第2章
轴对称图形单元测试卷（B卷提升篇）
【苏科版】
考试时间：100分钟；满分：100分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人
得
分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2018秋?思明区校级期中）如图，四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3分）（2018秋?新罗区校级期中）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（A、P、A′不共线），下列结论中，错误的是（ ）
A．△AA′P是等腰三角形
B．MN垂直平分AA′、CC′
C．△ABC与△A′B′C′面积相等
D．直线AB，A′B′的交点不一定在直线MN上
3．（3分）（2018秋?九龙坡区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，已知△ABC的面积为28．AC＝6，DE＝4，则AB的长为（ ）
A．6
B．8
C．4
D．10
4．（3分）（2018秋?慈利县期中）小明用一根长20cm的铁丝做一个周长是20cm的等腰三角形，则腰长x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜10
B．0＜x＜5
C．5≤x≤10
D．5＜x＜10
5．（3分）（2019春?牡丹区期中）如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．AC、BC两边高线的交点处
B．AC、BC两边垂直平分线的交点处
C．AC、BC两边中线的交点处
D．∠A、∠B两内角平分线的交点处
6．（3分）（2018秋?邗江区期中）如图，若AB＝AC，下列三角形能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．（1）（2）（3）
B．（1）（3）（4）
C．（2）（3）（4）
D．（1）（2）（4）
7．（3分）（2019秋?安徽期中）如图所示，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，延长BC至E，使CE＝CD，若△ABC的周长为20，BD＝a，则△DBE的周长是（ ）
A．20+a
B．15+2a
C．10+2a
D．10+a
8．（3分）（2018秋?南京期中）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，若∠BAD＝100°，则∠ACB的度数为（ ）
A．40°
B．45°
C．60°
D．80°
9．（3分）（2019春?巴南区期中）如图，点E在线段CD上，点F在AB的延长线上，AB∥CD，CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，若BC⊥BD，则下列结论中不正确的是（ ）
A．∠CBE+∠D＝90°
B．AC∥BE
C．∠DEB＝3∠ABC
D．BC平分∠ABE
10．（3分）（2018秋?鄂尔多斯期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于D．过C点作CG⊥AB于G，交AD于E．过D点作DF⊥AB于F．下列结论：①∠CED＝∠CDE；②∠ADF＝2∠ECD；③S△AEC：S△AEG＝AC：AG；④S△CED＝S△DFB；⑤CE＝DF．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③④
B．①②⑤
C．③④⑤
D．①③⑤
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人
得
分
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）（2018秋?上杭县期中）一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：那么它的实际车牌号是：
．
12．（3分）（2018秋?阜宁县期中）如图，正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图其余小正方形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有
个．
13．（3分）（2018秋?西城区校级期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，则这个等腰三角形顶角的度数为
．
14．（3分）（2018秋?海淀区校级期中）如图，把△ABC纸片折叠，点B落在B′处，折痕为DE，则∠B、∠1、∠2满足的等量关系为
．
15．（3分）（2019春?青原区期中）已知△ABC中，BC＝6，AB、AC的垂直平分线分别交边BC于点M、N，若MN＝2，则△AMN的周长是
．
16．（3分）（2018秋?滨海县期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，AD＝4cm，BC＝15cm，△BDC的面积为
cm2
17．（3分）（2018秋?西城区校级期中）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB交AC于点E，若DE＝7，CE＝6，则AC的长为
．
18．（3分）（2018秋?江夏区期中）如图，四边形ABCD中，CD＝BC＝4，AB＝1，E为BC中点，∠AED＝120°，则AD的最大值是
．
评卷人
得
分
三．解答题（共5小题，满分46分）
19．（6分）（2018秋?云安区期中）如图在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：∠B＝∠C．
20．（8分）（2018秋?海淀区校级期中）如图，已知线段AB＝CD，求作线段a，使线段a与线段AB成轴对称，与线段CD也成轴对称．（保留作图痕迹）
21．（8分）（2018秋?合阳县期中）已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为12cm和21cm两部分，求这个等腰三角形的底边和腰的长度．
