第24章 圆单元检测卷（含解析）
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沪科版数学九年级下册第24章圆单元检测卷
一、选择题(每题4分,共40分)
1.下列图案中,可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的是 ( )
A B C D
2.如图,☉O是△ABC的外接圆,已知∠ACO=25°,则∠B的度数是 ( )
A.30° B.50° C.65° D.75°
第2题图 第4题图 第6题图
3.已知☉O的半径为4,设点O到直线m的距离为d,若直线m与☉O有2个公共点,则d可取 ( )
A.5 B.4.5 C.4 D.0
4.如图,☉O的半径为4,△ABC是☉O的内接三角形,连接OB,OC.若∠BAC与∠BOC互补,则弦BC的长为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
5.若等腰直角三角形的外接圆的半径为2,则其内切圆的半径为 ( )
A. B.2-2 C.2- D.-1
6.如图,☉O是正五边形ABCDE的外接圆,半径为R,这个正五边形的边长为a,边心距为r,则下列关系式错误的是 ( )
A.R2-r2=a2 B.a=2Rsin36° C.a=2rtan36° D.r=Rcos36°
7.如图,在正方形ABCD中,AD=2,分别以顶点A,D为圆心,线段AD的长为半径画弧交于点E,则图中阴影部分的面积是 ( )
A.π- B.π-2 C.π D.π-
第7题图 第8题图 第9题图
8.如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门,小红到影视城游玩,她了解到这扇门的相关数据:这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的,AB=CD=0.25m,BD=1.5m,且AB,CD与水平地面都是垂直的.根据以上数据,请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是 ( )
A.2m B.2.5m C.2.4m D.2.1m
9.如图,PA,PB分别切☉O于A,B两点,射线PD与☉O相交于C,D两点,点E是CD的中点,若∠APB=40°,则∠AEP的度数是 ( )
A.40° B.60° C.70° D.80°
10.如图,AC是圆O的直径,AC=4,为120°,点D是弦AB上的一个动点,那么OD+BD的最小值为( )
A. B. C.1+ D.1+
二、填空题(每题5分,共20分)
11.正六边形的中心角的度数是 °.?
12.如图,在5×5的正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,已知点A的坐标是(-2,3),点C的坐标是(1,2),那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是 .?
12题图 第13题图 第14题图
13.如图,点P是函数y=(x>0)的图象上的一点,以点P为圆心,1个单位长度为半径作☉P,当☉P与直线y=3相切时,点P的坐标为 .?
14.如图,AB是☉O的直径,点C是☉O上一点,AD与过点C的切线垂直,垂足为D,直线DC与AB的延长线交于点P,弦CE平分∠ACB,交AB于点F,连接BE,若BE=7,则下列四个结论:①AC平分∠DAB;②PF2=PB·PA;③若BC=OP,则阴影部分的面积为;④若PC=24,则tan∠PCB=.其中正确的是 .(填序号)?
三、解答题(共90分)
15.(8分)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(-3,2),B(0,4),C(0,2).
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△A1B1C;
(2)平移△ABC,若点A的对应点A2的坐标为(0,-4),画出平移后对应的△A2B2C2.
16.(8分)如图,BD,CE是△ABC的高,M为BC的中点.试说明点B,C,D,E在以点M为圆心的同一个圆上.
17.(8分)如图,△ABC与△ADE都是直角三角形,连接CD,BE,CD与BE相交于点O,△BAE可看作是由△CAD顺时针旋转得到的.
(1)旋转中心是 ,旋转角度是 ;?
(2)判断CD与BE的位置关系,并说明理由.
18.(8分)如图,等腰三角形ABC内接于半径为5的☉O,AB=AC,tan∠ABC=.求BC的长.
19.(10分)如图,正方形ABCD内接于☉O,M为的中点,连接BM,CM.
(1)求证:BM=CM;
(2)当☉O的半径为2时,求的长.
20.(10分)如图,点A是以BC为直径的圆上的一点,BE是☉O的切线,CA的延长线与BE相交于点E,F是BE的中点,分别延长AF与CB交于点P.
(1)求证:PA是☉O的切线;
(2)若AF=3,BC=8,求AE的长.
