3.4
实际问题与一元一次方程
学习要求
1、会列一元一次方程解决简单的实际问题．
2、能对所研究的问题抽象出基本的数量关系，通过列一元一次方程解实际问题，培养分析问题和解决问题的能力．
知识点一：
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
例题．现有180件机器零件需加工，任务由甲、乙两个小组合作完成．甲组每天加工12件，乙组每天加工8件，结果共用20天完成任务．求甲、乙两组分别加工机器零件多少个．
【分析】设甲组加工机器零件x件，那么乙组加工机器零件（180﹣x）件，根据“甲的工作时间+乙的工作时间=20”列方程求解可得．
【解答】解：设甲组加工机器零件x件，那么乙组加工机器零件（180﹣x）件，
根据题意得：，
解得：x=60，
∴180﹣x=120，
答：设甲组加工机器零件60件，那么乙组加工机器零件120件．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．
变式．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．求该店有客房多少间？房客多少人？
【分析】根据题意设出房间数，进而表示出总人数得出等式方程求出即可．
【解答】解：设该店有x间客房，则
7x+7=9x﹣9，
解得x=8．
7x+7=7×8+7=63．
答：该店有客房8间，房客63人．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的解题方法是解题的关键．
知识点二：
商品利润问题
例题1．一家商店将某种商品按进价提高40%后标价，节假日期间又以标价打八折销售，结果这种商品每件仍可获利售价为24元，问这件商品的进价是多少元？
【分析】首先设这件商品的进价是x元，根据题意可得等量关系：（1+40%）×进价×打折=进价+利润，根据等量关系代入相应数据可得方程，再解方程即可．
【解答】解：设这件商品的进价是x元，由题意得：
（1+40%）x×80%=x+24，
解得：x=200，
答：这件商品的进价是200元．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
例题2．某微商一次购进了一种时令水果250千克，开始两天他以每千克高于进价40%的价格卖出180千克．第三天他发现网上卖该种水果的商家陡增，于是他果断将剩余的该种水果在前两天的售价基础上打4折全部售出．最后他卖该种水果获得618元的利润，计算商家打折卖出的该种剩余水果亏了多少元？
【分析】先设进价为x元/千克，根据前后一共获利618元，列出方程，求出x的值，然后根据总额﹣进货总价来计算商家打折卖出的该种剩余水果亏了多少元．
【解答】解：设进价为x元/千克，
依题意得：180（1+40%）x+70×40%×（1+40%）﹣250x=618，
解得x=15，
70×15﹣70×15×1.4×0.4=462（元）．
答：亏了462元．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程并解答．
变式1．小明在商店里看中了一件夹克衫，店家说：“我这儿所有商品都是在进价上加50%的利润再标价的，这件夹克衫我给你按标价打8折，你就付168元，我可只赚了你8元钱啊！”聪明的小明经过思考后觉得店家的说法不可信，请你通过计算，说明店家是否诚信？
【分析】设进价是x元，根据售价是168元，可列方程，解方程即可求得进价，再算出利润与8元比较即可．
【解答】解：设进价是x元，
根据题意得：1.5×0.8x=168，
解得：x=140．
则168﹣140=28．
∴赚了28块．
所以店家在撒谎．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
变式2．甲、乙两种商品单价之和为100元，因季节变化，甲商品降价10%，乙商品提价5%，调价后，甲、乙两商品的单价之和比原单价之和提高了2%，求甲、乙两种商品的单价．
【分析】要求甲，乙两种商品的单价，又知两种商品的单价和味100，所以设甲商品的单价为x元，那么乙商品的单价为：100﹣x元，调价后甲商品的单价为：（1﹣10%）x=0.9x，乙商品为：（1+5%）（100﹣x）=1.05（100﹣x）；由题意找出等量关系为：调价后，甲、乙两商品的单价之和比原单价之和提高了2%，由等量关系列出方程求解即可．
【解答】解：设甲种商品原价为x元，乙种商品原价为（100﹣x）元，
由题意得：0.9x+1.05（100﹣x）=100×1.02．
解得：x=20．
100﹣20=80．
答：甲种商品单价为20元，乙种商品单价为80元．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，求解．
知识点三：
比赛中的得分问题
例题．某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下：
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
A
16
12
4
28
B
16
10
6
26
C
16
8
8
24
D
16
0
16
16
其中一队的胜场总积分能否等于负场总积分？请说明理由．
【分析】根据表格中的数据可以求得胜一场的积分和负一场的积分，然后根据题意列出相应的方程即可解答本题．
【解答】解：由D队可知，负一场积分为：16÷16=1（分），
则由A队可知，胜一场的积分为：（分），
设其中一队的胜场为x场，则负场为（16﹣x）场，
则2x=16﹣x，
解得，x=，
∵场数必须是整数，
∴x=不符合实际，
∴没有一队的胜场总积分能等于负场总积分．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答此类问题的关键是明确题意，列出相应的方程，注意要联系实际情况．
变式1．在学完“有理数的运算”后，实验中学七年级各班各选出5名学生组成一个代表队，在数学方老师的组织下进行一次知识竞赛．竞赛规则是：每队都分别给出50道题，答对一题得3分，不答或答错一题倒扣1分．
（1）如果二班代表队最后得分142分，那么二班代表队回答对了多少道题？
（2）一班代表队的最后得分能为145分吗？请简要说明理由？
【分析】如果设答对x道题，那么得分为3x分，扣分为（50﹣x）分．根据具体的等量关系即可列出方程．
【解答】解：（1）设（二）班代表队答对了x道题，
根据题意列方程：3x﹣（50﹣x）=142，
解这个方程得：x=48．
故（二）班代表队答对了48道题．
（2）设（一）班代表队答对了x道题，
根据题意列方程“3x﹣（50﹣x）=145，
解这个方程得：．
因为题目个数必须是自然数，
即不符合该题的实际意义，
所以此题无解．
即（一）班代表队的最后得分不可能为145分．
故不能．
【点评】注意在解应用题里，答案必须符合实际问题的意义．
变式2．在一年一次的安全知识考试中，其中有10道多项选择题，每题分值相同，每题必答．下面不完整的表格记录了四位同学的得分情况．
学生姓名
答对全部选项的题数
答对部分选项且未选错误项的题数
有错误选项的题数
得分
伍伍
10
0
0
50
佳佳
9
0
1
44
刚刚
6
2
2
32
英英
1
35
（1）分析表格数据，直接填空：答对一道全部选项的题，得 5 分，答出一道部分选项正确且未选错误项的题，得 2 分，选出一道有错误选项的题，得 ﹣1 分；
（2）英英同学有1题答对部分选项且未选错误项，总得分为35分，求英英答对全部选项的题数．
【分析】（1）根据表格的得分情况填空；
（2）设英英答对全部选项的题数为x道，则根据（1）中所得的数据和英英同学的得分情况列出方程并解答．
【解答】解：（1）由伍伍同学的得分情况知，答对一道全部选项的题得分为：50÷10=5（分）．
由佳佳同学的得分情况知，有错误选项的题的题得分为：44﹣5×9=﹣1（分）．
结合刚刚同学的得分情况知，答出一道部分选项正确且未选错误项的题的得分为：（32﹣6×5+2）=2（分）．
故答案是：5；2；﹣1；
（2）设英英答对全部选项的题数为x道，
依题意得：5x+2﹣（10﹣1﹣x）=35，
则x=7．
答：英英答对全部选项的题数是7道．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用．根据已知得出等量关系是解题关键．
知识点四：
分段计费问题
例题．延庆区某中学七年级（1）（2）两个班共104人，要去延庆地质博物馆进行社会大课堂活动，老师指派小明到网上查阅票价信息，小明查得票价如图：
其中（1）班不足50人，经估算，如果两个班都以班为单位购票，一共应付1240元．
（1）两个班各有多少学生？
（2）如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？
（3）如果七年级（1）班单独组织去博物馆参观，你认为如何购票最省钱？
【分析】（1）设七年级（1）班x人，则七年级（2）班（104﹣x）人，根据两个班共付费1240元建立方程求出其解就可以；