22．（12分）（2019春?盐湖区期中）（1）如图①，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E、F．试猜想EF、BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
（2）如图，若将图①中∠ACB的平分线改为外角∠ACD的平分线，其它条件不变，则刚才的结论还成立吗？请说明理由．
23．（12分）（2018秋?鄂尔多斯期中）如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？
（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？
（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？第2章
轴对称图形单元测试卷（B卷提升篇）
【苏科版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2018秋?思明区校级期中）如图，四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【答案】解：A、B、C不是轴对称图形，
D是轴对称图形，
故选：D．
【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．（3分）（2018秋?新罗区校级期中）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（A、P、A′不共线），下列结论中，错误的是（ ）
A．△AA′P是等腰三角形
B．MN垂直平分AA′、CC′
C．△ABC与△A′B′C′面积相等
D．直线AB，A′B′的交点不一定在直线MN上
【分析】据对称轴的定义，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，可以判断出图中各点或线段之间的关系．
【答案】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，
∴△AA′P是等腰三角形，MN垂直平分AA′，CC′，这两个三角形的面积相等，故A、B、C选项正确，
直线AB，A′B′关于直线MN对称，因此交点一定在MN上，故D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查轴对称的性质与运用，解题时注意：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
3．（3分）（2018秋?九龙坡区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，已知△ABC的面积为28．AC＝6，DE＝4，则AB的长为（ ）
A．6
B．8
C．4
D．10
【分析】作DF⊥AC于F，根据角平分线的性质求出DF，根据三角形的面积公式计算即可．
【答案】解：作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝4，
×AB×DE+×AC×DF＝28，即×AB×4+×6×4＝28，
解得，AB＝8，
故选：B．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
4．（3分）（2018秋?慈利县期中）小明用一根长20cm的铁丝做一个周长是20cm的等腰三角形，则腰长x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜10
B．0＜x＜5
C．5≤x≤10
D．5＜x＜10
【分析】根据已知三角形周长公式得出y与x的关系即可，根据三角形三边的关系确定自变量x的取值范围即可；
【答案】解：设底边为y（cm）和腰长为x（cm）；
∴2x+y＝20，
∴y＝20﹣2x；
y＝20﹣2x，解得x＜10，
两边之和大于第三边，即2x＞20﹣2x，
解得：x＞5．
故x的取值范围是：5＜x＜10；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数关系式的应用，要求同学们熟练掌握等腰三角形的性质及三角形三边关系．
5．（3分）（2019春?牡丹区期中）如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．AC、BC两边高线的交点处
B．AC、BC两边垂直平分线的交点处
C．AC、BC两边中线的交点处
D．∠A、∠B两内角平分线的交点处
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得出答案．
【答案】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在边AC和BC的垂直平分线上，
故选：B．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
6．（3分）（2018秋?邗江区期中）如图，若AB＝AC，下列三角形能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．（1）（2）（3）
B．（1）（3）（4）
C．（2）（3）（4）
D．（1）（2）（4）
【分析】根据等腰三角形的判定对①②③④个选项逐一分析，只有②不能被一条直线分成两个小等腰三角形
【答案】解：①中作∠B的角平分线即可；
③过A点作BC的垂线即可；
④中以A为顶点AB为一边在三角形内部作一个72度的角即可；
只有②选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形．
故选：B．
【点睛】考查了等腰三角形的判定方法以及三角形的内角和定理；进行尝试操作是解答本题的关键．
7．（3分）（2019秋?安徽期中）如图所示，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，延长BC至E，使CE＝CD，若△ABC的周长为20，BD＝a，则△DBE的周长是（ ）
A．20+a
B．15+2a
C．10+2a
D．10+a
【分析】根据等边三角形的性质可得CD＝AC，∠CBD＝30°，再根据等腰三角形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠E＝30°，然后求出∠CBD＝∠E，根据等角对等边可得BD＝DE，然后根据三角形周长的定义列式计算即可得解．
【答案】解：∵△ABC的周长为18，
∴BC＝AC＝20÷3＝，