21.(12分)如图,AB是半圆O的直径,点C是上一点,现将半圆O沿BC折叠,恰好过圆心O,点D为BC延长线上一点,且AD与半圆O相切.
(1)求∠ABC的度数;
(2)若半圆O的直径为6,求CD的长.
22.(12分)如图,☉O的直径AB为10cm,弦BC为5cm,D,E分别是∠ACB的平分线与☉O,AB的交点,P为AB延长线上一点,且PC=PE,连接AD.
(1)求AD的长;
(2)试判断直线PC与☉O的位置关系,并说明理由.
23.(14分)如图1,在Rt△OGF中,∠GOF=90°,OF=2,∠GFO=30°.
(1)OG= ;?
(2)若☉O的半径为1,交直线OF于点C,点P是直线GF上的动点,PA,PB分别切☉O于点A,B.
①求PB的最小值;
②连接BC,AC,如图2所示,若∠BCA=54°,求∠APB的度数;
③在直线GF上是否存在点P,使得∠APB=60°?若存在,请求出FP的长;若不存在,请说明理由.
图1 图2
参 考 答 案 与 解 析
1.D 【解析】 因为45°×8=360°,所以整个图案应由8个“基本图案”组成.故选D.
2.C 【解析】 连接OA.∵OA=OC,∠ACO=25°,∴∠ACO=∠CAO=25°,∴∠AOC=180°-25°-25°=130°,∴∠B=∠AOC=65°.故选C.
3.D 【解析】 ∵直线m与☉O有2个公共点,∴直线m与☉O相交,又∵☉O的半径为4,∴d<4,结合选项知,d可取0.故选D.
4.B 【解析】 如图,过点O作OD⊥BC于点D,则BC=2BD.∵△ABC内接于☉O,∴∠BOC=2∠BAC,∵∠BAC与∠BOC互补,∴∠BOC+∠BAC=180°,∴∠BOC=120°.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=(180°-∠BOC)=30°,∵☉O的半径为4,∴BD=OB·cos∠OBC=4×=2,∴BC=2BD=4.故选B.
5.B 【解析】 如图,△ABC为等腰直角三角形,AC=BC,∠ACB=90°,☉D为△ACB的外接圆,☉E为△ACB的内切圆,所以D为AB的中点,AD=2,AB=2AD=4.在Rt△ABC中,根据勾股定理可得AC=2.过点E作EF⊥AC于点F,EG⊥BC于点G,易知四边形EFCG是正方形,AF=AD,因此EF=FC=AC-AF=2-2,即内切圆的半径为2-2.故选B.
6.A 【解析】 如图,连接OB,OC,过点O作OF⊥BC于点F.∵☉O 是正五边形ABCDE的外接圆,∴∠BOC=×360°=72°,∴∠1=∠BOC=×72°=36°.在Rt△OBF中,OB=R,OF=r,BF=BC=a,由勾股定理得R2-r2=(a)2=a2,故A错误;sin36°=,即a=2Rsin36°;tan36°=,即a=2rtan36°;cos36°=,即r=Rcos36°,所以B,C,D均正确.故选A.
7.A 【解析】 如图,连接AE,DE,作EF⊥AD于点F.由题意知,AE=DE=AD,∴△AED是等边三角形,∴∠EAF=60°,EF=AE·sin∠EAF=AD·sin∠EAF=2×=.∴图中阴影部分的面积S阴影=S扇形DAE+(S扇形ADE-S△ADE)=+(-×2×)=π-.
8.B 【解析】 设圆弧形门所在圆的圆心为O.如图,连接AC,设BD的中点为F,连接OF,交AC于点E,∵BD是☉O的切线,∴OF⊥BD.∵四边形ABDC是矩形,∴AC∥BD,AC=BD,∴OE⊥AC,AE=CE.易得EF=AB.设圆O的半径为R.在Rt△AOE中,AE===0.75,OE=R-EF=R-0.25,∵AE2+OE2=OA2,∴0.752+(R-0.25)2=R2,解得R=1.25.∴最高点离地面的距离是1.25×2=2.5(m).故选B.