（2）先求出购团体票的费用，再用1240元﹣团体票的费用就是节约的钱；
（3）先可以计算按照实际人数购票的费用，再计算购买51个人的票的费用，比较两个费用的大小就可以得出结论．
【解答】解：（1）设七年级（1）班x人，则七年级（2）班（104﹣x）人，
由题意可得：13x+11（104﹣x）=1240，
解得x=48，
则104﹣x=56．
答：七年级（1）班48人，七年级（2）班56人；
（2）1240﹣104×9=304（元）；
（3）七年级（1）班按照实际人数购票的费用为：48×13=624元，
购51张票的费用为：51×11=561元．
∵624＞561，
∴购买51张票划算些．
【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，设计方案的运用，解答时找到等量关系建立方程求出各班人数是关键．
变式1．列方程解应用题
今年某网上购物商城在“双11岁物节“期间搞促销活动，活动规则如下：
①购物不超过100元不给优惠；②购物超过100元但不足500元的，全部打9折；③购物超过500元的，其中500元部分打9折，超过500元部分打8折．
（1）小丽第1次购得商品的总价（标价和）为200元，按活动规定实际付款 180 元．
（2）小丽第2次购物花费490元，与没有促销相比，第2次购物节约了多少钱？（请利用一元一次方程解答）
（3）若小丽将这两次购得的商品合为一次购买，是否更省钱？为什么？
【分析】（1）按活动规定实际付款=商品的总价×0.9，依此列式计算即可求解；
（2）可设第2次购物商品的总价是x元，根据等量关系：小丽第2次购物花费490元，列出方程求解即可；
（3）先得到两次购得的商品的总价，再根据促销活动活动规则列式计算即可求解．
【解答】解：（1）200×0.9=180（元）．
答：按活动规定实际付款180元．
（2）∵500×0.9=450（元），
490＞450，
∴第2次购物超过500元，
设第2次购物商品的总价是x元，依题意有
500×0.9+（x﹣500）×0.8=490，
解得x=550，
550﹣490=60（元）．
答：第2次购物节约了60元钱．
（3）200+550=750（元），
500×0.9+（750﹣500）×0.8
=450+200
=650（元），
∵180+490=670＞650，
∴小丽将这两次购得的商品合为一次购买更省钱．
故答案为：180．
【点评】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．
变式2．某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示：
月用水量
不超过12吨的部分
超过12吨的部分且
不超过18吨的部分
超过18吨的部分
收费标准
2元/吨
2.5元/吨
3元/吨
（1）某用户四月份用水量为16吨，需交水费为多少元？
（2）某用户五月份交水费50元，所用水量为多少吨？
（3）某用户六月份用水量为a吨，需要交水费为多少元？
【分析】（1）首先得出16吨，应分两段交费，再利用已知表格中数据求出答案；
（2）利用五月份交水费50元，可以判断得出应分3段交费，再利用已知表格中数据得出等式求出答案；
（3）利用分类讨论利用①当a≤12时，②当12＜a≤18时，③当a＞18时，求出答案．
【解答】解：（1）∵12＜16＜18，
∴2×12+2.5×（16﹣12）
=24+10
=34（元），
答：四月份用水量为16吨，需交水费为34元；
（2）设五月份所用水量为x吨，依据题意可得：
2×12+6×2.5+（x﹣18）×3=50，
解得；x=21，
答：五月份所有水量为21吨；
（3）①当a≤12时，需交水费2a元；
②当12＜a≤18时，需交水费，2×12+（a﹣12）×2.5=（2.5a﹣6）元，
③当a＞18时，需交水费2×12+6×2.5+（a﹣18）×3=（3a﹣15）元．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用以及列代数式，正确利用分段表示出水费的总额是解题关键．
拓展点一：
直接设元与间接设元
例题．水浒中学要把420元奖学金分给22名获一、二等奖的学生，一等奖每人50元，二等奖每人10元．求获得一、二等奖的人数分别是多少？
【分析】等量关系为：一等奖的总奖金数目+二等奖的总奖金数目=420，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设获得一等奖的人数为x人，则二等奖的人数为（22﹣x）人．
50x+10×（22﹣x）=420，
解得x=5，
∴22﹣x=17．
答：一等奖5人，二等奖17人．
【点评】考查一元一次方程的应用；得到总奖金数的等量关系是解决本题的关键．
变式1．现有180件机器零件需加工，任务由甲、乙两个小组合作完成．甲组每天加工12件，乙组每天加工8件，结果共用20天完成任务．求甲、乙两组分别加工机器零件多少个．
【分析】设甲组加工机器零件x件，那么乙组加工机器零件（180﹣x）件，根据“甲的工作时间+乙的工作时间=20”列方程求解可得．
【解答】解：设甲组加工机器零件x件，那么乙组加工机器零件（180﹣x）件，
根据题意得：，
解得：x=60，
∴180﹣x=120，
答：设甲组加工机器零件60件，那么乙组加工机器零件120件．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．
变式2．某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元，其中每支毛笔比钢笔贵4元．
（1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？
（2）学校仍需要购买上面的两种笔共105支（每种笔的单价不变）．陈老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领2447元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么帐肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的帐算错了．
【分析】（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+4）元，根据题意可得等量关系：30支钢笔的总价+45支毛笔的总价=1755元，根据等量关系列出方程，再解即可．
（2）设单价为21元的钢笔为y支，所以单价为25元的毛笔则为（105﹣y）支，根据题意可得等量关系：y支钢笔的总价+（105﹣y）支毛笔的总价=2447元，列出方程，解出y的值不是整数，因此预算错误．
【解答】解：（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+4）元．
由题意得：30x+45（x+4）=1755
解得：x=21
则x+4=25．
答：钢笔的单价为21元，毛笔的单价为25元．
（2）设单价为21元的钢笔为y支，所以单价为25元的毛笔则为（105﹣y）支．
根据题意，得21y+25（105﹣y）=2447．
解得：y=44.5
（不符合题意）．
所以王老师肯定搞错了．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
拓展点二：
数字问题
例题．一个两位数，个位上的数字是十位上数字的2倍，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，所得的两位数比原来的两位数大27，求原来的两位数．
【分析】首先设原来两位数十位数字为x，则个位数字为2x，由题意得等量关系：新两位数﹣原两位数=27，根据等量关系，列出方程，再解即可．
【解答】解：设原来两位数十位数字为x，则个位数字为2x，由题意得：
20x+x﹣（10x+2x）=17，
解得：x=3，
则2×3=6，
原来的两位数为：36．
答：原来的两位数为36．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
变式．一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，将这个两位数的十位数字与个位数字对调后得到的两位数比原来的两位数小27，求这个两位数．
解：设原来两位数的个位数字为x，则十位数字为 2x ，这个两位数是 20x+x ，根据题意得：（请完成后面的解答过程）
【分析】设原来两位数的个位数字为x，根据题意列出方程解答即可．
【解答】解：设原来两位数的个位数字为x，可得十位数字为2x，这个两位数是20x+x，
根据题意可得：20x+x=10x+2x+27，
解得：x=3，
所以这个两位数是63．
故答案为：2x；20x+x．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．
拓展点三：
调配问题
例题.
