华东师大版八年级上册数学13.5.2 线段垂直平分线(共28张PPT)
文档属性
| 名称 | 华东师大版八年级上册数学13.5.2 线段垂直平分线(共28张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 701.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-09-29 15:41:28 | ||
图片预览
文档简介
(共28张PPT)
第13章
全等三角形
13.5
逆命题与逆定理
第2课时
线段垂直平分线
引入
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，并知道线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.我们也可以用逻辑推理的方法证明这一结论.
探究新知
（一）线段垂直平分线的性质定理
如图，设直线MN是线段AB的垂直平分线，点C是垂足，点P是直线MN上的任意一点，连结PA、PB.求证：PA=PB.
B
A
C
N
M
P
过程
证明：在△APC
和△BPC
中，
∵PC=PC，∠PCB=∠PCA，AC=BC,
∴△APC≌△BPC（S.A.S.）.
∴PA=PB.
B
A
C
N
M
P
已知：MN⊥AB，垂足为点C，AC=BC，点P是直线MN上任意一点.
求证：PA=PB.
定理
线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.
（二）线段垂直平分线的判定定理
上述命题的逆命题应当怎样表述？
逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
思考
如果有一点到一条线段的两个端点的距离相等，那么这一点在这条线段的垂直平分线上.
将其改写成“如果……，那么……”的形式.
命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
求证
已知：如图，QA=QB.
求证：点Q在线段AB的垂直平分线上.
N
A
Q
B
M
证明
证明：设点C为线段AB的中点，连结QC，在△ACQ与△BCQ中，
∵QA=QB，AC=BC，QC=QC，
∴
△ACQ≌△BCQ，
∴∠QCA=∠QCB.
又∵∠QCA+∠QCB=180°，
∴
∠QCA=∠QCB=90°.
∴QC垂直平分线段AB.
∴点Q在线段AB垂直平分线上.
A
C
N
M
Q
B
小结
到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
上述两条定理互为逆定理，根据上述两条定理，我们很容易证明：三角形三边的垂直平分线交于一点.
（三）三角形三边的垂直平分线交于一点
线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.
到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
求证
已知：△ABC中，AB的垂直平分线l与AC的垂直平分线n相交于一点O.
求证：点O在BC的垂直平分线上.
A
B
C
O
l
m
n
证明
证明：连结OA、OB、OC.
∵O是AB的垂直平分线l上的一点，
∴OA=OB.
∵O是AC的垂直平分线n上的一点，
∴OA=OC.
∴OB=OC.
∴O在线段BC的垂直平分线上.
A
B
C
O
l
m
n
随堂练习
练习
1.如图，已知点A、B和直线l，在直线l上求作一点P，使PA=PB.
l
A
B
.
.
P
练习
2.如图，BD⊥AC，垂足为E，AE=CE.求证：AB+CD=AD+BC.
A
B
C
D
E
证明：∵BD⊥AC，AE=CE，
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∵B、D在垂直平分线上，
∴AD=DC，AB=CB，
∴AB+CD=AD+BC.
练习
3.如图，在△ABC中，点D在BC上，且BD+AD=BC.求证：点D在AC垂直平分线上.
A
B
C
D
证明：∵BD+AD=BC，BD+DC=BC，
∴AD=DC，
∴△ADC是等腰三角形，
∴点D在AC的垂直平分线上.
课时总结
小结
会证明线段垂直平分线的性质定理与判断定理.
布置作业
作业
1.教材第99页习题13.5第2题.
作业
2.备选习题
（1）到△ABC三个顶点的距离相等的点的位置是在
（
）
A.三角形的内部
B.三角形的外部
C.三角形的边上
D.以上三种都有可能
作业
2.备选习题
（2）如图，线段MN与线段AB交于点O，给出下列条件：①MN=MB，OA=OB；
②MA=MB，NA=NB；
③∠AMO=∠BMO，∠MAO=∠MBO；④∠AMO=∠BMO，∠ANO=∠BNO.其中能说明MN是AB垂直平分线的是
（
）
A.
①③
B.
②③④
C.
①②
D.
①②③④
M
A
B
N
O
作业
2.备选习题
（3）在等腰直角△ABC中，AB=AC，BC=a，其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O，则点O到三角形三个顶点的距离是
.
作业
2.备选习题
（4）如图，已知AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，则图中全等的三角形共有
对.
A
B
C
D
E
作业
2.备选习题
（5）如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AD是BC边上的高，E是AD上一点，ED=CD，连结EC，EA=EC.求证：BA=BC.
A
B
C
D
E
F
作业
2.备选习题
（6）如图，A、B两个村子在河CD同侧，A、B两村子到河CD的距离分别为AC=1
km，BD=3
km，且CD=3
km.现要在河边CD上建一水厂，向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米2万元.请你在CD上确定水厂的位置，使铺设水管的费用最少，并求出铺设水管的总费用.
