第六章 万有引力与航天 行星的运动

第六章 万有引力与航天
一 行星的运动
［学习目标］
1．知道地心说和日心说的基本内容。
2．掌握开普勒三个定律的内容。
3．理解人们对行星运动的认识过程是漫长而复杂的，真理是来之不易的。
［学时安排］ 1学时
［要点导学］
A级
1. 地心说认为：__________是宇宙的中心，它是___________的，太阳、月亮及其他天体都绕______________做圆周运动，日心说认为___________是宇宙的中心，它是________________的，地球和所有的行星都绕______________做圆周运动。
2．开普勒第一定律又称轨道定律，它指出：所有行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上。远日点是指__________，近日点是指_________。不同行星的椭圆轨道是不同的，太阳处在这些椭圆的一个公共焦点上。
3．开普勒第二定律又称面积定律。对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。所以行星在离太阳比较近时，运动速度________。行星在离太阳较远时，运动速度_________。
4．开普勒第三定律又称周期定律，内容是：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。该定律的数学表达式是：_________。
B级
5．多数大行星的轨道与圆十分接近，故中学阶段的研究中能够按圆处理，______________处在圆心，对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的______________或（______________）不变，即行星做匀速圆周运动，所有行星轨道半径的___________方跟公转周期的______________方的比值相等。
6.开普勒行星运动定律，不仅适用于行星，也适用于其它卫星的运动。研究行星运动时，开普勒第三定律中的常量k与________有关，研究月球、人造地球卫星运动时，k与____________有关。
［疑难辨析］
开普勒第三定律中的k是一个与行星无关的常量，只跟行星所围绕的天体有关，即由中心天体决定。因此对于绕同一天体运行的行星此比值是相同的。开普勒第三定律也适用于卫星绕行星的运动，这时的比值是与行星无关的常量。
［问题思考］
多数行星的轨道与圆十分接近，所以在中学阶段的研究中能够按圆处理．开普勒三定律适用于圆轨道时，应该怎样表述呢
［范例精析］
例1：地球绕太阳的运行轨道是椭圆，因而地球与太阳之间的距离随季节变化。冬至这天地球离太阳最近，夏至最远。下列关于地球在这两天绕太阳公转速度大小的说法中，正确的是 （ ）
A．地球公转速度是不变的
B．冬至这天地球公转速度大
C．夏至这天地球公转速度大
D．无法确定
解析：冬至地球与太阳的连线短，夏至长。根据开普勒第二定律，要在相等的时间内扫过的面积相等，则在相等的时间内冬至时地球运动的路径就要比夏至时长，所以冬至时地球运动的速度比夏至的速度大，答案选B
拓展：本题要比较行星在轨道不同位置时运动的快慢，可以比较相同时间内行星在不同位置时运动的路线长度，而开普勒第二定律则告诉了我们，相同时间内行星与太阳的连线扫过的面积相等，根据几何关系，可以找到行星与太阳的连线扫过的面积和行星运动路线长度的关系，从而解决问题。
例2．根据美联社2002年10月7日报道，天文学家在太阳系的9大行星之外，又发现了一颗比地球小得多的新行星，而且还测得它绕太阳公转周期约为288年。若把它和地球绕太阳公转的轨道看作圆，问它与太阳的距离是地球与太阳距离的多少倍？（最后结果可用根式表示）
解析：本题要求行星到太阳的距离，由于可以把该行星和地球的轨道看作圆，则行星和地球到太阳的距离就是它们的轨道半径。题中给出了行星运动的周期，可以根据开普勒第三定律直接求解。
根据开普勒第三定律有：
a地3/T地2= a行3/T行2
得：
拓展：开普勒第三定律，揭示了行星运动轨道与运动周期之间的联系。当将行星运动轨道看成圆时，公式中的半长轴就是行星运动的轨道半径。开普勒定律不仅适用于行星，也适用于围绕同一行星运动的各个卫星。一般行星或卫星（人造卫星），涉及到轨道和周期的问题，不管是椭圆轨道还是圆轨道，在中学物理中通常运用开普勒分析、求解。
例3．飞船沿半径为R的圆轨道运动，其周期为T，如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A处减速，将速度降低到适当的数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆与地面的B点相切，实现着陆，如图所示。如果地球半径为R0，求飞船由A点运动到B点的时间。
解析：飞船先后在两个轨道上运动，一次作半径为R的圆周运动，一次是椭圆轨道运动。飞船绕地球的圆轨道又可以看作两个焦点重合在地心的椭圆轨道。从A点运动到B点的时间就是飞船在椭圆轨道上运动周期的二分之一，可以利用开普勒第三定律求出飞船在椭圆轨道运动的周期，进而求出飞船从A点到B点的运动时间。
设飞船的椭圆轨道的半长轴为R1，运动周期为T1，根据开普勒第三定律有：