某社团原分成两个小组活动，第一组18人，第二组15人，新学期又有12名新成员加入，如何分配这12名新成员能使一组人数成为二组人数的1.5倍？
【考点】N3：和倍问题．
【专题】453：和倍问题．
【分析】我们可设分给第一组x人，则分给第二组12﹣x，根据条件一组人数成为二组人数的1.5倍，可得18+x=1.5×[15+（12﹣x）]，解答即可得到答案．
【解答】解：分给第一组x人，可得方程
18+x=1.5×[15+（12﹣x）]
18+x=1.5×[15+12﹣x]
18+x=1.5×[27﹣x]
18+x=40.5﹣1.5x
x+1.5x=40.5﹣18
2.5x=22.5
x=9
12﹣9=3（人）
【点评】此题重点理解“一组人数成为二组人数的1.5倍”的含义，考查学生的分析理解能力．
变式.学校大扫除，某班原分成两个小组，第一组26人打扫教室，第二组22人打扫包干区，这次根据工作需要，要使第二组人数是第一组人数的2倍，那么应从第一组调多少人到第二组去？
【考点】8A：一元一次方程的应用．
【分析】设应从第一组调x人到第二组去，根据第一组26人打扫教室，第二组22人打扫包干区，要使第二组人数是第一组人数的2倍，从而可列方程求解．
【解答】解：设应从第一组调x人到第二组去，
2（26﹣x）=22+x，
52﹣2x=22+x，
x=10．
故第一组调10人到第二组去．
【点评】本题考查的是调配问题，关键知道调配后的数量关系从而可列方程求解．
拓展点四：
工作效率问题
例题1．一件工作，甲单独做15小时完成，乙单独做10小时完成，甲、乙先合做3小时候，因甲有其他任务调离，余下的任务由乙单独完成，求乙还需要多少小时才能完成？
【分析】把这项工作的工作总量看作单位“1”，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，然后设乙还需要x小时才能完成，根据甲、乙先合做3小时的工作量+乙后单独完成x小时的工作量=工作总量“1”，列出方程解答即可．
【解答】解：设乙还需要x小时才能完成，依题意有
（+）×3+=1，
解得x=5．
答：设乙还需要5小时才能完成，
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：根据题意找出等量关系：甲、乙先合做3小时的工作量+乙后单独完成x小时的工作量=工作总量“1”．
例题2．整理一批数据，由一人做需80h完成，现在计划先由一些做2h，再增加5人做8h，可以完成这项工作的，问怎样安排参与整理数据的具体人数？
【分析】首先假设出先由x人整理，根据题意可得一个人的工作效率是
，根据题目中的等量关系：x个人2小时的工作量+（x+5）人8小时的工作量=，再列出方程，解方程即可．
【解答】解：设先安排x人参与整理数据，由题意得：×2+×（x+5）×8=，
解得：x=2．
答：计划先由2人整理这组数据．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，此题用到的公式是：工作效率×工作时间=工作量．
变式1．一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，两人合做4天后，剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成？
【分析】设工作量为1，根据甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，即可求出甲乙的效率；等量关系为：甲的工作量+乙的工作量=1，列出方程，再求解即可．
【解答】解：设乙还需x天完成，由题意得
4×（+）+=1，
解得x=5．
答：乙还需5天完成．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是找到所求的量的等量关系．当题中没有一些必须的量时，为了简便，可设其为1．
变式2．一段公路，甲工程队单独修建需30天，乙工程队单独修建需20天．现甲、乙两队合作3天后，余下的由乙队单独完成，问乙队还需几天能完成？
【分析】设乙队还需要x天才能完工，根据“两队合作3天后，余下的工程由乙队完成”得到等量关系：两队合作3天完成的工作量+乙队x天完成的工作量=1，依此列出方程，解方程即可．
【解答】解：设乙队还需x天能完成，
根据题意得：++=1，
解得：x=15，
答：乙队还需15天能完成．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
拓展点五：
行程问题
例题1．昆曲高速公路全长128千米，甲、乙两车同时从昆明、曲靖两地高速路收费站相向匀速开出，经过40分钟相遇，甲车比乙车每小时多行驶20千米．求甲、乙两车的速度．
【分析】设出乙车速度，进而表示出甲车速度，再根据相遇问题，两车行驶的路程之和为128千米列出方程，解方程求出x的值即可．
【解答】解：设乙车速度为x千米/时，甲车速度为（x+20）千米/时，根据题意得
40分钟=小时，
（x+x+20）=128，
解得x=86，
则甲车速度为：x+20=86+20=106．
答：甲车速度为106千米/时，乙车速度为86千米/时．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是根据路程=速度×时间公式列出一元一次方程，此题难度不大．
例题2．甲乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行110公里．
（1）两车同时开出，背向而行，多少小时后两车相距800公里？
（2）两车同时开出，同向而行，出发时快车在慢车的后面，多少小时后两车相距40公里？
【分析】（1）先设x小时后两车相距800公里，再根据两车的路程之和加上甲乙两站之间的距离等于800公里，列方程求解；
（2）设y小时后两车相距40公里，分两种情况讨论：相遇之前两车相距40公里，相遇后两车相距40公里，分别列方程求解．
【解答】解：（1）设x小时后两车相距800公里，依题意得
90x+480+110x=800
解得x=1.6，
∴1.6小时后两车相距800公里；
（2）设y小时后两车相距40公里，依题意得
若相遇之前两车相距40公里，则
90y+480﹣110y=40，
解得y=22，
若相遇后两车相距40公里，则
110y﹣480﹣90y=40，
解得y=26，
∴22或26小时后两车相距40公里．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题时注意：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答．
例题3．甲乙两地之间相距30km，A同学从甲地骑自行车去乙地，B同学从乙地骑自行车去甲地，两人同时出发，相向而行，经过2小时相遇；相遇后，A同学就返回甲地，B仍向甲地前进，A回到甲地时，B离甲地还有4km．求：A、B骑车的速度各是多少？
【分析】可设A骑车的速度是xkm/h，则B骑车的速度是（30÷2﹣x）km/h，根据等量关系：速度差×2=4千米可列方程求解．
【解答】解：设A骑车的速度是xkm/h，则B骑车的速度是（30÷2﹣x）km/h，依题意有
2[x﹣（30÷2﹣x）]=4，
解得x=8.5，
30÷2﹣x=15﹣8.5=6.5．
答：A骑车的速度是8.5km/h，则B骑车的速度是6.5km/h．
【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，相遇问题和追击问题的数量关系的运用，解答时由行程问题的数量关系建立方程是关键．
变式1．海南环岛高速公路（含东线和西线）全长约600千米，一辆小汽车和一辆客车同时从海口出发，小汽车沿东线高速环岛，客车沿西线高速环岛，经过3小时后两车相遇，若小汽车比客车每小时多行驶40千米，求两车的速度．
【分析】设客车速度为x
km/h，则小汽车速度为（x+40）km/h，根据路程=速度×时间，列出方程，再进行求解即可．
【解答】解：设客车速度为x
km/h，则小汽车速度为（x+40）km/h，根据题意得：
（x+x+40）×3=600，
解得：x=80，
则小汽车速度为80+40=120
km/h，
答：客车速度为80
km/h，小汽车速度为120
km/h．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据路程=（客车的速度+小汽的速度）×3，列出关于x的一元一次方程．
变式2．昆楚高速公路全长170千米，甲、乙两车同时从昆明、楚雄两地高速路收费站相向匀速开出，经过50分钟相遇，甲车比乙车每小时多行驶10千米．求甲、乙两车的速度．
【分析】首先根据题意，设乙车的速度为x千米/时，甲车的速度为x+10千米/时，然后根据：两车的速度之和×两车相遇用的时间=昆楚高速公路全长，列出方程，求出乙车的速度是多少，并求出甲车的速度是多少即可．
【解答】解：50分钟=小时
设乙车的速度为x千米/时，甲车的速度为x+10千米/时，
则（x+x+10）=170，
解得：x=97
∴甲车的速度为：x+10=97+10=107（千米/时）
答：甲车的速度为107千米/时，乙车的速度为97千米/时．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间=路程，路程÷时间=速度，要熟练掌握．
变式3．小亮和小颖清明节带着吠吠（一条小狗）到郊外旅行，小颖先出发，步行速度为6千米/时，小亮后出发，速度为8千米/时，小颖出发1小时后，小亮才出发，同时小亮让吠吠在两人之间不断地来回进行联络，吠吠的速度为12千米/时．
（1）小亮出发后，经过多长时间可以追上小颖？
（2）吠吠出发后追上小颖时，距离小亮由多远？
（3）小颖出发多少小时时，小亮和小颖两人相距1千米？
【分析】（1）设小亮出发后，经过x小时长时间可以追上小颖，根据小亮比小颖快的速度×时间=小颖先出发走的路程可列出方程，解出即可得出时间；
（2）设吠吠出发后y小时追上小颖，根据吠吠比小颖快的速度×时间=小颖先出发走的路程可列出方程，解出即可得出时间，再由路程=速度×时间可分别得出吠吠和小亮走的路程，相减即可求解；
（3）设小颖出发z小时时，小亮和小颖两人相距1千米，要分两种情况讨论：①当小亮还没有超过小颖时，相距1千米；②当小亮超过小颖后，再次相距1千米，分别列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）设小亮出发后，经过x小时长时间可以追上小颖，依题意有
