第2章
轴对称图形单元测试卷（A卷基础篇）
【苏科版】
考试时间：45分钟；满分：100分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人
得
分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2019春?相城区期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3分）（2018秋?谢家集区期中）如图，若△ABC与△DEF关于直线l对称，BE交l于点O，则下列说法不一定正确的是（ ）
A．AB∥EF
B．AC＝DF
C．AD⊥l
D．BO＝EO
3．（3分）（2018秋?永定区期中）下列三角形中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
4．（3分）（2018秋?西城区校级期中）等腰三角形的两边长分别为6cm和3cm，则它的周长是（ ）
A．15cm
B．12cm
C．15cm或12cm
D．以上都不正确
5．（3分）（2019春?港南区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，则△DBE的周长是（ ）
A．6
cm
B．7
cm
C．8
cm
D．9
cm
6．（3分）（2019春?南海区期中）如图，在△ABD中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，∠B＝30°，AD＝AC，∠BAC的度数为（ ）
A．80°
B．85°
C．90°
D．105°
7．（3分）（2018秋?南昌期中）如图，直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝35°，则∠β等于（ ）
A．35°
B．30°
C．25°
D．15°
8．（3分）（2018秋?镇江期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O做DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若△ADE的周长为18，则AB的长是（ ）
A．8
B．9
C．10
D．12
9．（3分）（2018秋?慈溪市期中）如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．5条
B．4条
C．3条
D．2条
10．（3分）（2019春?南京期中）如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝106°，则∠C的度数（ ）
A．40°
B．37°
C．36
D．32°
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人
得
分
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）（2018秋?谢家集区期中）室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后的时钟如图，则这时的实际时间是
．
12．（3分）（2018秋?西城区校级期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，则这个等腰三角形顶角的度数为
．
13．（3分）（2019春?相城区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠BDC等于
．
14．（3分）（2018秋?九龙坡区校级期中）如图，在△ABC中，AC＝22cm，D是AB的中点，DE⊥AB交AC于点E，连BE，若△BCE的周长是36cm，则BC＝
cm．
15．（3分）（2018秋?滨湖区期中）如图，已知AD∥BC，DE、CE分别平分∠ADC、∠DCB，AB过点E，且AB⊥AD，若AB＝8，则点E到CD的距离为
．
16．（3分）（2018秋?镇江期中）如图，∠AOB＝45°，点P在∠AOB内，且OP＝8，点P关于直线OA的对称点P1，点P关于直线OB的对称点P2，连接OP1、OP2、P1P2，则△OP1P2的面积等于
．
17．（3分）（2018秋?绵阳期中）如图所示是两块完全一样的含30°角的三角板，分别记作△ABC和△A1B1C1，现将两块三角板重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动三角板ABC，使其直角顶点C恰好落在三角板A1B1C1的斜边A1B1上，当∠A＝30°，AC＝10时，两直角顶点C，C1的距离是
．
18．（3分）（2018秋?温岭市期中）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，第2018个三角形的底角度数是
．
评卷人
得
分
三．解答题（共5小题，满分46分）
19．（6分）（2018秋?赣榆区期中）如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．请分别在下列图中画一个位置不同、顶点都在格点上的三角形，使其与△ABC成轴对称图形．
20．（8分）（2019春?盐湖区期中）如图，△ABC中，AB，AC边的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为点F，G，△ADE的周长为6cm．
（1）求△ABC中BC边的长度；
（2）若∠BAC＝116°，求∠DAE的度数．
21．（10分）（2018秋?常熟市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AC上一点，且满足AD＝BD＝BC．点E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．
（1）求∠BAC和∠ACB的度数；
（2）求证：△ACF是等腰三角形．
22．（10分）（2019秋?垦利区期中）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H．
（1）求证：△BCE≌△ACD；
（2）求证：FH∥BD．
23．（12分）（2019春?盐湖区期中）（1）如图①，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E、F．试猜想EF、BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
