11.3角的平分线的性质(2)
文档属性
| 名称 | 11.3角的平分线的性质(2) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 302.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-09-17 15:29:23 | ||
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文档简介
(共21张PPT)
义务教育课程标准实验教科书数学八年级（上册）
山东平原第四中学 张勇
1、会用尺规作角的平分线.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
2、角的平分线的性质:
O
C
B
1
A
2
P
D
E
PD⊥OA，PE⊥OB
∵ OC是∠AOB的平分线
∴ PD＝PE
用数学语言表述：
反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
P
证明: 经过点P作射线OC
∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°
在Rt△PDO和Rt△PEO中
PO＝PO PD=PE ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
∴ ∠ POD＝∠POE
∴点P在∠AOB的平分线上
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
P
c
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE．
∴OP平分∠AOB．
用数学语言表示为：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ PD⊥OA,PE⊥OB, OP平分∠AOB
∴ PD＝PE
p
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角的平分线的性质:
图形 已知条件 结论
C
1
2
P
D
E
O
C
B
1
A
2
P
D
E
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
OP平分∠AOB
PD=PE
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
P
D
E
O
B
A
P
D
E
C
角平分线的性质2:
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
探究新知，归纳概括
如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？
思考：
问题1：
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
解决问题
s
解：
作夹角的角平分线OC，截取 OD=2.5cm ,D即为所求。
D
C
s
例1：已知：如图,在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。
A
B
C
E
F
D
求证：AD是∠BAC的角平分线
应用新知，解决问题
AD是∠BAC的平分线
DE＝DF
△BDE≌△CDF
分析:
已知：如图,在△ABC中， BD＝CD, ∠1= ∠2.
A
B
C
D
求证：AD平分∠BAC
应用新知，解决问题
【变式】
E
F
1
2
练习
已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
A
A
A
A
A
A
A
D
N
E
B
F
M
C
A
例2：
已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
B
A
C
P
N
E
D
F
M
应用新知，解决问题
1、点P在∠A的平分线上吗？
2、这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
相交于一点
并且这一点到三边的距离相等.
如图，△ABC的∠B的外角平分线BD与∠C的外角平分线CE相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等．
证明：
过点P作PF⊥AB于F， PG⊥AC于G，PM⊥BC于M
G
F
M
∵点P在∠CBF的平分线上，
∴PF＝PM
同理 PM＝PG
∴ PF＝PM=PG
即点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等．
P
利用结论，解决问题
练一练 1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建
想一想
在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗 你是怎样思考的 你是如何证明的
拓展与延伸
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。
归纳小结，布置作业
课内：P22. 3（B本）
课外： P23. 6， P23-27 复习题11
作业
练习：
2.已知：如图，BD平分∠ABC，
BC > AB
求证：∠A>∠C
1.如图，在△ABC中，∠C=900，
点D在BC上，DE⊥AB，且AE=EB，
DE=DC，求∠B的度数。
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：
过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M
G
H
M
∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC
∴FG＝FM
又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC
∴FM＝FH
∴FG＝FH
∴点F在∠DAE的平分线上
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角的平分线的性质:
图形 已知条件 结论
C
1
2
P
D
E
O
C
B
1
A
2
P
D
E
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
OP平分∠AOB
PD=PE
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
P
D
E
O
B
A
P
D
E
C
探究新知，归纳概括
义务教育课程标准实验教科书数学八年级（上册）
山东平原第四中学 张勇
1、会用尺规作角的平分线.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
2、角的平分线的性质:
O
C
B
1
A
2
P
D
E
PD⊥OA，PE⊥OB
∵ OC是∠AOB的平分线
∴ PD＝PE
用数学语言表述：
反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
P
证明: 经过点P作射线OC
∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°
在Rt△PDO和Rt△PEO中
PO＝PO PD=PE ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
∴ ∠ POD＝∠POE
∴点P在∠AOB的平分线上
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
P
c
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE．
∴OP平分∠AOB．
用数学语言表示为：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ PD⊥OA,PE⊥OB, OP平分∠AOB
∴ PD＝PE
p
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角的平分线的性质:
图形 已知条件 结论
C
1
2
P
D
E
O
C
B
1
A
2
P
D
E
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
OP平分∠AOB
PD=PE
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
P
D
E
O
B
A
P
D
E
C
角平分线的性质2:
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
探究新知，归纳概括
如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？
思考：
问题1：
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
解决问题
s
解：
作夹角的角平分线OC，截取 OD=2.5cm ,D即为所求。
D
C
s
例1：已知：如图,在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。
A
B
C
E
F
D
求证：AD是∠BAC的角平分线
应用新知，解决问题
AD是∠BAC的平分线
DE＝DF
△BDE≌△CDF
分析:
已知：如图,在△ABC中， BD＝CD, ∠1= ∠2.
A
B
C
D
求证：AD平分∠BAC
应用新知，解决问题
【变式】
E
F
1
2
练习
已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
A
A
A
A
A
A
A
D
N
E
B
F
M
C
A
例2：
已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
B
A
C
P
N
E
D
F
M
应用新知，解决问题
1、点P在∠A的平分线上吗？
2、这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
相交于一点
并且这一点到三边的距离相等.
如图，△ABC的∠B的外角平分线BD与∠C的外角平分线CE相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等．
证明：
过点P作PF⊥AB于F， PG⊥AC于G，PM⊥BC于M
G
F
M
∵点P在∠CBF的平分线上，
∴PF＝PM
同理 PM＝PG
∴ PF＝PM=PG
即点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等．
P
利用结论，解决问题
练一练 1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建
想一想
在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗 你是怎样思考的 你是如何证明的
拓展与延伸
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。
归纳小结，布置作业
课内：P22. 3（B本）
课外： P23. 6， P23-27 复习题11
作业
练习：
2.已知：如图，BD平分∠ABC，
BC > AB
求证：∠A>∠C
1.如图，在△ABC中，∠C=900，
点D在BC上，DE⊥AB，且AE=EB，
DE=DC，求∠B的度数。
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：
过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M
G
H
M
∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC
∴FG＝FM
又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC
∴FM＝FH
∴FG＝FH
∴点F在∠DAE的平分线上
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角的平分线的性质:
图形 已知条件 结论
C
1
2
P
D
E
O
C
B
1
A
2
P
D
E
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
OP平分∠AOB
PD=PE
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
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D
E
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C
探究新知，归纳概括