9.C 【解析】 如图,连接OP,OA,OE.∵点E是CD的中点,∴OE⊥DC,∴∠PEO=90°.∵PA切☉O于点A,∴∠PAO=90°,∴△PEO和△PAO有共同的外接圆,外接圆的直径是OP,∴∠AEP=∠AOP,由切线长定理得∠APO=∠BPO=∠APB=20°,∴∠POA=90°-20°=70°,∴∠AEP=∠AOP=70°.
10.B 【解析】 ∵为120°,∴∠C=60°,∵AC是直径,∴∠ABC=90°,∴∠A=30°.如图,作BK∥CA,DE⊥BK于点E,OM⊥BK于点M,连接OB.∵BK∥AC,∴∠DBE=∠BAC=30°.在Rt△DBE中,DE=BD,∴OD+BD=OD+DE,根据垂线段最短可知,当点E与点M重合时,OD+BD的值最小,最小值为OM.∵∠BAO=∠ABO=30°,∴∠OBM=60°.在Rt△OBM中,∵OB=2,∠OBM=60°,∴OM=OB·sin60°=,∴OD+BD的最小值为.故选B.
11.60
12.(-1,1) 【解析】 如图,连接AB,BC.线段AB的垂直平分线和线段BC的垂直平分线的交点为M,易得这条圆弧所在圆的圆心M的坐标是(-1,1).
13.(1,4)或(2,2) 【解析】 设点P的坐标为(x,y),因为点P是函数y=(x>0)的图象上的点,所以xy=4.因为☉P与直线y=3相切,所以点P的纵坐标为2或4,所以点P的坐标为(1,4)或(2,2).
14.①②④ 【解析】 连接OC,因为CD是圆的切线,所以OC⊥CD,又因为∠D=90°,所以AD∥OC,所以∠CAD=∠OCA,因为OA=OC,所以∠OCA=∠OAC,所以∠CAD=∠OAC,所以AC平分∠DAB,故①正确;因为∠PCO=90°,所以∠PCB+∠BCO=90°,因为AB为直径,所以∠ACB=90°,所以∠CAB+∠CBA=90°,又因为∠BCO=∠ABC,所以∠PCB=∠CAB,因为CE平分∠ACB,所以∠ACE=∠BCE,因为∠PCF=∠PCB+∠BCE,∠PFC=∠CAB+∠ACE,所以∠PFC=∠PCF,所以PC=PF,又因为∠PCB=∠PAC,∠P=∠P,所以△PCB∽△PAC,则=,所以PC2=PB·PA,即PF2=PB·PA,故②正确;连接AE,由圆周角定理的推论与弦CE平分∠ACB,可得△ABE是等腰直角三角形,则AB=BE=14,由BC=OP,可得BC是中线,△OBC是等边三角形,则S阴影=S扇形BOC-S△BOC=-,故③错误;由②中的△PCB∽△PAC,得=,所以tan∠PCB=tan∠PAC==,再由②中的PC2=PB·PA可求得PB=18,所以tan∠PCB===,故④正确.所以正确的是①②④.
15.【解析】 (1)△A1B1C如图所示.
(2)△A2B2C2如图所示.
16.【解析】 如图,连接ME,MD.
∵BD,CE是△ABC的高,M为BC的中点,
∴ME=MD=MC=MB=BC,
∴点B,C,D,E在以点M为圆心的同一圆上.
17.【解析】 (1)点A 90°
(2)CD⊥BE.理由如下:
∵△BAE是由△CAD顺时针旋转得到的,
∴△ACD≌△ABE,∴∠ACD=∠ABE,
在Rt△ABC中,∠ACD+∠BCD+∠ABC=90°,
∴∠BCD+∠ABC+∠ABE=90°,即∠BCO+∠CBO=90°,
∴∠BOC=90°,∴CD⊥BE.
18.【解析】 连接OA,OB,OC,设OA与BC交于点E,如图所示.
∵AB=AC,OB=OC,
∴OA⊥BC,∴BC=2BE.