（2）如图，若将图①中∠ACB的平分线改为外角∠ACD的平分线，其它条件不变，则刚才的结论还成立吗？请说明理由．第2章
轴对称图形单元测试卷（A卷基础篇）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2019春?相城区期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拨】根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可．
【答案】解：A、是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不合题意；
故选：B．
【方法总结】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合．
2．（3分）（2018秋?谢家集区期中）如图，若△ABC与△DEF关于直线l对称，BE交l于点O，则下列说法不一定正确的是（ ）
A．AB∥EF
B．AC＝DF
C．AD⊥l
D．BO＝EO
【思路点拨】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【答案】解：∵△ABC与△DEF关于直线l对称，
∴AC＝DF，AD⊥l，BO＝EO，故D、B、C选项正确，
AB∥EF不一定成立，故A选项错误，
所以，不一定正确的是A．
故选：A．
【方法总结】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
3．（3分）（2018秋?永定区期中）下列三角形中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
【思路点拨】直接根据等边三角形的判定方法进行判断．
【答案】解：①有两个角等于60°的三角形是等边三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
③三个角都相等的三角形是等边三角形；
④三边都相等的三角形是等边三角形；
故选：D．
【方法总结】本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
4．（3分）（2018秋?西城区校级期中）等腰三角形的两边长分别为6cm和3cm，则它的周长是（ ）
A．15cm
B．12cm
C．15cm或12cm
D．以上都不正确
【思路点拨】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和6cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【答案】解：当腰为3cm时，3+3＝6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．
当腰为6cm时，6﹣3＜6＜6+3，能构成三角形；
此时等腰三角形的周长为6+6+3＝15cm．
故选：A．
【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
5．（3分）（2019春?港南区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，则△DBE的周长是（ ）
A．6
cm
B．7
cm
C．8
cm
D．9
cm
【思路点拨】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD，再根据等腰直角三角形的性质求出AC＝BC＝AE，然后求出△DBE的周长＝AB，代入数据即可得解．
【答案】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝CD，
又∵AC＝BC，AC＝AE，
∴AC＝BC＝AE，
∴△DBE的周长＝DE+BD+EB＝CD+BD+EB＝BC+EB＝AE+EB＝AB，
∵AB＝6cm，
∴△DBE的周长＝6cm．
故选：A．
【方法总结】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，熟记性质求出△DBE的周长＝AB是解题的关键．
6．（3分）（2019春?南海区期中）如图，在△ABD中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，∠B＝30°，AD＝AC，∠BAC的度数为（ ）
A．80°
B．85°
C．90°
D．105°
【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质和三角形的内角和解答即可．
【答案】解：∵AB的垂直平分线DE交BC于点D，∠B＝30°，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝60°，
∵AD＝AC，
∴∠C＝∠ADC＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
故选：C．
【方法总结】此题考查线段垂直平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质和三角形的内角和解答．
7．（3分）（2018秋?南昌期中）如图，直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝35°，则∠β等于（ ）
A．35°
B．30°
C．25°
D．15°
【思路点拨】过点A作AD∥l1，如图，根据平行线的性质可得∠BAD＝∠β．根据平行线的传递性可得AD∥l2，从而得到∠DAC＝∠α＝35°．再根据等边△ABC可得到∠BAC＝60°，就可求出∠DAC，从而解决问题．
【答案】解：过点A作AD∥l1，如图，
则∠BAD＝∠β．
∵l1∥l2，
∴AD∥l2，
∵∠DAC＝∠α＝35°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠β＝∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝60°﹣35°＝25°．
故选：C．
【方法总结】本题主要考查了平行线的性质、平行线的传递性、等边三角形的性质等知识，当然也可延长BA与l2交于点E，运用平行线的性质及三角形外角的性质解决问题．
8．（3分）（2018秋?镇江期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O做DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若△ADE的周长为18，则AB的长是（ ）