（8﹣6）x=6，
解得x=3．
答：小亮出发后，经过3小时长时间可以追上小颖；
（2）设吠吠出发后y小时追上小颖，依题意有
（12﹣6）y=6，
解得y=1，
12×1﹣8×1=4（千米）．
答：吠吠出发后追上小颖时，距离小亮有4千米远；
（3）设小颖出发z小时时，小亮和小颖两人相距1千米，依题意有
（8﹣6）z=6﹣1，
解得z=2.5；
或（8﹣6）z=6+1，
解得z=3.5．
答：小颖出发2.5小时或3.5小时时，小亮和小颖两人相距1千米．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．同时注意分类思想的运用．
拓展点六：
销售中的盈亏问题
例题1．某商场将M品牌服装每套按进价的2倍进行销售，恰逢“春节”来临，为了促销，他将售价提高了50元再标价，打出了“大酬宾，八折优惠”的牌子，结果每套服装的利润是进价的，该老板到底给顾客优惠了吗？说出你的理由．
【分析】设A品牌服装每套进价x元，根据利润=标价﹣进价列出一元一次方程，求出进价进而作出判断．
【解答】解：该老板给顾客优惠了．
设A品牌服装每套进价x元，由题意得：
（2x+50）×0.8﹣x=x，
解得
x=600，
原来售价2×600=1200（元），
提价后八折价格（2×600+50）×0.8=1000（元），
该老板给顾客优惠了．
【点评】本题考查了一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据利润=标价﹣进价建立方程求出进价是关键．
例题2．苏宁电器商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．
（1）若苏宁电器商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．
（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？
【分析】（1）本题的等量关系是：两种电视的台数和=50台，买两种电视花去的费用=9万元．然后分进的两种电视是A、B，A、C，B、C三种情况进行讨论．求出正确的方案；
（2）根据（1）得出的方案，分别计算出各方案的利润，然后判断出获利最多的方案．
【解答】解：按购A，B两种，B，C两种，A，C两种电视机这三种方案分别计算，设购A种电视机x台，则B种电视机y台．
①当选购A，B两种电视机时，B种电视机购（50﹣x）台，可得方程：
1500x+2100（50﹣x）=90000，即5x+7（50﹣x）=300，
解得：x=25，
则B种电视机购50﹣25=25（台）；
②当选购A，C两种电视机时，C种电视机购（50﹣x）台，可得方程：
1500x+2500（50﹣x）=90000，
解得：x=35，
则C种电视机购50﹣35=15（台）；
③当购B，C两种电视机时，C种电视机为（50﹣y）台，可得方程：
2100y+2500（50﹣y）=90000，
解得：y=，（不合题意，舍去）
由此可选择两种方案：一是购A，B两种电视机25台；二是购A种电视机35台，C种电视机15台．
（2）若选择（1）中的方案①，可获利150×25+250×15=8750（元），
若选择（1）中的方案②，可获利150×35+250×15=9000（元），
因为9000＞8750，
所以为了获利最多，选择第二种方案．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：两种电视的台数和=50台，买两种电视花去的费用=9万元．列出方程，再求解．
变式1．某玩具工厂出售一种玩具，其成本价每件28元，如果直接由厂家门市部销售，每件产品售价为35元，同时每月还要支出其他费用2100元；如果委托商场销售，那么出厂价为32元．
（1）求在两种销售方式下，每个月销售多少件时，所得利润相等？
（2）若每个月销售量达到1000件时，采用哪种销售方式获得利润较多？
【分析】（1）利用每件利润×销量=总利润，进而得出等式求解即可；
（2）利用每月销售达1000件，分别得出利润，然后进行比较即可得出答案．
【解答】解：（1）设每月销售x件时，所得利润相同，根据题意可得：
（33﹣28）x﹣2100=（32﹣28）x，
解得：x=700．
答：每月销售700件时，所得利润相同；
（2）当每月销售达1000件时，直接由厂家门市部出售的利润为：
（33﹣28）×1000﹣2100=4900（元），
委托商店销售的利润为：（30﹣28）×1000=4000（元），
∵4900＞4000
∴采用直接由厂家门市部出售的利润较多．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据每件利润×销量=总利润得出等式是解题关键．
变式2．某牛奶加工厂现有鲜奶8吨，若市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2000元．该工厂的生产能力是：如制成酸奶每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨．受人员制约，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该工厂设计了两种可行方案：
方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；
方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．
你认为选择哪种方案获利最多？为什么？
【分析】方案一：根据制成奶片每天可加工1吨，求出4天加工的吨数，剩下的直接销售鲜牛奶，求出利润；方案二：设生产x天奶片，（4﹣x）天酸奶，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，进而求出利润，比较即可得到结果．
【解答】解：方案一：最多生产4吨奶片，其余的鲜奶直接销售，
则其利润为：4×2000+（8﹣4）×500=10000（元）；
方案二：设生产x天奶片，则生产（4﹣x）天酸奶，
根据题意得：x+3（4﹣x）=8，
解得：x=2，
2天生产酸奶加工的鲜奶是2×3=6吨，
则利润为：2×2000+2×3×1200=4000+7200=11200（元），
得到第二种方案可以多得1200元的利润．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
变式3．某种绿色食品，若直接销售，每吨可获利润0.1万元；若粗加工后销售，每吨可获利润0.4万元；若精加工后销售，每吨可获利润0.7万元．某公司现有这种绿色产品140吨，该公司的生产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行．受各种条件限制，公司必须在15天内将这批绿色产品全部销售或加工完毕，为此该公司设计了三种方案：
方案一：全部进行粗加工；
方案二：尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售；
方案三：将一部分进行精加工，其余的进行粗加工，并恰好15天完成．
你认为选择哪种方案可获利润最多，为什么？最多可获利润多少元？
【分析】方案一由于全部进行粗加工，而16×15＞140，所以粗加工可以全部加工完，然后每吨可获利润4000元即可求出利润；
方案二由于尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售，那么15天可精加工6×15=90吨，剩下的直接销售，再根据已知条件也可求出利润；
方案三由于将一部分进行精加工，其余的进行粗加工，并恰好15天完成，那么设将x吨海产品进行精加工，则将（140﹣x）吨进行粗加工，根据恰好15天完成可以列出方程求出精加工和粗加工各自的吨数，然后利用已知条件求出利润．
【解答】解：方案一：可获利润为：4000×140=560000（元）；
方案二：15天可精加工6×15=90（吨），
说明还有50吨需要直接销售，
故可获利润：7000×90+1000×50=680000（元）；
方案三：设将x吨海产品进行精加工，则将（140﹣x）吨进行粗加工，
由题意得：+=15，
解得：x=60，
故可获利润7000×60+4000×80=740000（元），
∵740000＞680000＞560000，
∴选择方案三可获利润最多，最多可获利润740000元．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，本题和实际生活结合比较紧密，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
拓展点七：
存(贷)款利率问题
例题.
某公司申请了甲、乙两种不同利率的贷款共300万元，每年需付32万元的利息，已知甲种贷款的年利率为10%，乙种贷款的年利率为12%，求这种贷款各申请多少万元？
【考点】3W：存款利息与纳税相关问题．
【专题】45A：分数百分数应用题．
【分析】运用方程进行解答比较容易理解，设甲种贷款是x万元，乙种贷款300﹣x万元，分别表示出两种贷款的利息，它们的利息的和是32万元，甲种贷款利息+乙贷款利息=利息的和，列方程进行解答即可．
【解答】解：设甲种贷款是x万元，乙种贷款300﹣x万元．
10x+12%×（300﹣x）=32
0.1x+36﹣0.12x=32
0.02x=4
x=200
300﹣x=300﹣200=100（万元）
答：公司申请甲种贷款为200万元，乙种贷款为100万元．
【点评】本题关键运用一个未知的量表示出另一个量，找准等量关系，列方程进行解答即可．
变式．老王把10000元按一年期定期储蓄存入银行，到期支取时，扣去利息税后实得本利和为10160元．已知利息税税率为20%，问当时一年期定期储蓄的年利率为多少？
【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】解：设当时一年期定期储蓄的年利率为x，
10000（1+x）﹣20%×10000x=10160，
解得，x=0.02，
即当时一年期定期储蓄的年利率为2%．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
拓展点八：
球队比赛得分的拓展
例题.