在Rt△ABE中,∵tan∠ABE=,
∴=,
设AE=x,则BE=3x,OE=5-x,
在Rt△EOB中,BE2+OE2=OB2,即(3x)2+(5-x)2=52,
解得x1=0(舍去),x2=1,∴BE=3x=3,∴BC=2BE=6.
19.【解析】 (1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CD,∴=.
∵M为的中点,
∴=,
∴+=+,
∴=,∴BM=CM.
(2)如图,连接OM,OB,OC.
∵=,∴∠BOM=∠COM.
∵正方形ABCD内接于☉O,
∴∠BOC=×360°=90°,
∴∠BOM=135°.
由弧长公式可得==π.
20.【解析】 (1)如图,连接AB,OA,OF.
∵F是BE的中点,
∴FE=BF.
∵OB=OC,∴OF∥EC.
∴∠C=∠POF,∠AOF=∠CAO.
∵OA=OC,∴∠C=∠CAO,
∴∠POF=∠AOF.
∵BO=AO,OF=OF,∴△FBO≌△FAO,∴∠OAF=∠OBF,
∵BE是☉O的切线,∴∠OBF=90°,∴∠OAF=90°,
∴PA是☉O的切线.
(2)∵BE是☉O的切线,PA是☉O的切线,
∴BF=AF=3,∴BE=6.
∵BC=8,∠CBE=90°,∴CE=10.
易知△EAB∽△EBC,∴=,
即=,∴AE=3.6.
21.【解析】 (1)如图,过点O作OF⊥BC于点E,交半圆O于点F,连接CF.
∵OF⊥BC,∴BE=CE,
∵半圆O沿BC折叠,恰好过圆心O,
∴EF=EO,∴OE=OB,
∴∠OBC=30°,即∠ABC=30°.
(2)如图,连接AC,则AC⊥BC.
∵AD与半圆O相切,∴AD⊥AB,
∵∠ABC=30°,AB=6,
∴BD=4,BC=3,
∴CD=BD-BC=4-3=.
22.【解析】 (1)如图,连接BD,∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=∠ADB=90°,
∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠DCB=45°,
∴∠ABD=∠ACD=45°,∠DAB=∠DCB=45°,
∴△ADB是等腰直角三角形,
∵AB=10cm,∴AD=BD=5cm.
(2)直线PC与☉O相切.理由如下:
如图,连接OC.在Rt△ACB中,AB=10cm,BC=5cm,
∴∠BAC=30°,
∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC=30°,∴∠COB=60°,
∵∠ACD=45°,∴∠OCD=45°-30°=15°,
∴∠CEP=∠COB+∠OCD=15°+60°=75°,
∵PC=PE,∴∠PCE=∠CEP=75°,
∴∠OCP=∠OCD+∠ECP=15°+75°=90°,
∴直线PC与☉O相切.
23.【解析】 (1)2
∵OF=2,∠GFO=30°,
∴在Rt△GOF中,OG=OF·tan30°=2.
(2)①连接OB,OP,如图1,
∵PB为☉O的切线,
∴OB⊥PB,∴∠PBO=90°.
在Rt△POB中,OB=1,
∴PB==,
∴当OP取最小值时,PB的值最小.
易知当OP⊥FG时,OP取得最小值,
在Rt△OPF中,OF=2,∠OFP=30°,
∴OP=OF=,
∴PB的最小值为=.
②连接PO并延长,交☉O于点D,连接OB,BD,AD,如图2,
则∠BDA=∠BCA=54°.
∵PA,PB分别切☉O于点A,B,
∴∠BDO=∠ADO=27°,∠OBP=90°,
∴∠BOP=2∠BDO=54°,
∴∠BPO=90°-54°=36°,
∴∠APB=2∠BPO=72°.
③存在.
∵PA,PB为☉O的切线,
∴OP平分∠APB,
∴∠OPB=∠APB=×60°=30°,
在Rt△OPB中,OB=1,∠OPB=30°,
∴OP=2OB=2.
∵OG=2,
∴当点P在点G的位置时,满足要求,此时PF=GF=4.
当点P不与点G重合时,
∵∠OFG=30°,∴∠OGF=60°,
∵OP=OG=2,∴△OPG为等边三角形,
∴PG=OP=2,∴PF=2.