A．8
B．9
C．10
D．12
【思路点拨】先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BDO和△CEO是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得BD＝DO，CE＝EO，则△ADE的周长＝AB+AC，由此即可解决问题；
【答案】解：∵在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO，
∵DE∥BC，
∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCB，
∴∠ABO＝∠DOB，∠ACO＝∠EOC，
∴BD＝OD，CE＝OE，
∴△ADE的周长是：AD+DE+AE＝AD+OD+OE+AE＝AD+BD+CE+AE＝AB+AC＝18，
∴AB＝AC＝9．
故选：B．
【方法总结】本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质及角平分线的性质．利用平行线+角平分线推出等腰三角形是解题的关键；
9．（3分）（2018秋?慈溪市期中）如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．5条
B．4条
C．3条
D．2条
【思路点拨】根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可．
【答案】解：如图所示，当AB＝AF＝3，BA＝BD＝3，AB＝AE＝3，BG＝AG时，都能得到符合题意的等腰三角形．
故选：B．
【方法总结】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识，正确利用图形分类讨论得出等腰三角形是解题关键．
10．（3分）（2019春?南京期中）如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝106°，则∠C的度数（ ）
A．40°
B．37°
C．36
D．32°
【思路点拨】连接AO、BO．由题意EA＝EB＝EO，推出∠AOB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，由DO＝DA，FO＝FB，推出∠DAO＝∠DOA，∠FOB＝∠FBO，推出∠CDO＝2∠DAO，∠CFO＝2∠FBO，由∠CDO+∠CFO＝106°，推出2∠DAO+2∠FBO＝106°，推出∠DAO+∠FBO＝53°，由此即可解决问题．
【答案】解：如图，连接AO、BO．
由题意EA＝EB＝EO，
∴∠AOB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，
∵DO＝DA，FO＝FB，
∴∠DAO＝∠DOA，∠FOB＝∠FBO，
∴∠CDO＝2∠DAO，∠CFO＝2∠FBO，
∵∠CDO+∠CFO＝106°，
∴2∠DAO+2∠FBO＝106°，
∴∠DAO+∠FBO＝53°，
∴∠CAB+∠CBA＝∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO＝143°，
∴∠C＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝180°﹣143°＝37°，
故选：B．
【方法总结】本题考查三角形内角和定理、直角三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识，学会把条件转化的思想．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）（2018秋?谢家集区期中）室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后的时钟如图，则这时的实际时间是 5：10 ．
【思路点拨】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，分析并作答．
【答案】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与5：10成轴对称，所以此时实际时刻为5：10．
故答案为：5：10
【方法总结】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
12．（3分）（2018秋?西城区校级期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，则这个等腰三角形顶角的度数为 55°或125° ．
【思路点拨】分别从△ABC是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．
【答案】解：如图（1），
∵AB＝AC，BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝35°，
∴∠A＝55°；
如图（2），
∵AB＝AC，BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∵∠ABD＝35°，
∴∠BAD＝55°，
∴∠BAC＝125°；
综上所述，它的顶角度数为：55°或125°．
故答案为：55°或125°．
【方法总结】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
13．（3分）（2019春?相城区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠BDC等于 70° ．
【思路点拨】根据三角形内角和定理求出∠B的度数，根据翻折变换的性质求出∠BCD的度数，根据三角形内角和定理求出∠BDC．
【答案】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝65°．
由折叠的性质可得：∠BCD＝∠ACB＝45°，
∴∠BDC＝180°﹣∠BCD﹣∠B＝70°．
故答案为：70°．
【方法总结】本题考查的是翻折变换和三角形内角和定理，理解翻折变换的性质、熟记三角形内角和等于180°是解题的关键．
14．（3分）（2018秋?九龙坡区校级期中）如图，在△ABC中，AC＝22cm，D是AB的中点，DE⊥AB交AC于点E，连BE，若△BCE的周长是36cm，则BC＝ 14 cm．
【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算．