某区“园丁标”篮球赛前四队积分表如下：
队名
比赛均次
胜
负
积分
一中
7
7
0
14
二中
7
6
1
13
三中
7
5
2
12
四中
7
4
3
11
（1）观察积分表，你能获得哪些信息？
（2）观察积分表，请你用式子将积分与胜、负场数之间的数量关系表示出来；
（3）在这次比赛中，一个队胜场总积分能不能等于它的负场总积分？
【考点】VA：统计表．
【分析】（1）根据积分表可知参加篮球赛的球队数和比赛场次；
（2）根据一中得分求出胜一场的得分，再根据二中求出负一场的得分，然后设胜x场，负y场，然后表示出积分即可；
（3）设这次比赛一个队共胜x场，则负（7﹣x）场，然后根据得分列出方程求解即可．
【解答】解：（1）由表可知，这次比赛共有四个队参加，每个队参加7场比赛；
（2）∵一中胜7场得14分，
∴胜一场得2分，
∵二中胜6场，负1场得13分，
∴负1场得13﹣2×6=1分，
然后设胜x场，负y场，
则总积分=2x+y；
（3）设这次比赛一个队共胜x场，则负（7﹣x）场，
由题意得，2x=7﹣x，
解得x=，
∵比赛场次x是正整数，
∴一个队胜场总积分不能等于它的负场总积分．
【点评】本题考查从统计表中获取信息的能力．统计表可以将大量数据的分类结果清晰、一目了然地表达出来．
拓展点九：
方案设计问题的拓展
例题．某校计划添置20张办公桌和一批椅子（椅子不少于20把），现从A、B两家家具公司了解到：同一款式的产品价格相同，办公桌每张210元，椅子每把70元．
A公司的优惠政策为：每买一张办公桌赠送一把椅子；
B公司的优惠政策为：办公桌和椅子都实行八折优惠．
（1）若到A公司买办公桌的同时买m把椅子，则应付多少钱？
（2）若规定只能选择一家公司购买桌椅，什么情况下到任意一家公司购买付款一样多？
（3）如果添置的20张办公桌和30把椅子，可到一家公司购买或A、B公司分开购买，请你设计一种购买方案，使所付款额最少，最少付款额是多少？（可不说明理由）
【分析】（1）根据总钱数=购买20张办公桌的价钱+每把椅子的价钱×（购买椅子的数量﹣20），即可求出结论；
（2）设买x把椅子，到任意一家公司购买付款一样多，根据A、B两公司的优惠政策，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）购买方案为：到A公司购买20张办公桌，A公司赠送20把椅子，再到B公司购买10把椅子．再计算出最少付款额即可得出结论．
【解答】解：（1）210×20+70×（m﹣20）=70m+2800（元）．
答：若到A公司买办公桌的同时买m把椅子，则应付（70m+2800）元钱．
（2）设买x把椅子，到任意一家公司购买付款一样多，
根据题意得：210×20+70（x﹣20）=80%（210×20+70x），
解得：x=40．
答：买40把椅子时，到任意一家公司购买付款一样多．
（3）购买方案为：到A公司购买20张办公桌，A公司赠送20把椅子，再到B公司购买10把椅子．最少付款额为210×20+80%×70×10=4760元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）根据A、B两公司的优惠政策，列出关于x的一元一次方程；（3）根据A、B两公司的优惠政策寻找出最省钱的方案．
变式1．为发展校园足球运动，巫溪县某五所初中决定联合购买一批耐克足球运动装备，市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球．已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球：乙商场优惠方案是：若购买队服超过90套，则购买足球打八折．
（1）求每套队服和每个足球的价格是多少？
（2）若五校联合购买100套队服和m个足球（其中m＞30），请用含m的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用，假如你是本次购买任务的负责人，要采购100套队服和60个足球，你认为到哪家商场购买比较合算？
【分析】（1）设每个足球的价格为x元，则每套队服的价格为（x+50）元，根据两套队服与三个足球的费用相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据两商城的优惠方案找出总费用w甲、w乙关于足球个数m的函数关系式，代入m=60求出两值，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设每个足球的价格为x元，则每套队服的价格为（x+50）元，
根据题意得：2（x+50）=3x，
解得：x=100，
∴x+50=150．
答：每个足球的价格为100元，每套队服的价格为150元．
（2）甲商城所需费用w甲=100×150+100（m﹣10）=100m+14000，
乙商场所需费用w乙=100×150+100×0.8m=80m+15000．
当m=60时，w甲=100m+14000=20000，w乙=80m+15000=19800，
∵20000＞19800，
∴要采购100套队服和60个足球，到乙商场购买比较合算．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据两套队服与三个足球的费用相等，列出关于x的一元一次方程；（2）根据数量关系，找出w甲、w乙关于m的函数关系式．
变式2．2016年中国移动推出“自由派”资费套餐，其计费方式有两种如下表：
月租费/元
区内主叫全国时长/分钟
超套主叫费/（元/分钟）
被叫
方式一
9
50
0.2
免费
方式二
19
130
0.15
免费
请根据表格解决下列问题：
（1）如果甲平均每月的通话时长为80分钟，乙平均每月的通话时长为200分钟，请你通过计算说明：甲、乙分别选择哪种计费方式省钱；
（2）设某人一个月内用移动电话主叫时长为t分钟（t是正整数）．请你为用户设计一个方案，使用户能合理地选择这种资费套餐的计费方式．
【分析】（1）分别求出通话时长为80分钟与200分钟时，选择方式一与方式二计费的费用，再比较即可；
（2）分三种情况讨论：①t≤50；
②50＜t＜130；③t≥130．
【解答】解：（1）当通话时间为80分钟时，
若用方式一计费，则费用为：9+（80﹣50）×0.2=15，
若用方式二计费，则费用为：19，
因为15＜19，
此时甲选择方式一省钱；
当通话时间为200分钟时，
若用方式一计费，则费用为：9+（200﹣50）×0.2=39，
若用方式二计费，则费用为：19+（200﹣130）×0.15=29.5，
因为29.5＜39，
此时乙选择方式二省钱；
（2）若设一个月内用移动电话主叫时长为t分钟（t是正整数）．则根据题意可得
①当t≤50时，按方式一计费省钱；
②当50＜t＜130时，
令9+0.2
（t﹣50）=19，
解得：t=100．
则：当50＜t＜100时，方式一比方式二的费用少；
当t=100时，方式一与方式二的费用相等；
当100＜t＜130时，方式一比方式二的费用多；
③当t≥130时，
方式一计费为：9+0.2
（t﹣50）=0.2t﹣1，
方式二计费为：19+0.15
（t﹣130）=0.15t﹣0.5，
因为此时方式一的单位时间的费用0.2比方式二的单位时间的费用0.15大，所以此时方式二计费少．
综上分析，可得到：
当0≤t＜100时，选择方式一省钱；
当t=100时，选择方式一与方式二均可；
当t＞100时，选择方式二省钱．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，理解两种计费方式，进行正确分类讨论．
拓展点十：
图形中的方程问题
例题．扬子江药业集团生产的某种药品的长方体包装盒的侧面展开图如图所示．根据图中数据，如果长方体盒子的长比宽多4cm，求这种药品包装盒的体积．
【分析】由图可知：设宽为xcm，则长为（x+4）cm，高为（18﹣x），根据长、宽、高的和为37列出方程，进一步利用长方体的体积计算方法解答即可．
【解答】解：设宽为xcm，则长为（x+4）cm，高为（18﹣x），
由题意得：2（x+4）+x+（18﹣x）=37
解得：x=8…（5分）
则x+4=12，（18﹣x）=5
8×5×12=480（cm3）
答：这种药品包装盒的体积为480cm3．
【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，长方体的体积计算公式，看清图意，找出长、宽、高之间的关系是解决问题的关键．
变式1．用正方形使纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成．硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用））．
A方法：剪6个侧面；
B方法：剪4个侧面和5个底面．
现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．
（1）分别求裁剪出的侧面和底面的个数（用x的代数式表示）
（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？
【分析】（1）由x张用A方法，就有（19﹣x）张用B方法，就可以分别表示出侧面个数和底面个数；
（2）由侧面个数和底面个数比为3：2建立方程求出x的值，求出侧面的总数就可以求出结论．
【解答】解：（1）∵裁剪时x张用A方法，
∴裁剪时（19﹣x）张用B方法．
∴侧面的个数为：6x+4（19﹣x）=（2x+76）个，
底面的个数为：5（19﹣x）=（95﹣5x）个；
（2）由题意，得（2x+76）：（95﹣5x）=3：2，