综上所述,PF的长为2或4.
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沪科版数学九年级下册第24章圆单元检测卷
一、选择题(每题4分,共40分)
1.下列图案中,可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的是 ( )
A B C D
2.如图,☉O是△ABC的外接圆,已知∠ACO=25°,则∠B的度数是 ( )
A.30° B.50° C.65° D.75°
第2题图 第4题图 第6题图
3.已知☉O的半径为4,设点O到直线m的距离为d,若直线m与☉O有2个公共点,则d可取 ( )
A.5 B.4.5 C.4 D.0
4.如图,☉O的半径为4,△ABC是☉O的内接三角形,连接OB,OC.若∠BAC与∠BOC互补,则弦BC的长为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
5.若等腰直角三角形的外接圆的半径为2,则其内切圆的半径为 ( )
A. B.2-2 C.2- D.-1
6.如图,☉O是正五边形ABCDE的外接圆,半径为R,这个正五边形的边长为a,边心距为r,则下列关系式错误的是 ( )
A.R2-r2=a2 B.a=2Rsin36° C.a=2rtan36° D.r=Rcos36°
7.如图,在正方形ABCD中,AD=2,分别以顶点A,D为圆心,线段AD的长为半径画弧交于点E,则图中阴影部分的面积是 ( )
A.π- B.π-2 C.π D.π-
第7题图 第8题图 第9题图
8.如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门,小红到影视城游玩,她了解到这扇门的相关数据:这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的,AB=CD=0.25m,BD=1.5m,且AB,CD与水平地面都是垂直的.根据以上数据,请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是 ( )
A.2m B.2.5m C.2.4m D.2.1m
9.如图,PA,PB分别切☉O于A,B两点,射线PD与☉O相交于C,D两点,点E是CD的中点,若∠APB=40°,则∠AEP的度数是 ( )
A.40° B.60° C.70° D.80°
10.如图,AC是圆O的直径,AC=4,为120°,点D是弦AB上的一个动点,那么OD+BD的最小值为( )
A. B. C.1+ D.1+
二、填空题(每题5分,共20分)
11.正六边形的中心角的度数是 °.?
12.如图,在5×5的正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,已知点A的坐标是(-2,3),点C的坐标是(1,2),那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是 .?
12题图 第13题图 第14题图
13.如图,点P是函数y=(x>0)的图象上的一点,以点P为圆心,1个单位长度为半径作☉P,当☉P与直线y=3相切时,点P的坐标为 .?
14.如图,AB是☉O的直径,点C是☉O上一点,AD与过点C的切线垂直,垂足为D,直线DC与AB的延长线交于点P,弦CE平分∠ACB,交AB于点F,连接BE,若BE=7,则下列四个结论:①AC平分∠DAB;②PF2=PB·PA;③若BC=OP,则阴影部分的面积为;④若PC=24,则tan∠PCB=.其中正确的是 .(填序号)?
三、解答题(共90分)
15.(8分)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(-3,2),B(0,4),C(0,2).
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△A1B1C;
(2)平移△ABC,若点A的对应点A2的坐标为(0,-4),画出平移后对应的△A2B2C2.
16.(8分)如图,BD,CE是△ABC的高,M为BC的中点.试说明点B,C,D,E在以点M为圆心的同一个圆上.
17.(8分)如图,△ABC与△ADE都是直角三角形,连接CD,BE,CD与BE相交于点O,△BAE可看作是由△CAD顺时针旋转得到的.
(1)旋转中心是 ,旋转角度是 ;?
(2)判断CD与BE的位置关系,并说明理由.
18.(8分)如图,等腰三角形ABC内接于半径为5的☉O,AB=AC,tan∠ABC=.求BC的长.
19.(10分)如图,正方形ABCD内接于☉O,M为的中点,连接BM,CM.
(1)求证:BM=CM;
(2)当☉O的半径为2时,求的长.
20.(10分)如图,点A是以BC为直径的圆上的一点,BE是☉O的切线,CA的延长线与BE相交于点E,F是BE的中点,分别延长AF与CB交于点P.
(1)求证:PA是☉O的切线;
(2)若AF=3,BC=8,求AE的长.
