1.4 充分条件与必要条件
【素养目标】
1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义．(数学抽象)
2．理解充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的意义．(数学抽象)
3．掌握充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的判定方法．(逻辑推理)
4．通过理解充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的概念，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．(数学抽象)
【学法解读】
1．在本节学习中，学生应依据老师创设合适的问题情境，以义务教育阶段学过的数学内容为载体，学会用充分条件与必要条件表达学过的相应内容．
2．本节的重点是掌握判断充分条件与必要条件的方法，因此在实际学习中，要多举实例，留出充足的时间思考并掌握解决此类问题的方法．
3．对于充要条件的证明，关键是分清命题的条件和结论，分清充分性和必要性．
第1课时 充分条件与必要条件
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
__p?q__
pq
条件关系
p是q的充分条件q是p的必要条件
p不是q的充分条件q不是p的必要条件
思考1：在逻辑推理中，p?q能表达成哪几种说法？
提示：以下5种说法：
①“若p，则q”为真命题；②p是q的充分条件；③q是p的必要条件；④q的充分条是p；⑤p的必要条件是q.
知识点2 判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系
(1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
(2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
思考2：性质定理与必要条件有什么关系？
提示：性质定理是数学中一类重要的定理，阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质，其作用是揭示这个研究对象的某种特征．性质定理给出了结论成立的必要条件．
基础自测
1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)“x＝3”是“x2＝9”的必要条件．( × )
(2)“x>0”是“x>1”的充分条件．( × )
(3)如果p是q的充分条件，则p是唯一的．( × )
[解析] (1)因为“x2＝9”“x＝3”．
(2)因为“x>0”“x>1”．
(3)不唯一．如x>3，x>5，x>10等都是x>0的充分条件．
2．x，y∈R，下列各式中哪个是“xy≠0”的必要条件( B )
A．x＋y＝0
B．x2＋y2>0
C．x－y＝0
D．x3＋y3≠0
[解析] xy≠0?x2＋y2>0，故选B．
3．在平面内，下列是“四边形是矩形”的充分条件的是( A )
A．四边形是平行四边形且对角线相等
B．四边形两组对边相等
C．四边形的对角线互相平分
D．四边形的对角线垂直
[解析] 四边形是平行四边形且对角线相等，则四边形是矩形，故选A．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 充分条件
例1
(1)设x∈R，则使x>3.14成立的一个充分条件是( C )
A．x>3
B．x<3
C．x>4
D．x<4
(2)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
①若a∈Q，则a∈R；
②若a
③若x>1，则x2>1；
④若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3；
⑤若△ABC中，若A>B，则BC>AC；
⑥已知a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0.
[解析] (1)4>3.14，则x>4能推出x>3.14，故选C．
(2)①由于Q?R，所以p?q，
所以p是q的充分条件．
②由于a1；当b>0时，<1，
因此pq，所以p不是q的充分条件．
③由x>1可以推出x2>1.因此p?q，
所以p是q的充分条件．
④由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，
因此pq，所以p不是q的充分条件．
⑤由三角形中大角对大边可知，若A>B，则BC>AC．因此p?q，所以p是q的充分条件．
⑥因为a，b∈R，所以a2≥0，b2≥0，
由a2＋b2＝0，可推出a＝b＝0，即p?q，
所以p是q的充分条件．
[归纳提升] 充分条件的两种判断方法
(1)定义法：
(2)命题判断方法：
如果命题：“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件；
如果命题：“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件．
【对点练习】?
下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？
(1)若x2＝y2，则x＝y；
(2)若内错角相等，则两直线平行；
(3)若整数a能被4整除，则a的个位数字为偶数；
(4)若(x－1)2＋(y－2)2＝0，则(x－1)(y－2)＝0.