解得：x=7，
∴盒子的个数为：=30．
答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做30个盒子．
【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，列代数式的运用以及分式方程的应用，解答时根据裁剪出的侧面和底面个数相等建立方程是关键．
变式2．如图，长方体盒子是用大长方形硬纸片裁剪制作的，每个盒子由4个小长方形侧面和上下2个正方形底面组成，大长方形硬纸片按两种方法裁剪：A所示方法剪4个侧面：B所示方法剪6个底面．现有112张大长方形硬纸片全部用于裁剪制作长方体盒子，设裁剪时x张用A方法，其余用B方法．
（1）请用含x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面个数；
（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问A方法、B方法各裁剪几张？能做多少个盒子？
【分析】（1）根据题意可以分别用代数式表示出裁剪出的侧面和底面个数；
（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
裁剪出的侧面个数是：4x，
裁剪出的底面个数是：6（112﹣x）=﹣6x+672；
（2）由题意可得，
4x=2×（﹣6x+672），
解得，x=84，
∴112﹣84=28，
即A方法裁剪84张，B方法裁剪28张，能做84个盒子．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，侧面的个数是底面个数的2倍，利用方程的思想解答．
拓展点十一：
信息阅读问题
例题．
（1）当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市实付款分别是多少？
（2）当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？
（3）小王两次到乙超市分别购物付款198元和466元，若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多少元？
【分析】（1）根据两家超市的优惠方案，可知当一次性购物标价总额是300元时，甲超市实付款=购物标价×0.88，乙超市实付款=300×0.9，分别计算即可；
（2）设当标价总额是x元时，甲、乙超市实付款一样．根据甲超市实付款=乙超市实付款列出方程，求解即可；
（3）首先计算出两次购物标价，然后根据优惠方案即可求解．
【解答】解：（1）当一次性购物标价总额是300元时，
甲超市实付款=300×0.88=264（元），
乙超市实付款=300×0.9=270（元）；
（2）设当标价总额是x元时，甲、乙超市实付款一样．
当一次性购物标价总额是500元时，
甲超市实付款=500×0.88=440（元），乙超市实付款=500×0.9=450（元），
∵440＜450，
∴x＞500．
根据题意得0.88x=500×0.9+0.8（x﹣500），
解得x=625．
答：当标价总额是625元时，甲、乙超市实付款一样；
（3）小王两次到乙超市分别购物付款198元和466元，
第一次购物付款198元，购物标价可能是198元，也可能是198÷0.9=220元，
第二次购物付款466元，购物标价是（466﹣450）÷0.8+500=520元，
两次购物标价之后是198+520=718元，或220+520=740元．
若他只去一次该超市购买同样多的商品，实付款500×0.9+0.8（718﹣500）=624.4元，或500×0.9+0.8（740﹣500）=642元，
可以节省198+466﹣624.4=39.6元，或198+466﹣642=22元．
答：若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省39.6或22元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，理解两家超市的优惠方案，进行分类讨论是解题的关键．
变式1．丢番图是古希腊杰出的数学家，在他的墓碑上刻着一首谜语式的短诗，内容是一道有趣的数学问题，内容如下：
“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路．上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛．五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓．悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．”问：大数学家丢番图活了多少岁？
用白话翻译过来就是说：丢番图的一生，幼年占了，青少年占了，又过了才结婚，5年之后生子，子先其父4年而死，寿命是他父亲的一半．丢番图活了多少岁？
【分析】设丢番图活了x岁，根据各时间段的总和等于丢番图的岁数得到x+x+x+5+x+4=x，然后解方程即可．
【解答】解：设丢番图活了x岁，根据题意得x+x+x+5+x+4=x，
解得x=84．
答：丢番图活了84岁．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
变式2．某商场出售A、B两种商品，并开展优惠促销活动，方案有如下两种：
活动一
A
B
标价（单位：元）
90
100
每件商品返利
按标价的30%
按标价的15%
例：买一件A商品，只需付款90（1﹣30%）元
活动二
若所购商品超过100件（不同商品可累计），则按标价的20%返利．
（同一种商品不可同时参与两种活动）
（1）某客户购买A商品30件，B商品90件，选用何种活动划算？
（2）若某客户购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数比A商品件数的2倍还多一件，请问客户该如何选择才能获得最大优惠？请说明理由．
【分析】（1）方案一根据表格数据知道买一件A商品需付款90（1﹣30%），一件B商品需付款100（1﹣15%），由此即可求出买A商品30件，B商品90件所需要的付款，由于买A商品30件，B商品90件，已经超过120件，所以按方案二付款应该返利20%，由此也可求出付款数；
（2）若购买总数没有超过100时，很明显应该按方案一购买；若购买总数超过100时，利用两种购买方式进行比较可以得到结论．
【解答】解：（1）商品的原总价：90×30+100×90=11700（元），
活动一：90×（1﹣30）×30+100×（1﹣15%）×90=9540（元），
活动二：90×（1﹣20%）×30+100×（1﹣20%）×90=9360（元），
∵9540＞9360，
∴活动二划算，共便宜：9540﹣9360=180（元）；
（2）由题意得x+2x+1=100，
解得：x=33，
当总件数不足100，即x≤33时，只能选择方案一的优惠方式；
当总件数达到或超过100，即x＞33时，
方案一需付款：90（1﹣30%）x+100（1﹣15%）（2x+1）=233x+85，
方案二需付款：[90x+100（2x+1）]（1﹣20%）=232x+80，
因为（233x+85）﹣（232x+80）=x+5＞0．
所以选方案二优惠更大．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
变式3．将若干枚棋子平均分成三堆（每堆至少2枚），分别放在左边、中间、右边，并按如下顺序进行操作：
第1次：从右边一堆中拿出2枚棋子放入中间一堆；
第2次：从左边一堆中拿出1枚棋子放入中间一堆；
第3次：从中间一堆中拿出几枚棋子放入右边一堆，并使右边一堆的棋子数为最初的2倍．
（1）操作结束后，若右边一堆比左边一堆多15枚棋子，问共有多少枚棋子？
（2）小明认为：无论最初的棋子数为多少，按上述方法完成操作后，中间一堆总是剩下1枚棋子，你同意他的看法吗？请说明理由．
【分析】（1）根据题意，设最初每堆有x枚棋子，根据右边一堆比左边一堆多15枚棋子列方程求解即可．
（2）设原来平均每份a枚棋子，则最后右边2a枚棋子，左边（a﹣1）枚棋子，总棋子数还是3a，3a﹣2a﹣（a﹣1）=1，继而即可得出结论．
【解答】解：（1）设最初每堆有x枚棋子，
依题意列等式：2x﹣（x﹣1）=15，
解得：x=14，
3x=42．
故共有42枚棋子；
（2）无论最初的棋子数为多少，最后中间只剩1枚棋子．
理由：设原来平均每堆a枚棋子，则最后左边2a枚棋子，右边（a﹣1）枚棋子，总枚棋子数还是3a．
3a﹣2a﹣（a﹣1）=1，
所以最后中间只剩1枚棋子．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
易错点一：
未考虑实际情况而出错
例题.
一架飞机最多能在空中连续飞行4小时，若飞出速度为600千米/时，飞回速度为900千米/时，求这架飞机最多飞多少千米就该返回．
【考点】8A：一元一次方程的应用．
【分析】设飞出x小时，则飞回时间为（4﹣x）小时，根据飞出和飞回的距离相等列出方程即可解题．
【解答】解：设飞出x小时，则飞回时间为（4﹣x）小时，由题意得
600x=900（4﹣x），
解得：x=2.4，
飞出距离为2.4×600=1440千米．
答：这架飞机最多飞1440千米就该返回．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，利用飞出和飞回的距离相等列出方程是解题的关键．
易错点二：
考虑不周易漏解
例题.
