第六章 万有引力与航天 太阳与行星间的引力

第六章 万有引力与航天
二、 太阳与行星间的引力
［学习目标］
1．理解太阳与行星间引力的存在
2．能根据开普勒行星运动定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星间的引力表达式
3．了解万有引力定律得出的思路和过程，理解万有引力定律的含义，掌握万有引力定律的公式；
4．知道任何物体间都存在着万有引力，且遵循相同的规律。
［学时安排］1课时
［自主导学］
A级
1.太阳对行星的引力
（1）行星绕太阳做近似匀速圆周运动时，需要的向心力由__________提供的。
（2）向心力的基本公式_______________。
（3）周期表示的向心力公式______________。
（4）代入开普勒第三定律后的表达式为____________________。
（5）太阳对行星的引力与__________成正比，与__________成反比；对任何行星都成立的关系式应为__________。
B级
2.行星对太阳的引力
根据牛顿第三定律，可知太阳吸引行星的同时，行星也吸引太阳，由此可得行星吸引太阳的力的表达式应为__________。
3.太阳与行星间的吸引力
概括太阳与行星间的相互引力大小可知，太阳与行星间的引力的大小与__________、__________成正比，与__________成反比，即表达式为__________，相互引力的方向沿着__________。
［例题精析］
例1 关于太阳对行星的引力，下列说法中正确的是（ ）
A.太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力，因此有，由此可知，太阳对行星的引力F引与太阳到行星的距离r成反比
B.太阳对行星的引力提供行星绕太阳运动的向心力，因此有，由此可知，太阳对行星的引力F引与行星运动速度平方成正比
C.太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间的距离的二次方成反比
D.以上说法均不对
解析： 这是一道研究太阳对行星引力大小与什么量有关的问题，解决此问题时应找出各量的关系，通过推导得到最后表达式，才能得到正确的结论。
由向心力表达式F＝mv2/r和v与T的关系式v=2πr/T得F＝4π2mr/T2 ①
根据开普勒第三定律r3/T2=k变形得
T2＝r3/k ②
联立①②有F＝4π2k·m/r2
故太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比。
例2：证明开普勒第三定律中，各行星绕太阳公转周期的平方与公转轨道半径的三次方的比值k是与太阳质量有关的恒量。
解析：行星绕太阳运动的原因是受到太阳的引力，引力的大小与行星质量、太阳质量及行星到太阳的距离（行星公转轨道半径）有关。这个引力使行星产生向心加速度，而向心加速度与行星公转的周期和轨道半径有关，这样就能建立太阳质量与行星公转周期和轨道半径之间的联系。
设太阳质量为M，某行星质量为m，行星绕太阳公转周期为T，半径为R。将行星轨道近似看作圆，万有引力提供行星公转的向心力，有
得到，
其中G是行星与太阳间引力公式中的比例系数，与太阳、行星都没有关系。可见星绕太阳公转周期的平方与公转轨道半径的三次方的比值k是与太阳质量有关的恒量。
拓展：在解决有关行星运动问题时，常常用到这样的思路：将行星的运动近似看作匀速圆周运动，而匀速圆周运动的向心力则由太阳对行星的引力提供。研究其它天体运动也同样可以用这个思路，只是天体运动的向心力由处在圆心处的天体对它的引力提供。
［当堂达标］
1.下面关于太阳对行星的引力说法中正确的是（ ）
A．太阳对行星的引力等于行星做匀速圆周运动的向心力
B．太阳对行星的引力大小与行星的质量成正比，与行星和太阳间的距离成反比
C．太阳对行星的引力是由实验得出的
D．太阳对行星的引力规律是由开普勒行星运行定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律推导出来的
2.下列关于行星对太阳的引力的说法中正确的是（ ）
A．行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是同一性质的力
B．行星对太阳的引力与太阳的质量成正比，与行星的质量无关
C．太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力
D．行星对太阳的引力大小与太阳的质量成正比，与行星距太阳的距离成反比
3.下列说法正确的是（ ）