[解析] (1)若x2＝y2，则x＝y或x＝－y，
因此pq，所以p不是q的充分条件．
(2)若内错角相等，则两直线平行是真命题，
所以p?q，所以p是q的充分条件．
(3)若整数a能被4整除，则a是偶数，
所以a的个位数字为偶数；
所以p?q，所以p是q的充分条件．
(4)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0?x＝1且y＝2?(x－1)·(y－2)＝0，
所以p?q，所以p是q的充分条件．
题型二 必要条件
例2
(1)使|x|＝x成立的一个必要条件是( B )
A．x<0
B．x≥0或x≤－1
C．x>0
D．x≤－1
(2)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
①若|x|＝|y|，则x＝y；
②若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形；
③p：x＝1，q：x－1＝；
④p：－2≤x≤5，q：－1≤x≤5；
⑤p：a是自然数，q：a是正整数；
⑥p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形．
[解析] (2)①若|x|＝|y|，则x＝y或x＝－y，
因此pq，所以q不是p的必要条件；
②直角三角形不一定是等腰三角形．
因此pq，所以q不是p的必要条件；
③当x＝1时，x－1＝＝0，
所以p?q，所以q是p的必要条件；
④当x＝－2时，－2≤x≤5成立，但是－1≤x≤5不成立，
所以pq，所以q不是p的必要条件；
⑤0是自然数，但是0不是正整数，所以pq，
所以q不是p的必要条件；
⑥等边三角形一定是等腰三角形，
所以p?q，所以q是p的必要条件．
[归纳提升] 必要条件的两种判断方法
(1)定义法：
(2)命题判断方法：
如果命题：“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件；
如果命题：“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件．
【对点练习】?
下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)若a是1的平方根，则a＝1.
(2)若4x2－mx＋9是完全平方式，则m＝12.
(3)若a是无理数，则a是无限小数．
(4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等．
[解析] (1)1的平方根是±1，
所以pq，所以q不是p的必要条件．
(2)因为4x2－mx＋9＝(2x±3)2，
所以m＝±12，所以pq，
所以q不是p的必要条件．
(3)因为无理数是无限不循环小数，
所以p?q，所以q是p的必要条件．
(4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等，所以p?q，所以q是p的必要条件．
课堂检测·固双基
1．命题p：(a＋b)(a－b)＝0，q：a＝b，则p是q的( B )
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
[解析] a＝b?(a＋b)(a－b)＝0，则p是q的必要条件．故选B．
2．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是( B )
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“acD．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
[解析] a>bac>bc，A错；a＝b?ac＝bc，B正确；ac3．设集合M＝{x|04．下列“若p，则q”形式的命题，哪些命题中的p是q的充分条件？
(1)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA＝PB；
(2)若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；
(3)若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方．
[解析] (1)由线段垂直平分线的性质知p?q，p是q的充分条件；
(2)三角形的两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等，pq，p不是q的充分条件；
(3)由相似三角形的性质知p?q，p是q的充分条件．
5．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)若直线l与⊙O有且仅有一个交点，则l为⊙O的一条切线；
(2)若x是无理数，则x2也是无理数．
[解析] (1)这是圆的切线定义，p?q，
所以q是p的必要条件．
(2)由于是无理数，但()2＝2不是无理数，pq，
所以q不是p的必要条件．
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1
-第2课时 充要条件
必备知识·探新知
基础知识
知识点 充要条件
1．定义：若p?q且q?p，则记作__p?q__，此时p是q的充分必要条件，简称__充要条件__.
2．条件与结论的等价性：如果p是q的__充要条件__，那么q也是p的__充要条件__.
3．概括：如果__p?q__，那么p与q互为__充要条件__.
思考：命题按条件和结论的充分性、必要性可分哪几类？
提示：①充分必要条件(充要条件)，即p?q且q?p；
②充分不必要条件，即p?q且qp.
③必要不充分条件，即pq且q?p.
④既不充分又不必要条件，即pq且qp.
基础自测
1．下列命题中是真命题的是( A )
①“x>3”是“x>4”的必要条件；
②“x＝1”是“x2＝1”的必要条件；
③“a＝0”是“ab＝0”的必要条件．
A．①
B．①②
C．①③
D．②③
[解析] x>4?x>3，故①是真命题；
x＝1?x2＝1，x2＝1x＝1，故②是假命题；
a＝0?ab＝0，ab＝0a＝0，故③是假命题．
2．“x＝0”是“x2＝0”的( D )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件
D．既是充分条件又是必要条件
[解析] 因为当x＝0时x2＝0，当x2＝0时，x＝0，所以“x＝0”是“x2＝0”的充要条件．
3．点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是( B )
A．x<0，y<0
B．x<0，y>0
C．x>0，y>0
D．x>0，y<0
[解析] P(x，y)在第二象限，等价于x<0，y>0.