∵△ABC为等边三角形，BD是中线，
∴CD＝AC＝×＝，∠CBD＝×60°＝30°，
∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE＝×60°＝30°，
∴∠CBD＝∠E，
∴BD＝DE，
∴△BDE的周长＝++a+a＝10+2a．
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．
8．（3分）（2018秋?南京期中）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，若∠BAD＝100°，则∠ACB的度数为（ ）
A．40°
B．45°
C．60°
D．80°
【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE＝∠BAD，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣∠BAD．
【答案】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB'，
∴AB＝AB'，
∴∠BAC＝∠B'AC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AB'，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠B'AE，
∴∠CAE＝∠BAD＝50°，
又∵∠AEC＝90°，
∴∠ACB＝∠ACB'＝40°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOB'E，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
9．（3分）（2019春?巴南区期中）如图，点E在线段CD上，点F在AB的延长线上，AB∥CD，CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，若BC⊥BD，则下列结论中不正确的是（ ）
A．∠CBE+∠D＝90°
B．AC∥BE
C．∠DEB＝3∠ABC
D．BC平分∠ABE
【分析】根据平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义，三角形的内角和定理进行判断即可．
【答案】解：∵AF∥CD，
∴∠ABC＝∠ECB，∠EDB＝∠DBF，∠DEB＝∠EBA，
∵CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，
∴∠ECB＝∠BCA，∠EBD＝∠DBF，
∵BC⊥BD，
∴∠EDB+∠ECB＝90°，∠DBE+∠EBC＝90°，
∴∠EDB＝∠DBE，
∴∠ECB＝∠EBC＝∠ABC＝∠BCA，
∴BC平分∠ABE，正确；
∴∠EBC＝∠BCA，
∴AC∥BE，正确；
∴∠CBE+∠D＝90°，正确；
∵∠DEB＝∠EBA＝2∠ABC，故C正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义，三角形的内角和定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，
10．（3分）（2018秋?鄂尔多斯期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于D．过C点作CG⊥AB于G，交AD于E．过D点作DF⊥AB于F．下列结论：①∠CED＝∠CDE；②∠ADF＝2∠ECD；③S△AEC：S△AEG＝AC：AG；④S△CED＝S△DFB；⑤CE＝DF．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③④
B．①②⑤
C．③④⑤
D．①③⑤
【分析】由∠ACB＝90°，CG⊥AB得∠ACE＝∠B，再由三角形外角的性质得∠CED＝∠CDE，得CE＝CD；根据角平分线的性质，得CD＝DF，根据等高的两个三角形面积之比等于底边之比得出S△AEC：S△AEG＝AC：AG；等量代换得CE＝DF，从而得出答案．
【答案】解：∵∠ACB＝90°，CG⊥AB，
∴∠ACE+∠BCG＝90°，∠B+∠BCG＝90°，
∴∠ACE＝∠B．
∵∠CED＝∠CAE+∠ACE，∠CDE＝∠B+∠DAB，AE平分∠CAB，
∴∠CED＝∠CDE，①正确；
∴CE＝CD，
又AE平分∠CAB，∠ACB＝90°，DF⊥AB于F，
∴CD＝DF．
∵E到AC与AG的距离相等，
∴S△AEC：S△AEG＝AC：AG，③正确；
∵CE＝CD，CD＝DF，
∴CE＝DF，⑤正确．
无法证明∠ADF＝2∠FDB以及S△CED＝S△DFB．
故选：D．
【点睛】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了直角三角形的性质和三角形的面积．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）（2018秋?上杭县期中）一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：那么它的实际车牌号是： K62897 ．
【分析】关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平的线对称．
【答案】解：实际车牌号是K62897．
故答案为：K62897．
【点睛】本题考查了镜面对称的性质；解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字．也可以简单的写在纸上，然后从纸的后面看．
12．（3分）（2018秋?阜宁县期中）如图，正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图其余小正方形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有 5 个．
【分析】根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
【答案】解：选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，
选择的位置有以下几种：1处，2处，3处，4处，5处，选择的位置共有5处．
故答案为：5