A．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式，这个关系式实际上是牛顿第二定律，是可以在实验室中得到验证的
B．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式，这个关系式实际上是匀速圆周运动的一个公式，它是由速度的定义式得来的
C．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式，这个关系式是开普勒第三定律，是可以在实验室中得到证明的
D．在探究太阳对行星的引力规律时，使用的三个公式，都是可以在实验室中得到证明的
4. 把行星运动近似看作匀速圆周运动以后，开普勒第三定律可写为T2＝kr3，则可推得（ ）
A．行星受太阳的引力为
B．行星受太阳的引力都相同
C．行星受太阳的引力
D．质量越大的行星受太阳的引力一定越大
5.关于太阳与行星间的引力，下列说法中正确的是（ ）
A．太阳对行星的引力与行星对太阳的引力是一对平衡力
B．太阳对行星的引力与行星对太阳的引力是作用力与反作用力的关系
C．太阳与行星间的引力大小与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者的距离的平方成反比
D．以上说法均不对
6.根据开普勒定律，我们可以推出的正确结论有（ ）
A．人造地球卫星的轨道都是椭圆，地球在椭圆的一个焦点上
B．卫星离地球越远，速率越小
C．卫星离地球越远，周期越大
D．同一卫星绕不同的行星运行，的值都相同
7.两个行星的质量分别为m1和m2,绕太阳运动的轨道半径分别为r1和r2,求：
（1）它们与太阳间的引力之比；
（2）它们的公转周期之比。
［课后测评］
A级
1．有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面上重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的（ ）
A. 1/4 B. 4倍 C. 16倍 D. 64倍。
2．对于太阳与行星间引力的表述式，下面说法中正确的是（ ）
A. 公式中G为引力常量，它是人为规定的
B. 当r趋近于零时，太阳与行星间的引力趋于无穷大
C. 太阳与行星受到的引力总是大小相等的、方向相反，是一对平衡力
D. 太阳与行星受到的引力总是大小相等的、方向相反，是一对作用力与反作用力
3．关于太阳与行星间的引力，下列说法正确的是（ ）
A．神圣和永恒的天体的匀速圆周运动无需要原因，因为圆周运动是最美的。
B．行星绕太阳旋转的向心力来自太阳对行星的引力
C．牛顿认为物体运动状态发生改变的原因是受到力的作用。行星围绕太阳运动，一定受到了力的作用。
D．牛顿把地面上的动力学关系应用到天体间的相互作用，推导出了太阳与行星间的引力关系
4．在宇宙发展演化的理论中，有一种学说叫“宇宙膨胀说”，就是天体的距离在不断增大，根据这理论，在很久很久以前，太阳系中地球的公转情况与现在相比（ ）
A．公转半径较大
B．公转周期较小
C．公转速率较大
D．公转角速度较小
5．若火星和地球都绕太阳做匀速圆周运动，今知道地球的质量、公转的周期和地球与太阳之间的距离，今又测得火星绕太阳运动的周期，则由上述已知量可求出（ ）
A．火星的质量
B．火星与太阳间的距离
C．火星的加速度大小
D．火星做匀速圆周运动的速度大小
B级
6．假设地球与月球间的引力与地球表面物体受到的重力是同种性质的力，即力的大小与距离的二次方成反比。已知月心和地心的距离是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为9.8m/s2，试计算月球绕地球做圆周运动的向心加速度。
7．假设某星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球的一半。若地球上近地卫星的周期为84分钟. 则该星球上的近地卫星的周期是多少？
8．如果牛顿推导的太阳与行星间引力的表达式中，引力的大小与其距离的n次方（n≠2）成反比，各行星的周期与其轨道半径的二次方成正比，则n的值是多大？
9.飞船以a＝g/2的加速度匀加速上升，由于超重现象，用弹簧秤测得质量为10 kg的物体重量为75 N．由此可知，飞船所处位置距地面高度为多大？(地球半径为6400 km， g＝10 m/s2)
10．两颗靠得很近的恒星，必须各以一定的速率绕它们连线上某一点转动，才不至于由于万有引力的作用而将它们吸引到一起．已知这两颗恒星的质量为m1、m2，相距L，求这两颗恒星的转动周期．