4．设p：x<3，q：－1A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 因为{x|－15．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空．
(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的__充要条件__.
(2)“x<5”是“x<3”的__必要不充分条件__.
[解析] (1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1,1}，所以A＝B,
即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．
(2)设A＝{x|x<5}，B＝{x|x<3}，因为A?B，所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 充分条件、必要条件及充要条件的判断
例1
(1)对于任意的x，y∈R，“xy＝0”是“x2＋y2＝0”的( A )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
(3)设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A?B”的( C )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] (1)由x2＋y2＝0，得x＝0且y＝0，由xy＝0得x＝0或y＝0，即“xy＝0”“x2＋y2＝0”．
(2)若“四边形ABCD为菱形”，显然对角线垂直；
但“AC⊥BD”推不出“四边形ABCD为菱形”，例如对角线垂直的等腰梯形．
所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．
(3)∵A∩B＝A?A?B．
∴“A∩B＝A”是“A?B”的充要条件．
[归纳提升] 充分条件、必要条件的两种判断方法
(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论．
②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．
③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．
(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件．
②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．
【对点练习】?
设A、B为两个互不相同的集合．命题p：x∈(A∩B)；命题q：x∈A或x∈B．则p是q的__
__条件．( B )
A．充分必要
B．充分不必要
C．必要不充分
D．既不充分又不必要
[解析] 若命题p：x∈(A∩B)成立，命题q：x∈A或x∈B一定成立；若命题q：x∈A或x∈B成立，但是x不一定是A∩B中的元素，所以p是q的充分不必要条件．
题型二 充要条件的证明
例2
设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
[分析] →
[解析] ①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，
|x|＋|y|＝|y|，所以等式成立．
当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时，
又当x>0，y>0时，
|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以等式成立．
当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，
|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，所以等式成立．
总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，
则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，
所以|xy|＝xy，所以xy≥0.
综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．
[归纳提升] 充要条件的证明策略
(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．
(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．
【对点练习】?
证明：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，这里a，b，c是△ABC的三条边．
[解析] (1)充分性(由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc?△ABC为等边三角形)：
因为a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，所以2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0，所以a＝b，a＝c，b＝c，即a＝b＝c，故△ABC为等边三角形；
(2)必要性(由△ABC为等边三角形?a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc)：
因为△ABC为等边三角形，所以a＝b＝c，所以a2＋b2＋c2＝3a2，ab＋ac＋bc＝3a2，故a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.
综上可知，结论得证．
题型三 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围
例3
已知p：－4A．(－1,6)
B．[－1,6]
C．(－∞，－1)∪(6，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[6，＋∞)
[分析] 可将p和q中所涉及的变量x的取值范围解出来，根据充分条件，转化为其构成的集合之间的包含关系，建立关于参数a的不等式组，从而求得实数a的取值范围．
[解析] 设q，p表示的范围分别为集合A，B，
则A＝(2,3)，B＝(a－4，a＋4)．
因为q是p的充分条件，则有A?B，即
所以－1≤a≤6.故选B．
[归纳提升] 根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下：
(1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；
(2)根据以下表格确定集合M与N的包含关系：
条件类别
集合M与N的关系
p是q的充分不必要条件
M?N
p是q的必要不充分条件
M?N
p是q的充要条件
M＝N
p是q的充分条件
M?N
p是q的必要条件
M?N
(3)根据集合M与N的包含关系建立关于参数的不等式(组)．
(4)解不等式(组)求出参数的取值范围．
【对点练习】?
设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a∈R；q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.