一条公路上有相距18km的A、B两个村庄，从A村出发的一辆汽车的速度为54km/h，从B村出发的一辆汽车的速度为36km/h．
（1）两车同时相向而行，经过几小时后两车相距45km？
（2）两车同时同向而行，经过几小时后两车相距45km？
【考点】8A：一元一次方程的应用．
【分析】（1）首先设经过y小时后两车相距45km，由题意得等量关系：两车y小时行驶的路程和=18+45，根据等量关系列出方程即可；
（2）设经过x小时后两车相距45km，由题意得等量关系：快车x小时的路程﹣（慢车x小时的路程+18）=45，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：（1）经过y小时后两车相距45km，由题意得：
54y+36y=18+45，
解得：y=0.7；
答：经过0.7小时后两车相距45km．
（2）设经过x小时后两车相距45km．
①从A→B时，54x﹣（36x+18）=45，
解得：x=3.5；
②从B→A时，54x+18﹣36x=45，
解得x=1.5．
答：经过3.5小时或1.5小时后两车相距45km．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．3.4
实际问题与一元一次方程
学习要求
1、会列一元一次方程解决简单的实际问题．
2、能对所研究的问题抽象出基本的数量关系，通过列一元一次方程解实际问题，培养分析问题和解决问题的能力．
知识点一：
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
例题．现有180件机器零件需加工，任务由甲、乙两个小组合作完成．甲组每天加工12件，乙组每天加工8件，结果共用20天完成任务．求甲、乙两组分别加工机器零件多少个．
变式．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．求该店有客房多少间？房客多少人？
知识点二：
商品利润问题
例题1．一家商店将某种商品按进价提高40%后标价，节假日期间又以标价打八折销售，结果这种商品每件仍可获利售价为24元，问这件商品的进价是多少元？
例题2．某微商一次购进了一种时令水果250千克，开始两天他以每千克高于进价40%的价格卖出180千克．第三天他发现网上卖该种水果的商家陡增，于是他果断将剩余的该种水果在前两天的售价基础上打4折全部售出．最后他卖该种水果获得618元的利润，计算商家打折卖出的该种剩余水果亏了多少元？
变式1．小明在商店里看中了一件夹克衫，店家说：“我这儿所有商品都是在进价上加50%的利润再标价的，这件夹克衫我给你按标价打8折，你就付168元，我可只赚了你8元钱啊！”聪明的小明经过思考后觉得店家的说法不可信，请你通过计算，说明店家是否诚信？
变式2．甲、乙两种商品单价之和为100元，因季节变化，甲商品降价10%，乙商品提价5%，调价后，甲、乙两商品的单价之和比原单价之和提高了2%，求甲、乙两种商品的单价．
知识点三：
比赛中的得分问题
例题．某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下：
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
A
16
12
4
28
B
16
10
6
26
C
16
8
8
24
D
16
0
16
16
其中一队的胜场总积分能否等于负场总积分？请说明理由．
变式1．在学完“有理数的运算”后，实验中学七年级各班各选出5名学生组成一个代表队，在数学方老师的组织下进行一次知识竞赛．竞赛规则是：每队都分别给出50道题，答对一题得3分，不答或答错一题倒扣1分．
（1）如果二班代表队最后得分142分，那么二班代表队回答对了多少道题？
（2）一班代表队的最后得分能为145分吗？请简要说明理由？
变式2．在一年一次的安全知识考试中，其中有10道多项选择题，每题分值相同，每题必答．下面不完整的表格记录了四位同学的得分情况．
学生姓名
答对全部选项的题数
答对部分选项且未选错误项的题数
有错误选项的题数
得分
伍伍
10
0
0
50
佳佳
9
0
1
44
刚刚
6
2
2
32
英英
1
35
（1）分析表格数据，直接填空：答对一道全部选项的题，得
分，答出一道部分选项正确且未选错误项的题，得
分，选出一道有错误选项的题，得
分；
（2）英英同学有1题答对部分选项且未选错误项，总得分为35分，求英英答对全部选项的题数．
知识点四：
分段计费问题
例题．延庆区某中学七年级（1）（2）两个班共104人，要去延庆地质博物馆进行社会大课堂活动，老师指派小明到网上查阅票价信息，小明查得票价如图：
其中（1）班不足50人，经估算，如果两个班都以班为单位购票，一共应付1240元．
（1）两个班各有多少学生？
（2）如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？
（3）如果七年级（1）班单独组织去博物馆参观，你认为如何购票最省钱？
变式1．列方程解应用题
今年某网上购物商城在“双11岁物节“期间搞促销活动，活动规则如下：
①购物不超过100元不给优惠；②购物超过100元但不足500元的，全部打9折；③购物超过500元的，其中500元部分打9折，超过500元部分打8折．
（1）小丽第1次购得商品的总价（标价和）为200元，按活动规定实际付款 180 元．
（2）小丽第2次购物花费490元，与没有促销相比，第2次购物节约了多少钱？（请利用一元一次方程解答）
（3）若小丽将这两次购得的商品合为一次购买，是否更省钱？为什么？
变式2．某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示：
月用水量
不超过12吨的部分
超过12吨的部分且
不超过18吨的部分
超过18吨的部分
收费标准
2元/吨
2.5元/吨
3元/吨
（1）某用户四月份用水量为16吨，需交水费为多少元？
（2）某用户五月份交水费50元，所用水量为多少吨？
（3）某用户六月份用水量为a吨，需要交水费为多少元？
拓展点一：
直接设元与间接设元
例题．水浒中学要把420元奖学金分给22名获一、二等奖的学生，一等奖每人50元，二等奖每人10元．求获得一、二等奖的人数分别是多少？
变式1．现有180件机器零件需加工，任务由甲、乙两个小组合作完成．甲组每天加工12件，乙组每天加工8件，结果共用20天完成任务．求甲、乙两组分别加工机器零件多少个．
变式2．某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元，其中每支毛笔比钢笔贵4元．
（1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？
（2）学校仍需要购买上面的两种笔共105支（每种笔的单价不变）．陈老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领2447元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么帐肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的帐算错了．
拓展点二：
数字问题
例题．一个两位数，个位上的数字是十位上数字的2倍，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，所得的两位数比原来的两位数大27，求原来的两位数．
变式．一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，将这个两位数的十位数字与个位数字对调后得到的两位数比原来的两位数小27，求这个两位数．
解：设原来两位数的个位数字为x，则十位数字为
，这个两位数是
，根据题意得：（请完成后面的解答过程）
拓展点三：
调配问题
例题.
某社团原分成两个小组活动，第一组18人，第二组15人，新学期又有12名新成员加入，如何分配这12名新成员能使一组人数成为二组人数的1.5倍？
变式.学校大扫除，某班原分成两个小组，第一组26人打扫教室，第二组22人打扫包干区，这次根据工作需要，要使第二组人数是第一组人数的2倍，那么应从第一组调多少人到第二组去？
拓展点四：
工作效率问题
例题1．一件工作，甲单独做15小时完成，乙单独做10小时完成，甲、乙先合做3小时候，因甲有其他任务调离，余下的任务由乙单独完成，求乙还需要多少小时才能完成？
例题2．整理一批数据，由一人做需80h完成，现在计划先由一些做2h，再增加5人做8h，可以完成这项工作的，问怎样安排参与整理数据的具体人数？
变式1．一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，两人合做4天后，剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成？
变式2．一段公路，甲工程队单独修建需30天，乙工程队单独修建需20天．现甲、乙两队合作3天后，余下的由乙队单独完成，问乙队还需几天能完成？
拓展点五：
行程问题
例题1．昆曲高速公路全长128千米，甲、乙两车同时从昆明、曲靖两地高速路收费站相向匀速开出，经过40分钟相遇，甲车比乙车每小时多行驶20千米．求甲、乙两车的速度．
例题2．甲乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行110公里．
（1）两车同时开出，背向而行，多少小时后两车相距800公里？
（2）两车同时开出，同向而行，出发时快车在慢车的后面，多少小时后两车相距40公里？
例题3．甲乙两地之间相距30km，A同学从甲地骑自行车去乙地，B同学从乙地骑自行车去甲地，两人同时出发，相向而行，经过2小时相遇；相遇后，A同学就返回甲地，B仍向甲地前进，A回到甲地时，B离甲地还有4km．求：A、B骑车的速度各是多少？
变式1．海南环岛高速公路（含东线和西线）全长约600千米，一辆小汽车和一辆客车同时从海口出发，小汽车沿东线高速环岛，客车沿西线高速环岛，经过3小时后两车相遇，若小汽车比客车每小时多行驶40千米，求两车的速度．
变式2．昆楚高速公路全长170千米，甲、乙两车同时从昆明、楚雄两地高速路收费站相向匀速开出，经过50分钟相遇，甲车比乙车每小时多行驶10千米．求甲、乙两车的速度．
变式3．小亮和小颖清明节带着吠吠（一条小狗）到郊外旅行，小颖先出发，步行速度为6千米/时，小亮后出发，速度为8千米/时，小颖出发1小时后，小亮才出发，同时小亮让吠吠在两人之间不断地来回进行联络，吠吠的速度为12千米/时．
（1）小亮出发后，经过多长时间可以追上小颖？
（2）吠吠出发后追上小颖时，距离小亮由多远？
（3）小颖出发多少小时时，小亮和小颖两人相距1千米？
拓展点六：
销售中的盈亏问题
例题1．某商场将M品牌服装每套按进价的2倍进行销售，恰逢“春节”来临，为了促销，他将售价提高了50元再标价，打出了“大酬宾，八折优惠”的牌子，结果每套服装的利润是进价的，该老板到底给顾客优惠了吗？说出你的理由．
例题2．苏宁电器商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．
（1）若苏宁电器商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．
（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？
变式1．某玩具工厂出售一种玩具，其成本价每件28元，如果直接由厂家门市部销售，每件产品售价为35元，同时每月还要支出其他费用2100元；如果委托商场销售，那么出厂价为32元．
（1）求在两种销售方式下，每个月销售多少件时，所得利润相等？
（2）若每个月销售量达到1000件时，采用哪种销售方式获得利润较多？
变式2．某牛奶加工厂现有鲜奶8吨，若市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2000元．该工厂的生产能力是：如制成酸奶每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨．受人员制约，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该工厂设计了两种可行方案：
方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；
方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．
你认为选择哪种方案获利最多？为什么？
变式3．某种绿色食品，若直接销售，每吨可获利润0.1万元；若粗加工后销售，每吨可获利润0.4万元；若精加工后销售，每吨可获利润0.7万元．某公司现有这种绿色产品140吨，该公司的生产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行．受各种条件限制，公司必须在15天内将这批绿色产品全部销售或加工完毕，为此该公司设计了三种方案：
方案一：全部进行粗加工；
方案二：尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售；
方案三：将一部分进行精加工，其余的进行粗加工，并恰好15天完成．
你认为选择哪种方案可获利润最多，为什么？最多可获利润多少元？
拓展点七：
存(贷)款利率问题
例题.
