第六章 万有引力与航天 万有引力定律

第六章 万有引力与航天
三、 万有引力定律
［学习目标］
1．理解太阳与行星间引力的存在
2．能根据开普勒行星运动定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星间的引力表达式
3．了解万有引力定律得出的思路和过程，理解万有引力定律的含义，掌握万有引力定律的公式；
4．知道任何物体间都存在着万有引力，且遵循相同的规律。
［学习课时］1课时
［自主导学］
A级
1．万有引力定律的内容是：自然界中任何两个物体都_______________，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们______________成反比。万有引力定律的发现，证明了天体运动和地面上运动遵守共同的力学原理，实现了天地间力学的大综合，第一次揭示了自然界中的一种基本相互作用规律。这是人类认识历史上的一个重大飞跃。万有引力在天体运动中起着主要作用，在宇宙探索研究中有很重要的应用。
2.万有引力定律的表达式___________________,其中G叫____________, G＝6.67×10－11N·m2/kg2,它在数值上等于两个质量都是_____kg的物体相距________时的相互吸引力，它是由英国科学家___________在实验室里首先测出的，该实验同时也验证了万有引力定律。
B级
3.万有引力定律适用于计算________________的万有引力，对于质量均匀分布的球体，仍可以用万有引力定律，公式中的r为_____________的距离。另外当两个物体间的距离比它们自身的尺寸大得多的时候，可以把两个物体当作质点，应用万有引力定律进行计算。
［例题解析］
例1：氢原子有一个质子和围绕质子运动的电子组成，已知质子的质量为1.67×10-27kg，电子的质量为9.1×10-31kg，如果质子与电子的距离为1.0×10-10m，求它们之间的万有引力。
解析：本题由于质子和电子的尺寸大小远小于它们间的距离，可以将它们看作质点，运用万有引力定律直接求解。
根据万有引力定律质子与电子之间的万有引力为
N
答：电子与质子之间的万有引力大小为1.01×10-47N。
拓展：应用万有引力定律计算物体间的万有引力时，应该注意万有引力定律的适用条件。万有引力定律适用于计算两个质点间的万有引力，对于质量均匀分布的球体，仍可以用万有引力定律，公式中的r为球心之间的距离。另外当两个物体间的距离比它们自身的尺寸大得多的时候，可以把两个物体当作质点，应用万有引力定律进行计算。
例2 ：设地球表面物体的重力加速度为g0，物体在距离地心4R（R是地球的半径）处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则g/g0为（ ）
A．1 B．1/9 C．1/4 D．1/16
解析：本题是万有引力定律的简单应用，物体在地球表面的重力加速度和在高空中的加速度都是由地球对物体的万有引力产生的。根据万有引力定律和牛顿第二定律就可以解决该题。
设地球质量为M，质量为m的物体受到地球的万有引力产生加速度，在地球表面和高空分别有:

解得:g/g0=1/16
答案选：D
拓展：物体运动的加速度由它受到的力产生，通常情况下不考虑地球的自转，物体受到的重力大小就认为等于它受到地球的万有引力。本题中物体在地面的重力加速度和高空中运动的加速度都认为是万有引力产生的，然后运用牛顿第二定律，建立物体受到的万有引力与物体运动的加速度之间的联系，从而解决问题。
例3：卡文迪许测出万有引力常量后，人们就能计算出地球的质量。现公认的引力常量G=6.67×10-11Nm2/kg2，请你利用引力常量、地球半径R和地面重力加速度g，估算地球的质量。（R=6371km，g=9.8m/s2）
解析：应用万有引力定律计算地球质量，需要知道物体和地球间的万有引力，本题中可以认为引力等于重力，用重力加速度表示引力。
根据万有引力定律
，
得:=5.967×1024kg
答：地球得质量为5.967×1024kg。
拓展：在应用万有引力定律解决有关地面上物体和地球的问题时，通常可以将重力和万有引力相替代。
［当堂达标］
1.关于万有引力，下列说法正确的是（ ）
A．牛顿把地球表面的动力学关系应用于天体，发现了万有引力定律
B．开普勒等科学家对天体运动规律的研究为万有引力定律的发现作了准备