若a<0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
[解析] 由p得(x－3a)(x－a)<0，当a<0时3a2，则x<－4或x≥－2，
设p：A＝(3a，a)，q：B＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)，
又p是q的充分不必要条件，可有A?B，
所以a≤－4或3a≥－2，即a≤－4或a≥－，
又a<0，所以a≤－4或－≤a<0，
即实数a的取值范围为(－∞，－4]∪.
误区警示
误将充分条件当作充要条件
例4
给出下列各组条件：
①p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；
②p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；
③p：m>0，q：方程x2－x－m＝0有实根；
④p：x>2或x<－1，q：x<－1.
其中p是q的充要条件的有( A )
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
[错解] ①因为ab＝0?a＝0或b＝0，所以pq，故p不是q的充要条件．②因为xy≥0，所以x，y是同号或者为0，故p?q，所以p是q的充要条件．③Δ＝1＋4m，当m>0时Δ>1，方程x2－x－m＝0有实根，所以p?q，所以p是q的充要条件．④p：x>2或x<－1，∴pq，∴p不是q的充要条件．
综上，p是q的充要条件的有2组，故选B．
[错因分析] 误将充分条件当作充要条件，当p?q时，我们只能判断p是q的充分条件，只有p?q与q?p同时成立，才能称p是q的充要条件．
[正解] 对于①由pq知，p一定不是q的充要条件．对于②，由|x|＋|y|＝|x＋y|知x，y要么同为正数，要么同为负数，要么至少一个为零，能得到xy≥0，故是充要条件．对于③，方程x2－x－m＝0有实数解，判别式Δ＝1＋4m≥0，即m≥－，所以qp，∴p是q的充分不必要条件．对于④，因为pq，所以p不是q的充要条件，故只有②是，故选A．
[方法点拨] 对于两个条件A，B，若A?B成立，则A是B的充分条件(B成立的充分条件是A)，B是A的必要条件；若B?A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；若A?B，则A，B互为充要条件．解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性．
学科素养
充分条件、必要条件的证明
充分条件与必要条件是高中数学的重要概念，与数学中其他知识的联系较强，是高考的热点之一，同时也是易错点，充要条件的证明是本节的难点．
例5
已知a≥，设二次函数y＝－a2x2＋ax＋c，其中a，c均为实数．证明：对于任意x∈[0,1)，均有y≤1成立的充要条件是c≤.
[分析] 本题是关于充分条件、必要条件的证明．由于所学知识有限，只能利用一些等式性质，一次函数，二次函数的基本性质进行论证，本题揭示的是二次函数的最小值问题与系数c的关系．
[解析] 因为a≥，所以函数y＝－a2x2＋ax＋c的对称轴方程为x＝＝，且0<≤1，所以y≤＋c.
先证充分性：因为c≤，且y≤＋c≤＋＝1，所以得y≤1.
再证必要性：因为y≤1，所以只需＋c≤1即可，从而c≤，即结论得证．
[归纳提升] 充要条件的证明思路
(1)根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明：
①充分性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q；
②必要性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p.
解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求．
(2)在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性(?)，也可以直接证明充要性．
课堂检测·固双基
1．“a＋b>2c”的一个充分不必要条件是( D )
A．a>c或b>c
B．a>c或bC．a>c且bD．a>c且b>c
[解析] 由a>c且b>c可推得a＋b>2c，但当a＋b>2c时，不一定能推得a>c且b>c，故选D．
2．若“xA．a≥3
B．a≤－1
C．－1≤a≤3
D．a≤3
[解析] 因为“x3．写出平面内的一个四边形为平行四边形的两个充要条件：
充要条件①__两组对边分别平行__
充要条件②__一组对边平行且相等__
(写出你认为正确的两个充要条件)
4．若“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是__m>2__.
[解析] 因为“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，
所以(m，＋∞)是(2，＋∞)的真子集，所以m>2.
5．下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；
(2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等；
(3)p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集．
[解析] 在(1)中，p?q，所以p是q的充要条件．
在(2)中，⊙O内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补，因此，pq，所以p不是q的充要条件．
在(3)中，取A＝{1,2}，B＝{3}，显然，A∩B＝?，但A与B均不为空集，因此，pq，所以p不是q的充要条件．
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