21.(12分)如图,AB是半圆O的直径,点C是上一点,现将半圆O沿BC折叠,恰好过圆心O,点D为BC延长线上一点,且AD与半圆O相切.
(1)求∠ABC的度数;
(2)若半圆O的直径为6,求CD的长.
22.(12分)如图,☉O的直径AB为10cm,弦BC为5cm,D,E分别是∠ACB的平分线与☉O,AB的交点,P为AB延长线上一点,且PC=PE,连接AD.
(1)求AD的长;
(2)试判断直线PC与☉O的位置关系,并说明理由.
23.(14分)如图1,在Rt△OGF中,∠GOF=90°,OF=2,∠GFO=30°.
(1)OG= ;?
(2)若☉O的半径为1,交直线OF于点C,点P是直线GF上的动点,PA,PB分别切☉O于点A,B.
①求PB的最小值;
②连接BC,AC,如图2所示,若∠BCA=54°,求∠APB的度数;
③在直线GF上是否存在点P,使得∠APB=60°?若存在,请求出FP的长;若不存在,请说明理由.
图1 图2
参 考 答 案 与 解 析
1.D 【解析】 因为45°×8=360°,所以整个图案应由8个“基本图案”组成.故选D.
2.C 【解析】 连接OA.∵OA=OC,∠ACO=25°,∴∠ACO=∠CAO=25°,∴∠AOC=180°-25°-25°=130°,∴∠B=∠AOC=65°.故选C.
3.D 【解析】 ∵直线m与☉O有2个公共点,∴直线m与☉O相交,又∵☉O的半径为4,∴d<4,结合选项知,d可取0.故选D.
4.B 【解析】 如图,过点O作OD⊥BC于点D,则BC=2BD.∵△ABC内接于☉O,∴∠BOC=2∠BAC,∵∠BAC与∠BOC互补,∴∠BOC+∠BAC=180°,∴∠BOC=120°.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=(180°-∠BOC)=30°,∵☉O的半径为4,∴BD=OB·cos∠OBC=4×=2,∴BC=2BD=4.故选B.
5.B 【解析】 如图,△ABC为等腰直角三角形,AC=BC,∠ACB=90°,☉D为△ACB的外接圆,☉E为△ACB的内切圆,所以D为AB的中点,AD=2,AB=2AD=4.在Rt△ABC中,根据勾股定理可得AC=2.过点E作EF⊥AC于点F,EG⊥BC于点G,易知四边形EFCG是正方形,AF=AD,因此EF=FC=AC-AF=2-2,即内切圆的半径为2-2.故选B.
6.A 【解析】 如图,连接OB,OC,过点O作OF⊥BC于点F.∵☉O 是正五边形ABCDE的外接圆,∴∠BOC=×360°=72°,∴∠1=∠BOC=×72°=36°.在Rt△OBF中,OB=R,OF=r,BF=BC=a,由勾股定理得R2-r2=(a)2=a2,故A错误;sin36°=,即a=2Rsin36°;tan36°=,即a=2rtan36°;cos36°=,即r=Rcos36°,所以B,C,D均正确.故选A.
7.A 【解析】 如图,连接AE,DE,作EF⊥AD于点F.由题意知,AE=DE=AD,∴△AED是等边三角形,∴∠EAF=60°,EF=AE·sin∠EAF=AD·sin∠EAF=2×=.∴图中阴影部分的面积S阴影=S扇形DAE+(S扇形ADE-S△ADE)=+(-×2×)=π-.
8.B 【解析】 设圆弧形门所在圆的圆心为O.如图,连接AC,设BD的中点为F,连接OF,交AC于点E,∵BD是☉O的切线,∴OF⊥BD.∵四边形ABDC是矩形,∴AC∥BD,AC=BD,∴OE⊥AC,AE=CE.易得EF=AB.设圆O的半径为R.在Rt△AOE中,AE===0.75,OE=R-EF=R-0.25,∵AE2+OE2=OA2,∴0.752+(R-0.25)2=R2,解得R=1.25.∴最高点离地面的距离是1.25×2=2.5(m).故选B.
