明在公路上是匀速行驶的。说明12∶00~13∶00与13∶00~14∶00两段时间内所行驶的路程相等。现在我们最关键的是用x、y表示出12∶00~13∶00时间段所行驶的路程，13∶00~14∶00时间段所行驶的路程。
［生］根据12∶00、13∶00、14∶00时小明看见的里程碑上的数可得：12∶00~13∶00间摩托车行驶的路程为（10y+x）－（10x+y）；13：00~14：00间摩托车行驶的路程为（100x+y）－（10y+x）。因此可列出相应的方程为（10y+x）－（10x+y）=（100x+y）－（10y+x）。
［师］根据以上分析，同学们在练习本上列出方程组，解出方程组的解。
（由两位同学黑板上板演）
解：设小明在12∶00时看到的十位数字是x，个位数字是y，根据题意，得方程组
化简，得
把②代入①，得x=1
把x=1代入②，得y=6
所以，这个方程组的解为
因此，小明在12：00时看到的里程碑上的数是16。
［师］从对上述问题的求解过程，我们可以得到一点启示：遇到较复杂的问题，我们通过把它化解为几个简单问题去分析，可以使思路清晰，使复杂问题在化解的过程中迎刃而解，下面我们再来看一下例题。
出示投影片
［例1］两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数。已知前一个四位数比后一个四位数大2718，求这两个两位数。
分析：（1）本题目中的两个等量关系为：较大的两位数+较小的两位数=68；前一个四位数－后一个四位数=2178。
（2）假设较大的两位数为x，较小的两位数为y，在较大的数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为100x+y；在较大的数左边写上较小的数，所写的数可表示为100y+x。
解：假设较大的两位数为x，较小的两位数为y，则
化简，得
即
解该方程组，得
所以这两个两位数分别是45和23。
三、随堂练习
1．解：设十位数字是x，个位数字是y，则有方程组
解得
所以，这个两位数是56。
四、课时小结
［议一议］列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？
（引导学生回顾本章各个问题的解决过程，归纳出列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。不一定要明晰一个十分具体的步骤。只要学生了解这个过程即可，不必要求学生回答规范化、统一化）
［师生共同分析］
列二元一次方程组解应用题的主要步骤：
（1）弄清题意和题目中的等量关系。用字母表示题目中的两个未知数。
（2）找出能够表示应用题全部含义的两个相等关系。
（3）根据这两个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组。
（4）解这个方程组并求出未知数的值。
（5）根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理？
（6）写出符合题意的解释。
【作业布置】
1．课后习题
2．复习一次函数的图象，预习下一节。
3．活动与探究
北京和上海能制造同型号电子计算机，除本地使用外，北京支援外地10台，上海可支援外地4台，现在决定给重庆8台，武汉6台，每台运费如表所示。现在有一种调运方案的总运费为7600元。问：这种调运方案中北京、上海分别应调给武汉、重庆各多少台？
武汉 重庆
北京 4 8
上海 3 5
过程：如果假设这种调运方案中北京应调x台到武汉，y台到重庆；上海则应调（6－x）台到武汉，（8－y）台到重庆。由每台运费的表格可知：
北京—→武汉 费用需4x百元。
北京—→重庆 费用需8y百元。
上海—→武汉 费用需3（6－x）百元。
上海—→重庆 费用需5（8－y）百元。
合计7600元即76百元。
结果：解：假设这种调运方案中北京应调x台到武汉，y台到重庆；上海应调（6－x）台到武汉，（8－y）台到重庆，根据题意，得
化简得
解得
所以从北京调6台到武汉，4台到重庆；上海不用给武汉调，只需给重庆调4台。
【板书设计】
里程碑上的数 一、里程碑上的数
（1）相等关系：
12∶00~13∶00摩托车行驶的路程=13∶00~14∶00摩托车行驶的路程；12∶00时小明看见的十位上的数字+个位上的数字=7。
（2）学生板演解答过程。
二、例题讲解
例：（医院为病人配制营养品）
三、随堂练习
（学生板演）
四、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
6 / 6