【点睛】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，关键是掌握好轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
13．（3分）（2018秋?西城区校级期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，则这个等腰三角形顶角的度数为 55°或125° ．
【分析】分别从△ABC是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．
【答案】解：如图（1），
∵AB＝AC，BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝35°，
∴∠A＝55°；
如图（2），
∵AB＝AC，BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∵∠ABD＝35°，
∴∠BAD＝55°，
∴∠BAC＝125°；
综上所述，它的顶角度数为：55°或125°．
故答案为：55°或125°．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
14．（3分）（2018秋?海淀区校级期中）如图，把△ABC纸片折叠，点B落在B′处，折痕为DE，则∠B、∠1、∠2满足的等量关系为 ∠2﹣∠1＝2∠B ．
【分析】由折叠的性质可得∠B＝∠B'，根据三角形的外角的性质，可得∠BFE＝∠B'+∠1，∠2＝∠B+∠BFE，可求∠B、∠1、∠2满足的等量关系．
【答案】解：如图，设AB与B'E的交点为F，
∵折叠
∴∠B＝∠B'，
∵∠BFE＝∠B'+∠1，∠2＝∠B+∠BFE，
∴∠2＝∠B'+∠B+∠1，
∴∠2﹣∠1＝2∠B，
故答案为：∠2﹣∠1＝2∠B
【点睛】本题考查了翻折变换，折叠的性质，熟练运用三角形外角的性质解决问题是本题的关键．
15．（3分）（2019春?青原区期中）已知△ABC中，BC＝6，AB、AC的垂直平分线分别交边BC于点M、N，若MN＝2，则△AMN的周长是 6或10 ．
【分析】由直线PM为线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM＝BM，同理可得AN＝NC，然后表示出三角形AMN的三边之和，等量代换可得其周长等于BC的长，由BC的长即可得到三角形AMN的周长．
【答案】解：图1，∵直线MP为线段AB的垂直平分线，
∴MA＝MB，
又直线NQ为线段AC的垂直平分线，
∴NA＝NC，
∴△AMN的周长l＝AM+MN+AN＝BM+MN+NC＝BC，
又BC＝6，
则△AMN的周长为6，
如图2，△AMN的周长l＝AM+MN+AN＝BM+MN+NC＝BC+2MN，
又BC＝6，
则△AMN的周长为10，
故答案为：6或10
【点睛】此题考查了线段垂直平分线定理的运用，利用了转化的思想，熟练掌握线段垂直平分线定理是解本题的关键．
16．（3分）（2018秋?滨海县期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，AD＝4cm，BC＝15cm，△BDC的面积为 30 cm2
【分析】根据角平分线性质求出DE，根据三角形面积公式求出即可．
【答案】解：∵在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，AD＝6cm，
∴AD＝DE＝4cm，
∵BC＝15cm，
∴△BDC的面积是BC×DE＝×15×4＝30cm2，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了三角形的面积，角平分线性质的应用，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
17．（3分）（2018秋?西城区校级期中）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB交AC于点E，若DE＝7，CE＝6，则AC的长为 13 ．
【分析】先根据角平分线的性质得出∠BAD＝∠CAD，再根据平行线的性质得出∠CAD＝∠ADE，故可得出AE＝DE＝6，再根据AC＝AE+CE即可得出结论．
【答案】解：∵△ABC中，AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AB，DE＝7，CE＝6，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴AE＝DE＝7，
∴AC＝AE+CE＝7+6＝13．
故答案为：13．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．
18．（3分）（2018秋?江夏区期中）如图，四边形ABCD中，CD＝BC＝4，AB＝1，E为BC中点，∠AED＝120°，则AD的最大值是 7 ．
【分析】如图，作出点B关于AE的对称点M，点C关于DE的对称点N，连接AM、EM，MN、DN、EN．证明△MNE是等边三角形即可解决问题．
【答案】解：如图，作出点B关于AE的对称点M，点C关于DE的对称点N，连接AM、EM，MN、DN、EN．
根据轴对称的性质可得AM＝AB，BE＝EM，CE＝EN，DN＝CD，∠AEB＝AEM，∠DEC＝∠DMN，
∵∠AED＝120°，
∴∠AEB+∠DEC＝180°﹣∠AED＝180°﹣120°＝60°，
∴∠MEN＝∠AED﹣（∠AEM+∠DEN）＝120°﹣60°＝60°，
∵点M是四边形ABCD的边BC的中点，
∴BE＝CE，
∴EM＝EN，
∴△ENM是等边三角形，
∵AD≤AM+MN+DN，
∴AD≤7，
∴AD的最大值为7，
故答案为7．
【点睛】本题考查轴对称的性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．，属于中考填空题中的压轴题．
三．解答题（共5小题，满分46分）
19．（6分）（2018秋?云安区期中）如图在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：∠B＝∠C．
【分析】首先根据角平分线的性质可得DE＝DF，又有BD＝CD，可证Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），即可得证∠B＝∠C．