A
B
C
D
第13章
全等三角形
13.5
逆命题与逆定理
第2课时
线段垂直平分线
引入
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，并知道线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.我们也可以用逻辑推理的方法证明这一结论.
探究新知
（一）线段垂直平分线的性质定理
如图，设直线MN是线段AB的垂直平分线，点C是垂足，点P是直线MN上的任意一点，连结PA、PB.求证：PA=PB.
B
A
C
N
M
P
过程
证明：在△APC
和△BPC
中，
∵PC=PC，∠PCB=∠PCA，AC=BC,
∴△APC≌△BPC（S.A.S.）.
∴PA=PB.
B
A
C
N
M
P
已知：MN⊥AB，垂足为点C，AC=BC，点P是直线MN上任意一点.
求证：PA=PB.
定理
线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.
（二）线段垂直平分线的判定定理
上述命题的逆命题应当怎样表述？
逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
思考
如果有一点到一条线段的两个端点的距离相等，那么这一点在这条线段的垂直平分线上.
将其改写成“如果……，那么……”的形式.
命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
求证
已知：如图，QA=QB.
求证：点Q在线段AB的垂直平分线上.
N
A
Q
B
M
证明
证明：设点C为线段AB的中点，连结QC，在△ACQ与△BCQ中，
∵QA=QB，AC=BC，QC=QC，
∴
△ACQ≌△BCQ，
∴∠QCA=∠QCB.
又∵∠QCA+∠QCB=180°，
∴
∠QCA=∠QCB=90°.
∴QC垂直平分线段AB.
∴点Q在线段AB垂直平分线上.
A
C
N
M
Q
B
小结
到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
上述两条定理互为逆定理，根据上述两条定理，我们很容易证明：三角形三边的垂直平分线交于一点.
（三）三角形三边的垂直平分线交于一点
线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.
到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
求证
已知：△ABC中，AB的垂直平分线l与AC的垂直平分线n相交于一点O.
求证：点O在BC的垂直平分线上.
A
B
C
O
l
m
n
证明
证明：连结OA、OB、OC.
∵O是AB的垂直平分线l上的一点，
∴OA=OB.
∵O是AC的垂直平分线n上的一点，
∴OA=OC.
∴OB=OC.
∴O在线段BC的垂直平分线上.
A
B
C
O
l
m
n
随堂练习
练习
1.如图，已知点A、B和直线l，在直线l上求作一点P，使PA=PB.
l
A
B
.
.
P
练习
2.如图，BD⊥AC，垂足为E，AE=CE.求证：AB+CD=AD+BC.
A
B
C
D
E
证明：∵BD⊥AC，AE=CE，
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∵B、D在垂直平分线上，
∴AD=DC，AB=CB，
∴AB+CD=AD+BC.
练习
3.如图，在△ABC中，点D在BC上，且BD+AD=BC.求证：点D在AC垂直平分线上.
A
B
C
D
证明：∵BD+AD=BC，BD+DC=BC，
∴AD=DC，
∴△ADC是等腰三角形，
∴点D在AC的垂直平分线上.
课时总结
小结
会证明线段垂直平分线的性质定理与判断定理.
布置作业
作业
1.教材第99页习题13.5第2题.
作业
2.备选习题
（1）到△ABC三个顶点的距离相等的点的位置是在
（
）
A.三角形的内部
B.三角形的外部
C.三角形的边上
D.以上三种都有可能
作业
2.备选习题
（2）如图，线段MN与线段AB交于点O，给出下列条件：①MN=MB，OA=OB；
②MA=MB，NA=NB；
③∠AMO=∠BMO，∠MAO=∠MBO；④∠AMO=∠BMO，∠ANO=∠BNO.其中能说明MN是AB垂直平分线的是
（
）
A.
①③
B.
②③④
C.
①②
D.
①②③④
M
A
B
N
O
作业
2.备选习题
（3）在等腰直角△ABC中，AB=AC，BC=a，其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O，则点O到三角形三个顶点的距离是
.
作业
2.备选习题
（4）如图，已知AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，则图中全等的三角形共有
对.
A
B
C
D
E
作业
2.备选习题
（5）如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AD是BC边上的高，E是AD上一点，ED=CD，连结EC，EA=EC.求证：BA=BC.
A
B
C
D
E
F
作业
2.备选习题
（6）如图，A、B两个村子在河CD同侧，A、B两村子到河CD的距离分别为AC=1
km，BD=3
km，且CD=3
km.现要在河边CD上建一水厂，向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米2万元.请你在CD上确定水厂的位置，使铺设水管的费用最少，并求出铺设水管的总费用.
A
B
C
D