根据几何关系，

解得：
所以飞船从A点到B点所需要的时间为
拓展：运用开普勒第三定律计算天体的运动时间，一般都要寻找运动时间与天体做椭圆运动周期的联系，天体运动的轨道半长轴（或轨道半径）则可以通过几何关系与已知长度联系起来。再用开普勒第三定律建立天体运动的轨道半长轴（或轨道半径）与天体运动周期联系，求得所需要的结果。
［当堂达标］
A级
1.下列说法正确的是（ ）
A．天体运动是最完美和谐的匀速圆周运动
B．第谷是一名天才的观测家，正是他为开普勒的研究提供了大量的观测数据
C．第谷是第一个对天体的匀速圆周运动产生怀疑的人
D．开普勒在第谷精确观测的基础上，经过长期研究，终于发现了行星运动的规律
2.关于地球和太阳，下列方法正确的是（ ）
A.太阳是围绕地球做匀速圆周运动的
B.地球是围绕太阳运转的
C.太阳总是从东边升起，从西边落下，所以太阳围绕地球运转
D.由于地心说符合人日常经验，所以地心说是正确的
3.关于开普勒行星运动的公式，以下说法正确的是（ ）
A. k是一个与行星无关的常数
B.若地球绕太阳运转的轨道半长轴为R，周期为T，月球绕地球运转的半径为R ，
周期为T ，则
C.T表示行星运动的自转周期
D.T表示行星运动的公转周期
4. 关于行星的运动，以下说法正确的是（ ）
A．行星轨道的半长轴越长，自转周期就越大
B．行星轨道的半长轴越长，公转周期就越大
C．水星的半长轴最短，公转周期最大
D．冥王星离太阳“最远”，绕太阳运动的公转周期最大
B级
5. 二十四节气中的春分与秋分均为太阳直射赤道，春分为太阳从南回归线回到赤道，秋分则为太阳从北回归线回到赤道。2004年3月20日为春分，9月23日为秋分，可以推算从春分到秋分187天，而从秋分到春分则为179天，关于上述自然现象，下列说法正确的是（设两段时间内地球公转的轨迹长度相等）（ ）
A．从春分到秋分地球离太阳远 B．从秋分到春分地球离太阳远
C．夏天地球离太阳近 D．冬天地球离太阳远
6. 若已知地球对它所有卫星的k值都等于1.01×1013m3/s2,试求出月球运动的轨道半径（月球绕地球运转的周期大约是27天，月球轨道为圆）
［课后测评］
A级
1.关于日心说被人们所接受的原因是（ ）
A.以地球为中心来研究天体的运动有很多无法解决的问题
B.以太阳为中心来研究天体的运动，许多问题都可以解决，行星运动的描述也变简单了
C.地球是围绕太阳运转的
D.太阳总是从东边升起，从西边落下
2.关于的常量k，下列说法正确的是（ ）
A．对于所有星球的行星或卫星，k值都相等
B．不同星球的行星或卫星，k值不相等
C．k值是一个与星球无关的常量
D．k值是一个与星球有关的常量
3．关于太阳系中行星运动的轨道，以下说法正确的是（ ）
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆
B．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆
C．不同行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴是不同的
D．不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是相同的
4．把太阳系各行星的运动近似看作匀速圆周运动，比较各行星周期，则离太阳越远的行星（ ）
A．周期越小 B．周期越大 C．周期都一样 D．无法确定
5．一年四季, 季节更替. 地球的公转带来了二十四节气的变化. 一年里从立秋到立冬的时间里, 地球绕太阳运转的速度___________, 在立春到立夏的时间里, 地球公转的速度___________. (填“变大”、“变小”或“不变”)
6．有一颗叫谷神的小行星，它离太阳的距离是地球离太阳的2.77倍,那么它绕太阳一周的时间是_________年。
7．一颗近地人造地球卫星绕地球运行的周期为84分钟，假如月球绕地球运行的周期为30天，则月球运行的轨道半径是地球半径的_________倍。
B级
8．天文观测发现某小行星绕太阳的周期是27地球年，它离太阳的最小距离是地球轨道半径的2倍，求该小行星离太阳的最大距离是地球轨道半径的几倍？
9．天文学者观测到哈雷慧星的周期是75年，离太阳最近的距离是8.9×1010m，但它离太阳最远的距离不能测得。试根据开普勒定律计算这个最远距离。（太阳系的开普勒常量k=3.354×1018m3/s2）
10．月球的质量约为7．35×1022kg绕地球运行的轨道半径是3．84×105km，运行周期是27.3天，则月球受到地球所施的向心力的大小是多少？
11．宇宙飞船进入一个围绕太阳运行的近似圆形轨道，如果轨道半径是地球轨道半径的9倍，那么宇宙飞船绕太阳运动的周期是多少年？
12．一个近地（轨道半径可以认为等于地球半径）卫星，绕地球运动的周期为84分钟，而地球同步通信卫星则位于地球赤道上方高空，它绕地球运行的周期等于地球自转的周期，试估算地球同步通信卫星的高度。