北师大版八年级上册：5.5应用二元一次方程组——里程碑上的数 教案

课题名称：应用二元一次方程组——里程碑上的数
年级学科 八年级数学 教材版本 北师大版
一、教学内容分析
本节内容是在学生学习了二元一次方程组的解法和部分二元一次方程组的应用后，紧接着学习的有关数字问题的应用题。这部分内容的学习，有助于加深学生对数字问题的理解，进一步掌握列方程组解应用题的方法（相等关系），提高学生解决实际问题的能力。
二、教学目标
教学目标为： 1．归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤．
2．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型．
3．在解决问题过程中，学会借助图表分析问题，感受化归思想。
4.让学生体验把复杂问题化为简单问题策略的同时，培养学生克服困难的意志和勇气．
本节课的重点是教学生会用图表分析数字问题。难点是将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型；设间接未知数转化解决实际问题。
三、学习者特征分析
本节在学习之前，学生已经学习了二元一次方程组解法和部分应用后，紧接着学习的内容，学生预习的时候，必须进一步了解二元次次方程及方程法组的解法，并能很好的应用当中，并结合实际生活，并了解本节所学内容。
四、教学过程
本课设计了六个教学环节：第一环节：知识回顾；第二环节：情境引入，新课讲解；第三环节：练习提高；第四环节：合作学习；第五环节：教学反思；第六环节：布置作业。
五、教学设计
教师活动 预设学生活动 设计意图
第一环节 知识回顾 １．一个两位数的十位数字是ｘ，个位数字是ｙ，则这个两位数可表示为：１０ｘ＋ｙ.
２．一个三位数，若百位数字为ａ，十位数字为ｂ，个位数字为ｃ，则这个三位数为：１００ａ＋１０ｂ＋ｃ.
３．一个两位数，十位数字为ａ，个位数字为ｂ，若在这两位数中间加一个０，得到一个三位数，则这个三位数可表示为：１００ａ＋ｂ.
４．ａ为两位数，ｂ是一个三位数，若把ａ放在ｂ的左边得到一个五位数，则这个五位数可表示为：
１０００ａ＋ｂ.
提问学生，教师加以点评，这样经过知识的回顾，学生基本能熟练地用代数式表示有关数字问题。
设计意图：通过复习，为本节课的继续学习做好铺垫。
第二环节 情境引入 1．Flash动画，情景展示。
小明星期天开车出去兜风，他在公路上匀速行驶，根据动画中的情景，你能确定他在１２：００看到的里程碑上的数吗？
１２：００是一个两位数，它的两个数字之和为７；
１３：００十位与个位数字与１２：００所看到的正好颠倒了；
１４：００比１２：００时看到的两位数中间多了个０．
分析：设小明在１２：００看到的数十位数字是ｘ，个位数字是y，那么
见附件二
相等关系：１．１２：００看到的数，两个数字之和是７：x＋y＝７.
　　　　　　
学法小结：
（1）对较复杂的问题可以通过列表格的方法理清题中的未知量、已知量以及等量关系，这样，条理比较清楚．
（２）借助方程组解决实际问题．
１２：００－１３：００：（１０y＋x）－（１０x＋y），
　　　　　　 １３：００－１４：００： （１００x＋y）－（ １０y＋x），
　　　　　　 路程差相等：
　　 　（１０y＋x）－（１０x＋y）＝ （１００x＋y）－（ １０y＋x）.
根据以上分析，得方程组
　　 x＋y＝７　，　　
　（１０y＋x）－（１０x＋y）＝ （１００x＋y）－（ １０y＋x）.
解方程组
　　 x＋y＝７，
（１０y＋x）－（１０x＋y）＝ （１００x＋y）－（ １０y＋x）.
整理得