C．只有天体之间才有万有引力
D．太阳对行星的引力就是行星绕太阳旋转的向心力
2.两个大小相同的实心小铁球紧靠在一起时，它们之间的万有引力为F。若两个半径是小球半径2倍的实心小铁球靠在一起，则它们之间的万有引力为（ ）
A．2F B．4F C．8F D．16F
3.下列关于万有引力定律的说法正确的是（ ）
A．万有引力定律是牛顿发现的
B．中G是一个比例常数，是有单位的
C．万有引力定律适用于质点间的相互作用
D．两个质量分布均匀的分离的球体之间的相互作用力也可以用来计算，r是两球体球心间的距离
4.设想把一个质量为m的物体放在地球中心，这时它受到地球对它的万有引力为（ ）
A．零 B．mg C．无穷大 D．无法确定
5.设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R（R是地球的半径）处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则g/g0为（ ）
A. 1 B. 1/9 C. 1/4 D. 1/16
分析：本题考查万有引力定律的简单应用。地球表面处的重力加速度和在离地心高4R处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有：
地面上：0 ① 离地心4R处： ②
由①②两式得
答案：D
6.假设火星和地球都是球体,火星的质量M火与地球的质量M地之比M火/M地=p，火星的半径与地球的半径之比R火/R地=q，求它们表面处的重力加速度之比。
7.假设地球自转速度达到使赤道上的物体能“飘”起来（完全失重）。试估算一下，此时地球上的一天等于多少小时？（地球半径取6.4×106m,g取10m/s2）
［课后测评］
A级
1．对于万有引力定律的表述式，下面说法中正确的是（ ）
A. 公式中G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的
B. 当r趋近于零时，万有引力趋于无穷大
C. m1与m2受到的引力大小总是相等的，方向相反，是一对平衡力
D. m1与m2受到的引力总是大小相等的，而与m1、m2是否相等无关
2．下列关于陨石坠向地球的解释中，正确的是（ ）
A．陨石对地球的吸引力远小于地球对陨石的吸引力
B．陨石对地球的吸引力和地球对陨石的吸引力大小相等，但陨石的质量小，加速度大，所以改变运动方向落向地面
C．太阳不再吸引陨石，所以陨石落向地球
D．陨石受到其它星球的斥力而落向地球
3．设地球表面物体的重力加速度为g0，某卫星在距离地心3R（R是地球的半径）的轨道上绕地球运行，则卫星的加速度为（ ）
A．g0 B．g0/9 C．g0/4 D．g0/16
4．地球质量大约是月球质量的81倍,在登月飞船通过月、地之间的某一位置时，月球和地球对它的引力大小相等，该位置到月球中心和地球中心的距离之比为（ ）
A．1:27 B. 1:9 C. 1:3 D. 9：1
5．设想把一质量为m的物体放在地球的中心，这时它受到地球对它的万有引力是（ ）
A. 0 B. mg (g=9.8m/s2) C. ∞ D. 无法确定
6．宇宙间的一切物体都是互相极引的，两个物体间的引力大小，跟它们的 成正比，跟它们的 成反比，这就是万有引力定律.万有引力恒量G＝6.67×10-11 .第一个比较精确测定这个恒量的是英国物理学家 .
B级
7. 月球的质量约为7．35×1022kg, 绕地球运行的轨道半径是3．84×105km, 运行的周期是27.3天，则月球受到地球所施的向心力的大小是_____。
8．地球是一个不规则的椭球，它的极半径为6357km，赤道半径为6378km，已知地球质量M=5.98×1024kg。不考虑地球自转的影响，则在赤道、极地用弹簧秤测量一个质量为1kg的物体，示数分别为多少？
9．某星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球的一半。若从地球上高h处平抛一物体，射程为15m，则在该星球上从同样的高度，以同样的初速度平抛该物体，其射程为多少？
10．某行星自转一周所需时间为地球上的6小时。若该行星能看作球体，它的平均密度为3.03×103kg /m3。 已知万有引力恒量G=6.67×1011N·m2/kg2，在这行星上两极时测得一个物体的重力是10N。则在该行星赤道上称得物重是多少？