9.C 【解析】 如图,连接OP,OA,OE.∵点E是CD的中点,∴OE⊥DC,∴∠PEO=90°.∵PA切☉O于点A,∴∠PAO=90°,∴△PEO和△PAO有共同的外接圆,外接圆的直径是OP,∴∠AEP=∠AOP,由切线长定理得∠APO=∠BPO=∠APB=20°,∴∠POA=90°-20°=70°,∴∠AEP=∠AOP=70°.
10.B 【解析】 ∵为120°,∴∠C=60°,∵AC是直径,∴∠ABC=90°,∴∠A=30°.如图,作BK∥CA,DE⊥BK于点E,OM⊥BK于点M,连接OB.∵BK∥AC,∴∠DBE=∠BAC=30°.在Rt△DBE中,DE=BD,∴OD+BD=OD+DE,根据垂线段最短可知,当点E与点M重合时,OD+BD的值最小,最小值为OM.∵∠BAO=∠ABO=30°,∴∠OBM=60°.在Rt△OBM中,∵OB=2,∠OBM=60°,∴OM=OB·sin60°=,∴OD+BD的最小值为.故选B.
11.60
12.(-1,1) 【解析】 如图,连接AB,BC.线段AB的垂直平分线和线段BC的垂直平分线的交点为M,易得这条圆弧所在圆的圆心M的坐标是(-1,1).
13.(1,4)或(2,2) 【解析】 设点P的坐标为(x,y),因为点P是函数y=(x>0)的图象上的点,所以xy=4.因为☉P与直线y=3相切,所以点P的纵坐标为2或4,所以点P的坐标为(1,4)或(2,2).
14.①②④ 【解析】 连接OC,因为CD是圆的切线,所以OC⊥CD,又因为∠D=90°,所以AD∥OC,所以∠CAD=∠OCA,因为OA=OC,所以∠OCA=∠OAC,所以∠CAD=∠OAC,所以AC平分∠DAB,故①正确;因为∠PCO=90°,所以∠PCB+∠BCO=90°,因为AB为直径,所以∠ACB=90°,所以∠CAB+∠CBA=90°,又因为∠BCO=∠ABC,所以∠PCB=∠CAB,因为CE平分∠ACB,所以∠ACE=∠BCE,因为∠PCF=∠PCB+∠BCE,∠PFC=∠CAB+∠ACE,所以∠PFC=∠PCF,所以PC=PF,又因为∠PCB=∠PAC,∠P=∠P,所以△PCB∽△PAC,则=,所以PC2=PB·PA,即PF2=PB·PA,故②正确;连接AE,由圆周角定理的推论与弦CE平分∠ACB,可得△ABE是等腰直角三角形,则AB=BE=14,由BC=OP,可得BC是中线,△OBC是等边三角形,则S阴影=S扇形BOC-S△BOC=-,故③错误;由②中的△PCB∽△PAC,得=,所以tan∠PCB=tan∠PAC==,再由②中的PC2=PB·PA可求得PB=18,所以tan∠PCB===,故④正确.所以正确的是①②④.
15.【解析】 (1)△A1B1C如图所示.
(2)△A2B2C2如图所示.
16.【解析】 如图,连接ME,MD.
∵BD,CE是△ABC的高,M为BC的中点,
∴ME=MD=MC=MB=BC,
∴点B,C,D,E在以点M为圆心的同一圆上.
17.【解析】 (1)点A 90°
(2)CD⊥BE.理由如下:
∵△BAE是由△CAD顺时针旋转得到的,
∴△ACD≌△ABE,∴∠ACD=∠ABE,
在Rt△ABC中,∠ACD+∠BCD+∠ABC=90°,
∴∠BCD+∠ABC+∠ABE=90°,即∠BCO+∠CBO=90°,
∴∠BOC=90°,∴CD⊥BE.
18.【解析】 连接OA,OB,OC,设OA与BC交于点E,如图所示.
∵AB=AC,OB=OC,
∴OA⊥BC,∴BC=2BE.
在Rt△ABE中,∵tan∠ABE=,
∴=,
设AE=x,则BE=3x,OE=5-x,
在Rt△EOB中,BE2+OE2=OB2,即(3x)2+(5-x)2=52,
解得x1=0(舍去),x2=1,∴BE=3x=3,∴BC=2BE=6.