【答案】解：∵D是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
△BCE的周长是36cm，即CE+BE+BC＝CE+AE+BC＝AC+BC＝36，
∴BC＝36﹣22＝14（cm），
故答案为：14．
【方法总结】本题考查的是线段垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
15．（3分）（2018秋?滨湖区期中）如图，已知AD∥BC，DE、CE分别平分∠ADC、∠DCB，AB过点E，且AB⊥AD，若AB＝8，则点E到CD的距离为 4 ．
【思路点拨】过点E作EF⊥CD于F，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠B＝90°，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AE＝EF＝BE，从而得解．
【答案】解：如图，过点E作EF⊥CD于F，
∵AD∥BC，AB⊥AD，
∴∠A＝∠B＝180°﹣90°＝90°，
∵CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，
∴AE＝EF＝BE，
∵AB＝8，
∴EF＝×8＝4，
即点E到CD的距离为4．
故答案为：4．
【方法总结】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作出辅助线构造出角平分线的性质的应用条件是解题的关键．
16．（3分）（2018秋?镇江期中）如图，∠AOB＝45°，点P在∠AOB内，且OP＝8，点P关于直线OA的对称点P1，点P关于直线OB的对称点P2，连接OP1、OP2、P1P2，则△OP1P2的面积等于 32 ．
【思路点拨】根据题意画出图形，根据轴对称的性质求出OP1，OP2的长，求出∠P1OP2＝90°，根据三角形的面积公式求出即可．
【答案】解：如图，
∵点P关于OA，OB的对称点分别是P1，P2，
∴OP1＝OP＝8，OP2＝OP＝8，
∠P1OP2＝2∠AOB＝90°，
△OP1P2的面积是：OP1×OP2＝×8×8＝32．
故答案为：32．
【方法总结】本题考查了轴对称的性质和三角形的面积公式等知识点的应用，解此题的关键是正确画出图形和求出OP1、OP2、∠P1OP2，题目比较典型，难度适中．
17．（3分）（2018秋?绵阳期中）如图所示是两块完全一样的含30°角的三角板，分别记作△ABC和△A1B1C1，现将两块三角板重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动三角板ABC，使其直角顶点C恰好落在三角板A1B1C1的斜边A1B1上，当∠A＝30°，AC＝10时，两直角顶点C，C1的距离是 5 ．
【思路点拨】连接CC1，根据M是AC、A1C1的中点，AC＝A1C1，得出CM＝A1M＝C1M＝AC＝5，再根据∠A1＝∠A1CM＝30°，得出∠CMC1＝60°，△MCC1为等边三角形，从而证出CC1＝CM，即可得出答案．
【答案】解：如图，连接CC1，
∵两块三角板重叠在一起，较长直角边的中点为M，
∴M是AC、A1C1的中点，AC＝A1C1，
∴CM＝A1M＝C1M＝AC＝5，
∴∠A1＝∠A1CM＝30°，
∴∠CMC1＝60°，
∴△CMC1为等边三角形，
∴CC1＝CM＝5，
∴CC1长为5．
故答案为5．
【方法总结】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，证明出△MCC1为等边三角形是解题的关键．
18．（3分）（2018秋?温岭市期中）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，第2018个三角形的底角度数是 （）2017×75° ．
【思路点拨】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的底角度数．
【答案】解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，
∴∠BA1C＝＝75°，
∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；
同理可得∠EA3A2＝（）2×75°，∠FA4A3＝（）3×75°，
∴第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（）n﹣1×75°．
∴第2018个三角形中以A2018为顶点的底角度数是（）2017×75°，
故答案为：（）2017×75°．
【方法总结】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
三．解答题（共5小题，满分46分）
19．（6分）（2018秋?赣榆区期中）如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．请分别在下列图中画一个位置不同、顶点都在格点上的三角形，使其与△ABC成轴对称图形．
【思路点拨】根据轴对称图形的性质，不同的对称轴，可以有不同的对称图形，所以可以称找出不同的对称轴，再思考如何画对称图形．
【答案】画对任意三种即可．．
【方法总结】此题考查的是利用轴对称设计图案，基本作法：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．
20．（8分）（2019春?盐湖区期中）如图，△ABC中，AB，AC边的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为点F，G，△ADE的周长为6cm．
（1）求△ABC中BC边的长度；
（2）若∠BAC＝116°，求∠DAE的度数．
【思路点拨】（1）证明BC＝△ADE的周长即可解决问题．
（2）求出∠ADE+∠AED即可解决问题．
【答案】解：（1）∵AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
则△ADE的周长＝AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝6（cm），
∴BC＝6cm，
（2）∵∠BAC＝116°，
∴∠B+∠C＝180°﹣116°＝64°，
∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，
∵∠ADE＝∠B+∠DAB，∠AED＝∠C+∠EAC，
∴∠ADE+∠AED＝128°，