某公司申请了甲、乙两种不同利率的贷款共300万元，每年需付32万元的利息，已知甲种贷款的年利率为10%，乙种贷款的年利率为12%，求这种贷款各申请多少万元？
变式．老王把10000元按一年期定期储蓄存入银行，到期支取时，扣去利息税后实得本利和为10160元．已知利息税税率为20%，问当时一年期定期储蓄的年利率为多少？
拓展点八：
球队比赛得分的拓展
例题.
某区“园丁标”篮球赛前四队积分表如下：
队名
比赛均次
胜
负
积分
一中
7
7
0
14
二中
7
6
1
13
三中
7
5
2
12
四中
7
4
3
11
（1）观察积分表，你能获得哪些信息？
（2）观察积分表，请你用式子将积分与胜、负场数之间的数量关系表示出来；
（3）在这次比赛中，一个队胜场总积分能不能等于它的负场总积分？
拓展点九：
方案设计问题的拓展
例题．某校计划添置20张办公桌和一批椅子（椅子不少于20把），现从A、B两家家具公司了解到：同一款式的产品价格相同，办公桌每张210元，椅子每把70元．
A公司的优惠政策为：每买一张办公桌赠送一把椅子；
B公司的优惠政策为：办公桌和椅子都实行八折优惠．
（1）若到A公司买办公桌的同时买m把椅子，则应付多少钱？
（2）若规定只能选择一家公司购买桌椅，什么情况下到任意一家公司购买付款一样多？
（3）如果添置的20张办公桌和30把椅子，可到一家公司购买或A、B公司分开购买，请你设计一种购买方案，使所付款额最少，最少付款额是多少？（可不说明理由）
变式1．为发展校园足球运动，巫溪县某五所初中决定联合购买一批耐克足球运动装备，市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球．已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球：乙商场优惠方案是：若购买队服超过90套，则购买足球打八折．
（1）求每套队服和每个足球的价格是多少？
（2）若五校联合购买100套队服和m个足球（其中m＞30），请用含m的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用，假如你是本次购买任务的负责人，要采购100套队服和60个足球，你认为到哪家商场购买比较合算？
变式2．2016年中国移动推出“自由派”资费套餐，其计费方式有两种如下表：
月租费/元
区内主叫全国时长/分钟
超套主叫费/（元/分钟）
被叫
方式一
9
50
0.2
免费
方式二
19
130
0.15
免费
请根据表格解决下列问题：
（1）如果甲平均每月的通话时长为80分钟，乙平均每月的通话时长为200分钟，请你通过计算说明：甲、乙分别选择哪种计费方式省钱；
（2）设某人一个月内用移动电话主叫时长为t分钟（t是正整数）．请你为用户设计一个方案，使用户能合理地选择这种资费套餐的计费方式．
拓展点十：
图形中的方程问题
例题．扬子江药业集团生产的某种药品的长方体包装盒的侧面展开图如图所示．根据图中数据，如果长方体盒子的长比宽多4cm，求这种药品包装盒的体积．
变式1．用正方形使纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成．硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用））．
A方法：剪6个侧面；
B方法：剪4个侧面和5个底面．
现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．
（1）分别求裁剪出的侧面和底面的个数（用x的代数式表示）
（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？
变式2．如图，长方体盒子是用大长方形硬纸片裁剪制作的，每个盒子由4个小长方形侧面和上下2个正方形底面组成，大长方形硬纸片按两种方法裁剪：A所示方法剪4个侧面：B所示方法剪6个底面．现有112张大长方形硬纸片全部用于裁剪制作长方体盒子，设裁剪时x张用A方法，其余用B方法．
（1）请用含x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面个数；
（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问A方法、B方法各裁剪几张？能做多少个盒子？
拓展点十一：
信息阅读问题
例题．
（1）当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市实付款分别是多少？
（2）当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？
（3）小王两次到乙超市分别购物付款198元和466元，若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多少元？
变式1．丢番图是古希腊杰出的数学家，在他的墓碑上刻着一首谜语式的短诗，内容是一道有趣的数学问题，内容如下：
“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路．上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛．五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓．悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．”问：大数学家丢番图活了多少岁？
用白话翻译过来就是说：丢番图的一生，幼年占了，青少年占了，又过了才结婚，5年之后生子，子先其父4年而死，寿命是他父亲的一半．丢番图活了多少岁？
变式2．某商场出售A、B两种商品，并开展优惠促销活动，方案有如下两种：
活动一
A
B
标价（单位：元）
90
100
每件商品返利
按标价的30%
按标价的15%
例：买一件A商品，只需付款90（1﹣30%）元
活动二
若所购商品超过100件（不同商品可累计），则按标价的20%返利．
（同一种商品不可同时参与两种活动）
（1）某客户购买A商品30件，B商品90件，选用何种活动划算？
（2）若某客户购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数比A商品件数的2倍还多一件，请问客户该如何选择才能获得最大优惠？请说明理由．
变式3．将若干枚棋子平均分成三堆（每堆至少2枚），分别放在左边、中间、右边，并按如下顺序进行操作：
第1次：从右边一堆中拿出2枚棋子放入中间一堆；
第2次：从左边一堆中拿出1枚棋子放入中间一堆；
第3次：从中间一堆中拿出几枚棋子放入右边一堆，并使右边一堆的棋子数为最初的2倍．
（1）操作结束后，若右边一堆比左边一堆多15枚棋子，问共有多少枚棋子？
（2）小明认为：无论最初的棋子数为多少，按上述方法完成操作后，中间一堆总是剩下1枚棋子，你同意他的看法吗？请说明理由．
易错点一：
未考虑实际情况而出错
例题.
一架飞机最多能在空中连续飞行4小时，若飞出速度为600千米/时，飞回速度为900千米/时，求这架飞机最多飞多少千米就该返回．
易错点二：
考虑不周易漏解
例题.一条公路上有相距18km的A、B两个村庄，从A村出发的一辆汽车的速度为54km/h，从B村出发的一辆汽车的速度为36km/h．
（1）两车同时相向而行，经过几小时后两车相距45km？
（2）两车同时同向而行，经过几小时后两车相距45km？