19.【解析】 (1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CD,∴=.
∵M为的中点,
∴=,
∴+=+,
∴=,∴BM=CM.
(2)如图,连接OM,OB,OC.
∵=,∴∠BOM=∠COM.
∵正方形ABCD内接于☉O,
∴∠BOC=×360°=90°,
∴∠BOM=135°.
由弧长公式可得==π.
20.【解析】 (1)如图,连接AB,OA,OF.
∵F是BE的中点,
∴FE=BF.
∵OB=OC,∴OF∥EC.
∴∠C=∠POF,∠AOF=∠CAO.
∵OA=OC,∴∠C=∠CAO,
∴∠POF=∠AOF.
∵BO=AO,OF=OF,∴△FBO≌△FAO,∴∠OAF=∠OBF,
∵BE是☉O的切线,∴∠OBF=90°,∴∠OAF=90°,
∴PA是☉O的切线.
(2)∵BE是☉O的切线,PA是☉O的切线,
∴BF=AF=3,∴BE=6.
∵BC=8,∠CBE=90°,∴CE=10.
易知△EAB∽△EBC,∴=,
即=,∴AE=3.6.
21.【解析】 (1)如图,过点O作OF⊥BC于点E,交半圆O于点F,连接CF.
∵OF⊥BC,∴BE=CE,
∵半圆O沿BC折叠,恰好过圆心O,
∴EF=EO,∴OE=OB,
∴∠OBC=30°,即∠ABC=30°.
(2)如图,连接AC,则AC⊥BC.
∵AD与半圆O相切,∴AD⊥AB,
∵∠ABC=30°,AB=6,
∴BD=4,BC=3,
∴CD=BD-BC=4-3=.
22.【解析】 (1)如图,连接BD,∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=∠ADB=90°,
∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠DCB=45°,
∴∠ABD=∠ACD=45°,∠DAB=∠DCB=45°,
∴△ADB是等腰直角三角形,
∵AB=10cm,∴AD=BD=5cm.
(2)直线PC与☉O相切.理由如下:
如图,连接OC.在Rt△ACB中,AB=10cm,BC=5cm,
∴∠BAC=30°,
∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC=30°,∴∠COB=60°,
∵∠ACD=45°,∴∠OCD=45°-30°=15°,
∴∠CEP=∠COB+∠OCD=15°+60°=75°,
∵PC=PE,∴∠PCE=∠CEP=75°,
∴∠OCP=∠OCD+∠ECP=15°+75°=90°,
∴直线PC与☉O相切.
23.【解析】 (1)2
∵OF=2,∠GFO=30°,
∴在Rt△GOF中,OG=OF·tan30°=2.
(2)①连接OB,OP,如图1,
∵PB为☉O的切线,
∴OB⊥PB,∴∠PBO=90°.
在Rt△POB中,OB=1,
∴PB==,
∴当OP取最小值时,PB的值最小.
易知当OP⊥FG时,OP取得最小值,
在Rt△OPF中,OF=2,∠OFP=30°,
∴OP=OF=,
∴PB的最小值为=.
②连接PO并延长,交☉O于点D,连接OB,BD,AD,如图2,
则∠BDA=∠BCA=54°.
∵PA,PB分别切☉O于点A,B,
∴∠BDO=∠ADO=27°,∠OBP=90°,
∴∠BOP=2∠BDO=54°,
∴∠BPO=90°-54°=36°,
∴∠APB=2∠BPO=72°.
③存在.
∵PA,PB为☉O的切线,
∴OP平分∠APB,
∴∠OPB=∠APB=×60°=30°,
在Rt△OPB中,OB=1,∠OPB=30°,
∴OP=2OB=2.
∵OG=2,
∴当点P在点G的位置时,满足要求,此时PF=GF=4.
当点P不与点G重合时,
∵∠OFG=30°,∴∠OGF=60°,
∵OP=OG=2,∴△OPG为等边三角形,
∴PG=OP=2,∴PF=2.
综上所述,PF的长为2或4.
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