【答案】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD（3分）
在Rt△BDE和Rt△CDF中
∵DE＝DF，
DB＝DC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）（6分）
∴∠B＝∠C（8分）
【点睛】此题主要考查角平分线的性质和直角三角形全等的判定，根据角平分线的性质求得DE＝DF，是关键的一步．
20．（8分）（2018秋?海淀区校级期中）如图，已知线段AB＝CD，求作线段a，使线段a与线段AB成轴对称，与线段CD也成轴对称．（保留作图痕迹）
【分析】连接AC；作线段AC的垂直平分线l，作点D关于直线l的对称点E；连接AE，则AE即为线段a．
【答案】解：如图，连接AC；作线段AC的垂直平分线l，作点D关于直线l的对称点E；连接AE，则AE即为线段a；故CD与AE关于l对称；作∠BAE的角平分线AF，则AE与AB关于AF对称．
∴线段a与线段AB成轴对称，与线段CD也成轴对称．
【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换进行作图，几何图形都可看做是有点组成，在画一个图形的轴对称图形时，是先从确定一些特殊的对称点开始．
21．（8分）（2018秋?合阳县期中）已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为12cm和21cm两部分，求这个等腰三角形的底边和腰的长度．
【分析】作出图形，设AD＝DC＝x，BC＝y，然后分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的三边关系判断即可得解．
【答案】解：如图所示，设AD＝DC＝x，BC＝y，由题意得，或，
解得或，
当，等腰三角形的三边为8，8，17，显然不符合三角形的三边关系；
当时，等腰三角形的三边为14，14，5，
所以，这个等腰三角形的底边长是5，
综上所述，这个等腰三角形的底边长5．腰长是14．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
22．（12分）（2019春?盐湖区期中）（1）如图①，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E、F．试猜想EF、BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
（2）如图，若将图①中∠ACB的平分线改为外角∠ACD的平分线，其它条件不变，则刚才的结论还成立吗？请说明理由．
【分析】（1）等腰三角形有△BEO和△CFO，根据角平分线性质和平行线性质推出∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，根据等角对等边推出即可；根据BE＝OE，CF＝OF即可得出EF与BE、CF之间的关系；
（2）等腰三角形有△BEO和△CFO，根据角平分线性质和平行线性质推出∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，根据等角对等边推出即可；根据BE＝OE，CF＝OF即可得出EF与BE、CF之间的关系．
【答案】解：（1）EF＝BE+CF，
理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，
∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF；
（2）不成立，
理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACG，
∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCG，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCG，
∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE﹣OF＝BE﹣CF．
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解本题的关键．
23．（12分）（2018秋?鄂尔多斯期中）如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？
（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？
（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？
【分析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多10cm，列出方程求解即可；
（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等边三角形；
（3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示出CM，NB的长，列出方程，可解出未知数的值．
【答案】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+10＝2x，
解得：x＝10；
（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，
AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝10﹣2t，
∵三角形△AMN是等边三角形，
∴t＝10﹣2t，
解得t＝，
∴点M、N运动秒后，可得到等边三角形△AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知10秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣10，NB＝30﹣2y，CM＝NB，
y﹣10＝30﹣2y，
解得：y＝．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰△AMN，此时M、N运动的时间为秒．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质及判定，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．