∴∠DAE＝180°﹣128°＝52°．
【方法总结】本题考查线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．（10分）（2018秋?常熟市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AC上一点，且满足AD＝BD＝BC．点E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．
（1）求∠BAC和∠ACB的度数；
（2）求证：△ACF是等腰三角形．
【思路点拨】（1）设∠BAC＝x°，由AD＝BD＝BC知∠A＝∠ABD＝x°，∠BDC＝∠BCD＝2x°，由∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°列方程求解可得；
（2）依据E是AB的中点，即可得到FE⊥AB，AE＝BE，可得FE垂直平分AB，进而得出∠BAF＝∠ABF，依据∠ABD＝∠BAD，即可得到∠FAD＝∠FBD＝36°，再根据∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，可得∠CAF＝∠AFC＝36°，进而得到AC＝CF．
【答案】解：（1）设∠BAC＝x°，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝x°，
∴∠BDC＝2x°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝2x°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝2x°，
由∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°可得x+2x+2x＝180，
解得：x＝36，
则∠BAC＝36°，∠ACB＝72°；
（2）∵E是AB的中点，AD＝BD，
∴DE⊥AB，即FE⊥AB；
∴AF＝BF，
∴∠BAF＝∠ABF，
又∵∠ABD＝∠BAD，
∴∠FAD＝∠FBD＝36°，
又∵∠ACB＝72°，
∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，
∴∠CAF＝∠AFC＝36°，
∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．
【方法总结】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是综合运用等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质．
22．（10分）（2019秋?垦利区期中）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H．
（1）求证：△BCE≌△ACD；
（2）求证：FH∥BD．
【思路点拨】（1）先根据△ABC和△CDE都是等边三角形得出BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°，再由SAS定理即可得出△BCE≌△ACD；
（2）由（1）知△BCE≌△ACD，可知∠CBF＝∠CAH，BC＝AC，再由ASA定理可知△BCF≌△ACH，可得出CF＝CH，根据∠FCH＝60°，可知△CHF为等边三角形，进而可得出结论．
【答案】证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°，
∴∠BCA+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，
∴在△BCE和△ACD中，
∵，
∴△BCE≌△ACD
（SAS）．
（2）由（1）知△BCE≌△ACD，
则∠CBF＝∠CAH，BC＝AC
又∵△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，
∴∠ACH＝180°﹣∠ACB﹣∠HCD＝60°＝∠BCF，
在△BCF和△ACH中，
∵，
∴△BCF≌△ACH
（ASA），
∴CF＝CH，
又∵∠FCH＝60°，
∴△CHF为等边三角形
∴∠FHC＝∠HCD＝60°，
∴FH∥BD．
【方法总结】本题考查的是等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．
23．（12分）（2019春?盐湖区期中）（1）如图①，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E、F．试猜想EF、BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
（2）如图，若将图①中∠ACB的平分线改为外角∠ACD的平分线，其它条件不变，则刚才的结论还成立吗？请说明理由．
【思路点拨】（1）等腰三角形有△BEO和△CFO，根据角平分线性质和平行线性质推出∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，根据等角对等边推出即可；根据BE＝OE，CF＝OF即可得出EF与BE、CF之间的关系；
（2）等腰三角形有△BEO和△CFO，根据角平分线性质和平行线性质推出∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，根据等角对等边推出即可；根据BE＝OE，CF＝OF即可得出EF与BE、CF之间的关系．
【答案】解：（1）EF＝BE+CF，
理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，
∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF；
（2）不成立，
理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACG，
∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCG，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCG，
∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE﹣OF＝BE﹣CF．
【方法总结】此题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解本题的关键．