因此，小明在１２：００时看到的里程碑上的数是１６．
设计意图：生动的情景引入，意在激发学生的学习兴趣；利用图表帮助分析使条理清楚，降低思维难度，并使列方程解决问题的过程更加清晰；学法小结，着重强调分析方法，养成归纳小结的良好习惯。
实际效果：动画引入，使数字问题变的更有趣，确实有效地激发了学生的兴趣，学生参与热情很高；借助图表分析，有效地克服了难点，学生基本都能借助图表分析，在老师的引导下列出方程组。
师生共同研究下题： 　　有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小４５；又知百位数字的９倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小３，试求原来的３位数．
分析：数字问题中，设未知数也很有技巧，此问题中由十位数字和个位数字组成的两位数是一个“整体”，可设为一个未知数y，百位数设为x：
见附件三
相等关系：１．原三位数－４５＝新三位数
　　　　　 ２．９百位数字＝两位数－３
解：　设百位数字为x，由十位数字与个位数字组成的两位数为y，
　　　　　根据题意的得：
１００x＋y＝１０y＋x，
　　 ９x＝y－３.
　　解得　　x＝４，
　　　　　　y＝3９.
　　答：原来的三位数是４３９．
设计意图：设计本题，意在让学生了解，在具体解决问题时，不一定直接设未知数，设间接未知数是复杂问题简单化的解决途径之一，是转化思想的应用手段。
实际效果：首先由学生思考，说出设未知数的方法，教师再给予点评、引导，然后共同完成问题的解决。本例中，要求一个三位数，学生习惯设三个未知数，可是只有两个等量关系，学生发现不太好解答，思维陷入僵局，这时通过教师的引导，发现这里十位数字与个位数字组成的两位数在问题中一直连在一起，因此可以将它们看成一个整体，这时学生一下子豁然开朗，然后列出了方程组并解出该题。
第三环节 练习提高
1．李刚骑摩托车在公路上高速行驶，早晨7:00时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；8:00时看里程碑上的两位数与7:00时看到的个位数和十位数颠倒了；9:00时看到里程碑上的数是7:00时看到的数的8倍，李刚在7:00时看到的数字是18 。
合作学习
现实生活和数学学习中，有许多问题可以借助二元一次方程组解决．试编制一个可以用下面的二元一次方程组解决的应用题．
x＋y＝２，
５x－y＝１０.
分析：设李刚在７：００看到的数十位数字是x，个位数字是y，那么
见附件一：
学生分组进行编题和互评，然后每组请一个同学将本组评选出的编的最好的应用题向全班同学汇报。（评选方法：切合实际、联系生活、有想象力并且正确无误）
设计意图：练习2是教材上“里程碑上的数”例题的变式，活学活用，强化图表分析法，使学生知识过手。（如果此例改为其它例题，未尝不可，但实践中我们发现，对同一问题的变式运用更有利于学生掌握图表分析法）。
实际效果：本例的解答学生比较得心应手，最重要的是学生基本上都学会了用图表来帮助分析数字问题。
设计意图：着重于逆向思维训练，体会自己编题，从编题人的高度审视列方程组解决实际应用题，同时培养学生的合作意识，通过合作，让学生互相评价、修正，使学生思维跳出固定单一的生活圈，更关注与现实世界的交融，开阔视野。
实际效果：有部分学生缺乏想象力，视野狭窄，经过同学互评纠正和互相学习对现实问题与数学结合有了更深的体会。大多数学生对这种编题形式很感兴趣，课堂气氛轻松活跃。
六、教学板书
复习回顾 新课讲授
方法总结
（1）．在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题．
（2）．这种处理问题的过程可以进一步概括为：
　　　　　分析　　　　　　求解
　　问题　　　　方程（组）　　　 解答
　　　　　抽象　　　　　　检验
附件一：
时刻 十位数字 个位数字 表达式 十位数字 个位数字 表达式
７：００ x y １０x＋y ７：００ x y １０x＋y
８：００ y x １０y＋x ８：００ y x １０y＋x
９：００

８（１０x＋y） ９：００

８（１０x＋y）
附件二：
时刻 百位数字 十位数字 个位数字 表达式
１２：００ ? ? x ? y ? 10x+y
１３：００ ? ? y ? x ? 10y+x
１４：００ ? x ? 0 ? y ? 100x+y
附件三：
? 百位数字 十位数字 个位数字 表达式
原数 ? x y? ? 100 x + y
新数 ? y ? x ? 10 y + x