人教版八年级数学上册：12.2全等三角形的判定 第4课时“HL” 课件(19张PPT)

(共19张PPT)
第十二章
全等三角形
12.2
三角形全等的判定
第4课时
“斜边、直角边”
温故知新
1、到目前为止，我们学了几种判定三角形全等的方法?
2、做题过程中我们都用到过哪些定理？
3、与直角三角形有关的定理你记得多少？
SSS、SAS、ASA、AAS
对顶角相等、邻补角互补、垂直定义、平行的性质、全等三角形的性质、中线高角分线定义及性质、外角性质等等
有一个角是直角的三角形是直角三角形，用“Rt△”表示
有两个角互余的三角形是直角三角形
直角三角形两个锐角互余
新课引入
思考
对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个
条件，这两个直角三角形就全等了？
A
C
B
F
E
D
1、
BC=EF、AC=DF
2、∠B=∠E、
BC=EF
或∠A=∠D
、AC=DF
3、∠B=∠E、
AC=DF
或∠A=∠D、
BC=EF
SAS
ASA
AAS
想一想：如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？
新知讲解
画一画：任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°。再画一个Rt△A
′B
′C
′，使∠C′=90
°,B′C′=BC，A
′B
′=AB,把画好的Rt△A′B′
C′
剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？
C
′
A′
M
N
B
′
A
C
B
作法：
（1）先画∠M
C′
N=90°
（2）在射线C′M上截
B′C′=BC
（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′
（4）连接A′B′
你能总结出直角三角形的判定方法吗？
一、三角形的判定（“HL”）
新知讲解
总结：判定两个三角形全等
简写：
几何语言：
“斜边、直角边”或“HL”
C
B
A
F
E
D
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
在Rt△ABC和Rt△
DEF中，
AB=DE
BC=EF
∴
△ABC
≌
△
DEF（HL）.
注意：按着斜边、直角边的顺序写条件，还有点之间的对应
C
B
A
F
E
D
在Rt△ABC和Rt△
DEF中，
AB=DE
AC=DF
∴
△ABC
≌
△
DEF（HL）.
新知小练
判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（
）
（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（
）
（3）一个锐角和斜边对应相等；
（
）
（4）两直角边对应相等；
（
）
（5）一条直角边和斜边对应相等．
（
）
HL
×
SAS
AAS
AAS
例1、如图，AC⊥BC，
BD⊥AD，
AC﹦BD，求证：BC﹦AD.
例题解析
证明：
∵
AC⊥BC，
BD⊥AD
∴∠C与∠D都是直角.
在
Rt△ABC
和Rt△BAD
中，
AB=BA,
AC=BD
.
∴
Rt△ABC≌Rt△BAD
(HL)
∴
BC﹦AD.
A
B
D
C
变式1
如图，
∠ACB
=∠ADB=90°，要证明△ABC≌
△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.
AD=BC
∠
DAB=
∠
CBA
BD=AC
∠
DBA=
∠
CAB
（HL）
（HL）
（AAS）
（AAS）
A
B
D
C
举一反三
（1）________________________________
（2）________________________________
（3）________________________________
（4）________________________________
变式2
如图，AC、BD相交于点P，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为
C、D，AD=BC.求证：AC=BD.
A
B
D
C
举一反三
证明：∵
AC⊥BC，BD⊥AD
∴∠D=∠C=90°
在Rt△ABD和Rt△BAC中
AB=BA
AD=BC
∴
Rt△ABD≌
Rt△BAC(HL)
∴AC=BD
变式3
如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD，判断AD和BC的位置关系.
A
D
C
B
举一反三
证明：连接BD
∵
AB⊥AD，CD⊥BC
∴∠A=∠C=90°
在Rt△ABD和Rt△CDB中
BD=DB
AB=CD
∴
Rt△ABD
≌
Rt△CDB(HL)
∴∠ADB=∠CBD
∴AD∥BC
例2
如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.
求证：BC＝BE
证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，
且AD＝AF，AC＝AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．
∴CD＝EF.
∵AD＝AF，AB＝AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．
∴BD＝BF.
∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.
例题解析
例3
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中
BC=EF,
AC=DF
∴
Rt△ABC≌Rt△DEF
(HL).
∴∠B=∠DEF
∵
∠DEF+∠F=90°,
∴∠B+∠F=90°.
例题解析
D
A
1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（
）
A.两条直角边对应相等
B.斜边和一锐角对应相等
C.斜边和一条直角边对应相等
D.两个锐角对应相等
2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点
E
，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，
则
CH的长为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
牛刀小试
4.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE
⊥AB，BD=CE.
求证：△EBC≌△DCB.
A
B
C
E
D
证明：
∵
BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90
°
在
Rt△EBC
和Rt△DCB
中
CE=BD
BC=CB
∴
Rt△EBC≌Rt△DCB
(HL).
3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC
（填“全等”或“不全等”），根据
（用简写法）.
全等
HL
牛刀小试
A
F
C
E
D
B
5.如图，AB=CD,
BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.
求证：BF=DE.
证明:
∵
BF⊥AC,DE⊥AC
∴∠BFA=∠DEC=90
°.
∵AE=CF
∴AE+EF=CF+EF.
即AF=CE.
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
AB=CD
AF=CE
∴
Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)
∴BF=DE.
牛刀小试
变式1
如图，AB=CD,
BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BD平分EF.
A
F
C
E
D
B
G
AB=CD,
AF=CE.
Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
BF=DE
Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS).
∠BFG=∠DEG
∠BGF=∠DGE
FG=EG
BD平分EF
牛刀小试
分析:
变式2
如图，AB=CD,
BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想：BD平分EF吗?
C
AB=CD,
AF=CE.
Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
BF=DE
Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS).
∠BFG=∠DEG
∠BGF=∠DGE
FG=EG
BD平分EF
牛刀小试
分析:
6.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？
【分析】本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P点的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合．
解：(1)当P运动到AP＝BC时，
∵∠C＝∠QAP＝90°.
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
∵PQ＝AB，AP＝BC，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，
∴AP＝BC＝5cm；
迁移应用
(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
∵PQ＝AB，AP＝AC，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，
∴AP＝AC＝10cm，
∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．
【方法总结】判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．